AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना बिंदु $A(\alpha, 3)$ और $B(2, -1)$ हैं। $AB$ का मध्यबिंदु $M$,$\left(\frac{\alpha+2}{2}, 1\right)$ है।
लंब समद्विभाजक $M$ से होकर गुजरता है और इसका $y$-अंतःखंड $1$ है,जो $M$ के $y$-निर्देशांक के समान है। इसका अर्थ है कि $M$ का $x$-निर्देशांक $0$ होना चाहिए या रेखा क्षैतिज होनी चाहिए।
$\frac{\alpha+2}{2} = 0 \implies \alpha = -2$.
वैकल्पिक रूप से,यदि $\alpha=2$ है,तो $AB$ एक ऊर्ध्वाधर रेखा बन जाती है और लंब समद्विभाजक $y=1$ होता है,जिसका $y$-अंतःखंड $1$ है।
अतः,$\alpha = \pm 2$.

(B) माना मध्य-बिंदु $P(2,1)$ भुजा $BC$ पर,$Q(-1,-2)$ भुजा $CA$ पर और $R(3,3)$ भुजा $AB$ पर स्थित हैं।
चूंकि $RQ$,$BC$ के समांतर है और $RQ = \frac{1}{2} BC$ है,इसलिए भुजा $BC$ रेखाखंड $RQ$ के समांतर है।
$RQ$ की ढाल $m = \frac{3 - (-2)}{3 - (-1)} = \frac{5}{4}$ है।
चूंकि $BC$,$RQ$ के समांतर है,इसलिए $BC$ की ढाल भी $m = \frac{5}{4}$ होगी।
भुजा $BC$ बिंदु $P(2,1)$ से होकर गुजरती है।
बिंदु-ढाल रूप का उपयोग करते हुए,$BC$ का समीकरण है:
$y - 1 = \frac{5}{4}(x - 2)$
$4(y - 1) = 5(x - 2)$
$4y - 4 = 5x - 10$
$5x - 4y = 6$

(B) माना बिंदु $A(4, -3)$,$B(1, 1)$,और $C(2, 3)$ हैं।
रेखा $BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{3-1}{2-1} = 2$ है।
चूंकि अभीष्ट रेखा $BC$ पर लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $m = -\frac{1}{2}$ होगी।
बिंदु $(4, -3)$ से गुजरने वाली और $m = -\frac{1}{2}$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-3) = -\frac{1}{2}(x - 4)$
$2y + 6 = -x + 4$
$x + 2y = -2$
दोनों पक्षों को $-2$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{-2} + \frac{y}{-1} = 1$.
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) त्रिभुज $L_1: 3x+y+2=0$,$L_2: 2x-3y+5=0$ और $L_3: x+4y-14=0$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन से बनता है।
बिंदु $(0, \beta)$ के त्रिभुज के अंदर स्थित होने के लिए $\beta$ का मान ज्ञात करने हेतु,हम $y$-अक्ष पर इन रेखाओं के $y$-अंतःखंड ज्ञात करते हैं (जहाँ $x=0$):
$L_1$ के लिए: $3(0)+y+2=0 \implies y = -2$.
$L_2$ के लिए: $2(0)-3y+5=0 \implies y = 5/3$.
$L_3$ के लिए: $0+4y-14=0 \implies y = 14/4 = 7/2$.
इन रेखाओं द्वारा घिरे क्षेत्र का अवलोकन करने पर,बिंदु $(0, \beta)$ त्रिभुज के अंदर तब स्थित होता है जब $\beta$,$y$-अक्ष पर त्रिभुज के ऊर्ध्वाधर रेखाखंड को सीमित करने वाले दो $y$-अंतःखंडों के बीच होता है।
ग्राफ से,$y$-अंतःखंड $-2$,$5/3$ और $7/2$ हैं। त्रिभुज के अंदर $y$-अक्ष पर रेखाखंड $y = 5/3$ और $y = 7/2$ के बीच स्थित है।
अतः,$\beta$ के मानों का समुच्चय $\left[\frac{5}{3}, \frac{7}{2}\right]$ है।

(C) मान लीजिए रेखाएं $L_1: x+2y-5=0$ और $L_2: 3x-y+1=0$ हैं। मूल बिंदु $(0,0)$ के लिए $L_1(0,0) = -5 < 0$ और $L_2(0,0) = 1 > 0$ है।
बिंदु $P(\lambda^2, \lambda+1)$ के मूल बिंदु वाले क्षेत्र में होने के लिए,इसे $L_1(P) < 0$ और $L_2(P) > 0$ को संतुष्ट करना होगा।
$L_1$ के लिए: $\lambda^2 + 2(\lambda+1) - 5 < 0$ $\Rightarrow \lambda^2 + 2\lambda - 3 < 0$ $\Rightarrow (\lambda+3)(\lambda-1) < 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-3, 1)$।
$L_2$ के लिए: $3(\lambda^2) - (\lambda+1) + 1 > 0$ $\Rightarrow 3\lambda^2 - \lambda > 0$ $\Rightarrow \lambda(3\lambda-1) > 0$ $\Rightarrow \lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$।
$\lambda \in (-3, 1)$ और $\lambda \in (-\infty, 0) \cup (1/3, \infty)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर,हमें $\lambda \in (-3, 0) \cup (1/3, 1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\lambda \in \mathbb{Z}$,इसलिए $\lambda$ के संभावित पूर्णांक मान $\lambda = -2, -1$ हैं।
अतः,ऐसे $2$ बिंदु संभव हैं।

(A) माना रेखा $L(x, y) = 3x - 4y - 8 = 0$ है।
बिंदु $Q(1, 1)$ के लिए,$L(1, 1) = 3(1) - 4(1) - 8 = -9$ है।
चूंकि $L(1, 1) < 0$,इसलिए $P(\alpha, \beta)$ के विपरीत ओर स्थित होने के लिए $L(\alpha, \beta) > 0$ होना चाहिए।
$P(\alpha, \beta)$ को रेखा के समीकरण में रखने पर: $3\alpha - 4\beta - 8 > 0$।
चूंकि $P$,$3x + y = 0$ पर स्थित है,इसलिए $\beta = -3\alpha$ है।
असमिका में $\beta = -3\alpha$ रखने पर: $3\alpha - 4(-3\alpha) - 8 > 0$।
$15\alpha > 8 \Rightarrow \alpha > \frac{8}{15}$।
अब,$\alpha = -\frac{\beta}{3}$ को असमिका में रखने पर:
$3(-\frac{\beta}{3}) - 4\beta - 8 > 0$ $\Rightarrow -5\beta > 8$ $\Rightarrow \beta < -\frac{8}{5}$।
अतः,$\alpha > \frac{8}{15}$ और $\beta < -\frac{8}{5}$।

(C) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
दिया गया है कि $AP + BP = 2$ है।
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} + \sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 2$।
$\sqrt{(x-1)^2 + y^2} = 2 - \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-1)^2 + y^2 = 4 + x^2 + (y-1)^2 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
$x^2 - 2x + 1 + y^2 = 4 + x^2 + y^2 - 2y + 1 - 4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
$-2x + 2y - 4 = -4\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
$-2$ से भाग देने पर:
$x - y + 2 = 2\sqrt{x^2 + (y-1)^2}$।
पुनः दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x - y + 2)^2 = 4(x^2 + y^2 - 2y + 1)$।
$x^2 + y^2 + 4 - 2xy + 4x - 4y = 4x^2 + 4y^2 - 8y + 4$।
$3x^2 + 2xy + 3y^2 - 4x - 4y = 0$।

(A) परवलय का समीकरण $y^2 = 4ax$ है। रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है,जिसे $\frac{y-mx}{c} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु $(0,0)$ को रेखा और परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से जोड़ने वाली रेखाओं का संयुक्त समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम रेखा के समीकरण का उपयोग करके परवलय के समीकरण को समघातीय बनाते हैं:
$y^2 - 4ax \left( \frac{y-mx}{c} \right) = 0$
$cy^2 - 4axy + 4amx^2 = 0$
$4amx^2 - 4axy + cy^2 = 0$
चूंकि ये रेखाएँ मूल बिंदु पर समकोण अंतरित करती हैं,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए:
$4am + c = 0$
रेखा के समीकरण $y = mx + c$ में $c = -4am$ रखने पर:
$y = mx - 4am$
$y = m(x - 4a)$
यह समीकरण एक निश्चित बिंदु $(4a, 0)$ से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार को दर्शाता है।
अतः,संगामी बिंदु $(4a, 0)$ है।

