यदि $f(x), f^{\prime}(x), f^{\prime \prime}(x)$ धनात्मक फलन हैं और $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$ है,तो अवकल समीकरण $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$ का हल ज्ञात कीजिए।

$(0, \pi)$ में एक सतत अवकलनीय फलन $\phi (x)$ जो $y' = 1 + y^2$ और $y(0) = 0 = y(\pi)$ को संतुष्ट करता है,वह है

उन सभी वृत्तों के परिवार पर विचार करें जिनके केंद्र सीधी रेखा $y = x$ पर स्थित हैं। यदि वृत्तों के इस परिवार को अवकल समीकरण $P y^{\prime \prime} + Q y^{\prime} + 1 = 0$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $P, Q$ $x, y$ और $y^{\prime}$ के फलन हैं (यहाँ $y^{\prime} = \frac{dy}{dx}, y^{\prime \prime} = \frac{d^2y}{dx^2}$),तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?
$(A) P = y + x$
$(B) P = y - x$
$(C) P + Q = 1 - x + y + y^{\prime} + (y^{\prime})^2$
$(D) P - Q = x + y - y^{\prime} - (y^{\prime})^2$

मान लीजिए $f(x) = e^{ax} + e^{bx},$ जहाँ $a \neq b,$ और सभी $x$ के लिए $f''(x) - 2f'(x) - 15f(x) = 0$ है। तो गुणनफल $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f$ एक दो बार अवकलनीय फलन है,इस प्रकार कि $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$,जहाँ $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ है। तो $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ का मान . . . . . . है।

यदि अवकल समीकरण $(y-x+1) dy - (y+x+2) dx = 0$ का व्यापक हल $f(x, y, c) = 0$ है,तो $c$ का मान ज्ञात कीजिए ताकि $f(1, 1, c) = 0$ हो।