AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) वृत्तों के समीकरण $x^2 + y^2 = b^2$ और $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ हैं।
रेखा $y = mx - b \sqrt{1 + m^2}$ पहले वृत्त की स्पर्श रेखा है।
दूसरे वृत्त $(x - a)^2 + y^2 = b^2$ के लिए स्पर्श रेखा का समीकरण $y = m(x - a) \pm b \sqrt{1 + m^2}$ है।
दोनों को बराबर करने पर:
$mx - b \sqrt{1 + m^2} = mx - ma \pm b \sqrt{1 + m^2}$.
धनात्मक चिह्न लेने पर:
$ma = 2b \sqrt{1 + m^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$m^2 a^2 = 4b^2 (1 + m^2) = 4b^2 + 4b^2 m^2$.
$m^2 (a^2 - 4b^2) = 4b^2$.
$m = \frac{2b}{\sqrt{a^2 - 4b^2}}$.

(C) उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा $4x+3y-10=0$ है। इस स्पर्शरेखा की ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है।
चूंकि केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा स्पर्शरेखा के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m' = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए कि यह रेखा $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है। तब $\tan \theta = \frac{3}{4}$,जिससे $\sin \theta = \frac{3}{5}$ और $\cos \theta = \frac{4}{5}$ प्राप्त होता है।
वृत्तों के केंद्र स्पर्श बिंदु $(1,2)$ से $5$ इकाई की दूरी पर लंबवत रेखा पर स्थित हैं।
केंद्रों के निर्देशांक $(x,y) = (1 \pm 5 \cos \theta, 2 \pm 5 \sin \theta)$ हैं।
$(x,y) = (1 \pm 5(\frac{4}{5}), 2 \pm 5(\frac{3}{5})) = (1 \pm 4, 2 \pm 3)$.
अतः,दो संभावित केंद्र $C_1 = (5,5)$ और $C_2 = (-3,-1)$ हैं।
वृत्तों के समीकरण $(x-5)^2 + (y-5)^2 = 25$ और $(x+3)^2 + (y+1)^2 = 25$ हैं।
इनका विस्तार करने पर,$x^2+y^2-10x-10y+25=0$ और $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ प्राप्त होते हैं।
एक वृत्त चारों चतुर्थांशों से होकर गुजरता है यदि उसके केंद्र $(h,k)$ के लिए $h^2 < r^2$ और $k^2 < r^2$ हो।
$C_2(-3,-1)$ के लिए,$h^2 = 9 < 25$ और $k^2 = 1 < 25$ है। अतः,यह चारों चतुर्थांशों से होकर गुजरता है।
अतः,अभीष्ट समीकरण $x^2+y^2+6x+2y-15=0$ है।

(C) वृत्तों $S_1: x^2+y^2-8x=0$ और $S_2: x^2+y^2-9=0$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2-8x) + \lambda(x^2+y^2-9) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 - 8x - 9\lambda = 0$
$x^2 + y^2 - \frac{8}{1+\lambda}x - \frac{9\lambda}{1+\lambda} = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $C\left(\frac{4}{1+\lambda}, 0\right)$ है।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है,जो $8x = 9$ है।
चूँकि उभयनिष्ठ जीवा व्यास है,केंद्र $C$ रेखा $8x = 9$ पर स्थित है।
$8\left(\frac{4}{1+\lambda}\right) = 9$
$32 = 9(1+\lambda) = 9 + 9\lambda$
$9\lambda = 23 \Rightarrow \lambda = \frac{23}{9}$.
$\lambda = \frac{23}{9}$ का मान रखने पर:
$\frac{32}{9}x^2 + \frac{32}{9}y^2 - 8x - 23 = 0$
$9$ से गुणा करने पर,$32x^2 + 32y^2 - 72x - 207 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(D) वृत्त $x^2 + y^2 + 6x + 8y - 96 = 0$ के सापेक्ष रेखा $5x + 7y - 78 = 0$ की सभी संयुग्मी रेखाएं दिए गए वृत्त के सापेक्ष दी गई रेखा के ध्रुव (pole) से होकर गुजरती हैं।
माना अभीष्ट ध्रुव $P(x_1, y_1)$ है। दिए गए वृत्त के सापेक्ष बिंदु $P(x_1, y_1)$ की ध्रुवीय रेखा का समीकरण $T = 0$ है।
$xx_1 + yy_1 + 3(x + x_1) + 4(y + y_1) - 96 = 0$
$(x_1 + 3)x + (y_1 + 4)y + (3x_1 + 4y_1 - 96) = 0 \quad \dots (i)$
दी गई रेखा $5x + 7y - 78 = 0$ से तुलना करने पर:
$\frac{x_1 + 3}{5} = \frac{y_1 + 4}{7} = \frac{3x_1 + 4y_1 - 96}{-78} = k$ (माना)
$x_1 = 5k - 3, y_1 = 7k - 4$ और $3x_1 + 4y_1 - 96 = -78k$
$k$ का मान हल करने पर $k = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x_1 = 2$ और $y_1 = 3$.
इस प्रकार,अभीष्ट संगामी बिंदु $(2, 3)$ है। अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(A) प्रथम वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
दूसरे वृत्त $2x^2+2y^2+3x+8y+2c=0$ को $2$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+y^2+\frac{3}{2}x+4y+c=0$ प्राप्त होता है।
मूल अक्ष दोनों समीकरणों को घटाने पर प्राप्त होती है: $(2g-\frac{3}{2})x + (2f-4)y = 0$,जो सरल होकर $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ हो जाता है।
यह रेखा वृत्त $x^2+y^2+2x+2y+1=0$ को स्पर्श करती है,जिसे $(x+1)^2+(y+1)^2=1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस वृत्त का केंद्र $(-1, -1)$ है और त्रिज्या $1$ है।
केंद्र $(-1, -1)$ से रेखा $(4g-3)x + 4(f-2)y = 0$ की लंबवत दूरी त्रिज्या $1$ के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{|(4g-3)(-1) + 4(f-2)(-1)|}{\sqrt{(4g-3)^2 + (4(f-2))^2}} = 1$.
$|-(4g-3) - 4(f-2)| = \sqrt{(4g-3)^2 + 16(f-2)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(4g-3)^2 + 16(f-2)^2 + 8(4g-3)(f-2) = (4g-3)^2 + 16(f-2)^2$.
इससे $8(4g-3)(f-2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $(4g-3)(f-2) = 0$।

(D) माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। वृत्त का केंद्र $(-g, -f)$ है।
वृत्त द्वारा $x$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{g^2-c} = 2a$ है,जिसका अर्थ है $g^2-c = a^2$,अतः $c = g^2-a^2$ है।
वृत्त द्वारा $y$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई $2\sqrt{f^2-c} = 2b$ है,जिसका अर्थ है $f^2-c = b^2$,अतः $c = f^2-b^2$ है।
$c$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $g^2-a^2 = f^2-b^2$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $g^2-f^2 = a^2-b^2$ हो जाता है।
केंद्र के निर्देशांक $(x, y)$ को $(-g, -f)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें बिंदुपथ $x^2-y^2 = a^2-b^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $2y^2 + 5x - 6y + 1 = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2(y^2 - 3y) = -5x - 1$ प्राप्त होता है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $2(y^2 - 3y + \frac{9}{4}) = -5x - 1 + \frac{9}{2}$।
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5x + \frac{7}{2}$।
$2(y - \frac{3}{2})^2 = -5(x - \frac{7}{10})$।
$(y - \frac{3}{2})^2 = 4(-\frac{5}{8})(x - \frac{7}{10})$।
इसे मानक रूप $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से तुलना करने पर,शीर्ष $(h, k) = (\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ और $a = -\frac{5}{8}$ प्राप्त होता है।
नाभि $(h + a, k) = (\frac{7}{10} - \frac{5}{8}, \frac{3}{2}) = (\frac{28 - 25}{40}, \frac{3}{2}) = (\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ द्वारा दी जाती है।
अतः,शीर्ष और नाभि क्रमशः $(\frac{7}{10}, \frac{3}{2})$ और $(\frac{3}{40}, \frac{3}{2})$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $y^2-4x+6y+17=0$ है।
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(y^2+6y+9)-9-4x+17=0$
$(y+3)^2-4x+8=0$
$(y+3)^2=4(x-2)$.
इसे मानक रूप $Y^2=4aX$ से तुलना करने पर,जहाँ $Y=y+3$ और $X=x-2$,हम देखते हैं कि मूल बिंदु को $(h, k) = (2, -3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
अतः,$h=2$ और $k=-3$ है।
$h^2+k^2$ की गणना करने पर:
$h^2+k^2 = (2)^2+(-3)^2 = 4+9 = 13$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $20(x^2+y^2-6x-2y+10) = (4x-2y-5)^2$ है।
$20$ से भाग देने पर,हमें $(x-3)^2 + (y-1)^2 = \left(\frac{4x-2y-5}{\sqrt{20}}\right)^2$ प्राप्त होता है।
यह $SP^2 = PM^2$ के रूप में है,जहाँ $S(3,1)$ नाभि है और $4x-2y-5=0$ नियता (directrix) है।
नाभि से नियता की दूरी $2a = \frac{|4(3)-2(1)-5|}{\sqrt{4^2+(-2)^2}} = \frac{|12-2-5|}{\sqrt{16+4}} = \frac{5}{\sqrt{20}} = \frac{5}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$ है।
नाभिलंब की लंबाई $4a = 2(2a) = 2 \times \frac{\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$ है।

(C) परवलय का दिया गया समीकरण $y^2-8x-4y-12=0$ है।
$y$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(y^2-4y+4)-4-8x-12=0$
$(y-2)^2=8x+16$
$(y-2)^2=8(x+2)$।
इसे मानक रूप $(y-k)^2=4a(x-h)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $h=-2, k=2$ और $4a=8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a=2$।
$(y-k)^2=4a(x-h)$ के लिए प्राचलिक समीकरण $x=h+at^2$ और $y=k+2at$ हैं।
मान रखने पर,हमें $x=-2+2t^2$ और $y=2+2(2)t$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $x=-2+2t^2$ और $y=2+4t$ हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2 = 9x$ है। यहाँ,$4a = 9$,इसलिए $a = \frac{9}{4}$ है।
बिंदु $t$ पर अभिलंब जीवा का समीकरण $y = -tx + 2at + at^3$ है।
$a = \frac{9}{4}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y = -tx + \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ प्राप्त होता है,जिसे $tx + y = \frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि जीवा शीर्ष $V(0,0)$ पर समकोण बनाती है,इसलिए रेखा समीकरण का उपयोग करके परवलय $y^2 = 9x$ को समघात (homogenize) करने पर:
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{2}t + \frac{9}{4}t^3} \right)$
$y^2 = 9x \left( \frac{tx + y}{\frac{9}{4}t(2 + t^2)} \right) = \frac{4x(tx + y)}{t(2 + t^2)}$
$t(2 + t^2)y^2 = 4tx^2 + 4xy$
$4tx^2 + 4xy - t(2 + t^2)y^2 = 0$
मूल बिंदु पर समकोण के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4t - t(2 + t^2) = 0$
चूंकि $t \neq 0$,$t$ से विभाजित करने पर:
$4 - (2 + t^2) = 0$
$4 - 2 - t^2 = 0$
$t^2 = 2 \Rightarrow t = \pm \sqrt{2}$।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) माना नाभीय जीवा के खंडों की लंबाई $l_1 = 5$ और $l_2 = 3$ है।
परवलय के लिए,अर्ध-नाभिलंब $L$ किसी भी नाभीय जीवा के खंडों का हरात्मक माध्य होता है।
अतः,$L = \frac{2 l_1 l_2}{l_1 + l_2}$.
मान रखने पर,$L = \frac{2 \times 5 \times 3}{5 + 3} = \frac{30}{8} = \frac{15}{4}$.
नाभिलंब की लंबाई $2L$ होती है।
इसलिए,नाभिलंब की लंबाई $= 2 \times \frac{15}{4} = \frac{15}{2}$ इकाई।

(B) परवलय का समीकरण $x^2=4ay$ है और रेखा $y=2x+1$ है। यहाँ $m=2$ और $c=1$ है।
$x = \frac{y-1}{2}$ को परवलय के समीकरण में रखने पर:
$(\frac{y-1}{2})^2 = 4ay$ $\Rightarrow y^2 - 2y + 1 = 16ay$ $\Rightarrow y^2 - (16a+2)y + 1 = 0$.
माना मूल $y_1$ और $y_2$ हैं। तब $y_1+y_2 = 16a+2$ और $y_1y_2 = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं।
अंतःखंड की लंबाई $L = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ है।
चूंकि $y=2x+1$,$x_2-x_1 = \frac{y_2-y_1}{2}$.
$L = \sqrt{\frac{5}{4}(y_2-y_1)^2} = \frac{\sqrt{5}}{2} \sqrt{(y_1+y_2)^2 - 4y_1y_2}$.
$L = \sqrt{40}$ दिया गया है,इसलिए $40 = \frac{5}{4} ((16a+2)^2 - 4)$.
$32 = (16a+2)^2 - 4 \Rightarrow (16a+2)^2 = 36$.
$16a+2 = 6$ या $16a+2 = -6$.
$16a = 4$ $\Rightarrow a = 1/4$ $\Rightarrow 4a = 1$ (विकल्पों में नहीं है)।
$16a = -8$ $\Rightarrow a = -1/2$ $\Rightarrow 4a = -2$.
अतः,$4a$ का मान $-2$ है।