(A) बिंदु $B(x_1, y_1)$ रेखा $x-y+5=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब सूत्र का उपयोग करने पर,$B = (-7, 6)$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,बिंदु $C(x_2, y_2)$ रेखा $x+2y+5=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(1, -2)$ का प्रतिबिंब है।
प्रतिबिंब सूत्र का उपयोग करने पर,$C = (\frac{1}{5}, -\frac{18}{5})$ प्राप्त होता है।
बिंदुओं $B$ और $C$ से गुजरने वाली रेखा $BC$ का समीकरण $14x+23y-40=0$ है।

(D) रेखाओं $x+y+1=0$ और $2x-3y+4=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ है।
माना $P(-2, 0)$ रेखा $2x-3y+4=0$ पर एक बिंदु है। बिंदु $P$ का समद्विभाजक रेखा $x+y+1=0$ के सापेक्ष प्रतिबिंब दूसरी रेखा पर स्थित होगा।
माना $P(-2, 0)$ का प्रतिबिंब $(h, k)$ है। परावर्तन सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{h+2}{1} = \frac{k-0}{1} = -2 \frac{-2+0+1}{1^2+1^2} = 1$.
अतः,$h=-1$ और $k=1$.
दूसरी रेखा $A\left(-\frac{7}{5}, \frac{2}{5}\right)$ और $(-1, 1)$ से होकर गुजरती है।
ढाल $m = \frac{3}{2}$ है।
समीकरण $y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1) \Rightarrow 3x - 2y + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(C) दिया गया समीकरण $\sqrt{(x-2)^2+y^2} + \sqrt{(x+2)^2+y^2} = 4$ है।
माना $A = (2, 0)$ और $B = (-2, 0)$ है।
यह समीकरण बिंदु $P(x, y)$ की बिंदुओं $A$ और $B$ से दूरियों का योग दर्शाता है,जो $PA + PB = 4$ है।
बिंदुओं $A(2, 0)$ और $B(-2, 0)$ के बीच की दूरी $AB = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 0)^2} = 4$ है।
चूंकि $PA + PB = AB$ है,इसलिए बिंदु $P$ को $A$ और $B$ को जोड़ने वाले रेखाखंड पर स्थित होना चाहिए।
अतः,बिंदु $P(x, y)$ का बिंदुपथ $(-2, 0)$ और $(2, 0)$ को जोड़ने वाला रेखाखंड है।
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही है।

(B) माना अक्षों को $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ पर काटने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि रेखा $P(4, 2)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ... $(i)$।
समकोण $\triangle OAB$ में,परिवृत्त का केंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है। माना परिवृत्त का केंद्र $(h, k)$ है।
तब $h = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2h$ और $k = \frac{b}{2} \Rightarrow b = 2k$।
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर,$\frac{4}{2h} + \frac{2}{2k} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{2}{h} + \frac{1}{k} = 1$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदु पथ $2x^{-1} + y^{-1} = 1$ है।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) दी गई सरल रेखाओं के समीकरण हैं:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta) y = a \sin \theta$ ... $(i)$
$x \sin \theta - (1 + \cos \theta) y = -a \sin \theta$ ... $(ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$y(1 - \cos \theta + 1 + \cos \theta) = 2a \sin \theta$
$2y = 2a \sin \theta$
$y = a \sin \theta$
$y$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x \sin \theta + (1 - \cos \theta)(a \sin \theta) = a \sin \theta$
$x + a - a \cos \theta = a$
$x = a \cos \theta$
अब,बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए:
$x^2 + y^2 = (a \cos \theta)^2 + (a \sin \theta)^2$
$x^2 + y^2 = a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)$
$x^2 + y^2 = a^2$
यह एक वृत्त को दर्शाता है।

(D) माना $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ अक्षों पर स्थित बिंदु हैं,और $P(h, k)$ वह बिंदु है जो रेखाखंड $AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर,$P$ के निर्देशांक:
$P(h, k) = \left(\frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{2+1}, \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot b}{2+1}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{2b}{3}\right)$
निर्देशांकों की तुलना करने पर:
$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
दिया गया है कि $AB = 6$,इसलिए:
$\sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} = 6$
$a^2 + b^2 = 36$
$a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(3h)^2 + \left(\frac{3k}{2}\right)^2 = 36$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = 36$
$9$ से भाग देने पर:
$h^2 + \frac{k^2}{4} = 4$
$4h^2 + k^2 = 16$
अतः,$P$ का बिंदुपथ $4x^2 + y^2 = 16$ है।

(C) मान लीजिए $A = (p, 0)$ और $B = (0, q)$ वे बिंदु हैं जहाँ रेखा क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष को काटती है।
मान लीजिए $P(h, k)$ रेखाखंड $\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है।
दिया गया है कि रेखाखंड $\overline{AB}$ की लंबाई $a$ है।
चूंकि $P(h, k)$,$\overline{AB}$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए:
$h = \frac{p+0}{2} \implies p = 2h$
$k = \frac{0+q}{2} \implies q = 2k$
दूरी सूत्र का उपयोग करके रेखाखंड $\overline{AB}$ की लंबाई:
$\sqrt{(p-0)^2 + (0-q)^2} = a$
$\sqrt{p^2 + q^2} = a$
$p = 2h$ और $q = 2k$ का मान रखने पर:
$\sqrt{(2h)^2 + (2k)^2} = a$
$\sqrt{4h^2 + 4k^2} = a$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$4h^2 + 4k^2 = a^2$
$h^2 + k^2 = \frac{a^2}{4}$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,मध्य-बिंदु का बिंदुपथ है:
$x^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना रेखाएँ $L: y=mx$,$L_1: y=k_1x$,और $L_2: y=k_2x$ हैं। चूँकि $L_1 \perp L_2$,इसलिए $k_1k_2 = -1$,या $k_2 = -\frac{1}{k_1}$ है।
$L$ और $L_1$ का संयुक्त समीकरण $(y-mx)(y-k_1x) = y^2 - (m+k_1)xy + mk_1x^2 = 0$ है। इसे $2x^2+axy+3y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए समीकरण को $y^2 + \frac{a}{3}xy + \frac{2}{3}x^2 = 0$ के रूप में लिखते हैं। अतः,$mk_1 = \frac{2}{3}$ और $-(m+k_1) = \frac{a}{3}$ है।
$L$ और $L_2$ का संयुक्त समीकरण $(y-mx)(y-k_2x) = y^2 - (m+k_2)xy + mk_2x^2 = 0$ है। इसे $2x^2+bxy-3y^2=0$ के साथ तुलना करने पर,हम दिए गए समीकरण को $y^2 - \frac{b}{3}xy - \frac{2}{3}x^2 = 0$ के रूप में लिखते हैं। अतः,$mk_2 = -\frac{2}{3}$ और $-(m+k_2) = -\frac{b}{3}$ है।
हमें $k_1 = \frac{2}{3m}$ और $k_2 = -\frac{2}{3m}$ प्राप्त होता है। चूँकि $k_1k_2 = -1$,इसलिए $(\frac{2}{3m})(-\frac{2}{3m}) = -1$ $\Rightarrow \frac{4}{9m^2} = 1$ $\Rightarrow m^2 = \frac{4}{9}$ $\Rightarrow m = \pm \frac{2}{3}$ प्राप्त होता है।
स्थिति $1$: $m = \frac{2}{3}$. तब $k_1 = 1$ और $k_2 = -1$ प्राप्त होता है।
अतः $a = -5$ और $b = -1$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$a^2+b^2 = (-5)^2 + (-1)^2 = 25+1 = 26$.

