अवकल समीकरण (x sin frac{y}{x}) dy = (y sin fr | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin (y/x)

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$\cos (\frac{y}{x}) = \log |x| + c$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{y \sin (y/x) - x}{x \sin (y/x)}$। माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$। समीकरण में मान रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = \frac{vx \sin v - x}{x \sin v} = \frac{v \sin v - 1}{\sin v} = v - \frac{1}{\sin v}$। दोनों पक्षों से $v$ घटाने पर: $x \frac{dv}{dx} = -\frac{1}{\sin v}$। चरों का पृथक्करण करने पर: $\sin v \, dv = -\frac{1}{x} \, dx$। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \sin v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$। $-\cos v = -\log |x| + C_1$,जिसे सरल करने पर $\cos v = \log |x| + c$ प्राप्त होता है। $v = y/x$ रखने पर,हमें मिलता है: $\cos (\frac{y}{x}) = \log |x| + c$।

अवकल समीकरण $(x \sin \frac{y}{x}) dy = (y \sin \frac{y}{x} - x) dx$ का व्यापक हल है

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