AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) $x > 2$ के लिए दिया गया समीकरण:
$\sqrt{x+2} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x-2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x+2) + (x-2) - 2\sqrt{(x+2)(x-2)} = 4x - 2$
$2x - 2\sqrt{x^2-4} = 4x - 2$
$-2\sqrt{x^2-4} = 2x - 2$
$-\sqrt{x^2-4} = x - 1$
पुनः वर्ग करने पर:
$x^2 - 4 = (x-1)^2$
$x^2 - 4 = x^2 - 2x + 1$
$-4 = -2x + 1$
$2x = 5$
$x = 2.5$
अब,मूल समीकरण में $x = 2.5$ का मान जाँचने पर:
बायाँ पक्ष: $\sqrt{2.5+2} - \sqrt{2.5-2} = \sqrt{4.5} - \sqrt{0.5} = \sqrt{9 \times 0.5} - \sqrt{0.5} = 3\sqrt{0.5} - \sqrt{0.5} = 2\sqrt{0.5} = \sqrt{4 \times 0.5} = \sqrt{2}$
दायाँ पक्ष: $\sqrt{4(2.5) - 2} = \sqrt{10 - 2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
चूँकि बायाँ पक्ष $\neq$ दायाँ पक्ष,अतः कोई हल नहीं है। इसलिए,विकल्प $D$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $\sin x \sqrt{4 \cos^2 x} = \frac{2+x-[x]}{1-x+[x]}$.
चूंकि $x-[x] = \{x\}$,समीकरण $\sin x \cdot 2|\cos x| = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ बन जाता है।
$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ के लिए,$\cos x > 0$ है,इसलिए $|\cos x| = \cos x$.
समीकरण $\sin 2x = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ में सरल हो जाता है।
अंतराल $x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ में,$\sin 2x$ का अधिकतम मान $\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$ है।
व्यंजक $f(\{x\}) = \frac{2+\{x\}}{1-\{x\}}$ के लिए $\{x\} \in [0, 1)$,न्यूनतम मान $\{x\} = 0$ पर प्राप्त होता है,जो $f(0) = \frac{2+0}{1-0} = 2$ है।
चूंकि बाईं ओर का अधिकतम मान $(0.866)$ दाईं ओर के न्यूनतम मान $(2)$ से कम है,इसलिए दिए गए अंतराल में $x$ के लिए कोई हल नहीं है।
अतः,$k = 0$.
इसलिए,$x \in \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right]$ के लिए $k^{\tan^2 x} = 0^{\tan^2 x} = 0$ होता है।

(B) दिया गया है $f(\theta) = \sqrt{a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta} + \sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$[f(\theta)]^2 = (a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta) + (a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta) + 2 \sqrt{(a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta)(a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta)}$.
पदों को सरल करने पर,$[f(\theta)]^2 = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2 + (a^2 - b^2)^2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}$.
मान लीजिए $X = \sin^2 \theta \cos^2 \theta = \frac{\sin^2(2\theta)}{4}$,जहाँ $X$ का परिसर $[0, 1/4]$ है।
अधिकतम मान $M$ के लिए,$X = 1/4$ रखने पर: $M = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2 + \frac{(a^2 - b^2)^2}{4}} = 2(a^2 + b^2)$.
न्यूनतम मान $m$ के लिए,$X = 0$ रखने पर: $m = a^2 + b^2 + 2 \sqrt{a^2 b^2} = (a+b)^2$.
अतः,$M - m = 2(a^2 + b^2) - (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 - a^2 - b^2 - 2ab = a^2 + b^2 - 2ab = (a-b)^2$.

(B) दिया गया है,$f(x) = \tan \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) - \tan \left(x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)$.
सर्वसमिका $\tan A - \tan B = \frac{\sin(A-B)}{\cos A \cos B}$ का उपयोग करने पर:
$\tan \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) - \tan \left(x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\sin \left( \frac{2 \pi}{3} - \frac{\pi}{6} \right)}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{\sin \frac{\pi}{2}}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)} = \frac{1}{\cos \left(x + \frac{2 \pi}{3} \right) \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)}$.
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$f(x) = \frac{2}{\cos \left( 2x + \frac{5 \pi}{6} \right) + \cos \frac{\pi}{2}} + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{2}{\cos \left( 2x + \frac{5 \pi}{6} \right)} + \cos \left(x + \frac{\pi}{6} \right)$.
अंतराल $\left[ -\frac{5 \pi}{12}, -\frac{\pi}{3} \right]$ में,फलन वर्धमान है।
अतः,अधिकतम मान अंतिम बिंदु $x = -\frac{\pi}{3} = -60^{\circ}$ पर प्राप्त होता है।
$f(-60^{\circ}) = \tan \left( -60^{\circ} + 120^{\circ} \right) - \tan \left( -60^{\circ} + 30^{\circ} \right) + \cos \left( -60^{\circ} + 30^{\circ} \right) = \tan 60^{\circ} - \tan(-30^{\circ}) + \cos(-30^{\circ}) = \sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + 3 \sqrt{3}}{6} = \frac{11 \sqrt{3}}{6}$.