(A) दिया गया परवलय $(y - 3)^2 = 12(x - 2)$ है।
इसकी तुलना $(y - k)^2 = 4a(x - h)$ से करने पर,$h = 2, k = 3$ और $4a = 12$ प्राप्त होता है,अतः $a = 3$ है।
परवलय की नियता (directrix) $x = h - a = 2 - 3 = -1$ है।
परवलय का एक ज्ञात गुण यह है कि दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु नियता पर स्थित होता है।
चूंकि दोनों स्पर्श रेखाएं लंबवत हैं और बिंदु $P$ पर मिलती हैं,इसलिए बिंदु $P$ को नियता $x = -1$ पर स्थित होना चाहिए।
प्रथम स्पर्श रेखा के समीकरण $y = 3x - 2$ में $x = -1$ रखने पर:
$y = 3(-1) - 2 = -3 - 2 = -5$.
अतः,बिंदु $P$ $(-1, -5)$ है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $m x - y + (10 + m^2) = 0$ है।
इसे $m$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $m^2 + m x + (10 - y) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि रेखा परवलय की स्पर्शरेखा है,इसलिए इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $D$ शून्य होना चाहिए।
$a m^2 + b m + c = 0$ के लिए,$D = b^2 - 4ac = 0$ होता है।
यहाँ,$a = 1$,$b = x$,और $c = (10 - y)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $x^2 - 4(1)(10 - y) = 0$।
$x^2 - 40 + 4y = 0$।
$x^2 = -4(y - 10)$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) परवलय $y^2=4x$ के लिए $(t^2, 2t)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $yt = x + t^2$ है,जिसे $y = \frac{1}{t}x + t$ के रूप में लिखा जा सकता है ... $(i)$.
दीर्घवृत्त का समीकरण $4x^2+5y^2=20$ है,या $\frac{x^2}{5} + \frac{y^2}{4} = 1$.
दीर्घवृत्त पर बिंदु $(x_1, y_1) = (\sqrt{5} \cos \theta, 2 \sin \theta)$ पर अभिलंब का समीकरण $\frac{a^2x}{x_1} - \frac{b^2y}{y_1} = a^2 - b^2$ है।
यहाँ $a^2=5$ और $b^2=4$ है,इसलिए $\frac{5x}{\sqrt{5} \cos \theta} - \frac{4y}{2 \sin \theta} = 5 - 4 = 1$.
$\sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 2 \csc \theta \cdot y = 1$.
$y$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $2 \csc \theta \cdot y = \sqrt{5} \sec \theta \cdot x - 1$ $\Rightarrow y = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta \cdot x - \frac{1}{2} \sin \theta$ ... $(ii)$.
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{1}{t} = \frac{\sqrt{5}}{2} \tan \theta$ ... $(iii)$
$t = -\frac{1}{2} \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = -2t$ ... $(iv)$
$(iv)$ से,$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta = 1 - 4t^2$,इसलिए $\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} = \frac{4t^2}{1-4t^2}$.
$(iii)$ में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{t^2} = \frac{5}{4} \tan^2 \theta = \frac{5}{4} \cdot \frac{4t^2}{1-4t^2} = \frac{5t^2}{1-4t^2}$.
$1 - 4t^2 = 5t^4 \Rightarrow 5t^4 + 4t^2 = 1$.

(D) परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ है।
यदि यह अभिलंब बिंदु $(h, k)$ से गुजरता है,तो $k=mh-2am-am^3$,जो $m$ में एक त्रिघात समीकरण है: $am^3 + (2a-h)m + k = 0$।
मान लीजिए कि इसके मूल $m_1, m_2, m_3$ हैं।
चूंकि अभिलंब लंबवत हैं,इसलिए $m_1m_2 = -1$।
मूलों के गुणों के अनुसार,मूलों का गुणनफल $m_1m_2m_3 = -k/a$ होता है।
$m_1m_2 = -1$ रखने पर,$(-1)m_3 = -k/a$,अतः $m_3 = k/a$।
चूंकि $m_3$ एक मूल है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा: $a(k/a)^3 + (2a-h)(k/a) + k = 0$।
इसे सरल करने पर: $k^3/a^2 + 2k - hk/a + k = 0$।
$k$ से भाग देने पर: $k^2/a^2 + 3 - h/a = 0$।
$k^2 = ah - 3a^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $y^2 = ax - 3a^2$ या $y^2 - ax + 3a^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $y^2=4x$ है,जिसका अर्थ है $a=1$ है।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए $m$ ढाल वाले अभिलंब का समीकरण $y=mx-2am-am^3$ होता है।
$a=1$ प्रतिस्थापित करने पर,अभिलंब का समीकरण $y=mx-2m-m^3 \dots(I)$ प्राप्त होता है।
दी गई रेखा $x+3y+1=0$ है,जिसे $y=-\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}$ के रूप में लिखा जा सकता है। इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{1}{3}$ है।
चूंकि अभिलंब इस रेखा पर लंब है,इसलिए उनकी ढालों का गुणनफल $-1$ होना चाहिए। यदि अभिलंब की ढाल $m$ है,तो $m \times (-\frac{1}{3}) = -1$,जिससे $m=3$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(I)$ में $m=3$ रखने पर:
$y = 3x - 2(3) - (3)^3$
$y = 3x - 6 - 27$
$y = 3x - 33$
$3x - y = 33$.

(B) दी गई अभिव्यक्ति: $\frac{(1-px)^{-1}}{(1-qx)} = a_0+a_1x+a_2x^2+\ldots+a_nx^n+\ldots$
आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(1-px)(1-qx)} = \frac{p}{p-q} \sum (px)^n - \frac{q}{p-q} \sum (qx)^n$.
अतः,$a_n = \frac{p^{n+1}-q^{n+1}}{p-q}$.

(D) दिया गया है $(1+x)^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \ldots + a_n x^n$.
विस्तार में $x = i$ रखने पर:
$(1+i)^n = (a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots) + i(a_1 - a_3 + a_5 - a_7 + \ldots)$.
$1+i$ को ध्रुवीय रूप में व्यक्त करने पर: $1+i = \sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})$.
डी-मोइवर प्रमेय का उपयोग करने पर:
$(1+i)^n = [\sqrt{2}(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4})]^n = 2^{\frac{n}{2}}(\cos \frac{n \pi}{4} + i \sin \frac{n \pi}{4})$.
वास्तविक भागों की तुलना करने पर:
$a_0 - a_2 + a_4 - a_6 + \ldots = 2^{\frac{n}{2}} \cos \frac{n \pi}{4}$.
इसे दिए गए व्यंजक $k \cos \frac{n \pi}{4}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = 2^{\frac{n}{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया है $x=2, y=3$.
$(2x - 3y)^8$ के लिए,पदों की संख्या $8+1=9$ है,इसलिए मध्य पद $5$वाँ पद है।
$a = {^8C_4} (2x)^4 (-3y)^4 = 70 \times 16x^4 \times 81y^4 = 70 \times 2^8 \times 3^8$.
$(3x + 4y)^7$ के लिए,पदों की संख्या $7+1=8$ है,इसलिए मध्य पद $4$थे और $5$वें पद हैं।
$b = {^7C_3} (3x)^4 (4y)^3 = 35 \times 3^7 \times 2^{10}$.
$c = {^7C_4} (3x)^3 (4y)^4 = 35 \times 3^7 \times 2^{11}$.
अब,$\frac{b+c}{a} = \frac{35 \times 3^7 \times 2^{10} + 35 \times 3^7 \times 2^{11}}{70 \times 2^8 \times 3^8} = 2$.

(C) आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हुए,हम लिखते हैं: $\frac{3x^2-5x+3}{(x-1)(2x+1)(x+3)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{2x+1} + \frac{C}{x+3}$.
गुणांकों के लिए हल करने पर: $3x^2-5x+3 = A(2x+1)(x+3) + B(x-1)(x+3) + C(x-1)(2x+1)$.
$x=1$ के लिए: $3-5+3 = A(3)(4) \implies 1 = 12A \implies A = \frac{1}{12}$.
$x=-1/2$ के लिए: $3(1/4) + 5/2 + 3 = B(-3/2)(5/2) \implies 3/4 + 10/4 + 12/4 = -\frac{15}{4}B \implies 25 = -15B \implies B = -\frac{5}{3}$.
$x=-3$ के लिए: $3(9) + 15 + 3 = C(-4)(-5) \implies 45 = 20C \implies C = \frac{9}{4}$.
अतः,$f(x) = -\frac{1}{12}(1-x)^{-1} - \frac{5}{3}(1+2x)^{-1} + \frac{3}{4}(1+x/3)^{-1}$.
$x^4$ का गुणांक $-\frac{1}{12}(1)^4 - \frac{5}{3}(-2)^4 + \frac{3}{4}(-1/3)^4 = -\frac{1}{12} - \frac{80}{3} + \frac{1}{108}$ है।
$= \frac{-9 - 2880 + 1}{108} = -\frac{2888}{108} = -\frac{722}{27}$.

(A) $(3+2x+x^2)^5$ के बहुपदीय विस्तार में सामान्य पद $\frac{5!}{p!q!r!} (3)^p (2x)^q (x^2)^r$ है,जहाँ $p+q+r=5$ है।
हमें $x^5$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $q+2r=5$ होगा।
$(p, q, r)$ के लिए संभावित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हल हैं:
$1$) यदि $r=0$,तो $q=5$,$p=0$. पद: $\frac{5!}{0!5!0!} (3)^0 (2)^5 (1)^0 = 1 \times 1 \times 32 \times 1 = 32$.
$2$) यदि $r=1$,तो $q=3$,$p=1$. पद: $\frac{5!}{1!3!1!} (3)^1 (2)^3 (1)^1 = 20 \times 3 \times 8 = 480$.
$3$) यदि $r=2$,तो $q=1$,$p=2$. पद: $\frac{5!}{2!1!2!} (3)^2 (2)^1 (1)^2 = 30 \times 9 \times 2 = 540$.
इन गुणांकों का योग: $32 + 480 + 540 = 1052$।

(D) $(1+x)^{24}$ के विस्तार में $r$-वां पद $T_r = {}^{24}C_{r-1} x^{r-1}$ है,अतः इसका गुणांक ${}^{24}C_{r-1}$ है।
$(r+1)$-वां पद $T_{r+1} = {}^{24}C_r x^r$ है,अतः इसका गुणांक ${}^{24}C_r$ है।
दिया गया है कि गुणांकों का अनुपात $12:13$ है,इसलिए $\frac{{}^{24}C_{r-1}}{{}^{24}C_r} = \frac{12}{13}$।
सूत्र $\frac{{}^nC_{k-1}}{{}^nC_k} = \frac{k}{n-k+1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{r}{25-r} = \frac{12}{13}$ प्राप्त होता है।
$13r = 300 - 12r \implies 25r = 300 \implies r = 12$।
अब,$r=12$ के लिए द्विघात समीकरणों की जाँच करने पर:
$x^2-14x+24=0$ में $x=12$ रखने पर,$144 - 168 + 24 = 0$ प्राप्त होता है,जो सत्य है।
अतः,विकल्प $(d)$ सही है।

(C) दी गई संख्या $N = 2^{\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5} \cdot 3^{\alpha_2+\alpha_5} \cdot 5^{\alpha_4}$ है।
गैर-तुच्छ सम भाजकों की संख्या $(\alpha_1+2\alpha_3+\alpha_5)(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1$ है,अतः कथन $I$ गलत है।
गैर-तुच्छ विषम भाजकों की संख्या $(\alpha_2+\alpha_5+1)(\alpha_4+1)-1 = \alpha_2+\alpha_4+\alpha_5+\alpha_2\alpha_4+\alpha_4\alpha_5$ है,अतः कथन $II$ सही है।

(C) $(1+2x)^n$ में सभी गुणांकों का योग $x=1$ रखने पर प्राप्त होता है,जो $(1+2)^n = 3^n = 6561$ देता है। चूँकि $3^8 = 6561$,इसलिए $n=8$ है।
दिया गया है $R = (1+2x)^n = (1+\sqrt{2})^8 = I+F$,जहाँ $I \in N$ और $0 < F < 1$ है।
मान लीजिए $F' = (\sqrt{2}-1)^8$ है। चूँकि $0 < \sqrt{2}-1 < 1$,इसलिए $0 < F' < 1$ है।
$R + F' = (\sqrt{2}+1)^8 + (\sqrt{2}-1)^8$ पर विचार करें।
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके विस्तार करने पर,विषम पद कट जाते हैं,जिससे एक सम पूर्णांक प्राप्त होता है।
अतः,$I+F+F' = \text{सम पूर्णांक}$,जिसका अर्थ है $F+F' = 1$ क्योंकि $0 < F+F' < 2$ है।
इसलिए,$F = 1 - F' = 1 - (\sqrt{2}-1)^8$ है।
अब,$1 - \frac{F}{1+(\sqrt{2}-1)^4} = 1 - \frac{1-(\sqrt{2}-1)^8}{1+(\sqrt{2}-1)^4}$ की गणना करें।
वर्गों के अंतर $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करते हुए,$1-(\sqrt{2}-1)^8 = [1-(\sqrt{2}-1)^4][1+(\sqrt{2}-1)^4]$ प्राप्त होता है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$1 - [1-(\sqrt{2}-1)^4] = (\sqrt{2}-1)^4$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $(1+x+x^2)^n = c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots + c_{2n} x^{2n}$।
$x$ को $-1/x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(1 - 1/x + 1/x^2)^n = c_0 - c_1/x + c_2/x^2 - \ldots + c_{2n} (-1/x)^{2n}$
$(x^2 - x + 1)^n / x^{2n} = (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}) / x^{2n}$
अतः,$(1 - x + x^2)^n = c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots + c_{2n}$।
अब,गुणनफल $(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = (c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + \ldots) (c_0 x^{2n} - c_1 x^{2n-1} + c_2 x^{2n-2} - \ldots)$ पर विचार करें।
पद $c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots$ इन दो श्रेणियों के गुणनफल में $x^{2n-1}$ का गुणांक है।
$(1+x+x^2)^n (1-x+x^2)^n = ((1+x^2)+x)^n ((1+x^2)-x)^n = ((1+x^2)^2 - x^2)^n = (1 + 2x^2 + x^4 - x^2)^n = (1 + x^2 + x^4)^n$।
$(1 + x^2 + x^4)^n$ के विस्तार में,केवल $x$ की सम घातें मौजूद होती हैं।
चूंकि $2n-1$ एक विषम संख्या है,इसलिए $x^{2n-1}$ का गुणांक $0$ है।
अतः,$c_0 c_1 - c_1 c_2 + c_2 c_3 - \ldots = 0$।

(B) मान लीजिए योग $S = \sum_{k=0}^n a_k C_k$ है। चूँकि $a_k$ समांतर श्रेणी में है,$a_k = a_0 + kd$,जहाँ $d$ सार्व अंतर है।
अतः,$S = \sum_{k=0}^n (a_0 + kd) C_k = a_0 \sum_{k=0}^n C_k + d \sum_{k=0}^n k C_k$.
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^n C_k = 2^n$ और $\sum_{k=0}^n k C_k = n 2^{n-1}$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$S = a_0 2^n + d n 2^{n-1} = 2^{n-1} (2a_0 + nd)$.
चूँकि $a_n = a_0 + nd$,हमारे पास $2a_0 + nd = a_0 + (a_0 + nd) = a_0 + a_n$ है।
इसलिए,$S = (a_0 + a_n) 2^{n-1}$.

