AP EAMCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना वक्र $C_1: y^2 = 16x$ और $C_2: 9x^2 + \alpha y^2 = 25$ हैं।
सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ ज्ञात करें।
$C_1$ से,$y^2 = 16x$। इसे $C_2$ में प्रतिस्थापित करने पर: $9x^2 + \alpha(16x) = 25 \implies 9x^2 + 16\alpha x - 25 = 0$।
वक्रों के समकोण पर प्रतिच्छेद करने के लिए,प्रतिच्छेदन बिंदु पर उनकी प्रवणताओं (slopes) का गुणनफल $-1$ होना चाहिए।
$C_1$ का अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx} = 16 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{8}{y}$।
$C_2$ का अवकलन करने पर: $18x + 2\alpha y \frac{dy}{dx} = 0 \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{9x}{\alpha y}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु पर,प्रवणताओं का गुणनफल $(\frac{8}{y})(-\frac{9x}{\alpha y}) = -1 \implies \frac{72x}{\alpha y^2} = 1$ है।
चूंकि $y^2 = 16x$,हमारे पास $\frac{72x}{\alpha(16x)} = 1 \implies \frac{72}{16\alpha} = 1 \implies 16\alpha = 72 \implies \alpha = \frac{72}{16} = \frac{9}{2}$ है।

(C) माना मीनार की ऊंचाई $H$ है और इमारत की ऊंचाई $h$ है। क्षैतिज दूरी $d = 10 \sqrt{3}$ है।
मीनार के शीर्ष से इमारत के पाद का अवनमन कोण $60^{\circ}$ है। अतः,$\tan(60^{\circ}) = \frac{H}{d}$।
$H = d \times \tan(60^{\circ}) = 10 \sqrt{3} \times \sqrt{3} = 10 \times 3 = 30$ इकाई।
मीनार के पाद से इमारत के शीर्ष का उन्नयन कोण $30^{\circ}$ है। अतः,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{d}$।
$h = d \times \tan(30^{\circ}) = 10 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 10$ इकाई।
ऊंचाइयों का योग $H + h = 30 + 10 = 40$ इकाई है।

(B) माना विमान की ऊँचाई $h = 5 \text{ km}$ है।
विमान की स्थितियाँ $A$ और $B$ हैं जहाँ कोण क्रमशः $15^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
जमीन पर पर्यवेक्षक को $O$ मानें।
$\triangle ODA$ में,$\tan(15^{\circ}) = \frac{h}{OD} \implies OD = 5 \cot(15^{\circ}) = 10 + 5\sqrt{3} \text{ km}$.
$\triangle OEB$ में,$\tan(30^{\circ}) = \frac{h}{OE} \implies OE = 5\sqrt{3} \text{ km}$.
तय की गई दूरी $d = OD - OE = 10 \text{ km}$.
समय $t = 50 \text{ सेकंड} = \frac{1}{72} \text{ घंटा}$.
गति $v = \frac{d}{t} = 720 \text{ kmph}$.

(D) माना कि $C$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।
चूंकि $G(1,0,1)$ $\triangle ABC$ का केंद्रक है,हमारे पास है:
$\frac{1+3+x}{3} = 1 \implies 4+x = 3 \implies x = -1$
$\frac{-4+1+y}{3} = 0 \implies -3+y = 0 \implies y = 3$
$\frac{2+0+z}{3} = 1 \implies 2+z = 3 \implies z = 1$
अतः,$C = (-1, 3, 1)$ है।
अब,$AG^2$ की गणना करें:
$AG^2 = (1-1)^2 + (0-(-4))^2 + (1-2)^2 = 0^2 + 4^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.
$CG^2$ की गणना करें:
$CG^2 = (-1-1)^2 + (3-0)^2 + (1-1)^2 = (-2)^2 + 3^2 + 0^2 = 4 + 9 = 13$.
इस प्रकार,$AG^2 + CG^2 = 17 + 13 = 30$.
$BG^2$ की गणना करें:
$BG^2 = (3-1)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2 = 2^2 + 1^2 + (-1)^2 = 4 + 1 + 1 = 6$.
मानों की तुलना करने पर,$AG^2 + CG^2 = 30 = 5 \times 6 = 5 BG^2$।