(D) द्विघात व्यंजक $1-2x-5x^2$ का अधिकतम मान $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(-5)} = -\frac{1}{5}$ पर प्राप्त होता है।
$x = -\frac{1}{5}$ रखने पर,हमें $a = 1 - 2(-\frac{1}{5}) - 5(-\frac{1}{5})^2 = 1 + \frac{2}{5} - \frac{1}{5} = \frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
द्विघात व्यंजक $x^2-2x+5$ का न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2(1)} = 1$ पर प्राप्त होता है।
$x = 1$ रखने पर,हमें $b = (1)^2 - 2(1) + 5 = 4$ प्राप्त होता है।
अब,$a = \frac{6}{5}$ और $b = 4$ को व्यंजक $5ax^2+bx+7$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$5(\frac{6}{5})x^2 + 4x + 7 = 6x^2 + 4x + 7$.
द्विघात व्यंजक $6x^2 + 4x + 7 > 0$ के लिए,हम विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4(6)(7) = 16 - 168 = -152$ की जाँच करते हैं।
चूँकि $D < 0$ और मुख्य गुणांक $6 > 0$ है,इसलिए व्यंजक $6x^2 + 4x + 7$ सभी वास्तविक मानों $x$ के लिए हमेशा धनात्मक रहता है।
अतः,$x$ के सभी मानों का समुच्चय $(-\infty, \infty)$ है।

(D) दी गई अभिव्यक्ति:
$\frac{x^4}{(x-a)(x-b)(x-c)}=P(x)+\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b}+\frac{C}{x-c}$
चूंकि अंश की घात $4$ है और हर की घात $3$ है,इसलिए $P(x)$ एक रैखिक बहुपद $P(x) = x+k$ के रूप में होगा।
दोनों पक्षों में $x^4$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$P(x) = x+k$ प्राप्त होता है।
$(x-a)(x-b)(x-c)$ से गुणा करने पर,हमें मिलता है:
$x^4 = (x-a)(x-b)(x-c)P(x) + A(x-b)(x-c) + B(x-a)(x-c) + C(x-a)(x-b)$
$x=a$ रखने पर,$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(a-b)(a-c) = a^4$.
$P(0)$ ज्ञात करने के लिए,मूल समीकरण में $x=0$ रखने पर:
$\frac{0}{(-a)(-b)(-c)} = P(0) + \frac{A}{-a} + \frac{B}{-b} + \frac{C}{-c}$
$0 = P(0) - (\frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c})$
$P(0) = \frac{A}{a} + \frac{B}{b} + \frac{C}{c}$.
$A = \frac{a^4}{(a-b)(a-c)}$,$B = \frac{b^4}{(b-a)(b-c)}$,और $C = \frac{c^4}{(c-a)(c-b)}$ मानों का उपयोग करने पर,हमें $P(0) = a+b+c$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$P(0) + A(a-b)(a-c) = (a+b+c) + a^4$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) दिया गया है,$\frac{8}{(x+3)^2(x-2)}=\frac{Ax+B}{(x+3)^2}+\frac{C}{x-2}$
दोनों पक्षों को $(x+3)^2(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$8 = (Ax+B)(x-2) + C(x+3)^2$
$x=2$ रखने पर:
$8 = 0 + C(2+3)^2 \Rightarrow 8 = 25C \Rightarrow C = \frac{8}{25}$
$x=-3$ रखने पर:
$8 = (A(-3)+B)(-3-2) + 0 \Rightarrow 8 = (-3A+B)(-5) \Rightarrow 8 = 15A - 5B$
$x^2$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$0 = A + C \Rightarrow A = -C = -\frac{8}{25}$
$A$ का मान $8 = 15A - 5B$ में रखने पर:
$8 = 15(-\frac{8}{25}) - 5B \Rightarrow 8 = -\frac{24}{5} - 5B \Rightarrow 5B = -\frac{24}{5} - 8 = -\frac{64}{5} \Rightarrow B = -\frac{64}{25}$
अब,$25(B+8C-A)$ की गणना करने पर:
$25(-\frac{64}{25} + 8(\frac{8}{25}) - (-\frac{8}{25})) = 25(-\frac{64}{25} + \frac{64}{25} + \frac{8}{25}) = 25(\frac{8}{25}) = 8$

