अवकल समीकरण (1+sin^2 x) frac{dy}{dx} + y sin | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x(1+\sin^2 x)$ है।$(1+\sin^2 x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{

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$(1+\sin^2 x) y = \sin x + \frac{\sin^3 x}{3} + c$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x(1+\sin^2 x)$ है।$(1+\sin^2 x)$ से विभाजित करने पर हमें रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + y \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} = \cos x$ प्राप्त होता है।यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x}$ और $Q = \cos x$ है।समाकलन गुणक $IF = e^{\int P dx} = e^{\int \frac{\sin 2x}{1+\sin^2 x} dx}$ है।मान लीजिए $u = 1+\sin^2 x$,तो $du = 2 \sin x \cos x dx = \sin 2x dx$ है।अतः,$IF = e^{\int \frac{du}{u}} = e^{\ln u} = u = 1+\sin^2 x$ है।हल $y(IF) = \int Q(IF) dx + c$ है।$y(1+\sin^2 x) = \int \cos x (1+\sin^2 x) dx + c$ है।मान लीजिए $t = \sin x$,तो $dt = \cos x dx$ है।$y(1+\sin^2 x) = \int (1+t^2) dt + c = t + \frac{t^3}{3} + c$ है।$t = \sin x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(1+\sin^2 x) y = \sin x + \frac{\sin^3 x}{3} + c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(1+\sin^2 x) \frac{dy}{dx} + y \sin 2x = \cos x + \sin^2 x \cos x$ का व्यापक हल है

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