$k$ के उन सभी संभावित मानों की संख्या ज्ञात कीजिए जिनके लिए $(\sqrt{x}+\sqrt[k]{y})^{10}$ के विस्तार में ठीक नौ अपरिमेय पद हों।

$(a - b)^n, n \ge 5$ के द्विपद विस्तार में,$5$ वें और $6$ वें पद का योग शून्य है। तो $\frac{a}{b}$ किसके बराबर है?

यदि $(1+x)^8$ के विस्तार में $C_0, C_1, C_2, \ldots, C_8$ द्विपद गुणांक हैं,तो $\sum_{r=1}^8 r^3 \frac{C_r}{C_{r-1}} =$

सिद्ध कीजिए कि $(1+x)^{2n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक,$(1+x)^{2n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ के गुणांक का दोगुना है।

$\left(\frac{x}{\cos \theta}+\frac{1}{x \sin \theta}\right)^{16}$ के विस्तार में,यदि $\frac{\pi}{8} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{1}$ है और $\frac{\pi}{16} \leq \theta \leq \frac{\pi}{8}$ के लिए $x$ से स्वतंत्र पद का न्यूनतम मान $\ell_{2}$ है,तो अनुपात $\ell_{2} : \ell_{1}$ बराबर है

$p, q$ दो अभाज्य संख्याएँ हैं। $n=pq$ के लिए,यदि विस्तार $\left(x^{-5/4} + 2x^{4/5}\right)^n$ में $x^{-n}$ और $x^0$ के गुणांक शून्येतर हैं,तो ऐसे $n$ का न्यूनतम मान क्या है?