यदि फलन f(x) = begin{cases} k_{1}(x-pi)^{2}-1 | vedclass

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Question

(A) $f(x)$ के दो बार अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = \pi$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।$1$. $x = \pi$ पर सांतत्य:$f(\pi^{-}) = f(\pi) = f(\pi^{+})$$k_{1}

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$(\frac{1}{2}, 1)$

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(A) $f(x)$ के दो बार अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = \pi$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए।$1$. $x = \pi$ पर सांतत्य:$f(\pi^{-}) = f(\pi) = f(\pi^{+})$$k_{1}(\pi-\pi)^{2} - 1 = k_{2} \cos(\pi)$$-1 = -k_{2} \implies k_{2} = 1$.$2$. प्रथम अवकलज $f'(x)$:$f'(x) = \begin{cases} 2k_{1}(x-\pi), & x \leq \pi \ -k_{2} \sin x, & x > \pi \end{cases}$$x = \pi$ पर,$f'(\pi^{-}) = 2k_{1}(\pi-\pi) = 0$ और $f'(\pi^{+}) = -k_{2} \sin(\pi) = 0$.चूंकि $0 = 0$,फलन $x = \pi$ पर किसी भी $k_{1}, k_{2}$ के लिए अवकलनीय है।$3$. द्वितीय अवकलज $f''(x)$:$f''(x) = \begin{cases} 2k_{1}, & x \leq \pi \ -k_{2} \cos x, & x > \pi \end{cases}$$f''(x)$ के $x = \pi$ पर सतत होने के लिए:$f''(\pi^{-}) = f''(\pi^{+})$$2k_{1} = -k_{2} \cos(\pi)$$2k_{1} = -k_{2}(-1) = k_{2}$चूंकि $k_{2} = 1$,इसलिए $2k_{1} = 1 \implies k_{1} = \frac{1}{2}$.अतः,$(k_{1}, k_{2}) = (\frac{1}{2}, 1)$.

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} k_{1}(x-\pi)^{2}-1, & x \leq \pi \\ k_{2} \cos x, & x>\pi \end{cases}$ दो बार अवकलनीय है,तो क्रमित युग्म $(k_{1}, k_{2})$ का मान क्या है?

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