(C) माना कि दी गई रेखाओं के युग्म के बीच का कोण $\theta$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल छोटे त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का $5$ गुना है।
माना $A_1$ छोटे त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है और $A_2$ बड़े त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है।
$A_2 = 5 A_1 \Rightarrow \frac{1}{2}(\pi - \theta) r^2 = 5 \times \left(\frac{1}{2} \theta r^2\right)$
$\Rightarrow \pi - \theta = 5 \theta$ $\Rightarrow 6 \theta = \pi$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{6}$
रेखाओं के युग्म $a x^2 + 2h x y + b y^2 = 0$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = \left| \frac{2 \sqrt{h^2 - ab}}{a + b} \right|$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = l$,$h = l+m$,और $b = m$ है।
$\tan \frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \left| \frac{2 \sqrt{(l+m)^2 - lm}}{l+m} \right|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{1}{3} = \frac{4((l+m)^2 - lm)}{(l+m)^2}$
$(l+m)^2 = 12(l+m)^2 - 12 lm$
$11(l+m)^2 = 12 lm$
$\frac{lm}{(l+m)^2} = \frac{11}{12}$
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+2 \sqrt{2} xy+2y^2+4x+4 \sqrt{2}y+1=0$ है।
इसे व्यापक समीकरण $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,हमें $a=1$,$h=\sqrt{2}$,$b=2$,$g=2$,$f=2 \sqrt{2}$,और $c=1$ प्राप्त होता है।
समांतर रेखाओं के बीच की दूरी $d$ का सूत्र $d=2 \sqrt{\frac{g^2-ac}{a(a+b)}}$ है।
मान रखने पर: $d=2 \sqrt{\frac{2^2-(1)(1)}{1(1+2)}}$.
$d=2 \sqrt{\frac{4-1}{3}} = 2 \sqrt{\frac{3}{3}} = 2 \sqrt{1} = 2$.

(A) दिया गया है,रेखाओं का युग्म $3x^2+2hxy-3y^2=0$ दो लंबवत रेखाओं को दर्शाता है क्योंकि $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग $3 + (-3) = 0$ है।
रेखाओं के युग्म $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ के लिए एक वर्ग बनाने हेतु,रेखाएं लंबवत होनी चाहिए और समानांतर युग्मों के बीच की दूरी समान होनी चाहिए।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,$xy$ का गुणांक $a+b=0$ को संतुष्ट करना चाहिए,जो $3-3=0$ है (पहले से ही संतुष्ट है)।
रेखाओं के वर्ग बनाने के लिए,समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होनी चाहिए। रेखाएं $3x^2+2hxy-3y^2=0$ और $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ हैं।
वर्ग का केंद्र $3x^2+2hxy-3y^2+2x-4y+c=0$ रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो $\left(\frac{hf-bg}{ab-h^2}, \frac{gh-af}{ab-h^2}\right)$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ $a=3, b=-3, h=h, g=1, f=-2$ है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $= \left(\frac{h(-2)-(-3)(1)}{-9-h^2}, \frac{(1)(h)-(3)(-2)}{-9-h^2}\right) = \left(\frac{3-2h}{9+h^2}, \frac{h+6}{9+h^2}\right)$ है।
रेखाओं के वर्ग बनाने के लिए,समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी समान होनी चाहिए। समीकरणों की तुलना करने पर,हमें $h=4$ और $c=-1$ प्राप्त होता है जो वर्ग बनाने की शर्त को संतुष्ट करता है।

(C) दिया गया समीकरण $8 x^2-14 x y+3 y^2+10 x+10 y-25=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(4 x-y-5)(2 x-3 y+5)=0$ प्राप्त होता है।
रेखाएं $L_1: 4 x-y-5=0$ और $L_2: 2 x-3 y+5=0$ हैं।
इनका प्रतिच्छेदन बिंदु $(2,3)$ है।
माना रेखाओं का युग्म $S=0$ समीकरण $(4 x-y+c_1)(2 x-3 y+c_2)=0$ है।
समांतर चतुर्भुज के लिए,विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का मध्य-बिंदु होता है।
माना $S=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(x_1, y_1)$ है। $(2,3)$ और $(x_1, y_1)$ का मध्य-बिंदु $(3,2)$ है।
अतः,$\frac{x_1+2}{2}=3 \Rightarrow x_1=4$ और $\frac{y_1+3}{2}=2 \Rightarrow y_1=1$ है।
$(4,1)$ को $4 x-y+c_1=0$ में रखने पर $c_1=-15$ प्राप्त होता है।
$(4,1)$ को $2 x-3 y+c_2=0$ में रखने पर $c_2=-5$ प्राप्त होता है।
समीकरण $S=0$ का मान $(4 x-y-15)(2 x-3 y-5)=0$ है।
विस्तार करने पर,$8 x^2-14 x y+3 y^2-50 x+50 y+75=0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया वक्र: $x^2+xy+y^2+x+3y+1=0$ $(i)$ और रेखा: $x+y+2=0$ (ii)।
प्रतिच्छेदन बिंदुओं को मूल बिंदु से जोड़ने वाली रेखाओं का समीकरण प्राप्त करने के लिए,(ii) का उपयोग करके $(i)$ को समघात (homogenize) करें। (ii) से,$\frac{x+y}{-2} = 1$ है।
इसे $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x^2+xy+y^2+(x+3y)(\frac{x+y}{-2}) + 1(\frac{x+y}{-2})^2 = 0$
हर को हटाने के लिए $4$ से गुणा करने पर:
$4x^2+4xy+4y^2-2(x^2+4xy+3y^2) + (x^2+2xy+y^2) = 0$
$3x^2-2xy-y^2 = 0$
यह रेखाओं के युग्म को दर्शाता है। $ax^2+2hxy+by^2=0$ के लिए कोण समद्विभाजकों का समीकरण $\frac{x^2-y^2}{a-b} = \frac{xy}{h}$ होता है।
यहाँ $a=3, h=-1, b=-1$ है।
$\frac{x^2-y^2}{3-(-1)} = \frac{xy}{-(-1)}$
$\frac{x^2-y^2}{4} = \frac{xy}{1}$
$x^2-y^2 = 4xy$
$x^2-4xy-y^2 = 0$।

(B) माना मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - mx = 0$ है,अर्थात $mx - y = 0$।
दी गई जानकारी के अनुसार,बिंदु $(3, 4)$ से रेखा की लंबवत दूरी $4$ इकाई है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{|m(3) - 1(4)|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 4$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\frac{(3m - 4)^2}{m^2 + 1} = 16$।
$9m^2 - 24m + 16 = 16m^2 + 16$।
$7m^2 + 24m = 0$।
$m(7m + 24) = 0$,इसलिए $m = 0$ या $m = -\frac{24}{7}$।
रेखाओं के समीकरण $y = 0$ और $y = -\frac{24}{7}x$ अर्थात $7y + 24x = 0$ हैं।
संयुक्त समीकरण $y(7y + 24x) = 0$ है,जो $7y^2 + 24xy = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के युग्म का सामान्य समीकरण $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ है।
इन रेखाओं के एक-दूसरे के लंबवत होने के लिए,$x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होना चाहिए,अर्थात $A + B = 0$।
दिए गए समीकरण $3ax^2 + 5xy + (a^2 - 2)y^2 = 0$ में,$A = 3a$ और $B = a^2 - 2$ है।
$A + B = 0$ रखने पर,हमें $3a + a^2 - 2 = 0$ प्राप्त होता है,जो $a^2 + 3a - 2 = 0$ है।
द्विघात सूत्र $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $a$ के लिए हल करने पर,$a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि विविक्तकर $D = 17 > 0$ है,इसलिए $a$ के दो अलग-अलग वास्तविक मान हैं।
अतः,$a$ के मानों की संख्या $2$ है।

(C) रेखा का समीकरण $ax+by=1$ है और वक्र का समीकरण $x^2+y^2-x-y-1=0$ है।
रेखा के समीकरण का उपयोग करके वक्र के समीकरण को समघातीय बनाने पर:
$x^2+y^2-(x+y)(ax+by)-(ax+by)^2=0$
$x^2(1-a-a^2)+xy(-a-b-2ab)+y^2(1-b-b^2)=0$
चूंकि रेखाओं का युग्म समकोण पर है,इसलिए $x^2$ और $y^2$ के गुणांकों का योग शून्य होगा:
$(1-a-a^2)+(1-b-b^2)=0$
$a^2+b^2+a+b-2=0$
यह $(a, b)$ तल में एक वृत्त को दर्शाता है। मानक रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=1/2$,$f=1/2$,और $c=-2$ प्राप्त होता है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{(1/2)^2+(1/2)^2+2} = \sqrt{5/2}$।

