$\lambda$ और $\mu$ के वे मान जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x+y+z=2$,$x+2y+3z=5$,और $x+3y+\lambda z=\mu$ के अनंततः अनेक हल हैं,क्रमशः हैं:

मैट्रिक्स विधि का उपयोग करके रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करें: $x-y+2z=7$,$3x+4y-5z=-5$,$2x-y+3z=12$.

एक आव्यूह $A=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ के लिए,यदि $U_{1}, U_{2}$ और $U_{3}$ $3 \times 1$ स्तंभ आव्यूह हैं जो $A U_{1}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{2}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$,$A U_{3}=\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}$ को संतुष्ट करते हैं और $U$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है जिसके स्तंभ $U_{1}, U_{2}$ और $U_{3}$ हैं,तो $U^{-1}$ के अवयवों का योग है:

रैखिक समीकरण निकाय $\lambda x + y + z = 3$,$x - y - 2z = 6$,और $-x + y + z = \mu$ के लिए:

समीकरणों की प्रणाली $x+y+z=5$, $x+2y+3z=9$ और $x+3y+\lambda z=\mu$ का अद्वितीय हल है यदि

$m, n$ के किन मानों के लिए समीकरण निकाय
$x+y+z=4$
$2x+5y+5z=17$
$x+2y+mz=n$
के अनंत हल हैं,जो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करते हैं: