यदि (1+x)^n = sum_{r=0}^n C_r x^r है,तो C_0 + | vedclass

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Question

(D) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ है। योग के क्रम को बदलने पर,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ प्राप्त होता है। इसका सरलीकरण $S

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$(n+2) 2^{n-1}$

Vedclass · Answer

(D) दी गई व्यंजक $S = \sum_{k=0}^n \sum_{r=0}^k C_r$ है। योग के क्रम को बदलने पर,$S = \sum_{r=0}^n \sum_{k=r}^n C_r$ प्राप्त होता है। इसका सरलीकरण $S = \sum_{r=0}^n C_r (n - r + 1)$ है। विस्तार करने पर,$S = (n+1) \sum_{r=0}^n C_r - \sum_{r=0}^n r C_r$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^n C_r = 2^n$ और $\sum_{r=0}^n r C_r = n 2^{n-1}$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = (n+1) 2^n - n 2^{n-1}$। $S = 2n 2^{n-1} + 2^n - n 2^{n-1} = n 2^{n-1} + 2^n = (n+2) 2^{n-1}$।

यदि $(1+x)^n = \sum_{r=0}^n C_r x^r$ है,तो $C_0 + (C_0 + C_1) + (C_0 + C_1 + C_2) + \ldots + (C_0 + C_1 + C_2 + \ldots + C_n)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$2 \cdot {}^{20}C_0 + 5 \cdot {}^{20}C_1 + 8 \cdot {}^{20}C_2 + 11 \cdot {}^{20}C_3 + \dots + 62 \cdot {}^{20}C_{20}$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $\frac{C_0}{2} - \frac{C_1}{3} + \frac{C_2}{4} - \frac{C_3}{5} + \dots$ के $(n + 1)$ पदों का योग क्या है?

यदि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक है,तो $\sum_{r=1}^n r^2 \cdot C_r = (\ldots \ldots \ldots) 2^{n-2}$

यदि $(1+x)^n = C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \ldots + C_n x^n$ है,तो $C_0 + 2 C_1 + 3 C_2 + \ldots + (n+1) C_n$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $(1+a)^{n}$ के विस्तार में $a^{r-1}$,$a^{r}$ और $a^{r+1}$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $n^{2}-n(4r+1)+4r^{2}-2=0$.

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