(A) माना बिंदुओं $P$ और $Q$ के निर्देशांक क्रमशः $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ हैं।
दिया गया है कि $x_1$ और $x_2$ समीकरण $2x^2 + 4x - 7 = 0$ के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $x_1 + x_2 = -\frac{4}{2} = -2$ है।
दिया गया है कि $y_1$ और $y_2$ समीकरण $3x^2 - 12x - 1 = 0$ के मूल हैं,इसलिए मूलों का योग $y_1 + y_2 = -\frac{-12}{3} = 4$ है।
$PQ$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $PQ$ का मध्य-बिंदु होता है,जो $(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2})$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $(\frac{-2}{2}, \frac{4}{2}) = (-1, 2)$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) वृत्तों $S_1: x^2+y^2+2x+3y+1=0$ और $S_2: x^2+y^2+4x+3y+2=0$ की उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण $S_1-S_2=0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - (x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$-2x-1=0 \Rightarrow 2x+1=0$.
$S_1$ और $S_2$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाले वृत्तों के परिवार का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ है।
$(x^2+y^2+2x+3y+1) + \lambda(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (2+4\lambda)x + (3+3\lambda)y + (1+2\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर:
$x^2+y^2 + \left(\frac{2+4\lambda}{1+\lambda}\right)x + \left(\frac{3+3\lambda}{1+\lambda}\right)y + \frac{1+2\lambda}{1+\lambda} = 0$.
इस वृत्त का केंद्र $\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}, -\frac{3}{2}\right)$ है।
चूंकि उभयनिष्ठ जीवा $2x+1=0$ एक व्यास है,केंद्र इस पर स्थित होना चाहिए।
$2\left(-\frac{1+2\lambda}{1+\lambda}\right) + 1 = 0$
$-2-4\lambda+1+\lambda = 0$ $\Rightarrow -3\lambda-1=0$ $\Rightarrow \lambda = -\frac{1}{3}$.
$\lambda = -\frac{1}{3}$ रखने पर:
$(x^2+y^2+2x+3y+1) - \frac{1}{3}(x^2+y^2+4x+3y+2) = 0$
$3x^2+3y^2+6x+9y+3 - x^2-y^2-4x-3y-2 = 0$
$2x^2+2y^2+2x+6y+1 = 0$.

(C) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
घूर्णन रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$.
रूपांतरित समीकरण $9X^2 + 25Y^2 = 225$ है।
मूल समीकरण प्राप्त करने के लिए $X$ और $Y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$9\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 25\left(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
$\frac{9}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{25}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) = 225$
$9(x^2 + y^2 + 2xy) + 25(x^2 + y^2 - 2xy) = 450$
$34x^2 + 34y^2 - 32xy = 450$
$2$ से भाग देने पर,हमें $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है: रेखाएँ $x+2y-5=0$ और $2x-3y+4=0$ वृत्त के व्यास हैं।
चूँकि व्यास का प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त का केंद्र होता है,हम समीकरणों को हल करते हैं:
$x+2y=5$ $(i)$
$2x-3y=-4$ (ii)
$(i)$ को $2$ से गुणा करने पर,$2x+4y=10$ (iii) प्राप्त होता है।
(iii) में से (ii) घटाने पर: $7y=14 \Rightarrow y=2$.
$y=2$ को $(i)$ में रखने पर: $x+2(2)=5 \Rightarrow x=1$.
अतः,केंद्र $(h, k) = (1, 2)$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $9\pi$ है,इसलिए $\pi r^2 = 9\pi \Rightarrow r^2=9$.
वृत्त का समीकरण $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ के अनुसार:
$(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9
x^2-2x+1 + y^2-4y+4 = 9
x^2+y^2-2x-4y-4=0$.

(A) दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर गुजरने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\lambda \neq -1$ है।
$(x^2+y^2-4x-6y-12) + \lambda(x^2+y^2+6x+4y-12) = 0$
$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6\lambda-4)x + (4\lambda-6)y - 12(1+\lambda) = 0$
$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2+y^2 + \frac{6\lambda-4}{1+\lambda}x + \frac{4\lambda-6}{1+\lambda}y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$g = \frac{3\lambda-2}{1+\lambda}$,$f = \frac{2\lambda-3}{1+\lambda}$,और $c = -12$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{13}$ है।
$g^2+f^2-c = 13 \implies \frac{(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2}{(1+\lambda)^2} + 12 = 13$.
$(3\lambda-2)^2 + (2\lambda-3)^2 = (1+\lambda)^2$.
$9\lambda^2 - 12\lambda + 4 + 4\lambda^2 - 12\lambda + 9 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$.
$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \implies 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.
$(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,अतः $\lambda = \frac{3}{2}$ या $\lambda = \frac{2}{3}$ है।
$\lambda = \frac{2}{3}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2-2x-12=0$ प्राप्त होता है।
$\lambda = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2+2x-12=0$ प्राप्त होता है।

(B) वृत्त का दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2 \lambda x-2 \lambda y+\lambda^2=0$ है।
केंद्र $(-\lambda, \lambda)$ है और त्रिज्या $r = \lambda$ है।
रेखा $12x+5y-60=0$ है।
केंद्र से रेखा की लंबवत दूरी त्रिज्या के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{|12(-\lambda)+5(\lambda)-60|}{\sqrt{12^2+5^2}} = \lambda$.
$|-7\lambda-60| = 13\lambda$.
हल करने पर,$\lambda = 10$ या $\lambda = -3$ प्राप्त होता है।
द्वितीय चतुर्थांश के लिए $\lambda > 0$ होना चाहिए,इसलिए $\lambda = 10$।

(A) माना अभीष्ट वृत्त का समीकरण $S \equiv x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है।
चूंकि वृत्त $S=0$ दिए गए वृत्तों को उनके व्यासों के सिरों पर काटता है,इसलिए $S=0$ और प्रत्येक वृत्त $S_i=0$ की उभयनिष्ठ जीवा $S_i=0$ के केंद्र से होकर गुजरती है।
$S_1 \equiv x^2+y^2-4=0$ के लिए,केंद्र $(0,0)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_1=0$ है,जो $2gx+2fy+c+4=0$ है। चूंकि यह $(0,0)$ से गुजरती है,इसलिए $c+4=0$,अर्थात $c=-4$।
$S_2 \equiv x^2+y^2-6x-8y+10=0$ के लिए,केंद्र $(3,4)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_2=0$ है,जो $(2g+6)x+(2f+8)y+c-10=0$ है। $c=-4$ और केंद्र $(3,4)$ रखने पर,$(2g+6)(3)+(2f+8)(4)-14=0$,जो $6g+8f+36=0$ अर्थात $3g+4f+18=0$ $(i)$ में सरल होता है।
$S_3 \equiv x^2+y^2+2x-4y-2=0$ के लिए,केंद्र $(-1,2)$ है। उभयनिष्ठ जीवा $S-S_3=0$ है,जो $(2g-2)x+(2f+4)y+c+2=0$ है। $c=-4$ और केंद्र $(-1,2)$ रखने पर,$(2g-2)(-1)+(2f+4)(2)-2=0$,जो $-2g+4f+8=0$ (ii) में सरल होता है।
$(i)$ और (ii) को हल करने पर: (ii) से,$g=2f+4$। $(i)$ में रखने पर,$3(2f+4)+4f+18=0$ $\Rightarrow 10f+30=0$ $\Rightarrow f=-3$। अतः $g=-2$।
इस प्रकार,अभीष्ट वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y-4=0$ है।

(D) वृत्त $S$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है और दोनों अक्षों को स्पर्श करता है,इसकी त्रिज्या $r_1 = 2$ है। अतः,इसका केंद्र $C_1 = (2, 2)$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2 = (6, 5)$ और त्रिज्या $r$ है।
चूंकि दोनों वृत्त एक-दूसरे को बाह्य रूप से स्पर्श करते हैं,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है:
$C_1C_2 = r_1 + r$
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2 + (5-2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$.
अतः,$5 = 2 + r$,जिससे $r = 3$ प्राप्त होता है।
केंद्र $(6, 5)$ और त्रिज्या $3$ वाले वृत्त का समीकरण है:
$(x-6)^2 + (y-5)^2 = 3^2$
$x^2 - 12x + 36 + y^2 - 10y + 25 = 9$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 61 - 9 = 0$
$x^2 + y^2 - 12x - 10y + 52 = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) वृत्त $S \equiv x^2+y^2-2x-4y+3=0$ के सापेक्ष बिंदु $B(-1, 1)$ की पावर:
$p = (-1)^2 + (1)^2 - 2(-1) - 4(1) + 3 = 1 + 1 + 2 - 4 + 3 = 3$.
स्पर्श रेखा की लंबाई $t = \sqrt{p}$ है,इसलिए $t = \sqrt{3}$ और $t^2 = 3$.
वृत्त $S^{\prime}$ का केंद्र $(p, t^2) = (3, 3)$ है और यह मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरता है।
त्रिज्या का वर्ग $r^2 = (3-0)^2 + (3-0)^2 = 9 + 9 = 18$.
अतः,वृत्त $S^{\prime}$ का समीकरण $(x-3)^2 + (y-3)^2 = 18$ है।
बिंदु $(2, 3)$ के लिए पावर की गणना करने पर:
$(2-3)^2 + (3-3)^2 - 18 = 1 - 18 = -17$.
चूंकि पावर ऋणात्मक $(-17 < 0)$ है,इसलिए बिंदु $(2, 3)$ वृत्त $S^{\prime} = 0$ के अंदर स्थित है।