(A) माना बिंदु $A(2, -5, 3)$ और $B(-1, -8, 0)$ हैं। बिंदु $P(0, -7, 1)$ रेखाखंड $AB$ को $k:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$0 = \frac{k(-1) + 1(2)}{k+1} \implies -k + 2 = 0 \implies k = 2$.
अतः,$P$ रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में अंतःविभाजित करता है।
चूंकि $Q$,$AB$ के सापेक्ष $P$ का हार्मोनिक संयुग्मी है,इसलिए $Q$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में बाह्य विभाजित करता है।
$Q(\alpha, \beta, \gamma)$ के लिए बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\alpha = \frac{2(-1) - 1(2)}{2-1} = -2 - 2 = -4$.
$\beta = \frac{2(-8) - 1(-5)}{2-1} = -16 + 5 = -11$.
$\gamma = \frac{2(0) - 1(3)}{2-1} = 0 - 3 = -3$.
इस प्रकार,$Q = (-4, -11, -3)$.
हमें $\alpha - \beta + \gamma = -4 - (-11) + (-3) = -4 + 11 - 3 = 4$ प्राप्त होता है।

(D) बिंदुओं $A(-1, 2, 3)$,$B(2, -3, 1)$ और $C(3, 1, -2)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज की प्रकृति निर्धारित करने के लिए,हम दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$1$. $AB$ की लंबाई:
$AB = \sqrt{(2 - (-1))^2 + (-3 - 2)^2 + (1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-5)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 25 + 4} = \sqrt{38}$.
$2$. $BC$ की लंबाई:
$BC = \sqrt{(3 - 2)^2 + (1 - (-3))^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{1^2 + 4^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 16 + 9} = \sqrt{26}$.
$3$. $AC$ की लंबाई:
$AC = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (1 - 2)^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{16 + 1 + 25} = \sqrt{42}$.
चूंकि सभी भुजाएं $AB = \sqrt{38}$,$BC = \sqrt{26}$ और $AC = \sqrt{42}$ असमान हैं,इसलिए यह त्रिभुज एक विषमबाहु त्रिभुज है।

(D) माना शीर्ष $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ और $C(3, -4, -4)$ हैं।
सबसे पहले,भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (-3-(-1))^2 + (-5-1)^2} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$.
$BC = \sqrt{(3-1)^2 + (-4-(-3))^2 + (-4-(-5))^2} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$AC = \sqrt{(3-2)^2 + (-4-(-1))^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$.
यहाँ $AB^2 = 41$ और $BC^2 + AC^2 = 6 + 35 = 41$ है।
चूंकि $AB^2 = BC^2 + AC^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है जिसमें कोण $C$ समकोण है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
यहाँ कर्ण $AB = \sqrt{41}$ है।
अतः,$R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{41}}{2}$.

(D) दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके $\triangle ABC$ की भुजाओं की लंबाई की गणना की जाती है।
$c = AB = \sqrt{(2-2)^2 + (5-(-1))^2 + (1-1)^2} = \sqrt{0^2 + 6^2 + 0^2} = 6$.
$b = AC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-(-1))^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4+1+4} = 3$.
$a = BC = \sqrt{(0-2)^2 + (-2-5)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-7)^2 + 2^2} = \sqrt{4+49+4} = \sqrt{57}$.
कोण समद्विभाजक प्रमेय के अनुसार,बिंदु $D$ भुजा $BC$ को $c:b$ के अनुपात में विभाजित करता है,जो $6:3 = 2:1$ है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करके,$D$ के निर्देशांक $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{7}{3}\right)$ प्राप्त होते हैं।
अब,$AD = \sqrt{(\frac{2}{3}-2)^2 + (\frac{1}{3}-(-1))^2 + (\frac{7}{3}-1)^2} = \sqrt{(-\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2 + (\frac{4}{3})^2} = \sqrt{\frac{16}{9} + \frac{16}{9} + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{48}{9}} = \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

(B) $12$ गेंदों में से $3$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $C(12, 3) = 220$ हैं।
ठीक $2$ गेंदों का रंग समान होने के लिए:
स्थिति $1$: $2$ लाल और $1$ अन्य रंग की गेंद = $C(4, 2) \times C(8, 1) = 48$.
स्थिति $2$: $2$ हरी और $1$ अन्य रंग की गेंद = $C(5, 2) \times C(7, 1) = 70$.
स्थिति $3$: $2$ सफेद और $1$ अन्य रंग की गेंद = $C(3, 2) \times C(9, 1) = 27$.
कुल अनुकूल परिणाम = $48 + 70 + 27 = 145$.
प्रायिकता = $\frac{145}{220} = \frac{29}{44}$.

