यदि रेखा $y=mx+c$ अतिपरवलय $\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}}{64}=1$ और वृत्त $x^{2}+y^{2}=36$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,तो निम्नलिखित में से कौन सा सत्य है?

अतिपरवलय $16x^2 - 25y^2 - 96x + 100y - 356 = 0$ की स्पर्श रेखा का समीकरण जो इसके अनुप्रस्थ अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,है

उत्केंद्रता $e$ वाले एक अतिपरवलय के नाभिलंब की लंबाई $9$ है और नियताएँ $x = \pm \frac{4}{\sqrt{13}}$ हैं। यदि रेखा $y - \sqrt{3}x + \sqrt{3} = 0$ इस अतिपरवलय को $(x_0, y_0)$ पर स्पर्श करती है,और $m$ बिंदु $(x_0, y_0)$ की नाभीय दूरियों का गुणनफल है,तो $4e^2 + m$ का मान ........... है।

यदि आयताकार अतिपरवलय $x^2-y^2=1$ के बिंदु $P$ (जहाँ प्राचल $\theta_1 = \frac{\pi}{4}$) पर अभिलंब वक्र को पुनः $Q$ (जहाँ प्राचल $\theta_2$) पर मिलता है,तो $\sec^2 \theta_2 + \tan \theta_2$ का मान ज्ञात कीजिए।

अतिपरवलय (hyperbola) $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,यदि अनुप्रस्थ अक्ष (transverse axis) की लंबाई $8$ है और नाभियों के बीच की दूरी $2\sqrt{41}$ है,तो इसके नाभिलंब (latus rectum) की लंबाई क्या है?

यदि अतिपरवलय $\frac{(x-1)^2}{1}-\frac{(y-2)^2}{2}=1$ पर $(h, k)$ पर खींची गई स्पर्श रेखा का समीकरण $x=2$ है,तो $h+k=$