AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना जीवा का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। वृत्त $x^2+y^2=16$ के लिए मध्य-बिंदु $(h, k)$ वाली जीवा का समीकरण $T=S_1$ के अनुसार $hx+ky=h^2+k^2$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,$y = -\frac{h}{k}x + \frac{h^2+k^2}{k}$ प्राप्त होता है।
अतिपरवलय $9x^2-16y^2=144$ को $\frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2=16$ और $b^2=9$ है।
रेखा $y=mx+c$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ की स्पर्श रेखा होने की शर्त $c^2 = a^2m^2 - b^2$ है।
$m = -\frac{h}{k}$ और $c = \frac{h^2+k^2}{k}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\frac{h^2+k^2}{k})^2 = 16(-\frac{h}{k})^2 - 9$.
$k^2$ से गुणा करने पर,$(h^2+k^2)^2 = 16h^2 - 9k^2$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $16x^2-9y^2=(x^2+y^2)^2$ है।

(D) दिया गया है कि $\lim _{x \rightarrow \infty}\left\{\frac{x^3+1}{x^2+1}-(\alpha x+\beta)\right\}=2$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x+\beta)(x^2+1)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^3+1-(\alpha x^3+\alpha x+\beta x^2+\beta)}{x^2+1} = 2$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{(1-\alpha)x^3-\beta x^2-\alpha x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
सीमा के अस्तित्व और परिमित होने के लिए,$x^3$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$1-\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 1$.
अब सीमा इस प्रकार है:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta x^2-x+(1-\beta)}{x^2+1} = 2$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-\beta - \frac{1}{x} + \frac{1-\beta}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}} = 2$.
जैसे $x \rightarrow \infty$,$x$ वाले पद $0$ की ओर प्रवृत्त होते हैं:
$-\beta = 2 \Rightarrow \beta = -2$.
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (1, -2)$ है।

(D) $l_1 = \lim_{x \rightarrow 2^{+}} (x^2 + [x])$ के लिए: जैसे $x \rightarrow 2^{+}$,$[x] = 2$. इसलिए,$l_1 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.
$l_2 = \lim_{x \rightarrow 3^{-}} (2x - [x])$ के लिए: जैसे $x \rightarrow 3^{-}$,$[x] = 2$. इसलिए,$l_2 = 2(3) - 2 = 6 - 2 = 4$.
$l_3 = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \left( \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} \right)$ के लिए: मान लीजिए $y = x - \frac{\pi}{2}$. जैसे $x \rightarrow \frac{\pi}{2}$,$y \rightarrow 0$. तब $x = y + \frac{\pi}{2}$.
$l_3 = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{\cos(y + \frac{\pi}{2})}{y} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{-\sin y}{y} = -1$.
मानों की तुलना करने पर,हमें $l_3 = -1$,$l_2 = 4$,और $l_1 = 6$ प्राप्त होता है।
अतः,$l_3 < l_2 < l_1$.

(C) $\alpha$ ज्ञात करने के लिए:
$\alpha = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)}{1-\cos x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)}{2 \sin^2(x/2)}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{2^x-1}{x} \cdot \frac{x^2}{\sin^2(x/2)} \cdot \frac{1}{x} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{2^x-1}{x} \cdot \frac{1}{(\frac{\sin(x/2)}{x/2})^2 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot \ln 2 \cdot 4 = 2 \ln 2$
अतः,$\alpha = 2 \ln 2$ ... $(i)$
$\beta$ ज्ञात करने के लिए:
$\beta = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)}{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x^2}}$
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\beta = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}{(1+x^2)-(1-x^2)} = \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2})}{2x^2}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cdot \frac{2^x-1}{x} \cdot (\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x^2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln 2 \cdot (1+1) = \ln 2$
अतः,$\beta = \ln 2$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमें $\alpha = 2\beta$ प्राप्त होता है।

(D) हम $x=0$ के निकट $\tan x$ और $\cos 2x$ के लिए टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हैं:
$\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots$
$\tan 2x = 2x + \frac{(2x)^3}{3} + \frac{2(2x)^5}{15} + \dots = 2x + \frac{8x^3}{3} + \frac{64x^5}{15} + \dots$
$1 - \cos 2x = 1 - (1 - \frac{(2x)^2}{2!} + \frac{(2x)^4}{4!} - \dots) = 2x^2 - \frac{2x^4}{3} + \dots$
अब,अंश के पद $(\tan 2x - 2 \tan x)$ पर विचार करें:
$\tan 2x - 2 \tan x = (2x + \frac{8x^3}{3} + \frac{64x^5}{15} + \dots) - 2(x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \dots)$
$= (2x - 2x) + (\frac{8}{3} - \frac{2}{3})x^3 + (\frac{64}{15} - \frac{4}{15})x^5 + \dots = 2x^3 + 4x^5 + \dots$
अतः,$(\tan 2x - 2 \tan x)^2 = (2x^3 + 4x^5 + \dots)^2 = 4x^6 + \dots$
अंश $x^2(\tan 2x - 2 \tan x)^2 = x^2(4x^6 + \dots) = 4x^8 + \dots$ है।
हर $(1 - \cos 2x)^4 = (2x^2 - \frac{2x^4}{3} + \dots)^4 = (2x^2)^4 + \dots = 16x^8 + \dots$ है।
सीमा लेने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{4x^8}{16x^8} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$

(D) हम $x \rightarrow \infty$ के रूप में सीमा का मूल्यांकन करते हैं:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{6 x^2-\cos 3 x}{x^2+5}-\frac{5 x^3+3}{\sqrt{x^6+2}}\right)$
पहले पद के अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{6 - \frac{\cos 3x}{x^2}}{1 + \frac{5}{x^2}} = \frac{6 - 0}{1 + 0} = 6$
दूसरे पद के लिए,चूंकि $x \rightarrow \infty$,$x > 0$,इसलिए $\sqrt{x^6} = x^3$:
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5x^3 + 3}{\sqrt{x^6+2}} = \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5 + \frac{3}{x^3}}{\sqrt{1 + \frac{2}{x^6}}} = \frac{5 + 0}{\sqrt{1 + 0}} = 5$
अतः,सीमा $6 - 5 = 1$ है।