(C) $64$ वर्गों में से $3$ वर्ग चुनने के कुल तरीके $\binom{64}{3} = 41664$ हैं।
शतरंज बोर्ड पर विकर्णों की लंबाई $1$ से $8$ और फिर $7$ से $1$ तक होती है।
$k$ लंबाई के विकर्ण के लिए $3$ वर्ग चुनने के तरीके $\binom{k}{3}$ हैं।
दोनों दिशाओं के लिए अनुकूल परिणामों की कुल संख्या $392$ है।
अतः,प्रायिकता $\frac{392}{41664} = \frac{7}{744}$ है।

(A) $VARIABLE$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $V, A, R, I, A, B, L, E$। इसमें $4$ व्यंजन $(V, R, B, L)$ और $4$ स्वर $(A, A, I, E)$ हैं।
$8$ अक्षरों से $3$ अक्षरों वाला शब्द बनाने के कुल तरीके $P(8, 3) = 8 \times 7 \times 6 = 336$ हैं।
बीच में व्यंजन वाले शब्दों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम बीच के स्थान को $4$ व्यंजनों में से एक के साथ निश्चित करते हैं। यह $4$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $2$ स्थानों को शेष $7$ अक्षरों से $P(7, 2) = 7 \times 6 = 42$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल अनुकूल शब्द = $4 \times 42 = 168$।
प्रायिकता = $\frac{168}{336} = \frac{1}{2}$।
नोट: गणना की गई प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है। दिए गए विकल्पों में यह उत्तर उपलब्ध नहीं है,जो प्रश्न में विसंगति को दर्शाता है।

(C) $p$ और $q$ के लिए संभावित मानों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ है।
कुल युग्मों $(p, q)$ की संख्या $6 \times 6 = 36$ है।
हमें $p/q$ के रूप में भिन्न परिमेय संख्याएँ ज्ञात करनी हैं।
भिन्न मान: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/2, 3/4, 3/5, 4/3, 4/5, 5/2, 5/3, 5/4, 5/6, 6/5\}$ हैं।
कुल $23$ भिन्न परिमेय संख्याएँ हैं।
उचित भिन्न वह है जिसमें $p < q$ हो।
उचित भिन्न: $\{1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6, 2/3, 2/5, 3/4, 3/5, 4/5, 5/6\}$ हैं।
ऐसे कुल $11$ उचित भिन्न हैं।
अतः,प्रायिकता $11/23$ है।

(C) बच्चों की कुल संख्या = $8 + 7 = 15$।
$15$ में से $3$ पर्चियाँ चुनने के कुल तरीके = $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$।
स्थिति $1$: एक लड़का और दो लड़कियाँ।
तरीके = $^8C_1 \times ^7C_2 = 8 \times 21 = 168$।
स्थिति $2$: एक लड़की और दो लड़के।
तरीके = $^7C_1 \times ^8C_2 = 7 \times 28 = 196$।
कुल अनुकूल तरीके = $168 + 196 = 364$।
प्रायिकता = $\frac{364}{455} = \frac{4}{5}$।

(D) $30$ में से $3$ संख्याएँ चुनने के कुल तरीके $C(30, 3) = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$ हैं।
अब,$3$ क्रमागत संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात करते हैं। ये $(1, 2, 3), (2, 3, 4), \dots, (28, 29, 30)$ हैं।
ऐसी $28$ क्रमागत संख्याओं के समूह हैं।
$3$ क्रमागत संख्याएँ चुनने की प्रायिकता $P(E) = \frac{28}{4060} = \frac{1}{145}$ है।
इस बात की प्रायिकता कि वे तीन क्रमागत संख्याएँ नहीं हैं,$1 - P(E) = 1 - \frac{1}{145} = \frac{144}{145}$ है।