(C) $(1+x)^n$ का द्विपद विस्तार $1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \dots$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $n = \frac{21}{5} = 4.2$ है।
जब $(n-r+1) < 0$ होता है,तब गुणांक ऋणात्मक हो जाता है।
चूँकि $n-5 = 4.2 - 5 = -0.8$,इसलिए $x^6$ का गुणांक पहला ऋणात्मक पद होगा।
गणना करने पर,गुणांक $\frac{\frac{21}{5} \cdot \frac{16}{5} \cdot \frac{11}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{5} \cdot (-\frac{4}{5})}{6!} = \frac{-616}{5^7}$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई व्यंजक: $\sqrt{x^2+4}-\sqrt{x^2+9}$
$= 2(1+\frac{x^2}{4})^{1/2} - 3(1+\frac{x^2}{9})^{1/2}$
द्विपद विस्तार $(1+u)^n = 1 + nu + \frac{n(n-1)}{2!}u^2 + \dots$ का उपयोग करते हुए
$= 2[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{4}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{4})^2 + \dots] - 3[1 + \frac{1}{2}(\frac{x^2}{9}) + \frac{\frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)}{2!}(\frac{x^2}{9})^2 + \dots]$
$x^4$ वाला पद: $2[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{16})] - 3[\frac{-1/4}{2}(\frac{x^4}{81})]$
$= 2[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{16}] - 3[-\frac{1}{8} \cdot \frac{x^4}{81}]$
$= -\frac{x^4}{64} + \frac{x^4}{216} = x^4(\frac{-216+64}{13824}) = x^4(\frac{-152}{13824}) = -\frac{19}{1728}x^4$
अतः,$x^4$ का गुणांक $-\frac{19}{1728}$ है।

(C) चूंकि $x$ बहुत छोटा है,हम द्विपद सन्निकटन $(1+nx) \approx (1+x)^n$ का उपयोग कर सकते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति के लिए:
$\left(1+\frac{3}{4} x\right)^{\frac{1}{2}} \approx 1 + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} x = 1 + \frac{3}{8} x$
$\left(1-\frac{2}{3} x\right)^{-2} \approx 1 + (-2) \cdot \left(-\frac{2}{3} x\right) = 1 + \frac{4}{3} x$
इन दोनों का गुणा करने पर और $x^2$ वाले पदों को छोड़ने पर:
$\left(1+\frac{3}{8} x\right)\left(1+\frac{4}{3} x\right) \approx 1 + \frac{3}{8} x + \frac{4}{3} x = 1 + \frac{41}{24} x = \frac{24+41 x}{24}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम $(1-ax)^{-1} = 1 + ax + a^2x^2 + a^3x^3 + a^4x^4 + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक $(1-x)^{-1}(1-2x)^{-1}(1-3x)^{-1}$ है।
प्रत्येक पद का $x^4$ तक विस्तार करने पर:
$(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+2x+4x^2+8x^3+16x^4)(1+3x+9x^2+27x^3+81x^4)$।
इन श्रेणियों का गुणा करने पर,$x^4$ का गुणांक उन सभी पदों के योग से प्राप्त होता है जिनकी घातों का योग $4$ होता है:
$1(1)(81) + 1(2)(27) + 1(4)(9) + 1(8)(3) + 1(16)(1) + 1(3)(27) + 1(9)(8) + 1(27)(4) + 1(1)(27) + 1(3)(8) + 1(9)(4) + 1(27)(2) + 1(1)(16) + 1(3)(4) + 1(9)(2) + 1(27)(1) + 1(1)(9) + 1(3)(2) + 1(9)(1) + 1(1)(3) + 1(3)(1) + 1(1)(1) = 301$।
अतः,$x^4$ का गुणांक $301$ है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $7x^2 + 16y^2 = 112$ है।
$112$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{7} = 1$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$a^2 = 16$ और $b^2 = 7$ है।
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ को $e = \sqrt{1 - \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दिया जाता है।
$e = \sqrt{1 - \frac{7}{16}} = \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$।
दीर्घवृत्त की परिभाषा के अनुसार,बिंदु $P$ की नाभि $S$ से दूरी और नियता $L$ से दूरी का अनुपात उत्केंद्रता $e$ के बराबर होता है।
अतः,$\frac{SP}{PM} = e = \frac{3}{4}$।

(A) माना प्रतिच्छेद बिंदु $(x_0, y_0)$ है। परवलय $y^2=4ax$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल $m_1 = \frac{2a}{y_0}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ के लिए,स्पर्श रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}$ है।
चूंकि वे समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं,$m_1 m_2 = -1$,अतः $\left(\frac{2a}{y_0}\right) \left(-\frac{b^2 x_0}{a^2 y_0}\right) = -1 \Rightarrow \frac{2b^2 x_0}{a y_0^2} = 1$.
$y_0^2 = 4ax_0$ रखने पर,$\frac{2b^2 x_0}{a(4ax_0)} = 1$ $\Rightarrow \frac{b^2}{2a^2} = 1$ $\Rightarrow b^2 = 2a^2$.
दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता $e$ के लिए $a^2 = b^2(1-e^2)$ $\Rightarrow a^2 = 2a^2(1-e^2)$ $\Rightarrow 1 = 2(1-e^2)$ $\Rightarrow 2e^2 = 1$.

(C) समबाहु त्रिभुज के लिए,परिकेंद्र और केंद्रक एक ही होते हैं। शीर्षों के निर्देशांक $i=1, 2, 3$ के लिए $(a \cos \theta_i, b \sin \theta_i)$ हैं।
अतः,$(l, m) = \left(\frac{a(\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)}{3}, \frac{b(\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)}{3}\right)$.
इससे $\frac{3l}{a} = \cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3$ और $\frac{3m}{b} = \sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = (\cos \theta_1 + \cos \theta_2 + \cos \theta_3)^2 + (\sin \theta_1 + \sin \theta_2 + \sin \theta_3)^2$.
वर्गों का विस्तार करने पर:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2(\cos \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_2 \cos \theta_3 + \cos \theta_3 \cos \theta_1 + \sin \theta_1 \sin \theta_2 + \sin \theta_2 \sin \theta_3 + \sin \theta_3 \sin \theta_1)$.
$\cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$\frac{9l^2}{a^2} + \frac{9m^2}{b^2} = 3 + 2[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
$3$ से भाग देने पर:
$\frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} = 1 + \frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)]$.
अतः,$\frac{2}{3}[\cos(\theta_1-\theta_2) + \cos(\theta_2-\theta_3) + \cos(\theta_3-\theta_1)] = \frac{3l^2}{a^2} + \frac{3m^2}{b^2} - 1$.

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{64} + \frac{y^2}{16} = 1$ है। प्रथम चतुर्थांश में आयत का एक शीर्ष $(x, y) = (8 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ मानिए।
आयत की लंबाई $l = 2x = 16 \cos \theta$ और चौड़ाई $b = 2y = 8 \sin \theta$ है।
क्षेत्रफल $A = l \times b = (16 \cos \theta)(8 \sin \theta) = 128 \sin \theta \cos \theta = 64 \sin 2 \theta$.
क्षेत्रफल अधिकतम होने के लिए,$\sin 2 \theta = 1$ होना चाहिए,इसलिए $2 \theta = \frac{\pi}{2}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।
$\theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$l = 16 \cos \frac{\pi}{4} = 16 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 8 \sqrt{2}$.
$b = 8 \sin \frac{\pi}{4} = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$.
अतः,$(l, b) = (8 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$.

(C) माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ पर बिंदु $P(a \cos \theta, b \sin \theta)$ है।
दीर्घवृत्त की नाभियाँ $F_1(ae, 0)$ और $F_2(-ae, 0)$ हैं।
त्रिभुज $P F_1 F_2$ का आधार नाभियों के बीच की दूरी $F_1 F_2 = 2ae$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई बिंदु $P$ के $y$-निर्देशांक का निरपेक्ष मान $h = |b \sin \theta|$ है।
त्रिभुज $P F_1 F_2$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times (2ae) \times |b \sin \theta| = aeb |\sin \theta|$ है।
$A$ के अधिकतम मान के लिए,$|\sin \theta|$ का अधिकतम मान $1$ होना चाहिए।
अतः,$A_{\text{max}} = aeb$ है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(A) $P(a, 2)$ से गुजरने वाली और $X$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-a}{\cos 45^{\circ}} = \frac{y-2}{\sin 45^{\circ}} = r$ है,जो $x = a + \frac{r}{\sqrt{2}}$ और $y = 2 + \frac{r}{\sqrt{2}}$ में सरल होता है।
$X$-अक्ष पर बिंदु $B$ के लिए,$y=0 \Rightarrow 2 + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -2\sqrt{2}$,अतः $PB = 2\sqrt{2}$।
$Y$-अक्ष पर बिंदु $C$ के लिए,$x=0 \Rightarrow a + \frac{r}{\sqrt{2}} = 0 \Rightarrow r = -a\sqrt{2}$,अतः $PC = a\sqrt{2}$।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ पर बिंदुओं $A$ और $D$ के लिए,$x$ और $y$ के मान रखने पर:
$\frac{(a + r/\sqrt{2})^2}{9} + \frac{(2 + r/\sqrt{2})^2}{4} = 1$.
इसे हल करने पर,$13r^2/2 + (4\sqrt{2}a + 18\sqrt{2})r + 4a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
मूलों का गुणनफल $PA \cdot PD = \frac{4a^2}{13/2} = \frac{8a^2}{13}$।
चूँकि $PA, PB, PC, PD$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,$PA \cdot PD = PB \cdot PC$।
$\frac{8a^2}{13} = (2\sqrt{2})(a\sqrt{2}) = 4a \Rightarrow 2a = 13$।

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ पर बिंदुओं $A(\alpha)$ और $B(\beta)$ को जोड़ने वाली जीवा का समीकरण $\frac{x}{a} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + \frac{y}{b} \sin \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$ है।
दिए गए दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ के लिए,$a=5$ और $b=3$ है। नाभि $(ae, 0) = (4, 0)$ है।
चूंकि जीवा नाभि $(4, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x=4$ और $y=0$ रखने पर:
$\frac{4}{5} \cos \frac{\alpha+\beta}{2} = \cos \frac{\alpha-\beta}{2}$.
विस्तार करने पर:
$4(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}) = 5(\cos \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\beta}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2})$.
दोनों पक्षों को $\sin \frac{\alpha}{2} \sin \frac{\beta}{2}$ से विभाजित करने पर:
$4(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 1) = 5(\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 1)$.
$4 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} - 4 = 5 \cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} + 5$.
$\cot \frac{\alpha}{2} \cot \frac{\beta}{2} = -9$.