(C) माना $X = \frac{\sqrt{3}x - y}{2}$ और $Y = \frac{x + \sqrt{3}y}{2}$ है।
यह रूपांतरण निर्देशांक अक्षों के $\theta = 30^\circ$ (या $\pi/6$ रेडियन) के कोण पर घूर्णन को दर्शाता है।
चूंकि घूर्णन एक आइसोमेट्री है (यह दूरी और क्षेत्रफल को संरक्षित करता है),नई निर्देशांक प्रणाली $(X, Y)$ में वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल मूल निर्देशांक प्रणाली $(x, y)$ में $Y = X^2$ और $X = Y^2$ वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल के समान होता है।
दिए गए समीकरण $\frac{x+\sqrt{3} y}{2}=\left(\frac{\sqrt{3} x-y}{2}\right)^2$ और $\frac{\sqrt{3} x-y}{2}=\left(\frac{x+\sqrt{3} y}{2}\right)^2$ क्रमशः $Y = X^2$ और $X = Y^2$ में रूपांतरित हो जाते हैं।
अतः,इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $y=x^2$ और $x=y^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है,जो कि $k$ दिया गया है।

(D) माना समांतर चतुर्भुज के शीर्ष $A(2, 4, -1)$,$B(3, 6, -1)$,$C(4, 5, 1)$ और $D(x, y, z)$ हैं।
चूँकि समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं,इसलिए विकर्ण $AC$ का मध्य-बिंदु विकर्ण $BD$ के मध्य-बिंदु के समान होता है।
$AC$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{4+5}{2}, \frac{-1+1}{2} \right) = \left( 3, \frac{9}{2}, 0 \right)$.
$BD$ का मध्य-बिंदु $= \left( \frac{3+x}{2}, \frac{6+y}{2}, \frac{-1+z}{2} \right)$.
मध्य-बिंदुओं की तुलना करने पर:
$\frac{3+x}{2} = 3 \implies 3+x = 6 \implies x = 3$.
$\frac{6+y}{2} = \frac{9}{2} \implies 6+y = 9 \implies y = 3$.
$\frac{-1+z}{2} = 0 \implies -1+z = 0 \implies z = 1$.
अतः,चौथा शीर्ष $D(3, 3, 1)$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) दिए गए बिंदु $A(2, -1, 4)$,$B(1, 0, -1)$,$C(1, 2, 3)$ और $D(2, 1, 8)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करते हैं।
$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (0-(-1))^2 + (-1-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$BC = \sqrt{(1-1)^2 + (2-0)^2 + (3-(-1))^2} = \sqrt{0^2 + 2^2 + 4^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
$CD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-2)^2 + (8-3)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 5^2} = \sqrt{1+1+25} = \sqrt{27}$.
$DA = \sqrt{(2-2)^2 + (-1-1)^2 + (4-8)^2} = \sqrt{0^2 + (-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{0+4+16} = \sqrt{20}$.
यहाँ $AB = CD = \sqrt{27}$ और $BC = DA = \sqrt{20}$ है,इसलिए सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं।
अब,विकर्णों $AC$ और $BD$ की लंबाई की जाँच करते हैं।
$AC = \sqrt{(1-2)^2 + (2-(-1))^2 + (3-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$.
$BD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-0)^2 + (8-(-1))^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 9^2} = \sqrt{1+1+81} = \sqrt{83}$.
चूँकि $AC \neq BD$,विकर्ण बराबर नहीं हैं।
अतः,बिंदु $A, B, C$ और $D$ एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं।