(B) जब दो पासे फेंके जाते हैं,तो कुल परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
मान लीजिए $S$ दो पासों पर संख्याओं का योग है। $S$ के लिए संभावित मान $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$ हैं।
घटना $A$ वह घटना है जिसमें योग एक अभाज्य संख्या है: $A = \{2, 3, 5, 7, 11\}$।
घटना $B$ वह घटना है जिसमें योग $8$ से बड़ा है: $B = \{9, 10, 11, 12\}$।
हमें $P(A \cap \overline{B})$ ज्ञात करना है,जो घटना $A$ के होने और $B$ के न होने की प्रायिकता है।
इसका अर्थ है कि योग एक अभाज्य संख्या है और योग $8$ या उससे कम है।
$A \cap \overline{B} = \{2, 3, 5, 7\}$।
अब,प्रत्येक योग के लिए परिणामों की संख्या गिनते हैं:
योग $= 2: (1,1) \rightarrow 1$ परिणाम
योग $= 3: (1,2), (2,1) \rightarrow 2$ परिणाम
योग $= 5: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) \rightarrow 4$ परिणाम
योग $= 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \rightarrow 6$ परिणाम
$A \cap \overline{B}$ के लिए कुल परिणाम $= 1 + 2 + 4 + 6 = 13$।
अतः,$P(A \cap \overline{B}) = \frac{13}{36}$।

(B) दिया गया है कि $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,इसलिए $P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
दो घटनाओं के संघ का सूत्र: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B)$ के लिए हल करने पर: $P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
हमें $P(\bar{A} \cap B)$ ज्ञात करना है। समुच्चय सिद्धांत के अनुसार,$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $P(\bar{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) $8$ में से $4$ जूते चुनने के कुल तरीके $\binom{8}{4} = 70$ हैं।
माना $E$ कम से कम एक सही जोड़ी प्राप्त करने की घटना है।
पूरक घटना $E^c$ की प्रायिकता ज्ञात करना आसान है,जिसका अर्थ है कि कोई भी सही जोड़ी प्राप्त न हो।
कोई भी सही जोड़ी न मिले,इसके लिए हमें $4$ जूते इस प्रकार चुनने होंगे कि कोई भी दो जूते एक जोड़ी न बनाएं।
कुल $4$ जोड़ियाँ हैं। हमें $4$ जोड़ियों में से $4$ जोड़ियाँ चुननी होंगी और फिर प्रत्येक जोड़ी में से $1$ जूता चुनना होगा।
$4$ जोड़ियों में से $4$ जोड़ियाँ चुनने के तरीके $\binom{4}{4} = 1$ हैं।
प्रत्येक $4$ जोड़ियों में से $1$ जूता चुनने के तरीके $2^4 = 16$ हैं।
अतः,बिना किसी सही जोड़ी के $4$ जूते चुनने के तरीके $1 \times 16 = 16$ हैं।
कोई भी सही जोड़ी न मिलने की प्रायिकता $P(E^c) = \frac{16}{70} = \frac{8}{35}$ है।
कम से कम एक सही जोड़ी मिलने की प्रायिकता $P(E) = 1 - P(E^c) = 1 - \frac{8}{35} = \frac{27}{35}$ है।

(B) मान लीजिए $P(A)$ उम्मीदवार $A$ के नौकरी पाने की प्रायिकता है और $P(B)$ उम्मीदवार $B$ के नौकरी पाने की प्रायिकता है।
दिया गया है: $P(A) = 0.8$ और $P(B) = 0.7$.
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,दोनों के नौकरी पाने की प्रायिकता $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.8 \times 0.7 = 0.56$ है।
कम से कम एक के नौकरी पाने की प्रायिकता $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
$P(A \cup B) = 0.8 + 0.7 - 0.56 = 1.5 - 0.56 = 0.94$.

(D) माना $A$ वह घटना है कि पहला छात्र उत्तीर्ण होता है और $B$ वह घटना है कि दूसरा छात्र उत्तीर्ण होता है।
दिया गया है कि $P(A) = \frac{1}{4}$ और $P(B) = \frac{2}{5}$।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए प्रायिकता कि कोई भी उत्तीर्ण न हो,$P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ है।
$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$।
$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$।
कोई भी उत्तीर्ण न होने की प्रायिकता = $\frac{3}{4} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{20}$।
कम से कम एक के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता = $1 - P(\text{कोई भी उत्तीर्ण न हो}) = 1 - \frac{9}{20} = \frac{11}{20}$।

(A) मान लीजिए $P(A)$ छात्र $A$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है,इसलिए $P(A) = \frac{2}{5}$।
मान लीजिए $P(B)$ छात्र $B$ द्वारा समस्या हल करने की प्रायिकता है,इसलिए $P(B) = \frac{3}{4}$।
छात्र $A$ द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
छात्र $B$ द्वारा समस्या हल न करने की प्रायिकता $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$ है।
समस्या तब हल होती है यदि उनमें से कम से कम एक इसे हल कर ले। यह उस घटना की पूरक घटना है कि उनमें से कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता है।
प्रायिकता कि कोई भी समस्या हल नहीं कर पाता = $P(A') \times P(B') = \frac{3}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{3}{20}$।
समस्या हल होने की प्रायिकता = $1 - P(\text{कोई हल नहीं कर पाता}) = 1 - \frac{3}{20} = \frac{17}{20}$।