(C) दी गई रेखा $4x - y + c = 0$ है। दीर्घवृत्त का मानक रूप $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ है।
स्पर्श रेखा की शर्त $c^2 = a^2m^2 + b^2$ का उपयोग करने पर,$c^2 = 17$ प्राप्त होता है।
अतः $c = \pm \sqrt{17}$।
समीकरण $x^3 - x^2 - 17x + 17 = 0$ के गुणनखंड करने पर $(x-1)(x^2-17) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके मूल $1, \sqrt{17}, -\sqrt{17}$ हैं।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $3x + 4y - 5 = 0$ है,जिसे $\frac{3x + 4y}{5} = 1$ $(i)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
वक्र का समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 5$ (ii) है।
$\angle AOB$ ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघात (homogenize) बनाएंगे:
$2x^2 + 3y^2 = 5(1)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{3x + 4y}{5}\right)^2$
$2x^2 + 3y^2 = 5\left(\frac{9x^2 + 16y^2 + 24xy}{25}\right)$
$10x^2 + 15y^2 = 9x^2 + 16y^2 + 24xy$
$x^2 - 24xy - y^2 = 0$
यह $OA$ और $OB$ रेखाओं के युग्म को दर्शाने वाला द्विघात समघात समीकरण है। सामान्य रूप $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है। यहाँ,$a = 1$,$b = -1$,और $h = -12$ है।
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left|\frac{2\sqrt{h^2 - ab}}{a + b}\right|$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $a + b = 1 + (-1) = 0$ है,इसलिए रेखाएं परस्पर लंबवत हैं।
अतः,$\angle AOB = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$ है।
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ से तुलना करने पर,$a^2=9$ और $b^2=5$ प्राप्त होता है।
उत्केंद्रता $e=\sqrt{1-\frac{5}{9}}=\frac{2}{3}$ है।
नाभिलंब के सिरों के निर्देशांक $L(2, \frac{5}{3})$,$M(-2, \frac{5}{3})$,$M'(-2, -\frac{5}{3})$ और $L'(2, -\frac{5}{3})$ हैं।
इन बिंदुओं पर स्पर्श रेखाओं के समीकरण $2x+3y=9$,$2x-3y=9$,$-2x+3y=9$ और $-2x-3y=9$ हैं।
इन रेखाओं द्वारा निर्मित समचतुर्भुज के शीर्ष $A(0, 3)$,$B(-\frac{9}{2}, 0)$,$C(0, -3)$ और $D(\frac{9}{2}, 0)$ हैं।
चतुर्भुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{विकर्ण}_1 \times \text{विकर्ण}_2 = \frac{1}{2} \times 9 \times 6 = 27$ वर्ग इकाई।

(C) दिए गए दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ है।
मान लीजिए दीर्घवृत्त पर एक बिंदु $P(5 \cos \theta, 4 \sin \theta)$ है।
बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $\frac{x \cos \theta}{5} + \frac{y \sin \theta}{4} = 1$ है।
$X$-अक्ष पर प्रतिच्छेद बिंदु $Q$ के लिए $y=0$ रखने पर,$x = \frac{5}{\cos \theta}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (5 \sec \theta, 0)$।
चूंकि $R$,$y=x$ के सापेक्ष $Q$ का प्रतिबिंब है,निर्देशांकों को बदलने पर $R = (0, 5 \sec \theta)$ प्राप्त होता है।
$QR$ को व्यास मानकर वृत्त का समीकरण $(x - x_Q)(x - x_R) + (y - y_Q)(y - y_R) = 0$ होता है।
मान रखने पर,$(x - 5 \sec \theta)(x - 0) + (y - 0)(y - 5 \sec \theta) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $x^2 + y^2 - (5 \sec \theta)x - (5 \sec \theta)y = 0$ में सरल हो जाता है।
$\theta$ के किसी भी मान के लिए,बिंदु $(0,0)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है।
अतः,वृत्त हमेशा मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है।

(B) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4 x^2+9 y^2-24 x+36 y=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$4(x-3)^2+9(y+2)^2 = 72$
$\frac{(x-3)^2}{18}+\frac{(y+2)^2}{8}=1$
यहाँ $a^2=18$ और $b^2=8$ है।
परस्पर लंबवत स्पर्श रेखाओं के बिंदुपथ को नियामक वृत्त (director circle) कहा जाता है,जिसका समीकरण $(x-h)^2+(y-k)^2 = a^2+b^2$ होता है।
मान रखने पर:
$(x-3)^2+(y+2)^2 = 18+8$
$x^2-6 x+9+y^2+4 y+4 = 26$
$x^2+y^2-6 x+4 y-13 = 0$.

(B) माना दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है जहाँ $a > b$ है।
नाभिलंब की लंबाई $\frac{2b^2}{a} = 4$ है,जिसका अर्थ है $b^2 = 2a$।
नाभियों के बीच की दूरी $2ae = 4\sqrt{2}$ है,इसलिए $ae = 2\sqrt{2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$a^2e^2 = 8$।
चूँकि $e^2 = 1 - \frac{b^2}{a^2}$,हमारे पास $a^2(1 - \frac{b^2}{a^2}) = 8$ है,जो $a^2 - b^2 = 8$ में सरल हो जाता है।
$b^2 = 2a$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $a^2 - 2a - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(a - 4)(a + 2) = 0$।
चूँकि $a > 0$,इसलिए $a = 4$।
तब $b^2 = 2(4) = 8$।
दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{8} = 1$ है,जो $x^2 + 2y^2 = 16$ में सरल हो जाता है।

(B) दिए गए समीकरण हैं:
$(i) \ 9x^2 - 16y^2 = 144 \Rightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$
$(ii) \ 9x^2 - 16y^2 = -144 \Rightarrow \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{16} = 1$
समीकरण $(i)$ एक अतिपरवलय को दर्शाता है और समीकरण $(ii)$ इसके संयुग्मी अतिपरवलय को दर्शाता है।
अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_1$ का मान $e_1^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{9}{16} = \frac{25}{16}$ है।
संयुग्मी अतिपरवलय $\frac{y^2}{b^2} - \frac{x^2}{a^2} = 1$ के लिए,उत्केंद्रता $e_2$ का मान $e_2^2 = 1 + \frac{a^2}{b^2} = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ है।
हम जानते हैं कि संयुग्मी अतिपरवलयों के लिए,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = 1$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{25/16} + \frac{1}{25/9} = \frac{16}{25} + \frac{9}{25} = \frac{25}{25} = 1$.
अब,$\frac{1}{e_1^2} + \frac{1}{e_2^2} = \frac{e_1^2 + e_2^2}{e_1^2 e_2^2} = 1$.
अतः,$\frac{e_1^2 e_2^2}{e_1^2 + e_2^2} = 1$।

(B) $(0,0)$ केंद्र और $X$-अक्ष पर अनुप्रस्थ अक्ष वाले अतिपरवलय का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ है।
अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2a = 12$ दी गई है,इसलिए $a = 6$ है।
$a=6$ को समीकरण में रखने पर,$\frac{x^2}{36} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु $(8,2)$ अतिपरवलय पर स्थित है,इसलिए $\frac{8^2}{36} - \frac{2^2}{b^2} = 1$ होगा।
$\frac{64}{36} - \frac{4}{b^2} = 1 \implies \frac{16}{9} - 1 = \frac{4}{b^2}$.
$\frac{7}{9} = \frac{4}{b^2} \implies b^2 = \frac{36}{7}$.
उत्केंद्रता $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ द्वारा दी जाती है।
$e = \sqrt{1 + \frac{36/7}{36}} = \sqrt{1 + \frac{1}{7}} = \sqrt{\frac{8}{7}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{7}}$.

(A) दो रेखाओं $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ और $l_2x + m_2y + n_2 = 0$ के अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के सापेक्ष संयुग्मी होने की शर्त $a^2l_1l_2 - b^2m_1m_2 = n_1n_2$ है।
दिए गए अतिपरवलय $5x^2 - 6y^2 = 15$ को $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{5/2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = 3$ और $b^2 = \frac{5}{2}$ है।
रेखाओं $2x - ky + 3 = 0$ और $3x - y + 1 = 0$ के लिए,$l_1 = 2, m_1 = -k, n_1 = 3$ और $l_2 = 3, m_2 = -1, n_2 = 1$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$3(2)(3) - (\frac{5}{2})(-k)(-1) = (3)(1)$
$18 - \frac{5}{2}k = 3$
$15 = \frac{5}{2}k$
$k = \frac{15 \times 2}{5} = 6$.

(A) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $16x^2 - 25y^2 - 96x + 100y - 356 = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$16(x - 3)^2 - 25(y - 2)^2 = 400$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{(x - 3)^2}{25} - \frac{(y - 2)^2}{16} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ $a^2 = 25$ और $b^2 = 16$ है।
स्पर्श रेखा अनुप्रस्थ अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,इसलिए ढाल $m = \tan(45^{\circ}) = 1$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $Y = mX \pm \sqrt{a^2m^2 - b^2}$ है,जहाँ $X = x - 3$ और $Y = y - 2$ है।
मान रखने पर,$y - 2 = 1(x - 3) \pm \sqrt{25(1)^2 - 16} = x - 3 \pm 3$।
अतः $y - 2 = x$ या $y - 2 = x - 6$।
जो $x - y + 2 = 0$ या $x - y - 4 = 0$ देता है।
अतः विकल्प $A$ सही है।

(B) अतिपरवलय $xy=4$ के लिए बिंदु $(2t, 2/t)$ पर अभिलंब का समीकरण $2t^4 - xt^3 + yt - 2 = 0$ है।
यह अभिलंब $(a, b)$ से गुजरता है,इसलिए $2t^4 - at^3 + bt - 2 = 0$।
माना मूल $t_1, t_2, t_3, t_4$ हैं,जहाँ $\alpha_i = 2t_i$ और $\beta_i = 2/t_i$।
विएटा के सूत्रों के अनुसार: $\sum \alpha_i = a$,$\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4 = -16$ और $\sum \beta_i = b$।
अतः,$\frac{\sum \alpha_i}{\sum \beta_i} (\alpha_1 \alpha_2 \alpha_3 \alpha_4) = \frac{a}{b} (-16) = -16 \frac{a}{b}$।

(A) माना कि अभीष्ट सदिश $d$,$b$ और $c$ के समतल में है। अतः,किसी अदिश $\lambda$ के लिए $d = b + \lambda c$ होगा।
दिए गए सदिशों को प्रतिस्थापित करने पर:
$d = (\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}) + \lambda(\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) = (1 + \lambda)\hat{i} + (2 + \lambda)\hat{j} - (1 + 2\lambda)\hat{k}$.
$d$ का $a$ पर प्रक्षेप $\frac{|d \cdot a|}{|a|} = \sqrt{\frac{2}{3}}$ द्वारा दिया जाता है।
सबसे पहले,$a \cdot d$ की गणना करें:
$a \cdot d = 2(1 + \lambda) - 1(2 + \lambda) + 1(-1 - 2\lambda) = 2 + 2\lambda - 2 - \lambda - 1 - 2\lambda = -\lambda - 1$.
इसके बाद,$|a| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
अतः,$\frac{|-\lambda - 1|}{\sqrt{6}} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{2}{\sqrt{6}}$.
इस प्रकार,$|-\lambda - 1| = 2$,जिसका अर्थ है कि $-\lambda - 1 = 2$ या $-\lambda - 1 = -2$.
यदि $-\lambda - 1 = 2$ है,तो $\lambda = -3$.
$d$ में $\lambda = -3$ रखने पर:
$d = (1 - 3)\hat{i} + (2 - 3)\hat{j} - (1 - 6)\hat{k} = -2\hat{i} - \hat{j} + 5\hat{k}$.
यह विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(B) स्थिति सदिश $\vec{A} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{B} = -2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$,और $\vec{C} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ हैं।
हमें $\angle B$ ज्ञात करना है,जो सदिशों $\vec{BA}$ और $\vec{BC}$ के बीच का कोण है।
$\vec{BA} = \vec{A} - \vec{B} = (1 - (-2))\hat{i} + (2 - 2)\hat{j} + (-5 - 1)\hat{k} = 3\hat{i} - 6\hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B} = (2 - (-2))\hat{i} + (1 - 2)\hat{j} + (-1 - 1)\hat{k} = 4\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$.
कोण $\angle B$ का कोसाइन $\cos(\angle B) = \frac{\vec{BA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{BA}| |\vec{BC}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (3)(4) + (0)(-1) + (-6)(-2) = 12 + 0 + 12 = 24$.
$|\vec{BA}| = \sqrt{3^2 + 0^2 + (-6)^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$.
$|\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$.
$\cos(\angle B) = \frac{24}{3\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{5} \times \sqrt{21}} = \frac{8}{\sqrt{105}}$.
अतः,$\angle B = \cos^{-1}\left(\frac{8}{\sqrt{105}}\right)$.