(B) दिया गया है $\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{1 - \cos x}$.
$L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करने पर:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 1 + x \cdot 2^x \ln 2}{\sin x}$.
पुनः $L'H\hat{o}pital$ नियम का उपयोग करने पर:
$\alpha = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x \ln 2 + 2^x \ln 2 + x \cdot 2^x (\ln 2)^2}{\cos x} = \frac{\ln 2 + \ln 2 + 0}{1} = 2 \ln 2$.
अब,$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})}{(1 + x^2) - (1 - x^2)} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x(2^x - 1)(\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2})}{2x^2}$.
$\beta = \frac{1}{2} \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^x - 1}{x} \cdot (\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}) = \frac{1}{2} \cdot \ln 2 \cdot (1 + 1) = \ln 2$.
अतः,$\alpha = 2 \beta$.

(C) सीमा $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sqrt{x^2+a x+b}-x\right)$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम व्यंजक का परिमेयकरण करते हैं:
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow \infty}\left(\left(\sqrt{x^2+a x+b}-x\right) \times \frac{\sqrt{x^2+a x+b}+x}{\sqrt{x^2+a x+b}+x}\right)$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+a x+b-x^2}{\sqrt{x^2+a x+b}+x}\right)$
$= \lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{a x+b}{\sqrt{x^2+a x+b}+x}\right)$
अंश और हर को $x$ से विभाजित करने पर:
$= \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{a+\frac{b}{x}}{\sqrt{1+\frac{a}{x}+\frac{b}{x^2}}+1}$
जैसे $x \rightarrow \infty$,$\frac{1}{x} \rightarrow 0$ और $\frac{1}{x^2} \rightarrow 0$,इसलिए सीमा:
$= \frac{a+0}{\sqrt{1+0+0}+1} = \frac{a}{2}$
चूंकि परिणाम $\frac{a}{2}$ है,इसलिए सीमा केवल $a$ पर निर्भर करती है।

(B) $x=0$ पर सीमा के अस्तित्व के लिए,बाएँ हाथ की सीमा $(LHL)$ को दाएँ हाथ की सीमा $(RHL)$ के बराबर होना चाहिए।
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{2x+1}{x-2} = \frac{2(0)+1}{0-2} = -\frac{1}{2}$.
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px}}{x}$.
परिमेयकरण का उपयोग करते हुए:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(\sqrt{1+px} - \sqrt{1-px})(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{(1+px) - (1-px)}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \lim_{x \rightarrow 0^-} \frac{2px}{x(\sqrt{1+px} + \sqrt{1-px})} = \frac{2p}{1+1} = p$.
$LHL = RHL$ को बराबर करने पर,हमें $p = -\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{((a-n) n x-\tan x) \sin n x}{x^2}=0, n \neq 0$.
अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर:
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( \frac{(a-n) n x - \tan x}{x} \right) \left( \frac{\sin n x}{x} \right) = 0$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \left( (a-n)n - \frac{\tan x}{x} \right) \left( n \cdot \frac{\sin n x}{n x} \right) = 0$.
चूंकि $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x}{x} = 1$ और $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin n x}{n x} = 1$,इसलिए:
$((a-n)n - 1) \cdot n = 0$.
चूंकि $n \neq 0$,इसलिए $(a-n)n - 1 = 0$,जिसका अर्थ है $an - n^2 = 1$,या $a = n + \frac{1}{n}$.
समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य असमिका $(AM \geq GM)$ के अनुसार,$n > 0$ के लिए:
$\frac{n + \frac{1}{n}}{2} \geq \sqrt{n \cdot \frac{1}{n}} = 1$.
अतः,$a \geq 2$.
$a$ का न्यूनतम संभव धनात्मक मान $2$ है।

(B) दिया गया सीमा: $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin x - e^{n x}}{1 + A e^{n x}}$.
चूंकि $x < 0$,इसलिए जैसे ही $n \rightarrow \infty$,$e^{n x} \rightarrow 0$ होता है।
अतः,$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \frac{\sin x - e^{n x}}{1 + A e^{n x}} = \frac{\sin x - 0}{1 + A(0)} = \frac{\sin x}{1} = \sin x$.

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_k = \frac{1}{(4k-1)(4k+3)}$ है।
हम $T_k = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$ लिख सकते हैं।
$n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{4k-1} - \frac{1}{4k+3} \right)$ है।
यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है:
$S_n = \frac{1}{4} \left[ \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} - \frac{1}{11} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n+3} \right) \right]$.
$S_n = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right)$.
$n \rightarrow \infty$ के रूप में सीमा लेने पर:
$\lim _{n \rightarrow \infty} S_n = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4n+3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = \frac{1}{12}$.

(B) दिया गया है,$n = 15$ के लिए $\sum x = 170$ और $\sum x^2 = 2830$।
गलत प्रेक्षण $20$ को सही प्रेक्षण $30$ से बदलने पर:
संशोधित $\sum x = 170 - 20 + 30 = 180$।
संशोधित $\sum x^2 = 2830 - (20)^2 + (30)^2 = 2830 - 400 + 900 = 3330$।
हम जानते हैं कि,$\text{प्रसरण} = \frac{\sum x^2}{n} - \left(\frac{\sum x}{n}\right)^2$।
मान रखने पर:
$\text{प्रसरण} = \frac{3330}{15} - \left(\frac{180}{15}\right)^2$।
$\text{प्रसरण} = 222 - (12)^2$।
$\text{प्रसरण} = 222 - 144 = 78$।