(A) मान लीजिए $P(A)$ वह प्रायिकता है कि व्यक्ति $A$ कार्य पूरा करता है,$P(A) = \frac{2}{3}$.
मान लीजिए $P(B)$ वह प्रायिकता है कि व्यक्ति $B$ कार्य पूरा करता है,$P(B) = \frac{3}{4}$.
कार्य तब पूरा होता है यदि उनमें से कम से कम एक व्यक्ति कार्य पूरा कर ले।
यह $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि घटनाएं स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
इसलिए,$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{1}{2}$.
$12$ का सामान्य हर लेने पर:
$P(A \cup B) = \frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{6}{12} = \frac{11}{12}$.
अतः,कार्य पूरा होने की प्रायिकता $\frac{11}{12}$ है।

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $9 + 5 = 14$ है।
हमें $14$ में से $4$ सदस्यों की एक समिति बनानी है।
$14$ में से $4$ सदस्यों को चुनने के कुल तरीके $^{14}C_4 = \frac{14 \times 13 \times 12 \times 11}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 1001$ हैं।
हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि समिति में कम से कम एक महिला हो।
पूरक घटना की गणना करना आसान है: प्रायिकता कि समिति में कोई महिला न हो (अर्थात,सभी $4$ सदस्य पुरुष हों)।
$9$ पुरुषों में से $4$ पुरुषों को चुनने के तरीके $^{9}C_4 = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ हैं।
कोई महिला न होने की प्रायिकता $P(\text{No women}) = \frac{126}{1001} = \frac{18}{143}$ है।
कम से कम एक महिला होने की प्रायिकता $1 - P(\text{No women}) = 1 - \frac{18}{143} = \frac{125}{143}$ है।

(D) कुल लड़कियों की संख्या $= 3 + 8 = 11$ है।
$11$ लड़कियों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीकों की संख्या $(11 - 1)! = 10!$ है।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ $3$ बहनें एक साथ न बैठें,हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं: कुल व्यवस्था $-$ वे व्यवस्थाएँ जहाँ $3$ बहनें एक साथ बैठती हैं।
$3$ बहनों को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $8 + 1 = 9$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(9 - 1)! = 8!$ तरीकों से किया जा सकता है।
$3$ बहनें आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,वे व्यवस्थाएँ जहाँ $3$ बहनें एक साथ बैठती हैं $= 8! \times 3!$।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 10! - (8! \times 3!) = 10! - (8! \times 6)$।
$= 8! \times (10 \times 9 - 6) = 8! \times (90 - 6) = 8! \times 84$।

(C) $n$ भुजाओं वाले एक नियमित बहुभुज के विकर्णों की संख्या $\frac{n(n-3)}{2}$ द्वारा दी जाती है।
$\therefore \frac{n(n-3)}{2} = 35$
$\Rightarrow n(n-3) = 70$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 70 = 0$
$\Rightarrow n^2 - 10n + 7n - 70 = 0$
$\Rightarrow n(n - 10) + 7(n - 10) = 0$
$\Rightarrow (n - 10)(n + 7) = 0$
चूंकि भुजाओं की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 10$।

(C) दिया गया है,$S_n = \sum_{k=1}^{n} k^3$ और $T_n = \sum_{k=1}^{n} k$ है।
हम जानते हैं कि प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं का योग $T_n = \frac{n(n+1)}{2}$ होता है।
प्रथम $n$ प्राकृतिक संख्याओं के घनों का योग $S_n = \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2$ होता है।
$S_n$ के व्यंजक में $T_n$ का मान रखने पर,हमें $S_n = (T_n)^2$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $S_n = T_n^2$ है।

