अवकल समीकरण frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8 क | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$. पदों को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{

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$y = 4 + ce^{-\frac{x^2}{2} - 2x}$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$. पदों को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4x + 8$. $\frac{dy}{dx} + (x + 2)y = 4(x + 2)$. यहाँ,$P(x) = x + 2$ और $Q(x) = 4(x + 2)$ है। समाकलन गुणक $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int (x + 2) dx} = e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ है। व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है। $y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = \int 4(x + 2) e^{\frac{x^2}{2} + 2x} dx + c$. माना $u = \frac{x^2}{2} + 2x$,तब $du = (x + 2) dx$ होगा। $y \cdot e^{\frac{x^2}{2} + 2x} = 4 \int e^u du + c = 4e^u + c = 4e^{\frac{x^2}{2} + 2x} + c$. दोनों पक्षों को $e^{\frac{x^2}{2} + 2x}$ से विभाजित करने पर: $y = 4 + ce^{-(\frac{x^2}{2} + 2x)}$. अतः,सही विकल्प $A$ है।

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + xy = 4x - 2y + 8$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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