(B) वृत्त $x^2+y^2-2x-2y+1=0$ के सापेक्ष बिंदु $P(2,3)$ के ध्रुवीय का समीकरण $T=0$ द्वारा दिया जाता है:
$x(2)+y(3)-(x+2)-(y+3)+1=0$
$x+2y-4=0$ $\ldots(i)$
वृत्त का केंद्र $C(1,1)$ है और त्रिज्या $r = 1$ है।
$P(2,3)$ और $C(1,1)$ को जोड़ने वाली रेखा $2x-y-1=0$ है $\ldots(ii)$।
$P$ का प्रतिलोम बिंदु $Q$,रेखा $CP$ और $P$ के ध्रुवीय का प्रतिच्छेदन बिंदु है। $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$Q = (\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$।
$Q(\frac{6}{5}, \frac{7}{5})$ के ध्रुवीय का समीकरण:
$x+2y-8=0$ $\ldots(iii)$।
समांतर रेखाओं $x+2y-4=0$ और $x+2y-8=0$ के बीच की दूरी:
$d = \frac{|-4 - (-8)|}{\sqrt{1^2+2^2}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$।
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(B) भुजाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$y=0$ ... $(i)$
$y=x$ ... (ii)
$2x+3y=10$ ... (iii)
$(i)$ और (iii) को हल करने पर शीर्ष $A(5,0)$ प्राप्त होता है।
$(i)$ और (ii) को हल करने पर शीर्ष $B(0,0)$ प्राप्त होता है।
(ii) और (iii) को हल करने पर शीर्ष $C(2,2)$ प्राप्त होता है।
माना वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ... (iv) है।
चूंकि यह $B(0,0)$ से गुजरता है,इसलिए $c=0$ है।
चूंकि यह $A(5,0)$ से गुजरता है,इसलिए $25+10g=0 \Rightarrow g=-5/2$ है।
चूंकि यह $C(2,2)$ से गुजरता है,इसलिए $4+4+4g+4f=0 \Rightarrow g+f+2=0$ है।
$g=-5/2$ रखने पर,हमें $-5/2+f+2=0 \Rightarrow f=1/2$ प्राप्त होता है।
वृत्त का केंद्र $(-g, -f) = (5/2, -1/2)$ है।

(D) माना $(h, k)$ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है। वृत्त $x^2+y^2=12$ के लिए स्पर्श रेखाओं की स्पर्श जीवा (chord of contact) का समीकरण $hx+ky=12$ या $hx+ky-12=0$ है।
यह स्पर्श जीवा दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ जीवा है। उभयनिष्ठ जीवा का समीकरण दोनों वृत्तों के समीकरणों को घटाकर प्राप्त किया जाता है: $(x^2+y^2-12) - (x^2+y^2-5x+3y-2) = 0$,जो सरल होकर $5x-3y-10=0$ हो जाता है।
चूंकि $hx+ky-12=0$ और $5x-3y-10=0$ एक ही रेखा को दर्शाते हैं,इसलिए उनके गुणांक आनुपातिक होने चाहिए:
$\frac{h}{5} = \frac{k}{-3} = \frac{-12}{-10} = \frac{6}{5}$.
अतः,$h = 5 \times \frac{6}{5} = 6$ और $k = -3 \times \frac{6}{5} = -\frac{18}{5}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(6, -\frac{18}{5}\right)$ है।

(D) दिया गया वृत्त $x^2+y^2+4x-6y+9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha=0$ है।
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर,$g=2$,$f=-3$,और $c=9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha$ प्राप्त होता है।
केंद्र $C$ $(-2, 3)$ है।
त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c} = \sqrt{4+9-(9 \sin^2 \alpha+13 \cos^2 \alpha)} = \sqrt{13-9 \sin^2 \alpha-13 \cos^2 \alpha} = \sqrt{13 \sin^2 \alpha-9 \sin^2 \alpha} = \sqrt{4 \sin^2 \alpha} = 2 \sin \alpha$ है।
माना $P(x_1, y_1)$ बिंदु है। दूरी $PC = \sqrt{(x_1+2)^2+(y_1-3)^2} = \sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$ है।
समकोण त्रिभुज $\triangle PAC$ में,$\sin \alpha = \frac{AC}{PC} = \frac{r}{PC}$ है।
अतः,$\sin \alpha = \frac{2 \sin \alpha}{\sqrt{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \alpha = \frac{4 \sin^2 \alpha}{x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13}$ प्राप्त होता है।
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+13 = 4$।
$x_1^2+y_1^2+4x_1-6y_1+9 = 0$।
$(x_1, y_1)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदु पथ $x^2+y^2+4x-6y+9=0$ है।

(A) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-2x-4y-20=0$ ... $(i)$ है।
केंद्र $A$ $(1, 2)$ है और त्रिज्या $r = \sqrt{1^2+2^2+20} = \sqrt{25} = 5$ है।
बिंदु $B(1, 7)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(1) + y(7) - (x+1) - 2(y+7) - 20 = 0$ है,जो $5y = 35$ या $y = 7$ ... $(ii)$ में सरल हो जाता है।
बिंदु $D(4, -2)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $x(4) + y(-2) - (x+4) - 2(y-2) - 20 = 0$ है,जो $3x - 4y = 20$ ... $(iii)$ में सरल हो जाता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $C$ के लिए $(ii)$ और $(iii)$ को हल करने पर: $y=7$ को $(iii)$ में रखने पर,$3x - 4(7) = 20$ $\Rightarrow 3x = 48$ $\Rightarrow x = 16$। अतः,$C = (16, 7)$।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $2 \times \text{Area}(\triangle ABC) = 2 \times (\frac{1}{2} \times r \times L)$ है,जहाँ $L$ बिंदु $C$ से वृत्त पर स्पर्श रेखा की लंबाई है।
$L = \sqrt{S_1} = \sqrt{16^2 + 7^2 - 2(16) - 4(7) - 20} = \sqrt{256 + 49 - 32 - 28 - 20} = \sqrt{225} = 15$।
क्षेत्रफल $= r \times L = 5 \times 15 = 75$ वर्ग इकाइयाँ।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) दिए गए वृत्त $C_1: x^2+y^2+30x-2y+1=0$ और $C_2: x^2+y^2-14x+6y+33=0$ हैं।
$C_1$ के लिए,केंद्र $O = (-15, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = 15$ है।
$C_2$ के लिए,केंद्र $O' = (7, -3)$ और त्रिज्या $r_2 = 5$ है।
बिंदु $T$ अनुप्रस्थ उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो केंद्रों $O$ और $O'$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $3:1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है।
$T = \left(\frac{3(7) + 1(-15)}{4}, \frac{3(-3) + 1(1)}{4}\right) = \left(\frac{6}{4}, \frac{-8}{4}\right) = \left(\frac{3}{2}, -2\right)$.
बिंदु $D$ सीधी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,जो केंद्रों $O$ और $O'$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $3:1$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
$D = \left(\frac{3(7) - 1(-15)}{2}, \frac{3(-3) - 1(1)}{2}\right) = \left(\frac{36}{2}, \frac{-10}{2}\right) = (18, -5)$.
$TD$ को व्यास मानकर खींचे गए वृत्त का केंद्र $TD$ का मध्य-बिंदु है।
मध्य-बिंदु $= \left(\frac{3/2 + 18}{2}, \frac{-2 - 5}{2}\right) = \left(\frac{39}{4}, \frac{-7}{2}\right)$.