(B) दी गई श्रेणी $y = \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$ है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$y + 1 = 1 + \frac{3}{4} + \frac{3 \times 5}{4 \times 8} + \frac{3 \times 5 \times 7}{4 \times 8 \times 12} + \ldots \infty$।
यह $(1 - x)^{-n} = 1 + nx + \frac{n(n+1)}{2!}x^2 + \ldots$ के रूप में है।
यहाँ,$nx = \frac{3}{4}$ और $\frac{n(n+1)}{2!}x^2 = \frac{15}{32}$ है।
$n$ और $x$ के लिए हल करने पर,हमें $n = \frac{3}{2}$ और $x = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y + 1 = (1 - \frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{3}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(y + 1)^2 = 2^3 = 8$।
$y^2 + 2y + 1 = 8 \Rightarrow y^2 + 2y - 7 = 0$।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$1) \ 3 \cos^2 A + 2 \cos^2 B = 4$
$2) \ \frac{3 \sin A}{\sin B} = \frac{2 \cos B}{\cos A}$ $\Rightarrow 3 \sin A \cos A = 2 \sin B \cos B$ $\Rightarrow \frac{3}{2} \sin 2A = \sin 2B$
$(1)$ से:
$3(1 - \sin^2 A) + 2(1 - \sin^2 B) = 4$
$5 - 3 \sin^2 A - 2 \sin^2 B = 4$
$3 \sin^2 A + 2 \sin^2 B = 1$
$3 \sin^2 A = 1 - 2 \sin^2 B = \cos 2B$
$\cos(A + 2B) = \cos A \cos 2B - \sin A \sin 2B$ पर विचार करें।
$\cos 2B = 3 \sin^2 A$ और $\sin 2B = \frac{3}{2} \sin 2A = 3 \sin A \cos A$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos(A + 2B) = \cos A (3 \sin^2 A) - \sin A (3 \sin A \cos A)$
$\cos(A + 2B) = 3 \sin^2 A \cos A - 3 \sin^2 A \cos A = 0$
चूंकि $A, B$ न्यून कोण हैं,इसलिए $A + 2B = 90^{\circ}$ होगा।

(D) हम जानते हैं कि $\cosh 2x = \frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x}$ होता है।
दिया गया है $\cosh 2x = 199$,अतः:
$\frac{1 + \tanh^2 x}{1 - \tanh^2 x} = 199$
$1 + \tanh^2 x = 199 - 199 \tanh^2 x$
$200 \tanh^2 x = 198$
$\tanh^2 x = \frac{198}{200} = \frac{99}{100}$
$\tanh x = \sqrt{\frac{99}{100}} = \frac{3 \sqrt{11}}{10}$
चूँकि $\coth x = \frac{1}{\tanh x}$,हमें प्राप्त होता है:
$\coth x = \frac{10}{3 \sqrt{11}}$

(B) दिया गया समीकरण $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C = 1$ है।
चूंकि $\sin C \le 1$,हमारे पास $\cos A \cos B + \sin A \sin B \sin C \le \cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos(A - B)$ है।
चूंकि $\cos(A - B) \le 1$,समानता केवल तभी संभव है जब $\cos(A - B) = 1$ और $\sin C = 1$ हो।
इसका अर्थ है $A = B$ और $C = 90^{\circ}$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमारे पास $2A + 90^{\circ} = 180^{\circ}$ है,इसलिए $A = 45^{\circ}$ और $B = 45^{\circ}$।
अतः,$\sin A + \sin B + \sin C = \sin 45^{\circ} + \sin 45^{\circ} + \sin 90^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + 1 = \sqrt{2} + 1$।

(B) परवलय $y^2=4x$ है,जो $y^2=4ax$ के रूप में है,जहाँ $a=1$ है। नाभि $S(a,0) = (1,0)$ है।
चूंकि $PQ$ एक नाभिलंब जीवा है,$PS$ और $SQ$ का हरात्मक माध्य अर्ध-नाभिलंब $l=2a=2$ के साथ संबंधित है: $\frac{1}{PS} + \frac{1}{SQ} = \frac{1}{a} = \frac{1}{1} = 1$.
$P=(4,4)$ और $S=(1,0)$ दिया गया है,इसलिए दूरी $PS = \sqrt{(4-1)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5$.
संबंध में $PS=5$ रखने पर: $\frac{1}{5} + \frac{1}{SQ} = 1$.
$\frac{1}{SQ} = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.
अतः,$SQ = \frac{5}{4}$.

