बिंदु (0,1) से गुजरने वाले और परवलय y=x^{2} क | vedclass

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Question

(B) परवलय का समीकरण $y=x^{2}$ है।बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)} = 2x|_{x=2} = 4$ है।$(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का

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$\left(\frac{-16}{5}, \frac{53}{10}\right)$

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(B) परवलय का समीकरण $y=x^{2}$ है।बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श रेखा की ढाल $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{(2,4)} = 2x|_{x=2} = 4$ है।$(2,4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $(y-4) = 4(x-2)$ अर्थात $4x-y-4=0$ है।परवलय को $(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्तों का परिवार $(x-2)^{2} + (y-4)^{2} + \lambda(4x-y-4) = 0$ द्वारा दिया जाता है।चूंकि वृत्त $(0,1)$ से गुजरता है,$x=0$ और $y=1$ रखने पर:$(0-2)^{2} + (1-4)^{2} + \lambda(4(0)-1-4) = 0$$4 + 9 - 5\lambda = 0$ $\Rightarrow 13 = 5\lambda$ $\Rightarrow \lambda = \frac{13}{5}$.$\lambda = \frac{13}{5}$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर:$x^{2} + y^{2} + \frac{32}{5}x - \frac{53}{5}y + \frac{48}{5} = 0$.वृत्त $x^{2} + y^{2} + 2gx + 2fy + c = 0$ का केंद्र $(-g, -f)$ होता है।यहाँ,$g = \frac{16}{5}$ और $f = -\frac{53}{10}$ है।अतः,केंद्र $(-\frac{16}{5}, \frac{53}{10})$ है।

बिंदु $(0,1)$ से गुजरने वाले और परवलय $y=x^{2}$ को बिंदु $(2,4)$ पर स्पर्श करने वाले वृत्त का केंद्र ज्ञात कीजिए।

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यदि रेखाएँ $kx + 2y - 4 = 0$ और $5x - 2y - 4 = 0$ वृत्त $x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0$ के सापेक्ष संयुग्मी (conjugate) हैं,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि परवलय $y^2=4x$ और वृत्त $x^2+y^2-4x-16y+64=0$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d$ है,तो $d^2$ का मान ज्ञात कीजिए:

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