(B) शीर्ष $A$ से भुजा $BC$ पर डाले गए शीर्षलंब की लंबाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2 \times \text{Area}(\triangle ABC)}{|BC|} = \frac{|\vec{AB} \times \vec{AC}|}{|BC|}$ है।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$,$\vec{AC}$,और $\vec{BC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = -2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA} = -\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -2 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -1 \end{vmatrix} = -3\hat{i} - 3\hat{j} - 3\hat{k}$.
इसका परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = 3\sqrt{3}$ है।
आधार $BC$ का परिमाण $|\vec{BC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{6}$ है।
अतः,$h = \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{3}{\sqrt{2}}$.
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(B) दिया गया समीकरण $a+xb+yc=0$ है।
दोनों पक्षों का $b$ के साथ सदिश गुणन (cross product) करने पर:
$a \times b + x(b \times b) + y(c \times b) = 0$
चूंकि $b \times b = 0$,इसलिए हमें $a \times b = y(b \times c)$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $c$ के साथ सदिश गुणन करने पर:
$a \times c + x(b \times c) + y(c \times c) = 0$
चूंकि $c \times c = 0$,इसलिए हमें $c \times a = x(b \times c)$ प्राप्त होता है।
अब,इन मानों को दिए गए व्यंजक $a \times b + b \times c + c \times a = 6(b \times c)$ में रखने पर:
$y(b \times c) + (b \times c) + x(b \times c) = 6(b \times c)$
$(x+y+1)(b \times c) = 6(b \times c)$
यदि $b \times c \neq 0$ है,तो $x+y+1=6$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $x+y=5$ या $x+y-5=0$ मिलता है।

(B) दिया गया है,$A=(\alpha, 1, 2\alpha)$,$B=(3, 1, 2)$,और $C=4\hat{i}-\hat{j}+3\hat{k}$।
सबसे पहले,सदिश $AB = B - A = (3-\alpha)\hat{i} + (1-1)\hat{j} + (2-2\alpha)\hat{k} = (3-\alpha)\hat{i} + (2-2\alpha)\hat{k}$ ज्ञात करें।
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $AB \times C$ की गणना करें:
$AB \times C = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3-\alpha & 0 & 2-2\alpha \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(0 - (-(2-2\alpha))) - \hat{j}(3(3-\alpha) - 4(2-2\alpha)) + \hat{k}((3-\alpha)(-1) - 0)$
$= \hat{i}(2-2\alpha) - \hat{j}(9-3\alpha-8+8\alpha) + \hat{k}(\alpha-3)$
$= (2-2\alpha)\hat{i} - (5\alpha+1)\hat{j} + (\alpha-3)\hat{k}$।
इसकी तुलना $6\hat{i}+9\hat{j}-5\hat{k}$ से करने पर:
$2-2\alpha = 6 \Rightarrow -2\alpha = 4 \Rightarrow \alpha = -2$।
अन्य घटकों के साथ जांच करने पर: $-(5(-2)+1) = -(-10+1) = 9$ (सही है) और $(-2-3) = -5$ (सही है)।
अतः,$\alpha = -2$।
अंत में,$\alpha^2+\alpha+5 = (-2)^2 + (-2) + 5 = 4 - 2 + 5 = 7$ की गणना करें।

(C) दिया गया है,$r \cdot a = 0$ और $r \times b = c \times b$।
$r \times b = c \times b$ से,हमें $(r - c) \times b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि किसी अदिश $k$ के लिए $r - c = k b$।
अतः,$r = c + k b$।
दोनों पक्षों का $a$ के साथ अदिश गुणन करने पर:
$r \cdot a = (c + k b) \cdot a = c \cdot a + k (b \cdot a)$।
चूँकि $r \cdot a = 0$ है,इसलिए $0 = c \cdot a + k (b \cdot a)$।
इस प्रकार,$k = -\frac{c \cdot a}{b \cdot a}$।
$k$ का मान $r$ के व्यंजक में रखने पर:
$r = c - \left(\frac{c \cdot a}{b \cdot a}\right) b$।

(D) मान लीजिए कि मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ हैं।
दिया गया है कि $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$.
चूंकि $D, AC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $D$ का स्थिति सदिश $\vec{d} = \frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$ है।
चूंकि $E, BC$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $E$ का स्थिति सदिश $\vec{e} = \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$ है।
$\triangle ODE$ का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{d} \times \vec{e}|$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{d}$ और $\vec{e}$ के मान रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}) \times (\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2})| = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} + \vec{c} \times \vec{b} + \vec{c} \times \vec{c}|$.
चूंकि $\vec{c} \times \vec{c} = \vec{0}$,इसलिए $\text{Area} = \frac{1}{8} |\vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c} - \vec{b} \times \vec{c}|$.
दिए गए समीकरण $\vec{a}+2\vec{b}+3\vec{c}=\vec{0}$ में,$\vec{b}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर $\vec{a} \times \vec{b} + 3(\vec{c} \times \vec{b}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{b} = 3(\vec{b} \times \vec{c})$ प्राप्त होता है।
$\vec{c}$ के साथ क्रॉस प्रोडक्ट लेने पर $\vec{a} \times \vec{c} + 2(\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{0} \Rightarrow \vec{a} \times \vec{c} = 2(\vec{c} \times \vec{b})$ प्राप्त होता है।
इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) + 2(\vec{c} \times \vec{b}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |3(\vec{b} \times \vec{c}) - 2(\vec{b} \times \vec{c}) - (\vec{b} \times \vec{c})| = \frac{1}{8} |0| = 0$.

(B) माना कि $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a} = \bar{v}$ है।
चूंकि $\bar{a} \times \bar{b} = \bar{b} \times \bar{c}$,हमारे पास $\bar{a} \times \bar{b} - \bar{b} \times \bar{c} = 0$ है,जिसका अर्थ है $\bar{a} \times \bar{b} + \bar{c} \times \bar{b} = 0$।
यह $(\bar{a} + \bar{c}) \times \bar{b} = 0$ में सरल हो जाता है।
इसी प्रकार,$\bar{b} \times \bar{c} = \bar{c} \times \bar{a}$ से,हमें $(\bar{b} + \bar{a}) \times \bar{c} = 0$ प्राप्त होता है।
और $\bar{c} \times \bar{a} = \bar{a} \times \bar{b}$ से,हमें $(\bar{c} + \bar{b}) \times \bar{a} = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{k}$ है,तो $\bar{a} \times (\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) = \bar{a} \times \bar{k}$।
$\bar{a} \times \bar{a} + \bar{a} \times \bar{b} + \bar{a} \times \bar{c} = \bar{a} \times \bar{k}$।
चूंकि $\bar{a} \times \bar{a} = 0$ और $\bar{a} \times \bar{c} = -(\bar{c} \times \bar{a}) = -(\bar{a} \times \bar{b})$ है,हमें $\bar{a} \times \bar{b} - \bar{a} \times \bar{b} = \bar{a} \times \bar{k}$ प्राप्त होता है,इसलिए $0 = \bar{a} \times \bar{k}$।
चूंकि $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ शून्येतर और असंरेख हैं,इसका अर्थ है $\bar{k} = \bar{0}$।
अतः,$\bar{a} + \bar{b} + \bar{c} = \bar{0}$।

(D) दिया गया है,$|a|=1, |b|=2, |c|=3$ और $b \cdot c=0$ है।
चूंकि $a$ की दिशा में $b$ का प्रक्षेप,$a$ की दिशा में $c$ के प्रक्षेप के बराबर है,इसलिए:
$\frac{a \cdot b}{|a|} = \frac{a \cdot c}{|a|} \implies a \cdot b = a \cdot c$।
अब,हमें $|2a+3b-3c|$ का मान ज्ञात करना है।
माना $X = 2a+3b-3c$ है। तब $|X|^2 = (2a+3b-3c) \cdot (2a+3b-3c)$।
$|X|^2 = 4|a|^2 + 9|b|^2 + 9|c|^2 + 12(a \cdot b) - 18(b \cdot c) - 12(a \cdot c)$।
दिए गए मानों को रखने पर:
$|X|^2 = 4(1)^2 + 9(2)^2 + 9(3)^2 + 12(a \cdot b) - 18(0) - 12(a \cdot c)$।
चूंकि $a \cdot b = a \cdot c$ है,इसलिए $12(a \cdot b)$ और $-12(a \cdot c)$ पद कट जाएंगे।
$|X|^2 = 4 + 36 + 81 + 0 = 121$।
अतः,$|2a+3b-3c| = \sqrt{121} = 11$।

(D) दिया गया है,$m = \sqrt{3} \times [(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k})]$ का इकाई सदिश।
पहले,क्रॉस प्रोडक्ट की गणना करें: $(\hat{i}+\hat{j}) \times (\hat{j}-\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
इसका परिमाण $\sqrt{3}$ है,इसलिए $m = -\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$.
इसी प्रकार,$n = 2\sqrt{6} \times [(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k})]$ का इकाई सदिश।
क्रॉस प्रोडक्ट: $(2\hat{i}-\hat{j}) \times (\hat{j}+2\hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
इसका परिमाण $2\sqrt{6}$ है,इसलिए $n = -2\hat{i} - 4\hat{j} + 2\hat{k}$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |m \times n|$.
$m \times n = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ -1 & 1 & 1 \\ -2 & -4 & 2 \end{vmatrix} = 6\hat{i} + 6\hat{k}$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |6\hat{i} + 6\hat{k}| = \frac{1}{2} \sqrt{36+36} = 3\sqrt{2}$ वर्ग इकाई।

(A) दिए गए सदिश $a=3 \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, b=\hat{i}-4 \hat{j}+5 \hat{k}$ और $c=4 \hat{i}+5 \hat{j}-\hat{k}$ हैं।
चूंकि $r$,$b$ और $c$ दोनों के लंबवत है,इसलिए $r$ को $b \times c$ के समानांतर होना चाहिए।
$b \times c = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -4 & 5 \\ 4 & 5 & -1 \end{vmatrix} = \hat{i}(4-25) - \hat{j}(-1-20) + \hat{k}(5+16) = -21 \hat{i} + 21 \hat{j} + 21 \hat{k} = 21(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
मान लीजिए $r = \lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ किसी अदिश $\lambda$ के लिए।
दिया गया है $r \cdot a = 9$,इसलिए $\lambda(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) \cdot (3 \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) = 9$.
$\lambda(-3 + 1 - 1) = 9 \Rightarrow -3\lambda = 9 \Rightarrow \lambda = -3$.
अतः,$r = -3(-\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 3(\hat{i} - \hat{j} - \hat{k})$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) दिया गया है कि $a \times (b \times c) = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
सदिश त्रिक गुणन सूत्र का उपयोग करने पर,$a \times (b \times c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c$.
इसे दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर:
$(a \cdot c) b - (a \cdot b) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
चूंकि $a, b, c$ इकाई सदिश हैं,मान लीजिए कि $a$ और $c$ के बीच का कोण $\alpha$ है और $a$ और $b$ के बीच का कोण $\beta$ है।
अतः $a \cdot c = \cos \alpha$ और $a \cdot b = \cos \beta$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(\cos \alpha) b - (\cos \beta) c = \frac{\sqrt{3}}{2} b + \frac{1}{2} c$.
$b$ और $c$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$\cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \alpha = 30^{\circ}$.
$-\cos \beta = \frac{1}{2} \implies \cos \beta = -\frac{1}{2} \implies \beta = 120^{\circ}$.
इस प्रकार,$a$ और $b$ के बीच का कोण $120^{\circ}$ है और $a$ और $c$ के बीच का कोण $30^{\circ}$ है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) मान लीजिए कि शीर्षों $A, B, C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{0}, \vec{a}, \vec{b}$ हैं।
$P$,$AB$ पर स्थित है ताकि $AP:PB = 1:2$,इसलिए $P$ का स्थिति सदिश $\vec{p} = \frac{1}{3}\vec{a}$ है।
$Q$,$BC$ पर स्थित है ताकि $BQ:QC = 1:2$,इसलिए $Q$ का स्थिति सदिश $\vec{q} = \frac{2\vec{b} + \vec{a}}{3}$ है।
मास पॉइंट ज्यामिति का उपयोग करते हुए:
$C$ पर $1$ द्रव्यमान रखें। चूँकि $BQ:QC=1:2$,$B$ पर द्रव्यमान $2$ होगा। चूँकि $AP:PB=1:2$,$A$ पर द्रव्यमान $4$ होगा।
प्रतिच्छेदन बिंदु $D$ का कुल द्रव्यमान $4+2+1=7$ होगा।
क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{Area(\triangle BCD)}{Area(\triangle ABC)} = \frac{Mass(A)}{Mass(A)+Mass(B)+Mass(C)} = \frac{4}{4+2+1} = \frac{4}{7}$ है।
दिया गया है कि $\triangle BCD$ का क्षेत्रफल $7$ है,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= 7 \times \frac{7}{4} = \frac{49}{4}$ होगा।
अतः,विकल्प $(a)$ सही है।

(D) बिंदुओं $A, B, C$ और $D$ के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b} = 4\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\vec{c} = 5\hat{i}+\hat{j}$,और $\vec{d} = 7\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ दिए गए हैं।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{CD}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = (4-1)\hat{i} + (-1-1)\hat{j} + (2-1)\hat{k} = 3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$.
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c} = (7-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-0)\hat{k} = 2\hat{i} + \hat{j} + 3\hat{k}$.
सदिश $\vec{AB}$ का $\vec{CD}$ पर प्रक्षेप ज्ञात करने का सूत्र $\frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CD}|}{|\vec{CD}|}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = (3)(2) + (-2)(1) + (1)(3) = 6 - 2 + 3 = 7$.
$\vec{CD}$ का परिमाण: $|\vec{CD}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}$.
अतः,प्रक्षेप $\frac{7}{\sqrt{14}} = \frac{7}{\sqrt{7 \times 2}} = \sqrt{\frac{7}{2}}$ है।
इस प्रकार,विकल्प $D$ सही है।

(C) बिंदुओं $A(2, 3, -1)$ और $B(3, 5, -3)$ को मिलाने वाली रेखा $AB$ के दिक अनुपात $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) = (3 - 2, 5 - 3, -3 - (-1)) = (1, 2, -2)$ हैं।
बिंदुओं $C(1, 2, 3)$ और $D(3, y, 7)$ को मिलाने वाली रेखा $CD$ के दिक अनुपात $(3 - 1, y - 2, 7 - 3) = (2, y - 2, 4)$ हैं।
चूंकि रेखाएं $AB$ और $CD$ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होगा:
$a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 = 0$
$(1)(2) + (2)(y - 2) + (-2)(4) = 0$
$2 + 2y - 4 - 8 = 0$
$2y - 10 = 0$
$2y = 10$
$y = 5$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है,$A=(1,8,4)$ और $B=(2,-3,1)$।
बिंदुओं को दर्शाने वाले सदिश $\vec{OA} = \hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{OB} = 2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ हैं।
समतल $AOB$ का अभिलंब सदिश $\vec{n}$,क्रॉस गुणनफल $\vec{OA} \times \vec{OB}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 8 & 4 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(8 - (-12)) - \hat{j}(1 - 8) + \hat{k}(-3 - 16) = 20\hat{i} + 7\hat{j} - 19\hat{k}$।
अभिलंब सदिश का परिमाण $|\vec{n}| = \sqrt{20^2 + 7^2 + (-19)^2} = \sqrt{400 + 49 + 361} = \sqrt{810} = 9\sqrt{10}$ है।
दिक्-कोसाइन इकाई अभिलंब सदिश $\hat{n} = \frac{\vec{n}}{|\vec{n}|} = \frac{20}{9\sqrt{10}}\hat{i} + \frac{7}{9\sqrt{10}}\hat{j} - \frac{19}{9\sqrt{10}}\hat{k}$ के घटक हैं।
घटकों को सरल करने पर: $\frac{20}{9\sqrt{10}} = \frac{20\sqrt{10}}{90} = \frac{2\sqrt{10}}{9}$,$\frac{7}{9\sqrt{10}} = \frac{7\sqrt{10}}{90}$,और $-\frac{19}{9\sqrt{10}} = -\frac{19\sqrt{10}}{90}$ प्राप्त होता है।