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ $a^2=2$ और $b^2=1$ है,इसलिए $a=\sqrt{2}$ और $b=1$ है।
बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ पर दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{a} + \frac{y \sin \theta}{b} = 1$ है।
मान रखने पर,हमें $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} + y \sin \theta = 1$ प्राप्त होता है।
$x$-अंतःखंड $(A)$ के लिए,$y=0$ रखें: $\frac{x \cos \theta}{\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow x = \sqrt{2} \sec \theta$. अतः,$A = (\sqrt{2} \sec \theta, 0)$.
$y$-अंतःखंड $(B)$ के लिए,$x=0$ रखें: $y \sin \theta = 1 \Rightarrow y = \operatorname{cosec} \theta$. अतः,$B = (0, \operatorname{cosec} \theta)$.
माना $M(h, k)$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है। तब:
$h = \frac{\sqrt{2} \sec \theta + 0}{2} = \frac{\sec \theta}{\sqrt{2}} \Rightarrow \sec \theta = \sqrt{2}h$
$k = \frac{0 + \operatorname{cosec} \theta}{2} = \frac{\operatorname{cosec} \theta}{2} \Rightarrow \operatorname{cosec} \theta = 2k$
हम जानते हैं कि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\frac{1}{\sec^2 \theta} + \frac{1}{\operatorname{cosec}^2 \theta} = 1$.
$\sec \theta$ और $\operatorname{cosec} \theta$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{(\sqrt{2}h)^2} + \frac{1}{(2k)^2} = 1$
$\frac{1}{2h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ प्राप्त होता है।

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $x^2+2y^2=2$ है,जिसे $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{1}=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दीर्घवृत्त पर कोई बिंदु $P(\sqrt{2}\cos\theta, \sin\theta)$ है।
$P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x\cos\theta}{\sqrt{2}} + y\sin\theta = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों पर स्पर्श रेखा द्वारा बनाए गए अंतःखंड $A\left(\frac{\sqrt{2}}{\cos\theta}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{1}{\sin\theta}\right)$ हैं।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{\sqrt{2}}{2\cos\theta}$ और $k = \frac{1}{2\sin\theta}$ है।
इसका अर्थ है $\cos\theta = \frac{1}{\sqrt{2}h}$ और $\sin\theta = \frac{1}{2k}$ है।
सर्वसमिका $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{\sqrt{2}h}\right)^2 + \left(\frac{1}{2k}\right)^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदुपथ $\frac{1}{2x^2} + \frac{1}{4y^2} = 1$ है।

(D) अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ है।
बिंदु $P(a \sec \theta, b \tan \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$ है।
इसी प्रकार,बिंदु $Q(a \sec \phi, b \tan \phi)$ पर अभिलंब का समीकरण $ax \cos \phi + by \cot \phi = a^2+b^2$ है।
दिया है $\theta + \phi = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\phi = \frac{\pi}{2} - \theta$। अतः,$\cos \phi = \sin \theta$ और $\cot \phi = \tan \theta$।
दो समीकरण:
$(1) \quad ax \cos \theta + by \cot \theta = a^2+b^2$
$(2) \quad ax \sin \theta + by \tan \theta = a^2+b^2$
$x$ को विलुप्त करने के लिए,$(1)$ को $\sin \theta$ से और $(2)$ को $\cos \theta$ से गुणा करने पर:
$by(\cos \theta - \sin \theta) = (a^2+b^2)(\sin \theta - \cos \theta)$
$by = -(a^2+b^2)$
$y = -\frac{a^2+b^2}{b}$
अतः,$k = -\frac{a^2+b^2}{b}$।

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $2s = a+b+c$ है।
अतः,$\frac{s}{s-b} = \frac{2s}{2s-2b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{(a+c)+b}{(a+c)-b}$।
दिया गया है कि $a+c=5b$,इसलिए $\frac{5b+b}{5b-b} = \frac{6b}{4b} = \frac{3}{2}$।

(D) दिया है,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$.
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c}$.
$\Delta$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{s-a} = \frac{2}{s-b} = \frac{3}{s-c} = k$ (माना).
तब $s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,और $s-c = \frac{3}{k}$.
इनका योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$.
अतः,$s = \frac{1+2+3}{k} = \frac{6}{k}$,जिसका अर्थ है $k = \frac{6}{s}$.
अब,$s-a = \frac{1}{6/s} = \frac{s}{6}$ $\Rightarrow 6s - 6a = s$ $\Rightarrow 5s = 6a$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$.
और $s-b = \frac{2}{6/s} = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3}$ $\Rightarrow 3s - 3b = s$ $\Rightarrow 2s = 3b$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3} = \frac{4s}{6}$.
इसलिए,$a : b = \frac{5s}{6} : \frac{4s}{6} = 5 : 4$.