(A) माना $A = (1,2,3)$,$B = (3,-1,5)$,और $C = (4,0,-3)$ है।
सबसे पहले,हम भुजाओं के दिक्-अनुपात ज्ञात करते हैं:
$\overline{AB}$ के दिक्-अनुपात $= (3-1, -1-2, 5-3) = (2, -3, 2)$ हैं।
$\overline{AC}$ के दिक्-अनुपात $= (4-1, 0-2, -3-3) = (3, -2, -6)$ हैं।
लंबवतता की जाँच: $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (2)(3) + (-3)(-2) + (2)(-6) = 6 + 6 - 12 = 0$ है।
चूँकि अदिश गुणनफल $0$ है,इसलिए $\overline{AB} \perp \overline{AC}$,जिसका अर्थ है कि $\angle A = 90^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज में,लंबकेंद्र $H$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है। अतः,$H = A = (1, 2, 3)$ है।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र $S$,कर्ण $\overline{BC}$ का मध्य-बिंदु होता है।
$S = \left( \frac{3+4}{2}, \frac{-1+0}{2}, \frac{5-3}{2} \right) = \left( \frac{7}{2}, -\frac{1}{2}, 1 \right)$ है।
दूरी सूत्र द्वारा $HS$ की दूरी:
$HS = \sqrt{\left( \frac{7}{2} - 1 \right)^2 + \left( -\frac{1}{2} - 2 \right)^2 + (1 - 3)^2}$
$HS = \sqrt{\left( \frac{5}{2} \right)^2 + \left( -\frac{5}{2} \right)^2 + (-2)^2}$
$HS = \sqrt{\frac{25}{4} + \frac{25}{4} + 4} = \sqrt{\frac{50}{4} + \frac{16}{4}} = \sqrt{\frac{66}{4}} = \sqrt{\frac{33}{2}}$ है।
अतः,सही विकल्प $(A)$ है।

(B) $75$ छात्रों को $30$ और $45$ के दो खंडों में विभाजित करने के कुल तरीके $^{75}C_{30}$ हैं।
मान लीजिए कि दो विशिष्ट छात्र $S_1$ और $S_2$ हैं।
स्थिति $I$: दोनों $S_1$ और $S_2$ $30$ छात्रों वाले खंड में हैं। तरीकों की संख्या $^{73}C_{28}$ है।
स्थिति $II$: दोनों $S_1$ और $S_2$ $45$ छात्रों वाले खंड में हैं। तरीकों की संख्या $^{73}C_{43}$ है।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{^{73}C_{28} + ^{73}C_{43}}{^{75}C_{30}}$ है।
सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{\frac{73!}{28!45!} + \frac{73!}{43!30!}}{\frac{75!}{30!45!}} = \frac{73!}{75!} \times \left( \frac{30!45!}{28!45!} + \frac{30!45!}{43!30!} \right)$
$= \frac{1}{75 \times 74} \times (30 \times 29 + 45 \times 44)$
$= \frac{870 + 1980}{5550} = \frac{2850}{5550} = \frac{285}{555} = \frac{19}{37}$.

(A) कुल छात्रों की संख्या $= 50$ है। $50$ छात्रों को $20$ और $30$ के दो समूहों में विभाजित करने के कुल तरीके ${}^{50}C_{20} \times {}^{30}C_{30} = {}^{50}C_{20}$ हैं।
यदि $Ram$ और $Rahim$ दोनों पहले समूह ($20$ की संख्या) में हैं,तो हमें शेष $48$ छात्रों में से $18$ और छात्र चुनने होंगे। तरीकों की संख्या ${}^{48}C_{18}$ है।
यदि $Ram$ और $Rahim$ दोनों दूसरे समूह ($30$ की संख्या) में हैं,तो हमें शेष $48$ छात्रों में से $28$ और छात्र चुनने होंगे। तरीकों की संख्या ${}^{48}C_{28}$ है।
आवश्यक प्रायिकता $P = \frac{{}^{48}C_{18} + {}^{48}C_{28}}{{}^{50}C_{20}}$ है।
सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए:
$P = \frac{\frac{48!}{18!30!} + \frac{48!}{28!20!}}{\frac{50!}{20!30!}} = \frac{20 \times 19}{50 \times 49} + \frac{30 \times 29}{50 \times 49} = \frac{380 + 870}{2450} = \frac{1250}{2450} = \frac{25}{49}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) मान लीजिए कि $X$ बक्से $A$ से निकाली गई संख्या है और $Y$ बक्से $B$ से निकाली गई संख्या है। कुल संभावित परिणामों की संख्या $10 \times 10 = 100$ है।
हमें प्रायिकता $P(X < Y)$ ज्ञात करनी है।
कुल परिणामों को तीन स्थितियों में विभाजित किया जा सकता है: $X < Y$,$X > Y$,और $X = Y$।
$X = Y$ वाली स्थितियों की संख्या $10$ है (जैसे $(1,1), (2,2), \ldots, (10,10)$)।
चूंकि स्थिति सममित है,इसलिए $X < Y$ वाली स्थितियों की संख्या $X > Y$ वाली स्थितियों की संख्या के बराबर है।
मान लीजिए $N$ उन स्थितियों की संख्या है जहाँ $X < Y$ है। तब $N + N + 10 = 100$।
$2N = 90 \implies N = 45$।
अभीष्ट प्रायिकता $\frac{N}{100} = \frac{45}{100} = \frac{9}{20}$ है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया गया है कि $y = \log_e \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)$.
$e^y = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}$.
हम जानते हैं कि $\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{e^y - 1}{e^y + 1}$.
$e^y$ का मान रखने पर:
$\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} - 1}{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} + 1} = \frac{(1 + \tan \frac{x}{2}) - (1 - \tan \frac{x}{2})}{(1 + \tan \frac{x}{2}) + (1 - \tan \frac{x}{2})} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{2} = \tan \frac{x}{2}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(D) दिया गया है कि वृत्त $S_1 \equiv x^2+y^2+6x-2y+k=0$ और $S_2 \equiv x^2+y^2+2x-6y-15=0$ है।
चूंकि $S_1$,$S_2$ की परिधि को समद्विभाजित करता है,इसलिए $S_1$ और $S_2$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_2$ का व्यास होगी।
उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1 - S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+6x-2y+k) - (x^2+y^2+2x-6y-15) = 0$.
$4x + 4y + k + 15 = 0$.
चूंकि यह जीवा $S_2$ का व्यास है,इसलिए यह $S_2$ के केंद्र से होकर गुजरती है।
$S_2$ का केंद्र $(-g, -f) = (-1, 3)$ है।
$(-1, 3)$ को जीवा के समीकरण में रखने पर:
$4(-1) + 4(3) + k + 15 = 0$.
$-4 + 12 + k + 15 = 0$.
$8 + k + 15 = 0$.
$k + 23 = 0$.
$k = -23$.