(A) पहली रेखा के दिक् अनुपात $a_1 = 2, b_1 = 2, c_1 = 1$ हैं।
बिंदुओं $(3, 1, 4)$ और $(7, 2, 12)$ को जोड़ने वाली दूसरी रेखा के दिक् अनुपात $(7-3, 2-1, 12-4) = (4, 1, 8)$ हैं।
मान लीजिए दूसरी रेखा के दिक् अनुपात $a_2 = 4, b_2 = 1, c_2 = 8$ हैं।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
मान रखने पर:
$\cos \theta = \frac{|2 \times 4 + 2 \times 1 + 1 \times 8|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} \sqrt{4^2 + 1^2 + 8^2}}$
$\cos \theta = \frac{|8 + 2 + 8|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{16 + 1 + 64}}$
$\cos \theta = \frac{18}{\sqrt{9} \sqrt{81}} = \frac{18}{3 \times 9} = \frac{18}{27} = \frac{2}{3}$
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$।

(D) मान लीजिए $OA$ और $OB$ की दिशा में इकाई सदिश $\vec{a} = l_1 \hat{i} + m_1 \hat{j} + n_1 \hat{k}$ और $\vec{b} = l_2 \hat{i} + m_2 \hat{j} + n_2 \hat{k}$ हैं।
चूँकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = 1$ और $|\vec{b}| = 1$ है।
$\angle AOB$ का आंतरिक समद्विभाजक सदिश $\vec{v} = \vec{a} + \vec{b}$ की दिशा में होता है।
$\vec{v} = (l_1+l_2) \hat{i} + (m_1+m_2) \hat{j} + (n_1+n_2) \hat{k}$।
$\vec{v}$ का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(l_1+l_2)^2 + (m_1+m_2)^2 + (n_1+n_2)^2}$ है।
$|\vec{v}|^2 = (l_1^2+m_1^2+n_1^2) + (l_2^2+m_2^2+n_2^2) + 2(l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2)$।
चूँकि $l_i^2+m_i^2+n_i^2 = 1$ और $l_1l_2 + m_1m_2 + n_1n_2 = \cos \theta$ है,इसलिए:
$|\vec{v}|^2 = 1 + 1 + 2 \cos \theta = 2(1+\cos \theta) = 4 \cos^2 \frac{\theta}{2}$।
अतः,$|\vec{v}| = 2 \cos \frac{\theta}{2}$।
आंतरिक समद्विभाजक की दिक्-कोसाइन इकाई सदिश $\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}$ के घटक हैं,जो निम्नलिखित हैं:
$\frac{l_1+l_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{m_1+m_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}, \frac{n_1+n_2}{2 \cos \frac{\theta}{2}}$।

(C) दिए गए सदिश $a=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$,$b=\hat{i}+\hat{j}+2\hat{k}$ और $c=2\hat{i}+3\hat{j}+4\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,हम क्रॉस प्रोडक्ट का उपयोग करके $a$ और $b$ दोनों के लंबवत सदिश ज्ञात करते हैं:
$a \times b = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-1) - \hat{j}(2-1) + \hat{k}(1-1) = \hat{i} - \hat{j}$.
$a$ और $b$ दोनों के लंबवत इकाई सदिश $n = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{|\hat{i} - \hat{j}|} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}}$ है।
सदिश $n$ का सदिश $c$ पर प्रक्षेप का परिमाण $|n \cdot \hat{c}|$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\hat{c} = \frac{c}{|c|}$ है।
$|c| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}$.
प्रक्षेप का परिमाण $= \left| \left( \pm \frac{\hat{i} - \hat{j}}{\sqrt{2}} \right) \cdot \left( \frac{2\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}}{\sqrt{29}} \right) \right| = \left| \frac{\pm(2 - 3)}{\sqrt{2}\sqrt{29}} \right| = \left| \frac{-1}{\sqrt{58}} \right| = \frac{1}{\sqrt{58}}$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना बिंदु $A(2,-1,5)$,$B(1,-3,4)$ और $C(5,2,1)$ हैं।
इन तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण सारणिक रूप में इस प्रकार है:
$\begin{vmatrix} x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end{vmatrix} = 0$
निर्देशांक रखने पर:
$\begin{vmatrix} x-2 & y+1 & z-5 \\ -1 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & -4 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(x-2)(8+3) - (y+1)(4+3) + (z-5)(-3+6) = 0$
$11(x-2) - 7(y+1) + 3(z-5) = 0$
$11x - 22 - 7y - 7 + 3z - 15 = 0$
$11x - 7y + 3z - 44 = 0$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = 11\hat{i} - 7\hat{j} + 3\hat{k}$ है।
दिक्-अनुपात $(11, -7, 3)$ हैं।
अभिलंब सदिश का परिमाण $\sqrt{11^2 + (-7)^2 + 3^2} = \sqrt{121 + 49 + 9} = \sqrt{179}$ है।
अतः,दिक्-कोसाइन $\frac{11}{\sqrt{179}}, \frac{-7}{\sqrt{179}}, \frac{3}{\sqrt{179}}$ हैं।
इस प्रकार,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ है। पहली रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक $(1+2\lambda, 2+3\lambda, -1+4\lambda)$ हैं और दूसरी रेखा पर निर्देशांक $(-1+\mu, -3+2\mu, 7-\mu)$ हैं।
निर्देशांकों की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1+2\lambda = -1+\mu \implies 2\lambda - \mu = -2$ ... $(i)$
$2+3\lambda = -3+2\mu \implies 3\lambda - 2\mu = -5$ ... $(ii)$
$-1+4\lambda = 7-\mu \implies 4\lambda + \mu = 8$ ... $(iii)$
समीकरण $(i)$ और $(iii)$ को जोड़ने पर:
$(2\lambda - \mu) + (4\lambda + \mu) = -2 + 8$
$6\lambda = 6 \implies \lambda = 1$
समीकरण $(i)$ में $\lambda = 1$ रखने पर:
$2(1) - \mu = -2 \implies \mu = 4$
इन मानों को समीकरण $(ii)$ में जाँचने पर:
$3(1) - 2(4) = 3 - 8 = -5$,जो सही है।
पहली रेखा के समीकरण में $\lambda = 1$ रखने पर:
$r = (\hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}) + 1(2 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}) = 3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $3 \hat{i}+5 \hat{j}+3 \hat{k}$ है।

(B) दिया गया है कि $\frac{1}{2}|a-b|=\sin(\lambda \theta)$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{4}|a-b|^2 = \sin^2(\lambda \theta)$.
चूंकि $a$ और $b$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|a|=1$ और $|b|=1$.
$|a-b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2(a \cdot b) = 1 + 1 - 2|a||b|\cos \theta = 2 - 2\cos \theta$.
इस मान को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{4}(2 - 2\cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\frac{1}{2}(1 - \cos \theta) = \sin^2(\lambda \theta)$.
सर्वसमिका $1 - \cos \theta = 2\sin^2(\frac{\theta}{2})$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{1}{2}(2\sin^2(\frac{\theta}{2})) = \sin^2(\lambda \theta)$.
$\sin^2(\frac{\theta}{2}) = \sin^2(\lambda \theta)$.
तर्कों की तुलना करने पर,$\lambda \theta = \frac{\theta}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\lambda = \frac{1}{2}$.
अतः,$4\lambda^2 = 4(\frac{1}{2})^2 = 4(\frac{1}{4}) = 1$.

(A) दो विषम तलीय रेखाओं $r=a+tb$ और $r=c+sd$ के बीच की न्यूनतम दूरी का सूत्र है: $\text{न्यूनतम दूरी} = \left| \frac{(c-a) \cdot (b \times d)}{|b \times d|} \right|$।
दी गई रेखाएँ $r=(6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})+t(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$ और $r=(-4 \hat{i}-\hat{k})+s(3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k})$ हैं।
यहाँ,$a=6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$b=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$,$c=-4 \hat{i}-\hat{k}$,और $d=3 \hat{i}-2 \hat{j}-2 \hat{k}$ है।
सबसे पहले,$c-a = (-4 \hat{i}-\hat{k}) - (6 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) = -10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसके बाद,सदिश गुणनफल $b \times d = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -2 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(4+4) - \hat{j}(-2-6) + \hat{k}(-2+6) = 8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}$ ज्ञात करें।
इसका परिमाण $|b \times d| = \sqrt{8^2+8^2+4^2} = \sqrt{64+64+16} = \sqrt{144} = 12$ है।
अदिश गुणनफल $(c-a) \cdot (b \times d) = (-10 \hat{i}-2 \hat{j}-3 \hat{k}) \cdot (8 \hat{i}+8 \hat{j}+4 \hat{k}) = -80 - 16 - 12 = -108$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $\left| \frac{-108}{12} \right| = |-9| = 9$ है।

(C) माना कि पहली रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{3}=\frac{z-1}{4}=\lambda$ है।
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2\lambda+1, 3\lambda-1, 4\lambda+1)$ है।
चूँकि रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु है,यह बिंदु दूसरी रेखा के समीकरण $\frac{x-3}{1}=\frac{y-k}{2}=\frac{z}{1}$ को संतुष्ट करेगा।
निर्देशांकों को दूसरी रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{2\lambda+1-3}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2} = \frac{4\lambda+1}{1}$.
पहले और तीसरे भाग की तुलना करने पर:
$2\lambda-2 = 4\lambda+1
\Rightarrow -3 = 2\lambda
\Rightarrow \lambda = -\frac{3}{2}$.
अब,पहले और दूसरे भाग की तुलना करने पर:
$\frac{2\lambda-2}{1} = \frac{3\lambda-1-k}{2}$.
$\lambda = -\frac{3}{2}$ रखने पर:
$2(-\frac{3}{2})-2 = \frac{3(-\frac{3}{2})-1-k}{2}
\Rightarrow -3-2 = \frac{-\frac{9}{2}-1-k}{2}
\Rightarrow -5 = \frac{-\frac{11}{2}-k}{2}
\Rightarrow -10 = -\frac{11}{2}-k
\Rightarrow k = -\frac{11}{2} + 10 = \frac{9}{2}$.

(C) बिंदु $(1, 2, -1)$ से गुजरने वाले और अभिलंब सदिश $\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ वाले समतल का समीकरण $a(x-1) + b(y-2) + c(z+1) = 0$ है।
चूंकि समतल,$r \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})=1$ और $r \cdot(\hat{i}+4 \hat{j}-2 \hat{k})=2$ की प्रतिच्छेदन रेखा के लंबवत है,इसलिए इसका अभिलंब सदिश $\vec{n}$ दिए गए दो समतलों के अभिलंब सदिशों $\vec{n_1} = 3\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{n_2} = \hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ के सदिश गुणन (cross product) के समानांतर होगा।
$\vec{n} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \hat{i}(2-4) - \hat{j}(-6-1) + \hat{k}(12+1) = -2\hat{i} + 7\hat{j} + 13\hat{k}$.
अतः,दिक अनुपात $(a, b, c) = (-2, 7, 13)$ प्राप्त होते हैं।
इन मानों को समतल के समीकरण में रखने पर: $-2(x-1) + 7(y-2) + 13(z+1) = 0$.
$-2x + 2 + 7y - 14 + 13z + 13 = 0$.
$-2x + 7y + 13z + 1 = 0$,जिसे सरल करने पर $2x - 7y - 13z = 1$ प्राप्त होता है।
सदिश रूप में,यह $r \cdot(2 \hat{i}-7 \hat{j}-13 \hat{k})=1$ है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाले और रेखा $r = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + t(2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})$ को समाहित करने वाले समतल का समीकरण,रेखा पर स्थित बिंदु के स्थिति सदिश,रेखा की दिशा और सामान्य सदिश $r = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ के अदिश त्रिक गुणनफल द्वारा दिया जाता है।
चूंकि समतल मूल बिंदु $(0, 0, 0)$ से गुजरता है,समीकरण $(r - 0) \cdot [(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k})] = 0$ होगा।
क्रॉस गुणनफल की गणना करने पर:
$(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) \times (2\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}) = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & -3 \\ 2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(2 - 9) - \hat{j}(1 + 6) + \hat{k}(-3 - 4) = -7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}$.
अतः,समतल का समीकरण $r \cdot (-7\hat{i} - 7\hat{j} - 7\hat{k}) = 0$ है,जो सरल होकर $r \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 0$ हो जाता है।
यह कार्तीय समीकरण $x + y + z = 0$ के अनुरूप है।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(C) $a=2, b=3, c=4$ अंतःखंडों वाले समतल का समीकरण $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} + \frac{z}{4} = 1$ है। $12$ से गुणा करने पर,हमें $6x + 4y + 3z = 12$ प्राप्त होता है। इस समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_1} = (6, 4, 3)$ है।
दूसरा समतल बिंदुओं $B(1, 2, 3)$ और $C(-2, 3, 4)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है। रेखा $BC$ के दिक अनुपात $(-2-1, 3-2, 4-3) = (-3, 1, 1)$ हैं। चूंकि समतल इस रेखा के लंबवत है,इसलिए दूसरे समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n_2} = (-3, 1, 1)$ होगा।
बिंदु $(-1, 6, 2)$ से गुजरने वाले दूसरे समतल का समीकरण $-3(x+1) + 1(y-6) + 1(z-2) = 0$ है,जिसे सरल करने पर $-3x + y + z - 11 = 0$ प्राप्त होता है।
दोनों समतलों के बीच का कोण $\theta$,$\cos \theta = \frac{|\vec{n_1} \cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}| |\vec{n_2}|}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = (6)(-3) + (4)(1) + (3)(1) = -18 + 4 + 3 = -11$.
$|\vec{n_1}| = \sqrt{6^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 16 + 9} = \sqrt{61}$.
$|\vec{n_2}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{|-11|}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{11}{\sqrt{61} \sqrt{11}} = \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{61}} = \sqrt{\frac{11}{61}}$.
इसलिए,$\theta = \cos ^{-1} \sqrt{\frac{11}{61}}$.