(C) दी गई $12$ पदों की समांतर श्रेणी का माध्य $\bar{x} = \frac{a_0 + a_{11}}{2}$ है।
चूंकि $a_n = a_0 + nd$,इसलिए $a_{11} = a_0 + 11d$,अतः $\bar{x} = a_0 + \frac{11}{2}d$ है।
पद $a_0, a_0+d, \ldots, a_0+11d$ हैं।
माध्य से विचलन $|a_k - \bar{x}| = |a_0 + kd - (a_0 + 5.5d)| = |k - 5.5||d|$ है।
$k = 0, 1, \ldots, 11$ के लिए,$|k - 5.5|$ के मान $5.5, 4.5, 3.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5$ हैं।
इन विचलनों का योग $2 \times (5.5 + 4.5 + 3.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5)|d| = 2 \times 18|d| = 36|d|$ है।
माध्य विचलन $\frac{36|d|}{12} = 3|d|$ है।

(D) सबसे पहले,माध्य $\bar{x}$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(5 \times 2) + (15 \times 3) + (25 \times 4) + (35 \times 1)}{2 + 3 + 4 + 1} = \frac{10 + 45 + 100 + 35}{10} = \frac{190}{10} = 19$.
इसके बाद,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{2(5-19)^2 + 3(15-19)^2 + 4(25-19)^2 + 1(35-19)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(-14)^2 + 3(-4)^2 + 4(6)^2 + 1(16)^2}{10}$
$\sigma^2 = \frac{2(196) + 3(16) + 4(36) + 1(256)}{10}$
$\sigma^2 = \frac{392 + 48 + 144 + 256}{10} = \frac{840}{10} = 84$.
अतः,प्रसरण $84$ है।

(B) दिया गया है,विचरण गुणांक $(CV) = 60$ और मानक विचलन $(\sigma) = 21$ है।
हम जानते हैं कि $CV = \frac{\sigma}{\mu} \times 100$,जहाँ $\mu$ माध्य है।
मान रखने पर: $60 = \frac{21}{\mu} \times 100 \Rightarrow \mu = \frac{2100}{60} = 35$।
जब प्रत्येक अवलोकन में एक स्थिरांक $k = 15$ जोड़ा जाता है,तो मानक विचलन अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $\sigma' = \sigma = 21$।
नया माध्य $\mu' = \mu + 15 = 35 + 15 = 50$ हो जाता है।
नया विचरण गुणांक $CV' = \frac{\sigma'}{\mu'} \times 100$ है।
$CV' = \frac{21}{50} \times 100 = 21 \times 2 = 42$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) यह दिया गया है कि $x_i$ और $y_i$ के मानक विचलन क्रमशः $a$ और $b$ हैं,इसलिए $a^2 = \frac{1}{10} \sum x_i^2 - \bar{x}^2$ और $b^2 = \frac{1}{10} \sum y_i^2 - \bar{y}^2$ है।
हमें $\sum_{i=1}^{10} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$ दिया गया है।
माना $d_i = x_i - y_i$ है। $d_i$ का माध्य $\bar{d} = \bar{x} - \bar{y}$ है।
$d_i$ का प्रसरण $\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum (d_i - \bar{d})^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - y_i) - (\bar{x} - \bar{y}))^2$ है।
$\sigma_d^2 = \frac{1}{10} \sum ((x_i - \bar{x}) - (y_i - \bar{y}))^2 = \frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 + \frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 - \frac{2}{10} \sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ है।
चूंकि $\frac{1}{10} \sum (x_i - \bar{x})^2 = a^2$ और $\frac{1}{10} \sum (y_i - \bar{y})^2 = b^2$,और $\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y}) = c$ है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\sigma_d^2 = a^2 + b^2 - \frac{2c}{10} = a^2 + b^2 - \frac{c}{5}$।
अतः,मानक विचलन $\sqrt{a^2 + b^2 - \frac{c}{5}}$ है।

(C) दिया गया है कि $n=100$,$\bar{x}_1=40$,और $\sigma_1=15$ है।
अवलोकनों का योग $\sum x_i = n \times \bar{x}_1 = 100 \times 40 = 4000$ है।
सही योग $\sum x_i^{\prime} = 4000 - 30 - 60 + 40 + 50 = 4000$ है।
अतः,सही माध्य $\bar{x}_2 = \frac{4000}{100} = 40$ है।
इसलिए,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$ है।
अब,$\sigma_1^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x}_1)^2$ $\Rightarrow 225 = \frac{\sum x_i^2}{100} - 1600$ $\Rightarrow \sum x_i^2 = 182500$ है।
वर्गों का सही योग $\sum x_i^{\prime 2} = 182500 - 30^2 - 60^2 + 40^2 + 50^2 = 182100$ है।
सही प्रसरण $\sigma_2^2 = \frac{182100}{100} - (40)^2 = 1821 - 1600 = 221$ है।
चूँकि $\sigma_1^2 = 225$ और $\sigma_2^2 = 221$,इसलिए $\sigma_1^2 > \sigma_2^2$,जिसका अर्थ है कि $\sigma_1 > \sigma_2$ है।
अतः,$\bar{x}_1 = \bar{x}_2$ और $\sigma_1 > \sigma_2$ है।

(C) दी गई संख्याएँ $9, 3, 11, 5, 7$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{9+3+11+5+7}{5} = \frac{35}{5} = 7$.
अब,प्रसरण $(\sigma^2)$ की गणना करें:
$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{(9-7)^2 + (3-7)^2 + (11-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2}{5}$
$= \frac{4 + 16 + 16 + 4 + 0}{5} = \frac{40}{5} = 8$.
मानक विचलन $(\sigma) = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
विचरण गुणांक $(CV) = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{2\sqrt{2}}{7} \times 100 = \frac{200\sqrt{2}}{7}$.

