यदि z=x+iy,जहाँ x, y in mathbb{R} और आर्गंड स | vedclass

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Question

(A) दिया है $\arg \left(\frac{z-1}{z-3i}\right)=\frac{\pi}{2}$.माना $z=x+iy$. तब $\frac{z-1}{z-3i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-3)}$.हर के संयुग्मी से गुणा

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$\left\{z \in \mathbb{C} : \left|z-\frac{1+3i}{2}\right|=\frac{\sqrt{10}}{2}\right\}$

Vedclass · Answer

(A) दिया है $\arg \left(\frac{z-1}{z-3i}\right)=\frac{\pi}{2}$.माना $z=x+iy$. तब $\frac{z-1}{z-3i} = \frac{(x-1)+iy}{x+i(y-3)}$.हर के संयुग्मी से गुणा करने पर: $\frac{((x-1)+iy)(x-i(y-3))}{x^2+(y-3)^2} = \frac{x(x-1)+y(y-3) + i(xy - (x-1)(y-3))}{x^2+(y-3)^2}$.कोणांक $\frac{\pi}{2}$ होने के लिए,वास्तविक भाग $0$ होना चाहिए और काल्पनिक भाग धनात्मक होना चाहिए।वास्तविक भाग: $x(x-1)+y(y-3)=0 \Rightarrow x^2-x+y^2-3y=0$.पूर्ण वर्ग बनाने पर: $\left(x-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(y-\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{9}{4} = \frac{10}{4} = \left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2$.यह एक वृत्त को दर्शाता है जिसका केंद्र $\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right)$ और त्रिज्या $\frac{\sqrt{10}}{2}$ है।$\arg(w) = \frac{\pi}{2}$ की शर्त यह दर्शाती है कि बिंदुपथ वृत्त का वह चाप है जहाँ काल्पनिक भाग धनात्मक है।

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