(D) परवलय का समीकरण $y^2=4ax$ है,जहाँ $a=1$ है।
बिंदु $(h,k)$ से गुजरने वाले अभिलंब का समीकरण $my^3 + (2a-h)m^2 + k^2m - k = 0$ है।
बिंदु $(5,0)$ के लिए,$h=5$ और $k=0$ है।
समीकरण $m(y^2-3)=0$ हो जाता है।
तीन अभिलंबों के पाद $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ हैं।
परवलय $y^2=4ax$ के लिए,तीन अभिलंबों के पादों द्वारा निर्मित त्रिभुज का केंद्रक $\left(\frac{2}{3}(h-2a), 0\right)$ होता है।
$h=5$ और $a=1$ रखने पर,केंद्रक $\left(\frac{2}{3}(5-2(1)), 0\right) = (2,0)$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1)$,$B(x_2, y_2, z_2)$,और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।
दिया गया है कि $AB, BC, CA$ के मध्य बिंदु क्रमशः $M_1(3,0,0)$,$M_2(0,4,0)$,और $M_3(0,0,5)$ हैं।
मध्य बिंदु सूत्र का उपयोग करते हुए:
$x_1+x_2=6, x_2+x_3=0, x_3+x_1=0$
इन्हें हल करने पर,हमें $x_1=3, x_2=3, x_3=-3$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $y$ निर्देशांक के लिए:
$y_1+y_2=0, y_2+y_3=8, y_3+y_1=0$
इन्हें हल करने पर,हमें $y_1=-4, y_2=4, y_3=4$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार $z$ निर्देशांक के लिए:
$z_1+z_2=0, z_2+z_3=0, z_3+z_1=10$
इन्हें हल करने पर,हमें $z_1=5, z_2=-5, z_3=5$ प्राप्त होता है।
अतः,शीर्ष $A(3, -4, 5)$,$B(3, 4, -5)$,और $C(-3, 4, 5)$ हैं।
अब,भुजाओं की लंबाई के वर्गों की गणना करें:
$AB^2 = (3-3)^2 + (4-(-4))^2 + (-5-5)^2 = 0^2 + 8^2 + (-10)^2 = 64 + 100 = 164$.
$BC^2 = (-3-3)^2 + (4-4)^2 + (5-(-5))^2 = (-6)^2 + 0^2 + 10^2 = 36 + 100 = 136$.
$CA^2 = (3-(-3))^2 + (-4-4)^2 + (5-5)^2 = 6^2 + (-8)^2 + 0^2 = 36 + 64 = 100$.
अंत में,$AB^2+BC^2+CA^2 = 164 + 136 + 100 = 400$.