(A) मान लीजिए कि दिए गए बिंदुओं के स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}$,$\vec{b} = -5\hat{j} - \hat{k}$,और $\vec{c} = -3\hat{i} + 5\hat{j}$ हैं।
तीन बिंदुओं $\vec{a}$,$\vec{b}$,और $\vec{c}$ से गुजरने वाले समतल का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda(\vec{b} - \vec{a}) + \mu(\vec{c} - \vec{a})$ होता है।
सबसे पहले,दिशा सदिशों की गणना करें:
$\vec{b} - \vec{a} = (-5\hat{j} - \hat{k}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}$.
$\vec{c} - \vec{a} = (-3\hat{i} + 5\hat{j}) - (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) = -4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k}$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\vec{r} = (\hat{i} - 2\hat{j} + 5\hat{k}) + \lambda(-\hat{i} - 3\hat{j} - 6\hat{k}) + \mu(-4\hat{i} + 7\hat{j} - 5\hat{k})$.
घटकों को समूहित करने पर:
$\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} + (-2 - 3\lambda + 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$.
इसे $\vec{r} = (1 - \lambda - 4\mu)\hat{i} - (2 + 3\lambda - 7\mu)\hat{j} + (5 - 6\lambda - 5\mu)\hat{k}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(C) दिए गए बिंदु $A(-2,1,3), B(1,1,1), C(2,3,4)$ हैं।
समतल पर स्थित सदिश:
$\overrightarrow{AB} = 3\hat{i} - 2\hat{k}$
$\overrightarrow{BC} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$
समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{BC}$:
$\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$
बिंदु $A(-2,1,3)$ से गुजरने वाले और $\vec{n} = 4\hat{i} - 11\hat{j} + 6\hat{k}$ अभिलंब वाले समतल का समीकरण:
$4(x + 2) - 11(y - 1) + 6(z - 3) = 0$
$4x - 11y + 6z + 1 = 0$
अभिलंब रूप $lx + my + nz = p$ में बदलने के लिए,$\sqrt{4^2 + (-11)^2 + 6^2} = \sqrt{173}$ से भाग देने पर:
$-4x + 11y - 6z = 1$
$\left(\frac{-4}{\sqrt{173}}\right)x + \left(\frac{11}{\sqrt{173}}\right)y + \left(\frac{-6}{\sqrt{173}}\right)z = \frac{1}{\sqrt{173}}$.

(C) बिंदु $(1, -1, 1)$ से गुजरने वाली और $(2, 3, 1)$ दिक-अनुपात वाली रेखा के समानांतर रेखा का समीकरण है:
$\frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{3} = \frac{z - 1}{1} = r$
इस रेखा पर कोई भी बिंदु $(2r + 1, 3r - 1, r + 1)$ के रूप में दर्शाया जा सकता है।
चूंकि यह बिंदु समतल $3x + 4y + 5z + 19 = 0$ पर स्थित है,इसलिए यह समतल के समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$3(2r + 1) + 4(3r - 1) + 5(r + 1) + 19 = 0$
$6r + 3 + 12r - 4 + 5r + 5 + 19 = 0$
$23r + 23 = 0$
$r = -1$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2(-1) + 1, 3(-1) - 1, -1 + 1) = (-1, -4, 0)$ है।
बिंदुओं $(1, -1, 1)$ और $(-1, -4, 0)$ के बीच की दूरी है:
$d = \sqrt{(-1 - 1)^2 + (-4 - (-1))^2 + (0 - 1)^2}$
$d = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 + (-1)^2}$
$d = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14}$

(A) दिए गए समतलों के समीकरण $\pi_1 = x+3y-6=0$ और $\pi_2 = 3x-y+4z=0$ हैं।
प्रतिच्छेदन रेखा से गुजरने वाले समतल $\pi$ का समीकरण $\pi_1+\lambda \pi_2=0$ है।
$(x+3y-6)+\lambda(3x-y+4z) = 0$
$(1+3\lambda)x + (3-\lambda)y + 4\lambda z - 6 = 0$ ... $(i)$
मूल बिंदु $(0,0,0)$ से समतल $(i)$ की लंबवत दूरी $1$ दी गई है।
दूरी सूत्र $d = \frac{|ax_1+by_1+cz_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{|-6|}{\sqrt{(1+3\lambda)^2 + (3-\lambda)^2 + (4\lambda)^2}} = 1$
$36 = (1+9\lambda^2+6\lambda) + (9+\lambda^2-6\lambda) + 16\lambda^2$
$36 = 26\lambda^2 + 10$
$26\lambda^2 = 26 \implies \lambda^2 = 1 \implies \lambda = \pm 1$.
$\lambda = 1$ के लिए,समीकरण $(1+3)x + (3-1)y + 4(1)z - 6 = 0$ हो जाता है,जो सरल होकर $4x+2y+4z-6=0$ या $2x+y+2z-3=0$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

(A) समतल का अभिलंब सदिश $\vec{n} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ है।
माना दिया गया सदिश $\vec{v} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ है।
सदिश $\vec{v}$ और अभिलंब $\vec{n}$ के बीच का कोण $\alpha$ इस प्रकार है: $\cos \alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (2)(1) + (-1)(1) + (1)(2) = 2 - 1 + 2 = 3$.
$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\alpha = 60^{\circ}$.
सदिश और समतल के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - \alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ होगा।

(B) माना $A$ वह घटना है कि योग $7$ है और $B$ वह घटना है कि योग $11$ है।
दो पासों को फेंकने पर कुल परिणामों की संख्या $36$ है।
योग $7$ के लिए परिणामों की संख्या $n(A) = 6$ है।
योग $11$ के लिए परिणामों की संख्या $n(B) = 2$ है।
प्रायिकताएं $P(A) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ और $P(B) = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$ हैं।
$B$ से पहले $A$ आने की प्रायिकता अनंत गुणोत्तर श्रेणी के योग द्वारा दी जाती है:
$P = \frac{P(A)}{1 - P(\text{neither } A \text{ nor } B)} = \frac{1/6}{1 - (1 - 1/6 - 1/18)} = \frac{1/6}{4/18} = \frac{1/6}{2/9} = \frac{3}{4}$.

(B) मान लीजिए $A$ द्वारा फेंके गए दो पासों का योग $S_A$ है और $B$ द्वारा फेंके गए दो पासों का योग $S_B$ है।
दो पासों का योग सम होने के लिए,दोनों पासों पर या तो दोनों सम संख्याएँ होनी चाहिए या दोनों विषम संख्याएँ।
एक व्यक्ति के लिए सम योग प्राप्त करने की प्रायिकता $P(\text{even}) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $A$ और $B$ एक साथ और स्वतंत्र रूप से पासे फेंकते हैं,इसलिए एक प्रयास में दोनों का योग सम होने की प्रायिकता $P(A_{\text{even}} \cap B_{\text{even}}) = P(A_{\text{even}}) \times P(B_{\text{even}}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ है।
चूंकि वे यह प्रयोग $100$ बार करते हैं,इसलिए सभी $100$ प्रयासों में दोनों का योग सम होने की प्रायिकता $\left(\frac{1}{4}\right)^{100}$ है।

(C) Given $P(E_1) = \frac{1}{8}$,$P(E_1 \mid E_2) = \frac{1}{3}$,and $P(E_2 \mid E_1) = \frac{1}{4}$.
Using the definition of conditional probability,$P(E_1 \cap E_2) = P(E_2 \mid E_1) \times P(E_1) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{32}$.
Then,$P(E_2) = \frac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1 \mid E_2)} = \frac{1/32}{1/3} = \frac{3}{32}$. (Matches $IV$)
Now,$P(E_1 \cup E_2) = P(E_1) P(E_2) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} \frac{3}{32} - \frac{1}{32} = \frac{4 3-1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$. (Matches $III$)
We know $P(\bar{E}_2) = 1 - P(E_2) = 1 - \frac{3}{32} = \frac{29}{32}$.
Also,$P(E_1 \cap \bar{E}_2) = P(E_1) - P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{8} - \frac{1}{32} = \frac{3}{32}$.
Thus,$P(E_1 \mid \bar{E}_2) = \frac{P(E_1 \cap \bar{E}_2)}{P(\bar{E}_2)} = \frac{3/32}{29/32} = \frac{3}{29}$. (Matches $I$)
Finally,$P(\bar{E}_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - P(E_1 \mid \bar{E}_2) = 1 - \frac{3}{29} = \frac{26}{29}$. (Matches $II$)
The correct matching is $A-III, B-IV, C-I, D-II$.

(C) माना $n-1$ अनुचित सिक्के हैं (दोनों तरफ चित) और $2n - (n-1) = n+1$ उचित सिक्के हैं।
कुल सिक्के = $2n$.
अनुचित सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n-1}{2n}$ है और उचित सिक्का चुनने की प्रायिकता $\frac{n+1}{2n}$ है।
चित आने की प्रायिकता इस प्रकार है:
$P(H) = P(H|\text{अनुचित})P(\text{अनुचित}) + P(H|\text{उचित})P(\text{उचित})$
$\frac{41}{56} = (1) \times \frac{n-1}{2n} + (\frac{1}{2}) \times \frac{n+1}{2n}$
$\frac{41}{56} = \frac{2(n-1) + (n+1)}{4n}$
$\frac{41}{56} = \frac{3n-1}{4n}$
$41 \times 4n = 56 \times (3n-1)$
$164n = 168n - 56$
$4n = 56 \Rightarrow n = 14$.
अनुचित सिक्कों की संख्या $n-1 = 14-1 = 13$ है।

(B) माना $E_1, E_2, E_3$ क्रमशः थैले $A, B, C$ चुनने की घटनाएँ हैं। चूँकि थैला यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = P(E_3) = \frac{1}{3}$ है।
माना $B$ काली गेंद निकालने की घटना है।
थैले $A$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_1) = \frac{3}{2+3} = \frac{3}{5}$ है।
थैले $B$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_2) = \frac{2}{4+2} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ है।
थैले $C$ से काली गेंद निकालने की प्रायिकता $P(B|E_3) = \frac{2}{3+2} = \frac{2}{5}$ है।
संपूर्ण प्रायिकता के नियम के अनुसार,$P(B) = P(E_1)P(B|E_1) + P(E_2)P(B|E_2) + P(E_3)P(B|E_3)$ है।
$P(B) = \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}$ है।
$P(B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{9} + \frac{2}{15} = \frac{9 + 5 + 6}{45} = \frac{20}{45} = \frac{4}{9}$।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि लिफाफा '$LONDON$' से आया है और $E_2$ वह घटना है कि यह '$CLIFTON$' से आया है। समान प्रायिकता मानते हुए,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$ है।
'$LONDON$' ($6$ अक्षर) में,क्रमिक अक्षरों के $5$ जोड़े हैं: '$LO$','$ON$','$ND$','$DO$','$ON$'। '$ON$' जोड़ा $2$ बार आता है। अतः,$P(A|E_1) = \frac{2}{5}$ है।
'$CLIFTON$' ($7$ अक्षर) में,क्रमिक अक्षरों के $6$ जोड़े हैं: '$CL$','$LI$','$IF$','$FT$','$TO$','$ON$'। '$ON$' जोड़ा $1$ बार आता है। अतः,$P(A|E_2) = \frac{1}{6}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,'$ON$' दिखाई देने पर इसके '$LONDON$' से आने की प्रायिकता है:
$P(E_1|A) = \frac{P(E_1)P(A|E_1)}{P(E_1)P(A|E_1) + P(E_2)P(A|E_2)}$
$P(E_1|A) = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{5} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{2}{5} + \frac{1}{6}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{12+5}{30}} = \frac{2}{5} \times \frac{30}{17} = \frac{12}{17}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि $A$ और $B$ समुच्चय $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ से क्रमशः $x$ और $y$ संख्याएँ चुनते हैं। कुल संभावित परिणामों की संख्या $n \times n = n^2$ है।
$x < y$ होने के तरीकों की संख्या $n$ में से $2$ भिन्न संख्याएँ चुनने के तरीकों के बराबर है,जो $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
दी गई प्रायिकता $P(x < y) = \frac{n(n-1)}{2n^2} = \frac{n-1}{2n} = \frac{1009}{2019}$ है।
$n$ के लिए हल करने पर: $2019(n-1) = 2018n \Rightarrow 2019n - 2019 = 2018n \Rightarrow n = 2019$.
अब,हमें वह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि $y = x + 1$ हो। $y = x + 1$ होने वाले संभावित जोड़े $(1, 2), (2, 3), \ldots, (n-1, n)$ हैं। ऐसे कुल $n-1$ जोड़े हैं।
अतः,आवश्यक प्रायिकता $\frac{n-1}{n^2} = \frac{2019-1}{(2019)^2} = \frac{2018}{(2019)^2}$ है।

