अवकल समीकरण (2x-y)^2 dy - 2(2x-y)^2 dx - 2 dx | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(2x-y)^2 dy - 2(2x-y)^2 dx - 2 dx = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर: $(2x-y)^2 dy = [2(2x-y)^2 + 2] dx$. अतः,$\frac{dy}{dx}

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$(2x-y)^3 + 6x = c$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया अवकल समीकरण $(2x-y)^2 dy - 2(2x-y)^2 dx - 2 dx = 0$ है। पदों को व्यवस्थित करने पर: $(2x-y)^2 dy = [2(2x-y)^2 + 2] dx$. अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{2(2x-y)^2 + 2}{(2x-y)^2} = 2 + \frac{2}{(2x-y)^2}$. माना $v = 2x-y$. तब $\frac{dv}{dx} = 2 - \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = 2 - \frac{dv}{dx}$. इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2 - \frac{dv}{dx} = 2 + \frac{2}{v^2}$. $-\frac{dv}{dx} = \frac{2}{v^2} \implies -v^2 dv = 2 dx$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $-\int v^2 dv = \int 2 dx$. $-\frac{v^3}{3} = 2x + c_1$. $v^3 = -6x + c$ (जहाँ $c = -3c_1$). $v = 2x-y$ वापस रखने पर: $(2x-y)^3 = -6x + c$,जो सरल होकर $(2x-y)^3 + 6x = c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $(2x-y)^2 dy - 2(2x-y)^2 dx - 2 dx = 0$ का व्यापक हल है

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