अवकल समीकरण x log x , dy = (x log x - y) , dx | vedclass

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Question

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$. दोनों पक्षों को $dx$ और $x \log x$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \lo

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$(y-x) \log x + x = c$

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(D) दिया गया अवकल समीकरण: $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$. दोनों पक्षों को $dx$ और $x \log x$ से विभाजित करने पर: $\frac{dy}{dx} = \frac{x \log x - y}{x \log x} = 1 - \frac{y}{x \log x}$. पदों को व्यवस्थित करने पर: $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x \log x} y = 1$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(x) = \frac{1}{x \log x}$ और $Q(x) = 1$. समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \frac{1}{x \log x} \, dx}$ द्वारा प्राप्त होता है। मान लीजिए $u = \log x$,तो $du = \frac{1}{x} \, dx$. अतः,$\int \frac{1}{x \log x} \, dx = \int \frac{1}{u} \, du = \log |u| = \log |\log x|$. इसलिए,$IF = e^{\log |\log x|} = \log x$. व्यापक हल $y \cdot (IF) = \int Q(x) \cdot (IF) \, dx + c$ है। $y \log x = \int 1 \cdot \log x \, dx + c$. खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर: $\int \log x \, dx = x \log x - x$. अतः,$y \log x = x \log x - x + c$. व्यवस्थित करने पर $(y-x) \log x + x = c$ प्राप्त होता है।

अवकल समीकरण $x \log x \, dy = (x \log x - y) \, dx$ का व्यापक हल है

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