(B) मान लीजिए कि दो घटनाएँ $A$ और $B$ हैं। दिया गया है,$P(A) = \frac{2}{5}$ और $P(B') = \frac{3}{10}$।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए उनके पूरक $A'$ और $B$ भी स्वतंत्र हैं।
घटना $B$ के घटित होने की प्रायिकता $P(B) = 1 - P(B') = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$ है।
घटना $A$ के घटित न होने की प्रायिकता $P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ है।
केवल एक घटना के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B') + P(A' \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं,यह $P(A)P(B') + P(A')P(B)$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{2}{5} \times \frac{3}{10} + \frac{3}{5} \times \frac{7}{10} = \frac{6}{50} + \frac{21}{50} = \frac{27}{50}$।

(A) मान लीजिए $E_1$ वह घटना है कि हुकुम का पत्ता निकाला जाता है,और $E_2$ वह घटना है कि हुकुम का पत्ता नहीं निकाला जाता है। तब $P(E_1) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ और $P(E_2) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ है।
मान लीजिए $S$ वह घटना है कि एक ही रंग की दो गेंदें निकाली जाती हैं।
थैली $A$ के लिए ($6$ हरे,$8$ लाल,कुल $14$): $P(S|E_1) = \frac{{}^6C_2 + {}^8C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{15 + 28}{91} = \frac{43}{91}$।
थैली $B$ के लिए ($9$ हरे,$5$ लाल,कुल $14$): $P(S|E_2) = \frac{{}^9C_2 + {}^5C_2}{{}^{14}C_2} = \frac{36 + 10}{91} = \frac{46}{91}$।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यदि गेंदें एक ही रंग की हैं तो उनके थैली $A$ से निकाले जाने की प्रायिकता:
$P(E_1|S) = \frac{P(E_1)P(S|E_1)}{P(E_1)P(S|E_1) + P(E_2)P(S|E_2)}$
$P(E_1|S) = \frac{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91}}{\frac{1}{4} \times \frac{43}{91} + \frac{3}{4} \times \frac{46}{91}} = \frac{43}{43 + 3 \times 46} = \frac{43}{43 + 138} = \frac{43}{181}$।

(A) मान लीजिए $G$ वह घटना है कि चुनी गई गेंद हरी है। मान लीजिए $A, B, C$ क्रमशः बक्से $A, B, C$ को चुनने की घटनाएँ हैं।
बक्से चुनने की प्रायिकताएँ हैं:
$P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{6}$
प्रत्येक बक्से से हरी गेंद चुनने की सशर्त प्रायिकताएँ हैं:
$P(G|A) = \frac{2}{1+2+3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$P(G|B) = \frac{3}{2+3+1} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$P(G|C) = \frac{1}{3+1+2} = \frac{1}{6}$
कुल प्रायिकता के नियम का उपयोग करते हुए,हरी गेंद चुनने की प्रायिकता $P(G)$ है:
$P(G) = P(A)P(G|A) + P(B)P(G|B) + P(C)P(G|C)$
$P(G) = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2}) + (\frac{1}{6} \times \frac{1}{6})$
$P(G) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{36} = \frac{6+6+1}{36} = \frac{13}{36}$
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,इसकी प्रायिकता कि हरी गेंद बक्सा $C$ से चुनी गई थी,$P(C|G)$ है:
$P(C|G) = \frac{P(C)P(G|C)}{P(G)}$
$P(C|G) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{1}{6}}{\frac{13}{36}} = \frac{\frac{1}{36}}{\frac{13}{36}} = \frac{1}{13}$

(D) मान लीजिए $H_1, H_2, H_3$ क्रमशः कार्टन $A, B, C$ चुनने की घटनाएं हैं। चूंकि एक कार्टन यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,इसलिए $P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$ है।
मान लीजिए $D$ एक दोषपूर्ण खिलौना निकालने की घटना है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकताएं $P(D|H_1) = \frac{1}{3}, P(D|H_2) = \frac{1}{4}, P(D|H_3) = \frac{2}{5}$ हैं।
बेयस प्रमेय के अनुसार,यदि खिलौना दोषपूर्ण है तो उसके कार्टन $B$ से होने की प्रायिकता:
$P(H_2|D) = \frac{P(H_2)P(D|H_2)}{P(H_1)P(D|H_1) + P(H_2)P(D|H_2) + P(H_3)P(D|H_3)}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{3} \times \frac{1}{4}}{\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5}}$
$P(H_2|D) = \frac{\frac{1}{12}}{\frac{1}{9} + \frac{1}{12} + \frac{2}{15}}$
हर के लिए लघुत्तम समापवर्त्य $LCM(9, 12, 15) = 180$ लेने पर:
$P(H_2|D) = \frac{1/12}{(20+15+24)/180} = \frac{1/12}{59/180} = \frac{1}{12} \times \frac{180}{59} = \frac{15}{59}$.

(B) मान लीजिए $E_1$ थैली $A$ के चुने जाने की घटना है और $E_2$ थैली $B$ के चुने जाने की घटना है। मान लीजिए $R$ वह घटना है कि निकाली गई दोनों गेंदें लाल हैं।
दिया गया है $P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$.
थैली $A$ से $2$ लाल गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(R|E_1) = \frac{^nC_2}{^{n+2}C_2} = \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}$ है।
थैली $B$ से $2$ लाल गेंदें निकालने की प्रायिकता $P(R|E_2) = \frac{^2C_2}{^{n+2}C_2} = \frac{1 \times 2}{(n+2)(n+1)} = \frac{2}{(n+2)(n+1)}$ है।
बेयस प्रमेय के अनुसार,$P(E_1|R) = \frac{P(E_1)P(R|E_1)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)} = \frac{6}{7}$.
मान रखने पर:
$\frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)}}{\frac{1}{2} \cdot \frac{n(n-1)}{(n+2)(n+1)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{(n+2)(n+1)}} = \frac{6}{7}$.
$\frac{n(n-1)}{n(n-1) + 2} = \frac{6}{7}$.
$7(n^2 - n) = 6(n^2 - n + 2)$.
$7n^2 - 7n = 6n^2 - 6n + 12$.
$n^2 - n - 12 = 0$.
$(n-4)(n+3) = 0$.
चूंकि $n > 0$,इसलिए $n = 4$ है।

(A) मान लीजिए $E_1$ बॉक्स $B_1$ चुनने की घटना है और $E_2$ बॉक्स $B_2$ चुनने की घटना है। चूंकि बॉक्स यादृच्छिक रूप से चुना जाता है,$P(E_1) = P(E_2) = \frac{1}{2}$।
मान लीजिए $R$ वह घटना है कि चुनी गई गेंद लाल है।
$B_1$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_1) = \frac{6}{3+6} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$ है।
$B_2$ से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(R|E_2) = \frac{n}{n+8}$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,लाल गेंद के $B_2$ से होने की प्रायिकता $p$ है:
$p = P(E_2|R) = \frac{P(E_2)P(R|E_2)}{P(E_1)P(R|E_1) + P(E_2)P(R|E_2)}$
$p = \frac{\frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}}{\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + \frac{1}{2} \times \frac{n}{n+8}} = \frac{\frac{n}{n+8}}{\frac{2}{3} + \frac{n}{n+8}} = \frac{3n}{2(n+8) + 3n} = \frac{3n}{5n+16}$।
चूंकि $n \in N$,$n$ का न्यूनतम मान $1$ है। $n=1$ के लिए,$p = \frac{3(1)}{5(1)+16} = \frac{3}{21} = \frac{1}{7}$।
जैसे-जैसे $n \to \infty$,$p = \lim_{n \to \infty} \frac{3n}{5n+16} = \frac{3}{5}$।
अतः,$p$ का परिसर $\frac{1}{7} \leq p < \frac{3}{5}$ है।

(B) कुल खिलौने = $30$। सफेद खिलौने = $10$। नीले खिलौने = $30 - 10 = 20$।
सफेद खिलौना निकालने की प्रायिकता $(p)$ = $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$।
नीला खिलौना निकालने की प्रायिकता $(q)$ = $1 - p = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$।
चूंकि खिलौनों को वापस रखा जा रहा है,यह द्विपद वितरण $B(n, p)$ का पालन करता है जहाँ $n = 5$ और $p = \frac{1}{3}$ है।
हमें अधिकतम $2$ सफेद खिलौने प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है,जो $P(X \le 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ है।
$P(X=k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$।
$P(X=0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = (\frac{2}{3})^5 = \frac{32}{243}$।
$P(X=1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 \times \frac{1}{3} \times \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$।
$P(X=2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 \times \frac{1}{9} \times \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$।
$P(X \le 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243}$।
अंश और हर को $3$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{64}{81} = (\frac{8}{9})^2$ प्राप्त होता है।

(C) यादृच्छिक चर $X$ के लिए दिया गया प्रायिकता वितरण:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}\hline X=x_i & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\hline P(X=x_i) & 0.2 & 0.3 & 0.12 & 0.1 & 0.2 & 0.08 \\\hline \end{array}$
यहाँ घटनाएँ $A$ और $B$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$A = \{x_i \mid x_i \text{ एक अभाज्य संख्या है}\} = \{2, 3, 5\}$
$B = \{x_i \mid x_i < 4\} = \{1, 2, 3\}$
इन दो घटनाओं का संघ $A \cup B = \{1, 2, 3, 5\}$ है।
अतः,प्रायिकता $P(A \cup B)$ इन व्यक्तिगत परिणामों की प्रायिकताओं का योग है:
$P(A \cup B) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=5)$
$P(A \cup B) = 0.2 + 0.3 + 0.12 + 0.2 = 0.82$
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया प्रायिकता फलन $P(X=k)=c k^2$ है,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है और $k \in\{0,1,2,3,4\}$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $1$ होना चाहिए,इसलिए $\sum_{k=0}^{4} P(X=k) = 1$ है।
$c(0^2) + c(1^2) + c(2^2) + c(3^2) + c(4^2) = 1$
$c(0 + 1 + 4 + 9 + 16) = 1$
$30c = 1 \implies c = \frac{1}{30}$।
हम जानते हैं कि प्रसरण $\sigma^2 = E(X^2) - \mu^2$ होता है,जहाँ $\mu = E(X)$ है।
इसलिए,$\sigma^2 + \mu^2 = E(X^2)$।
$E(X^2) = \sum_{k=0}^{4} k^2 P(X=k) = \sum_{k=0}^{4} k^2 (c k^2) = c \sum_{k=0}^{4} k^4$।
$E(X^2) = c(0^4 + 1^4 + 2^4 + 3^4 + 4^4) = c(0 + 1 + 16 + 81 + 256) = 354c$।
$c = \frac{1}{30}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sigma^2 + \mu^2 = 354 \times \frac{1}{30} = \frac{354}{30} = 11.8$।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) दी गई जानकारी के अनुसार,कुल पृष्ठों की संख्या $250$ है और कुल त्रुटियों की संख्या $200$ है।
प्रति पृष्ठ त्रुटियों की औसत संख्या $\lambda$ की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\lambda = \frac{200}{250} = \frac{4}{5} = 0.8$.
पॉइसन प्रायिकता वितरण का सूत्र $P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}$ है।
एक पृष्ठ में कोई त्रुटि न होने $(x=0)$ की प्रायिकता है:
$P(X=0) = \frac{e^{-0.8} (0.8)^0}{0!} = e^{-0.8} = e^{-4/5}$.
$5$ पृष्ठों के यादृच्छिक नमूने के लिए,यह प्रायिकता कि उनमें से किसी में भी कोई त्रुटि न हो:
$P = (P(X=0))^5 = (e^{-4/5})^5 = e^{-4}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(D) दिया गया है कि $X$ का प्रायिकता वितरण $P(X=0)=3C^3$,$P(X=2)=5C-10C^2$,और $P(X=4)=4C-1$ है।
हम जानते हैं कि सभी प्रायिकताओं का योग $1$ होता है,इसलिए $\Sigma P(X)=1$ है।
$3C^3 + (5C-10C^2) + (4C-1) = 1$
$3C^3 - 10C^2 + 9C - 2 = 0$
समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(C-1)(3C^2-7C+2) = 0$
$(C-1)(3C-1)(C-2) = 0$
अतः $C = 1, \frac{1}{3}, 2$ प्राप्त होता है।
प्रायिकता $0$ और $1$ के बीच होनी चाहिए,इसलिए $C=\frac{1}{3}$ लेने पर।
$C=\frac{1}{3}$ का मान रखने पर:
$P(X=0) = 3(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{9}$
$P(X=2) = 5(\frac{1}{3}) - 10(\frac{1}{3})^2 = \frac{5}{9}$
$P(X=4) = 4(\frac{1}{3}) - 1 = \frac{1}{3}$
माध्य $E(X) = \Sigma X P(X) = (0 \times \frac{1}{9}) + (2 \times \frac{5}{9}) + (4 \times \frac{1}{3}) = \frac{22}{9}$।
वर्गों का माध्य $E(X^2) = \Sigma X^2 P(X) = (0^2 \times \frac{1}{9}) + (2^2 \times \frac{5}{9}) + (4^2 \times \frac{1}{3}) = \frac{68}{9}$।
प्रसरण $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = \frac{68}{9} - (\frac{22}{9})^2 = \frac{612-484}{81} = \frac{128}{81}$।