(D) सबसे पहले,हम दिए गए डेटा का माध्य $(\bar{x})$ ज्ञात करते हैं।
अंतरालों के मध्य बिंदु $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ हैं।
बारंबारता $(f_i)$ $6, 8, 10, 4, 2$ हैं।
कुल बारंबारता $N = \sum f_i = 30$ है।
गुणनफलों का योग $\sum f_i x_i = 630$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{630}{30} = 21$ है।
अब,माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन के सूत्र $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \bar{x}|$ का उपयोग करके:
$\sum f_i |x_i - 21| = 288$ है।
माध्य विचलन $= \frac{288}{30} = 9.6$ है।

(D) सबसे पहले,माध्य $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ की गणना करें।
$\sum f_i = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55$.
$\sum f_i x_i = 1(1) + 2(2) + 3(3) + 4(4) + 5(5) + 6(6) + 7(7) + 8(8) + 9(9) + 10(10) = 385$.
$\bar{x} = \frac{385}{55} = 7$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum f_i}$ द्वारा दिया जाता है।
$\sum f_i (x_i - 7)^2 = 1(36) + 2(25) + 3(16) + 4(9) + 5(4) + 6(1) + 7(0) + 8(1) + 9(4) + 10(9) = 330$.
$\sigma^2 = \frac{330}{55} = 6$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) सबसे पहले,हम वितरण का माध्य $\bar{x}$ ज्ञात करते हैं:
मध्य बिंदु $x_i$ हैं $2.5, 7.5, 12.5, 17.5, 22.5$।
बारंबारताओं का योग $N = \sum f_i = 20$ है।
योग $\sum f_i x_i = 240$ है।
माध्य $\bar{x} = \frac{240}{20} = 12$ है।
इसके बाद,प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum f_i (x_i - \bar{x})^2}{N}$ ज्ञात करते हैं:
$\sigma^2 = \frac{139}{4}$ है।
मानक विचलन $\sigma = \frac{\sqrt{139}}{2}$ है।
विचरण गुणांक $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100 = \frac{25 \sqrt{139}}{6}$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(B) माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन ज्ञात करने के लिए,हम पहले माध्य $\bar{X}$ की गणना करते हैं।
वर्गों के मध्य बिंदु $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$ हैं।
बारंबारताओं का योग $N = \Sigma f_i = 4+6+16+28+16+6+4 = 80$ है।
योग $\Sigma f_i x_i = (4 \times 5) + (6 \times 15) + (16 \times 25) + (28 \times 35) + (16 \times 45) + (6 \times 55) + (4 \times 65) = 20 + 90 + 400 + 980 + 720 + 330 + 260 = 2800$ है।
माध्य $\bar{X} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2800}{80} = 35$ है।
अब,$\Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \Sigma f_i |x_i - 35|$ की गणना करें:
$4|5-35| + 6|15-35| + 16|25-35| + 28|35-35| + 16|45-35| + 6|55-35| + 4|65-35|$
$= 4(30) + 6(20) + 16(10) + 28(0) + 16(10) + 6(20) + 4(30)$
$= 120 + 120 + 160 + 0 + 160 + 120 + 120 = 800$ है।
माध्य के सापेक्ष माध्य विचलन = $\frac{1}{N} \Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \frac{800}{80} = 10$ है।

(A) दिए गए अवलोकन $x_i = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 22\}$ हैं।
सबसे पहले,माध्य $(\bar{x})$ की गणना करें:
$\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2+3+5+7+11+13+17+22}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
इसके बाद,विचलनों के वर्गों का योग $\sum (x_i - \bar{x})^2$ ज्ञात करें:
$(2-10)^2 + (3-10)^2 + (5-10)^2 + (7-10)^2 + (11-10)^2 + (13-10)^2 + (17-10)^2 + (22-10)^2$
$= (-8)^2 + (-7)^2 + (-5)^2 + (-3)^2 + (1)^2 + (3)^2 + (7)^2 + (12)^2$
$= 64 + 49 + 25 + 9 + 1 + 9 + 49 + 144 = 350$.
प्रसरण $\sigma^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n} = \frac{350}{8} = 43.75$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया है $\cos A = -\frac{60}{61}$ और $\tan B = -\frac{7}{24}$। चूंकि $A$ और $B$ दूसरे चतुर्थांश में नहीं हैं,$A$ तीसरे चतुर्थांश में और $B$ चौथे चतुर्थांश में होगा।
$A \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ के लिए,$\tan A = \frac{11}{60}$।
$B \in (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$ के लिए,$\frac{B}{2} \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$,जो दूसरे चतुर्थांश में है।
$\tan B = \frac{2 \tan(B/2)}{1 - \tan^2(B/2)} = -\frac{7}{24}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan(B/2) = -7$ प्राप्त होता है।
अब,$\tan(A + \frac{B}{2}) = \frac{\tan A + \tan(B/2)}{1 - \tan A \tan(B/2)} = \frac{11/60 - 7}{1 + (11/60)(7)} = \frac{-409}{137} < 0$।
चूंकि $A \in (\pi, \frac{3\pi}{2})$ और $\frac{B}{2} \in (\frac{3\pi}{4}, \pi)$,इसलिए $A + \frac{B}{2} \in (\frac{7\pi}{4}, \frac{5\pi}{2})$,जो चौथे चतुर्थांश में है।

(C) के लिए,$r_1 r_2 \sqrt{\frac{4R-r_1-r_2}{r_1+r_2}} = \Delta$ है।
$(B)$ के लिए,$\frac{r_2(r_3+r_1)}{\sqrt{r_1r_2+r_2r_3+r_3r_1}} = b$ है।
$(C)$ के लिए,$\frac{a}{c} = \frac{\sin(A-B)}{\sin(B-C)} \implies a^2, b^2, c^2$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
$(D)$ के लिए,$bc \cos^2 \frac{A}{2} = s(s-a)$ है।
अतः,सही मिलान $A-3, B-1, C-2, D-5$ है,जो विकल्प $(C)$ के अनुरूप है।

