दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1$ की किसी भी नाभि से उसके किसी भी स्पर्शरेखा पर खींचे गए लंब के पाद का बिंदुपथ निम्नलिखित में से किस बिंदु से होकर गुजरता है?

यदि दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{2} = 1$ पर स्थित किसी बिंदु की केंद्र से दूरी $2$ है,तो उसका उत्केंद्र कोण (Eccentric Angle) $\varphi$ ज्ञात कीजिए।

यदि दीर्घवृत्त $x^2+2y^2=2$ पर स्पर्श रेखाएँ खींची जाती हैं,तो निर्देशांक अक्षों के बीच स्पर्श रेखाओं द्वारा बनाए गए अंतःखंडों के मध्य बिंदुओं का बिंदुपथ क्या है?

रेखा $x = 8$ दीर्घवृत्त $E: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ की नियता (directrix) है और इसकी संगत नाभि (focus) $(2, 0)$ है। यदि प्रथम चतुर्थांश में बिंदु $P$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा बिंदु $(0, 4\sqrt{3})$ से होकर गुजरती है और $x$-अक्ष को $Q$ पर काटती है,तो $(3PQ)^2$ का मान $........$ है।

मान लीजिए कि $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(b < a)$ एक दीर्घवृत्त है जिसका मुख्य अक्ष $AB$ और लघु अक्ष $CD$ है। मान लीजिए $F_1$ और $F_2$ इसकी दो नाभियाँ हैं,जहाँ $A, F_1, F_2, B$ रेखाखंड $AB$ पर इसी क्रम में हैं। यदि $\angle F_1CB = 90^{\circ}$ है,तो दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता ज्ञात कीजिए।