(B) माना वृत्त का केंद्र $(h, k)$ और त्रिज्या $r$ है। चूंकि वृत्त रेखाओं $4x-3y-24=0$ और $4x+3y-42=0$ को स्पर्श करता है,इसलिए $(h, k)$ से इन रेखाओं की लंबवत दूरी $r$ के बराबर है।
$r = \left|\frac{4h-3k-24}{5}\right| = \left|\frac{4h+3k-42}{5}\right|$
साथ ही,वृत्त $(2, 8)$ से गुजरता है,इसलिए $r^2 = (h-2)^2 + (k-8)^2$ है।
दूरी की समानता से,$4h-3k-24 = \pm(4h+3k-42)$।
स्थिति $1$: $4h-3k-24 = 4h+3k-42$ $\Rightarrow 6k = 18$ $\Rightarrow k = 3$।
त्रिज्या समीकरण में $k=3$ रखने पर:
$r^2 = \left(\frac{4h-3(3)-24}{5}\right)^2 = \left(\frac{4h-33}{5}\right)^2$
$(h-2)^2 + (3-8)^2 = (h-2)^2 + 25$ के साथ बराबर करने पर:
$\frac{(4h-33)^2}{25} = (h-2)^2 + 25$
$(4h-33)^2 = 25(h^2-4h+4+25) = 25(h^2-4h+29)$
$16h^2 - 264h + 1089 = 25h^2 - 100h + 725$
$9h^2 + 164h - 364 = 0$
$(h-2)(9h+182) = 0$
चूंकि $h \le 8$ है,हम $h=2$ लेते हैं। अतः,केंद्र $(2, 3)$ है और $r^2 = (2-2)^2 + (3-8)^2 = 25$ है।
समीकरण $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 25 \Rightarrow x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है।

(B) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ है। इसका केंद्र $C_1(2,3)$ और त्रिज्या $r_1 = 5$ है।
माना अभीष्ट वृत्त का केंद्र $C_2(h, k)$ और त्रिज्या $r_2 = 3$ है। यह दिए गए वृत्त को बिंदु $A(-1,-1)$ पर आंतरिक रूप से स्पर्श करता है।
बिंदु $A$ केंद्रों $C_1$ और $C_2$ को जोड़ने वाली रेखा को $5:3$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$(-1, -1) = \left( \frac{5h-6}{2}, \frac{5k-9}{2} \right)$
जिससे $h = \frac{4}{5}$ और $k = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
अभीष्ट वृत्त का समीकरण $(x-\frac{4}{5})^2 + (y-\frac{7}{5})^2 = 3^2$ होगा।
सरल करने पर $5x^2 + 5y^2 - 8x - 14y - 32 = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिए गए वृत्त का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ ...$(i)$ है,जिसका केंद्र $(-g, -f)$ है।
चूंकि केंद्र रेखा $2x+3y-7=0$ पर स्थित है,इसलिए $2(-g)+3(-f)-7=0$,जिसका अर्थ है $2g+3f+7=0$ ...(ii)।
दो वृत्त $x^2+y^2+2g_1x+2f_1y+c_1=0$ और $x^2+y^2+2g_2x+2f_2y+c_2=0$ लंबकोणीय काटते हैं यदि $2g_1g_2+2f_1f_2=c_1+c_2$ हो।
पहले वृत्त $x^2+y^2-4x-6y+11=0$ के लिए,$2g(-2)+2f(-3)=c+11$,जो $4g+6f+c+11=0$ ...(iii) में सरल होता है।
दूसरे वृत्त $x^2+y^2-10x-4y+21=0$ के लिए,$2g(-5)+2f(-2)=c+21$,जो $10g+4f+c+21=0$ ...(iv) में सरल होता है।
(iv) में से (iii) घटाने पर,$6g-2f+10=0$,या $3g-f+5=0$ ...$(v)$ प्राप्त होता है।
(ii) से,$2g+3f=-7$। $(v)$ से,$f=3g+5$। (ii) में प्रतिस्थापित करने पर: $2g+3(3g+5)=-7$ $\Rightarrow 11g+15=-7$ $\Rightarrow 11g=-22$ $\Rightarrow g=-2$।
तब $f=3(-2)+5=-1$। $g=-2, f=-1$ को (iii) में रखने पर: $4(-2)+6(-1)+c+11=0$ $\Rightarrow -8-6+c+11=0$ $\Rightarrow c-3=0$ $\Rightarrow c=3$।
अंत में,$5g-10f+3c = 5(-2)-10(-1)+3(3) = -10+10+9 = 9$।

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: (x-1)^2 + (y-3)^2 = r^2$ (केंद्र $C_1 = (1, 3)$,त्रिज्या $r_1 = r$)
$S_2: x^2 + y^2 - 8x + 2y + 8 = 0$
$S_2$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 3^2$ (केंद्र $C_2 = (4, -1)$,त्रिज्या $r_2 = 3$)
दो वृत्तों के दो भिन्न बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करने के लिए,उनके केंद्रों के बीच की दूरी $d = C_1C_2$ को $|r_1 - r_2| < d < r_1 + r_2$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$d = \sqrt{(4-1)^2 + (-1-3)^2} = 5$.
अतः,$|r - 3| < 5 < r + 3$.
$r + 3 > 5$ से,$r > 2$ प्राप्त होता है।
$|r - 3| < 5$ से,$-2 < r < 8$ प्राप्त होता है।
अतः,$2 < r < 8$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना दिए गए वृत्त हैं:
$S_1: x^2+y^2+4x-7=0$
$S_2: x^2+y^2+\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}y-\frac{9}{2}=0$
$S_3: x^2+y^2+y=0$
इन वृत्तों को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करने वाले वृत्त का केंद्र $S_1, S_2$ और $S_3$ का मूल केंद्र (radical centre) है।
$S_1$ और $S_2$ की मूल अक्ष (radical axis) $S_1-S_2=0$ है:
$(4-\frac{3}{2})x - \frac{5}{2}y - 7 + \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x-y-1=0 \dots(i)$
$S_2$ और $S_3$ की मूल अक्ष $S_2-S_3=0$ है:
$\frac{3}{2}x + \frac{3}{2}y - \frac{9}{2} = 0 \Rightarrow x+y-3=0 \dots(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर,हमें $x=2$ और $y=1$ प्राप्त होता है। मूल केंद्र $(2,1)$ है।
अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या $r$,$(2,1)$ से $S_3$ पर खींची गई स्पर्श रेखा की लंबाई है:
$r^2 = 2^2+1^2+1 = 6$.
वृत्त का समीकरण $(x-2)^2+(y-1)^2 = 6$ है,जो सरल होकर $x^2+y^2-4x-2y-1=0$ हो जाता है।

(B) दोनों वृत्तों के केंद्र $C_1(-\lambda, 0)$ और $C_2(0, -2)$ हैं और उनकी त्रिज्याएँ $r_1 = \sqrt{\lambda^2-2}$ और $r_2 = \sqrt{2}$ हैं।
दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2$ उनकी त्रिज्याओं के योग या अंतर के बराबर हो: $C_1C_2 = |r_1 \pm r_2|$।
दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(-\lambda - 0)^2 + (0 - (-2))^2} = \sqrt{\lambda^2 + 4}$ की गणना करना।
$C_1C_2 = r_1 + r_2$ रखने पर:
$\sqrt{\lambda^2 + 4} = \sqrt{\lambda^2 - 2} + \sqrt{2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\lambda^2 + 4 = (\lambda^2 - 2) + 2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$\lambda^2 + 4 = \lambda^2 + 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$4 = 2\sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
$2 = \sqrt{2(\lambda^2 - 2)}$
पुनः वर्ग करने पर:
$4 = 2(\lambda^2 - 2)$
$2 = \lambda^2 - 2$
$\lambda^2 = 4 \Rightarrow \lambda = \pm 2$।