(A) $\triangle ABC$ में,कोज्या (cosine) नियम के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos \theta$
$AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4) \cos \theta = 36 + 16 - 48 \cos \theta = 52 - 48 \cos \theta \quad (i)$
चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। अतः,$\angle ADC = 180^{\circ} - \theta$.
$\triangle ADC$ में,कोज्या नियम के अनुसार:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD) \cos(180^{\circ} - \theta)$
चूंकि $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-\cos \theta) = 9 + 25 + 30 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$52 - 48 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta$
$52 - 34 = 30 \cos \theta + 48 \cos \theta$
$18 = 78 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{18}{78} = \frac{3}{13}$

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$ प्राप्त होता है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin (A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin (A-B)$
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$
चूंकि $A+B = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin(A+B) = 1$ और $\sin B = \cos A$ होगा।
$= \sin^2 A + \cos^2 A = 1$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना कि $\frac{b+c}{9}=\frac{c+a}{10}=\frac{a+b}{11}=k$.
अतः $b+c=9k$,$c+a=10k$,और $a+b=11k$.
इनका योग करने पर $2(a+b+c)=30k$,जिससे $a+b+c=15k$ प्राप्त होता है।
अतः $a=6k$,$b=5k$,और $c=4k$.
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{8}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{3}{4}$.
इसलिए,$\frac{\cos A+\cos B}{\cos C} = \frac{\frac{1}{8}+\frac{9}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{12}$.
अतः विकल्प $C$ सही है।

(B) दिया गया है कि बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = 8, r_2 = 12, r_3 = 24$ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
$\frac{1}{8} + \frac{1}{12} + \frac{1}{24} = \frac{3+2+1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$,इसलिए $r = 4$ है।
साथ ही,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{4 \times 8 \times 12 \times 24} = \sqrt{9216} = 96$ है।
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ का उपयोग करने पर,$8 = \frac{96}{s-a} \Rightarrow s-a = 12$ प्राप्त होता है।
$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ का उपयोग करने पर,$12 = \frac{96}{s-b} \Rightarrow s-b = 8$ प्राप्त होता है।
$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर,$24 = \frac{96}{s-c} \Rightarrow s-c = 4$ प्राप्त होता है।
इनका योग करने पर: $3s - (a+b+c) = 24$ $\Rightarrow 3s - 2s = 24$ $\Rightarrow s = 24$ प्राप्त होता है।
अतः $a = s-12 = 12$,$b = s-8 = 16$,और $c = s-4 = 20$ है।
इस प्रकार,क्रमित त्रिक $(a, b, c) = (12, 16, 20)$ है।

(B) $\triangle ABC$ में,$AD$,$BC$ पर माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = a/2$ है। दिया है $AD \perp AC$,समकोण $\triangle ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,$AD^2 + b^2 = (a/2)^2$,अतः $AD^2 = a^2/4 - b^2$ है।
$\triangle ABC$ पर अपोलोनियस प्रमेय द्वारा,$c^2 + b^2 = 2(AD^2 + (a/2)^2)$ है।
$AD^2$ का मान रखने पर,हमें $c^2 + b^2 = 2(a^2/4 - b^2 + a^2/4) = a^2 - 2b^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 3b^2 + c^2$ (समीकरण $iii$)।
अब,व्यंजक $3ca \cos A \cos C + 2a^2$ पर विचार करें।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)$ और $\cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$ है।
इन मानों को रखने पर,व्यंजक $3ca \cdot [(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)] \cdot [(a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)] + 2a^2$ बन जाता है।
$= (3/4b^2) \cdot (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - c^2) + 2a^2$।
चूंकि $a^2 - c^2 = 3b^2$ है,हमारे पास $b^2 + c^2 - a^2 = -2b^2$ और $a^2 + b^2 - c^2 = 4b^2$ है।
$= (3/4b^2) \cdot (-2b^2)(4b^2) + 2a^2 = -6b^2 + 2a^2 = 2(a^2 - 3b^2)$।
समीकरण $iii$ से,$a^2 - 3b^2 = c^2$ है।
अतः,व्यंजक का मान $2c^2$ है।

(C) भुजाओं का अनुपात $a: b: c = 3: 5: 7$ दिया गया है,मान लीजिए $a = 3x, b = 5x, c = 7x$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
मान रखने पर:
$\cos A = \frac{(5x)^2 + (7x)^2 - (3x)^2}{2(5x)(7x)} = \frac{65x^2}{70x^2} = \frac{13}{14}$.
$\cos B = \frac{(3x)^2 + (7x)^2 - (5x)^2}{2(3x)(7x)} = \frac{33x^2}{42x^2} = \frac{11}{14}$.
अतः,$\cos A + \cos B = \frac{13}{14} + \frac{11}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$.

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A + 2 \cos B + \cos C$ का मान $2$ प्राप्त होता है।

(B) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a \alpha = \frac{1}{2} b \beta = \frac{1}{2} c \gamma$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\alpha = \frac{2\Delta}{a}$,$\beta = \frac{2\Delta}{b}$,और $\gamma = \frac{2\Delta}{c}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{a^2}{4\Delta^2} + \frac{b^2}{4\Delta^2} + \frac{c^2}{4\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2}$।
सर्वसमिका $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ का उपयोग करते हुए,हमें $b^2+c^2-a^2 = 4\Delta \cot A$ प्राप्त होता है।
$A, B, C$ के लिए इनका योग करने पर:
$(b^2+c^2-a^2) + (c^2+a^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2) = a^2+b^2+c^2 = 4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)$।
इसलिए,$\frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2} = \frac{4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)}{4\Delta^2} = \frac{1}{\Delta}(\cot A + \cot B + \cot C)$।

(B) हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
साथ ही,$\cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(r_2 + r_3) \cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \left( \frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c} \right) \tan \left(\frac{A}{2}\right)$
$= \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$
$= \Delta \left( \frac{a}{(s-b)(s-c)} \right) \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$
$= \frac{\Delta \cdot a}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
चूंकि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण:
$= \frac{\Delta \cdot a}{\Delta} = a$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया है,$\angle A=75^{\circ}, \angle B=45^{\circ}$ और $a=2(\sqrt{3}+1)$.
$\triangle AOC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow x = \sqrt{3}y$.
अब,$x+y = 2(\sqrt{3}+1)$.
$x = \sqrt{3}y$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{3}y + y = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y(\sqrt{3}+1) = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y = 2$.
अतः,$x = 2\sqrt{3}$.
अब,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle AOB$ का क्षेत्रफल $+ \triangle AOC$ का क्षेत्रफल.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times x \times x + \frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2}x(x+y)$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} \times 2(\sqrt{3}+1) = 2(3 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया है,$3a = b + c$ ... $(i)$
माना $s$,$\triangle ABC$ का अर्ध-परिमाप है,इसलिए $s = \frac{a + b + c}{2}$.
$(i)$ से मान रखने पर,$s = \frac{a + 3a}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.
हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
अतः,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
$s = 2a$ रखने पर,हमें $\frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,$\frac{2 r_2 r_3}{r_2-r_1} = r_3-r_1$.
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2 \cdot \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{\Delta}{s-c} = \left(\frac{\Delta}{s-b} - \frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s-a}\right)$
$\frac{2}{(s-b)(s-c)} = \frac{(s-a)-(s-b)}{(s-b)(s-a)} \cdot \frac{(s-a)-(s-c)}{(s-c)(s-a)}$
$2(s-a)^2 = (b-a)(c-a)$
$2(\frac{b+c-a}{2})^2 = (b-a)(c-a)$
$\frac{(b+c-a)^2}{2} = (b-a)(c-a)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2(bc-ab-ac+a^2)$
$b^2+c^2+a^2+2bc-2ab-2ac = 2bc-2ab-2ac+2a^2$
$b^2+c^2 = a^2$.
अब,$\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1} = \sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(s-c+s-a+s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)}} = \sqrt{\frac{\Delta^2(3s-2s)}{\frac{\Delta^2}{s}}} = s$.
अतः,$\frac{r_1(r_2+r_3)}{s} = \frac{\frac{\Delta}{s-a}(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c})}{s} = \frac{\Delta^2(2s-b-c)}{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^2(a)}{\Delta^2} = a = 2R$.

(D) दिया गया है,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = b^2-(c-a)^2$ है।
सर्वसमिका $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$ का उपयोग करने पर,$\Delta = (b-c+a)(b+c-a)$।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $b-c+a = 2s-2c$ और $b+c-a = 2s-2a$ है।
अतः,$\Delta = (2s-2c)(2s-2a) = 4(s-a)(s-c)$।
हीरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4(s-a)(s-c)$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{(s-a)(s-c)}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{s(s-b)} = 4\sqrt{(s-a)(s-c)}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{1}{4}$।
द्विगुणित कोण सूत्र $\tan B = \frac{2\tan(B/2)}{1-\tan^2(B/2)}$ का उपयोग करने पर,$\tan B = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{1-1/16} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$।

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
इसलिए,$\frac{1}{r_1} = \frac{s-a}{\Delta}$,$\frac{1}{r_2} = \frac{s-b}{\Delta}$,$\frac{1}{r_3} = \frac{s-c}{\Delta}$,और $\frac{1}{r} = \frac{s}{\Delta}$ है।
अब,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2}+\frac{1}{r^2} = \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2} + \frac{s^2}{\Delta^2}$ है।
$= \frac{(s^2+a^2-2as) + (s^2+b^2-2sb) + (s^2+c^2-2sc) + s^2}{\Delta^2}$ है।
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 2s(a+b+c)}{\Delta^2}$ है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $2s(a+b+c) = 2s(2s) = 4s^2$ है।
$= \frac{4s^2 + a^2+b^2+c^2 - 4s^2}{\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$ है।

(D) त्रिभुज $ABC$ में दिया गया है:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 36, r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 18, r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 12$
$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
चूंकि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{s}{\Delta}$,इसलिए $\frac{s}{\Delta} = \frac{1}{6} \Rightarrow \Delta = 6s$
$r_1 = \frac{6s}{s-a} = 36$ $\Rightarrow 6s = 36s - 36a$ $\Rightarrow 36a = 30s$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$
$r_2 = \frac{6s}{s-b} = 18$ $\Rightarrow 6s = 18s - 18b$ $\Rightarrow 18b = 12s$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3}$
$r_3 = \frac{6s}{s-c} = 12$ $\Rightarrow 6s = 12s - 12c$ $\Rightarrow 12c = 6s$ $\Rightarrow c = \frac{s}{2}$
हेरोन के सूत्र का उपयोग करने पर $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) = (6s)^2 = 36s^2$
$s(s - \frac{5s}{6})(s - \frac{2s}{3})(s - \frac{s}{2}) = 36s^2$
$s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2}) = 36s^2$
$\frac{s^4}{36} = 36s^2$ $\Rightarrow s^2 = 36^2$ $\Rightarrow s = 36$
$a = \frac{5 \times 36}{6} = 30$
$b = \frac{2 \times 36}{3} = 24$
$a+b = 30+24 = 54$

(B) मान लीजिए कि त्रिभुज $ABC$ $R = 2$ त्रिज्या वाले वृत्त में अंतर्निहित एक समबाहु त्रिभुज है।
समबाहु त्रिभुज के लिए,$A = B = C = 60^{\circ}$.
शीर्ष $A$ से वृत्त तक कोण समद्विभाजक $AA_1$ की लंबाई $AA_1 = 2R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $AA_1 = BB_1 = CC_1 = 2(2) \cos 30^{\circ} \cos 0^{\circ} = 2\sqrt{3}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left[\frac{2\sqrt{3} \cos 30^{\circ} + 2\sqrt{3} \cos 30^{\circ} + 2\sqrt{3} \cos 30^{\circ}}{\sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ} + \sin 60^{\circ}}\right]^2$
$= \left[\frac{3 \times 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{3 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}\right]^2 = 4^2 = 16$.