(A) वृत्तों के समीकरण $x^2+y^2+4x-5=0$ और $x^2+y^2+2\lambda y-4=0$ हैं।
इन्हें व्यापक समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
प्रथम वृत्त के लिए: $g_1=2, f_1=0, c_1=-5$.
द्वितीय वृत्त के लिए: $g_2=0, f_2=\lambda, c_2=-4$.
दो वृत्तों के बीच का कोण $\theta$ का सूत्र: $\cos \theta = \frac{2g_1g_2+2f_1f_2-c_1-c_2}{2\sqrt{g_1^2+f_1^2-c_1}\sqrt{g_2^2+f_2^2-c_2}}$.
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{3}$ दिया गया है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2} = \frac{2(2)(0) + 2(0)(\lambda) - (-5) - (-4)}{2\sqrt{2^2+0^2-(-5)}\sqrt{0^2+\lambda^2-(-4)}}$.
$\frac{1}{2} = \frac{9}{2(3)\sqrt{\lambda^2+4}} = \frac{3}{2\sqrt{\lambda^2+4}}$.
$\sqrt{\lambda^2+4} = 3$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $\lambda^2+4 = 9$.
$\lambda^2 = 5$,अतः $\lambda = \pm \sqrt{5}$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$x^2+y^2-4x-2y+1=0 \quad \dots (i)$
$x^2+y^2-6x-4y+4=0 \quad \dots (ii)$
वृत्त $(i)$ के लिए,केंद्र $C_1 = (2, 1)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{2^2+1^2-1} = 2$ है।
वृत्त $(ii)$ के लिए,केंद्र $C_2 = (3, 2)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{3^2+2^2-4} = 3$ है।
केंद्रों के बीच की दूरी $C_1C_2 = \sqrt{(3-2)^2+(2-1)^2} = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$ है।
चूंकि $|r_1-r_2| < C_1C_2 < r_1+r_2$ है,इसलिए वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं बाह्य स्पर्श रेखाएं हैं।
बाह्य उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु केंद्रों को जोड़ने वाली रेखा को $r_1:r_2$ के अनुपात में बाह्य रूप से विभाजित करता है।
माना बिंदु $P(x, y)$ है। बाह्य विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$x = \frac{r_1x_2 - r_2x_1}{r_1-r_2} = \frac{2(3) - 3(2)}{2-3} = \frac{6-6}{-1} = 0$
$y = \frac{r_1y_2 - r_2y_1}{r_1-r_2} = \frac{2(2) - 3(1)}{2-3} = \frac{4-3}{-1} = -1$
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -1)$ है।

(A) दिया गया है कि वृत्त $S=0$,वृत्त $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ को लंबकोणीय काटता है और वृत्त $S=0$ का केंद्र $(2,3)$ है।
माना वृत्त $S=0$ का समीकरण $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ है। केंद्र $(-g, -f) = (2,3)$ होने के कारण,$g=-2$ और $f=-3$ है।
हम जानते हैं कि यदि दो वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ और $x^2+y^2+2g'x+2f'y+c'=0$ लंबकोणीय प्रतिच्छेद करते हैं,तो $2gg'+2ff'=c+c'$ होता है।
यहाँ,$(g, f) = (-2, -3)$ और दिए गए वृत्त $x^2+y^2-4x+2y-7=0$ के लिए,$(g', f') = (-2, 1)$ और $c' = -7$ है।
इन मानों को शर्त में रखने पर:
$2(-2)(-2) + 2(-3)(1) = c - 7$
$8 - 6 = c - 7$
$2 = c - 7$
$c = 9$
वृत्त $S=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ द्वारा दी जाती है।
$r = \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2 - 9} = \sqrt{4 + 9 - 9} = \sqrt{4} = 2$.

(B) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$(x+a)^2+(y+b)^2 = a^2 \implies x^2+y^2+2ax+2by+b^2 = 0 \quad \dots (i)$
$(x+c)^2+(y+d)^2 = d^2 \implies x^2+y^2+2cx+2dy+c^2 = 0 \quad \dots (ii)$
सामान्य रूप $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ से तुलना करने पर:
वृत्त $(i)$ के लिए,$g_1=a, f_1=b, c_1=b^2$.
वृत्त $(ii)$ के लिए,$g_2=c, f_2=d, c_2=c^2$.
चूंकि वृत्त लंबकोणीय काटते हैं,शर्त $2(g_1g_2 + f_1f_2) = c_1 + c_2$ है।
मान रखने पर:
$2(ac + bd) = b^2 + c^2$
$2ac + 2bd = b^2 + c^2$
$2ac - c^2 = b^2 - 2bd$
$c(2a - c) = b(b - 2d)$
अतः,$b(b-2d) = c(2a-c)$.

(C) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:
$S_1: x^2+y^2+4x-6y-12=0$
$S_2: x^2+y^2-8x+10y+5=0$
$S_1$ के लिए,केंद्र $C_1 = (-2, 3)$ और त्रिज्या $r_1 = \sqrt{(-2)^2 + 3^2 - (-12)} = 5$ है।
$S_2$ के लिए,केंद्र $C_2 = (4, -5)$ और त्रिज्या $r_2 = \sqrt{4^2 + (-5)^2 - 5} = 6$ है।
केंद्रों $C_1$ और $C_2$ के बीच की दूरी:
$C_1C_2 = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{6^2 + (-8)^2} = 10$ है।
यहाँ,$|r_1 - r_2| < C_1C_2 < r_1 + r_2$ अर्थात $1 < 10 < 11$ है।
अतः,दोनों वृत्त एक-दूसरे को दो अलग-अलग बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।
इसलिए,उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाओं की संख्या $2$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) माना $I = \int \sin ^5 x \cos ^5 x \, dx$.
हम समाकलन को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$I = \int \cos ^5 x \sin ^4 x \sin x \, dx = \int \cos ^5 x (1 - \cos ^2 x)^2 \sin x \, dx$.
माना $\cos x = t$,तब $-\sin x \, dx = dt$,या $\sin x \, dx = -dt$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int t^5 (1 - t^2)^2 (-dt) = -\int t^5 (t^4 - 2t^2 + 1) \, dt$.
$I = -\int (t^9 - 2t^7 + t^5) \, dt = -(\frac{t^{10}}{10} - 2 \frac{t^8}{8} + \frac{t^6}{6}) + C$.
$I = -\frac{t^6}{60} (6t^4 - 15t^2 + 10) + C$.
$t = \cos x$ रखने पर:
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} (6 \cos ^4 x - 15 \cos ^2 x + 10) + C$.
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6(1 - \sin ^2 x)^2 - 15(1 - \sin ^2 x) + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6(1 - 2 \sin ^2 x + \sin ^4 x) - 15 + 15 \sin ^2 x + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6 - 12 \sin ^2 x + 6 \sin ^4 x - 15 + 15 \sin ^2 x + 10] + C$.
$I = -\frac{\cos ^6 x}{60} [6 \sin ^4 x + 3 \sin ^2 x + 1] + C$.
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(D) माना $I = \int \frac{x + \sin x}{1 + \cos x} dx$
$\Rightarrow I = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx + \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$
माना $I = I_{1} + I_{2}$
अब,$I_{1} = \int \frac{x}{1 + \cos x} dx = \int \frac{x \ dx}{2 \cos^{2} \frac{x}{2}}$ $\left\{ \because 1 + \cos \theta = 2 \cos^{2} \frac{\theta}{2} \right\}$
$\Rightarrow I_{1} = \int \frac{x}{2} \sec^{2} \frac{x}{2} dx$
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए: $\int u v \ dx = u \int v \ dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v \ dx \right) dx$
माना $u = x$ और $v = \frac{1}{2} \sec^{2} \frac{x}{2}$
$\Rightarrow I_{1} = x \tan \frac{x}{2} - \int 1 \cdot \tan \frac{x}{2} dx$
$\Rightarrow I_{1} = x \tan \frac{x}{2} - 2 \log_{e} \left| \sec \frac{x}{2} \right| + c_{1}$
$\Rightarrow I_{1} = x \tan \frac{x}{2} - \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{1}$
अब,$I_{2} = \int \frac{\sin x}{1 + \cos x} dx$
माना $1 + \cos x = t \Rightarrow - \sin x \ dx = dt$
$\Rightarrow I_{2} = - \int \frac{1}{t} dt = - \log_{e} |t| + c_{2} = - \log_{e} |1 + \cos x| + c_{2}$
$\Rightarrow I_{2} = - \log_{e} \left| 2 \cos^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{2} = - \log_{e} 2 - \log_{e} \left| \cos^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{2} = \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{3}$
$I_{1}$ और $I_{2}$ को जोड़ने पर:
$I = x \tan \frac{x}{2} - \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{1} + \log_{e} \left| \sec^{2} \frac{x}{2} \right| + c_{3}$
$\Rightarrow I = x \tan \frac{x}{2} + c$