(C) माना $y = \log \sec x$. तब $\sec x = e^y$,जिसका अर्थ है $\cos x = e^{-y}$.
हम जानते हैं कि $\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)}$.
साथ ही,$\cos x = \frac{1 - \tan^2(x/2)}{1 + \tan^2(x/2)} = \frac{\cot^2(x/2) - 1}{\cot^2(x/2) + 1}$.
अतिपरवलयिक फलनों (hyperbolic functions) का उपयोग करते हुए,$\coth(y/2) = \frac{1 + e^{-y}}{1 - e^{-y}} = \frac{1 + \cos x}{1 - \cos x} = \frac{1 + \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}} = \frac{2}{2\tan^2(x/2)} = \cot^2(x/2)$.
चूंकि $\cot^2(x/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$,इसलिए $\coth(y/2) = \operatorname{cosec}^2(x/2) - 1$.
अतः,$\frac{y}{2} = \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$,जिससे $y = 2 \operatorname{coth}^{-1}(\operatorname{cosec}^2(x/2) - 1)$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\tan x = \frac{3}{4}$.
चूंकि $\tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{9}{16}$,इसलिए $\sin^2 x = \frac{9}{25}$ और $\cos^2 x = \frac{16}{25}$ है।
हमें $\sin x \cosh y = \cos \theta$ और $\cos x \sinh y = \sin \theta$ दिया गया है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करते हुए:
$(\sin x \cosh y)^2 + (\cos x \sinh y)^2 = 1$
$\sin^2 x \cosh^2 y + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\cosh^2 y = 1 + \sinh^2 y$ रखने पर:
$\sin^2 x (1 + \sinh^2 y) + \cos^2 x \sinh^2 y = 1$
$\frac{9}{25}(1 + \sinh^2 y) + \frac{16}{25} \sinh^2 y = 1$
$25$ से गुणा करने पर:
$9 + 9 \sinh^2 y + 16 \sinh^2 y = 25$
$25 \sinh^2 y = 25 - 9$
$25 \sinh^2 y = 16$
$\sinh^2 y = \frac{16}{25}$.

(C) दी गई असमिका: $x^2 - |x+2| + x > 0$
स्थिति $I$: यदि $x+2 \geq 0$ (अर्थात $x \geq -2$), तो $|x+2| = x+2$.
असमिका बन जाती है:
$x^2 - (x+2) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 - 2 > 0$
$\Rightarrow (x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2}) > 0$
इसका हल $x \in (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ है।
शर्त $x \geq -2$ को ध्यान में रखते हुए, प्रतिच्छेदन $x \in [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$ है।
स्थिति $II$: यदि $x+2 < 0$ (अर्थात $x < -2$), तो $|x+2| = -(x+2)$.
असमिका बन जाती है:
$x^2 - (-(x+2)) + x > 0$
$\Rightarrow x^2 + 2x + 2 > 0$
$\Rightarrow (x+1)^2 + 1 > 0$
चूंकि $(x+1)^2 + 1$ सभी वास्तविक $x$ के लिए हमेशा धनात्मक है, इसलिए शर्त $x < -2$ संतुष्ट होती है।
स्थिति $I$ और $II$ को मिलाने पर:
$(-\infty, -2) \cup [-2, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) = (-\infty, -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

(B) माना $y = \frac{x-P}{x^2-3x+2}$.
$y$ के सभी वास्तविक मान ग्रहण करने के लिए,समीकरण $yx^2 - (3y+1)x + (2y+P) = 0$ के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए $x$ में वास्तविक मूल होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए।
$D = (3y+1)^2 - 4y(2y+P) \geq 0$
$y^2 + (6-4P)y + 1 \geq 0$.
इस द्विघात समीकरण के सभी $y \in \mathbb{R}$ के लिए अ-ऋणात्मक होने हेतु,इसका विविक्तकर $\leq 0$ होना चाहिए।
$(6-4P)^2 - 4 \leq 0$
$|6-4P| \leq 2$
$1 \leq P \leq 2$.
परंतु,यदि $P=1$ या $P=2$ है,तो $y$ का मान $0$ प्राप्त नहीं हो सकता। अतः $P \neq 1$ और $P \neq 2$।
अतः,$1 < P < 2$।

(B) दिया गया है कि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\left|\frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1}\right| < 3$ है।
इसका अर्थ है $-3 < \frac{x^2+k x+1}{x^2+x+1} < 3$।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $x^2+x+1 > 0$ है,हम हर से गुणा कर सकते हैं:
$-3(x^2+x+1) < x^2+k x+1 < 3(x^2+x+1)$।
स्थिति $1$: $x^2+k x+1 < 3x^2+3x+3 \Rightarrow 2x^2+(3-k)x+2 > 0$।
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_1 < 0$ होना चाहिए:
$(3-k)^2 - 4(2)(2) < 0$ $\Rightarrow (3-k)^2 - 16 < 0$ $\Rightarrow (k-3)^2 < 16$।
$-4 < k-3 < 4 \Rightarrow -1 < k < 7$।
स्थिति $2$: $x^2+k x+1 > -3x^2-3x-3 \Rightarrow 4x^2+(k+3)x+4 > 0$।
इसके सभी $x$ के लिए सत्य होने हेतु,विविक्तकर $D_2 < 0$ होना चाहिए:
$(k+3)^2 - 4(4)(4) < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 - 64 < 0$ $\Rightarrow (k+3)^2 < 64$।
$-8 < k+3 < 8 \Rightarrow -11 < k < 5$।
दोनों अंतरालों $(-1, 7)$ और $(-11, 5)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $k \in (-1, 5)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) मान लीजिए $n(A) = m$ और $n(B) = n$ है।
दिया गया है कि $P_B$ में $P_A$ से $112$ अवयव अधिक हैं,इसलिए $n(P_B) - n(P_A) = 112$ है।
चूंकि $n(P_A) = 2^m$ और $n(P_B) = 2^n$ होता है,इसलिए $2^n - 2^m = 112$ प्राप्त होता है।
$2^m$ को उभयनिष्ठ लेने पर,$2^m(2^{n-m} - 1) = 112$ प्राप्त होता है।
हम $112$ को $16 \times 7 = 2^4 \times (8 - 1) = 2^4(2^3 - 1)$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $m = 4$ और $n - m = 3$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 7$।
$A$ से $B$ तक के एकैकी फलनों की संख्या $^n P_m$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$^7 P_4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$।

(C) दिया गया है कि $\frac{3}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{x+2}{x^2+x+1} = f_1(x) - f_2(x)$.
इससे,हम $f_1(x) = \frac{1}{x-1}$ और $f_2(x) = \frac{x+2}{x^2+x+1}$ प्राप्त करते हैं।
अब,इन मानों को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x+1}{(x-1)^2(x^2+x+1)} = A \left(\frac{1}{x-1}\right) + (B + \frac{D}{x-1}) \left(\frac{x+2}{x^2+x+1}\right) + \frac{C}{(x-1)^2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)^2(x^2+x+1)$ से गुणा करने पर:
$x+1 = A(x-1)(x^2+x+1) + (B(x-1) + D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
$x+1 = A(x^3-1) + (Bx-B+D)(x+2) + C(x^2+x+1)$.
गुणांकों की तुलना करने पर:
$x^3$ का गुणांक: $A + B = 0$.
$x^2$ का गुणांक: $B + C = 0$.
इस प्रकार,$A+B+C+D = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)(x-3)} = x+k+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
सबसे पहले,बहुपद विभाजन करें: $\frac{x^4}{x^3-6x^2+11x-6} = x+6 + \frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)}$.
तुलना करने पर,हमें $k=6$ प्राप्त होता है.
अब,शेषफल का आंशिक भिन्न में विभाजन करें: $\frac{31x^2-72x+36}{(x-1)(x-2)(x-3)} = \frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-2}+\frac{C}{x-3}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए:
$A$ के लिए: $A = \frac{31(1)^2-72(1)+36}{(1-2)(1-3)} = \frac{31-72+36}{2} = \frac{-5}{2}$.
$B$ के लिए: $B = \frac{31(2)^2-72(2)+36}{(2-1)(2-3)} = \frac{124-144+36}{-1} = \frac{16}{-1} = -16$.
$C$ के लिए: $C = \frac{31(3)^2-72(3)+36}{(3-1)(3-2)} = \frac{279-216+36}{2} = \frac{99}{2}$.
अतः,$k+A-B+C = 6 + (-\frac{5}{2}) - (-16) + \frac{99}{2} = 6 - 2.5 + 16 + 49.5 = 69$.

(D) माना $P(X=-1) = a$,$P(X=0) = b$,और $P(X=1) = c$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $a + b + c = 1$ है।
दिया गया है कि $P(X=0) = b = 0.2$ है।
योग में $b$ का मान रखने पर: $a + 0.2 + c = 1 \Rightarrow a + c = 0.8 \Rightarrow a = 0.8 - c$ है।
यादृच्छिक चर $X$ का माध्य $E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 0.2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$(-1)(a) + (0)(b) + (1)(c) = 0.2$ है।
$-a + c = 0.2$ है।
समीकरण में $a = 0.8 - c$ रखने पर: $-(0.8 - c) + c = 0.2$ है।
$-0.8 + c + c = 0.2$ है।
$2c = 1.0$ है।
$c = 0.5$ है।
अतः,$P(X=1) = 0.5$ है।

(A) मान लीजिए कि प्रत्येक परिवार में बच्चों की संख्या $n = 4$ है। बच्चे के लड़का $(B)$ या लड़की $(G)$ होने की प्रायिकता $P(B) = P(G) = \frac{1}{2}$ है।
$4$ बच्चों वाले परिवार के लिए,कुल संभावित परिणामों की संख्या $2^4 = 16$ है।
दोनों लिंगों के बच्चे होने की घटना उस घटना की पूरक घटना है जिसमें सभी बच्चे एक ही लिंग के हों (सभी लड़के या सभी लड़कियाँ)।
$P(\text{सभी लड़के}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{सभी लड़कियाँ}) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.
$P(\text{दोनों लिंग}) = 1 - [P(\text{सभी लड़के}) + P(\text{सभी लड़कियाँ})] = 1 - [\frac{1}{16} + \frac{1}{16}] = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$800$ परिवारों के लिए,दोनों लिंगों के बच्चे वाले परिवारों की अपेक्षित संख्या $800 \times \frac{7}{8} = 700$ है।

(A) माना $X$ निकाली गई लाल गेंदों की संख्या को दर्शाने वाला यादृच्छिक चर है। गेंदों की कुल संख्या $4 + 5 = 9$ है। $9$ में से $3$ गेंदें निकालने के तरीके ${}^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ हैं।
$X$ का प्रायिकता वितरण इस प्रकार है:
$P(X=0) = \frac{{}^4C_3}{{}^9C_3} = \frac{4}{84}$
$P(X=1) = \frac{{}^4C_2 \times {}^5C_1}{{}^9C_3} = \frac{6 \times 5}{84} = \frac{30}{84}$
$P(X=2) = \frac{{}^4C_1 \times {}^5C_2}{{}^9C_3} = \frac{4 \times 10}{84} = \frac{40}{84}$
$P(X=3) = \frac{{}^4C_0 \times {}^5C_3}{{}^9C_3} = \frac{1 \times 10}{84} = \frac{10}{84}$
माध्य $E(X) = \sum x_i P(x_i) = 0 \times \frac{4}{84} + 1 \times \frac{30}{84} + 2 \times \frac{40}{84} + 3 \times \frac{10}{84}$
$E(X) = \frac{0 + 30 + 80 + 30}{84} = \frac{140}{84} = \frac{5}{3}$.
अतः,माध्य $\frac{5}{3}$ है। इसलिए,विकल्प $(A)$ सही है।