(A) समाकल व्यंजक इस प्रकार है,$I = \int x^{2} [ \sqrt{2} \sin ( \frac{\pi}{4} + x ) + e^{x} ] dx$
$\Rightarrow I = \int x^{2} [ \sqrt{2} ( \sin \frac{\pi}{4} \cos x + \sin x \cos \frac{\pi}{4} ) + e^{x} ] dx$
$\Rightarrow I = \int x^{2} [ \sqrt{2} ( \frac{1}{\sqrt{2}} \cos x + \frac{1}{\sqrt{2}} \sin x ) + e^{x} ] dx$
सरल करने पर,
$\Rightarrow I = \int x^{2} ( \cos x + \sin x + e^{x} ) dx$
$\Rightarrow I = \int x^{2} ( \cos x + \sin x ) dx + \int x^{2} e^{x} dx$
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$\int u v dx = u \int v dx - \int \{ \frac{d u}{d x} \cdot \int v dx \} dx$:
$\Rightarrow I = x^{2} ( \sin x - \cos x ) - \int 2 x ( \sin x - \cos x ) dx + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$
$\Rightarrow I = x^{2} ( \sin x - \cos x ) - 2 [ x ( - \cos x - \sin x ) - \int ( - \cos x - \sin x ) dx ] + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$
$\Rightarrow I = x^{2} ( \sin x - \cos x ) + 2 x ( \cos x + \sin x ) - 2 ( \sin x - \cos x ) + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$
$\Rightarrow I = ( x^{2} + 2 x - 2 ) \sin x + ( - x^{2} + 2 x + 2 ) \cos x + ( x^{2} - 2 x + 2 ) e^{x} + C$

(C) माना $I_n = \int (\sin x + \cos x)^n dx$ है।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = (\sin x + \cos x)^{n-1}$ और $dv = (\sin x + \cos x) dx$ लें।
तब $du = (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x) dx$ और $v = (-\cos x + \sin x) = (\sin x - \cos x)$ प्राप्त होता है।
$I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - \int (n-1)(\sin x + \cos x)^{n-2}(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) dx$.
चूँकि $(\cos x - \sin x)(\sin x - \cos x) = -(\sin x - \cos x)^2 = -(1 - \sin 2x) = \sin 2x - 1$.
साथ ही,$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \sin 2x$,इसलिए $\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1$.
अतः,$\sin 2x - 1 = (\sin x + \cos x)^2 - 2$.
$I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) \int (\sin x + \cos x)^{n-2} ((\sin x + \cos x)^2 - 2) dx$.
$I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) - (n-1) I_n + 2(n-1) I_{n-2}$.
$I_n + (n-1) I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$.
$n I_n = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + 2(n-1) I_{n-2}$.
$n I_n - 2(n-1) I_{n-2} = (\sin x + \cos x)^{n-1}(\sin x - \cos x) + C$.

(B) माना $I=\int \frac{x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} d x$ है।
हर का परिमेयकरण करने पर:
$I=\int \frac{x(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})}{(x+1)-(x-1)} d x = \frac{1}{2} \int x \sqrt{x+1} d x - \frac{1}{2} \int x \sqrt{x-1} d x = \frac{1}{2} I_1 - \frac{1}{2} I_2$।
$I_1 = \int x \sqrt{x+1} d x$ के लिए,$u = x+1$ रखने पर,$x = u-1$ और $dx = du$:
$I_1 = \int (u-1) \sqrt{u} du = \int (u^{3/2} - u^{1/2}) du = \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} + c_1 = 2(x+1)^{3/2} [\frac{1}{5}(x+1) - \frac{1}{3}] + c_1 = \frac{2(3x-2)}{15}(x+1)^{3/2} + c_1$।
$I_2 = \int x \sqrt{x-1} d x$ के लिए,$v = x-1$ रखने पर,$x = v+1$ और $dx = dv$:
$I_2 = \int (v+1) \sqrt{v} dv = \int (v^{3/2} + v^{1/2}) dv = \frac{2}{5} v^{5/2} + \frac{2}{3} v^{3/2} + c_2 = 2(x-1)^{3/2} [\frac{1}{5}(x-1) + \frac{1}{3}] + c_2 = \frac{2(3x+2)}{15}(x-1)^{3/2} + c_2$।
$I$ में मान रखने पर:
$I = \frac{1}{2} [\frac{2(3x-2)}{15}(x+1)^{3/2}] - \frac{1}{2} [\frac{2(3x+2)}{15}(x-1)^{3/2}] + C = \frac{3x-2}{15}(x+1)^{3/2} - \frac{3x+2}{15}(x-1)^{3/2} + C$।
$A(x)(x+1)^{3/2} + B(x)(x-1)^{3/2} + C$ से तुलना करने पर,$A(x) = \frac{3x-2}{15}$ और $B(x) = -\frac{3x+2}{15}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A(x) + B(x) = \frac{3x-2 - 3x - 2}{15} = -\frac{4}{15}$।

(B) माना $I = \int \frac{x \log x}{(x^2-1)^{3/2}} dx$.
खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = \frac{x}{(x^2-1)^{3/2}} dx$ लें।
तब $du = \frac{1}{x} dx$ और $v = \int (x^2-1)^{-3/2} x dx = -(x^2-1)^{-1/2} = -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$।
सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ का उपयोग करने पर:
$I = -\frac{\log x}{\sqrt{x^2-1}} - \int \left(-\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\right) \frac{1}{x} dx$
$I = -\frac{\log x}{\sqrt{x^2-1}} + \int \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} dx$
चूंकि $\int \frac{1}{x \sqrt{x^2-1}} dx = \sec^{-1} x + C$,
$I = \sec^{-1} x - \frac{\log x}{\sqrt{x^2-1}} + C$.

(C) हमारे पास $I = \int \frac{\cos 2x \cdot 2 \sin 2x \cos 2x}{\cos^4 x (1 + \cos^2 2x)} dx$ है।
चूंकि $\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$,इसलिए $\cos^4 x = \frac{(1 + \cos 2x)^2}{4}$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$I = 4 \int \frac{\cos^2 2x \sin 2x}{(1 + \cos 2x)^2 (1 + \cos^2 2x)} dx$।
मान लीजिए $t = \cos 2x$,तो $dt = -2 \sin 2x dx$,इसलिए $\sin 2x dx = -\frac{dt}{2}$।
$I = 4 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} \left(-\frac{dt}{2}\right) = -2 \int \frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} dt$।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{t^2}{(1+t)^2 (1+t^2)} = \frac{1}{2(1+t)^2} - \frac{1}{2(1+t)} + \frac{t}{2(1+t^2)}$।
$I = -2 \int \left[ \frac{1}{2(1+t)^2} - \frac{1}{2(1+t)} + \frac{t}{2(1+t^2)} \right] dt$।
$I = -2 \left[ -\frac{1}{2(1+t)} - \frac{1}{2} \log |1+t| + \frac{1}{4} \log (1+t^2) \right] + c$।
$I = \frac{1}{1+t} + \log |1+t| - \frac{1}{2} \log (1+t^2) + c$।
चूंकि $1+t = 1+\cos 2x = 2\cos^2 x$,इसलिए $\frac{1}{1+t} = \frac{1}{2\cos^2 x} = \frac{1}{2} \sec^2 x$।
अतः,$I = \sec^2 x + \log \frac{(1+\cos 2x)^2}{1+\cos^2 2x} + c$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int \frac{5 \cot x+1}{(\cot x-1)(\cot x-2) \sin ^2 x} d x$.
$\cot x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,$-\operatorname{cosec}^2 x d x = d t$,जिसका अर्थ है $\operatorname{cosec}^2 x d x = -d t$.
अतः,$I = -\int \frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} dt$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{5t+1}{(t-1)(t-2)} = \frac{A}{t-1} + \frac{B}{t-2}$.
$5t+1 = A(t-2) + B(t-1) = (A+B)t - (2A+B)$.
गुणांकों की तुलना करने पर,$A+B = 5$ और $2A+B = -1$.
इन्हें हल करने पर,$A = -6$ और $B = 11$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$I = -\int \left( \frac{-6}{t-1} + \frac{11}{t-2} \right) dt = 6 \int \frac{dt}{t-1} - 11 \int \frac{dt}{t-2}$.
$I = 6 \log |t-1| - 11 \log |t-2| + c = 6 \log |\cot x - 1| + 11 \log |(\cot x - 2)^{-1}| + c$.
$6 \log |f(x)| + 11 \log |g(x)| + c$ से तुलना करने पर,$f(x) = \cot x - 1$ और $g(x) = (\cot x - 2)^{-1}$ प्राप्त होता है।
अतः,$(f(x), g(x)) = (\cot x - 1, (\cot x - 2)^{-1})$.

(C) हमें समाकलन $I(x) = \int x^2(\log x)^2 dx$ दिया गया है। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = (\log x)^2$ और $dv = x^2 dx$ है,हमें $du = \frac{2 \log x}{x} dx$ और $v = \frac{x^3}{3}$ प्राप्त होता है।
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{2 \log x}{x} dx$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} \int x^2 \log x dx$
$\int x^2 \log x dx$ के लिए पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log x$ और $dv = x^2 dx$ लेने पर:
$\int x^2 \log x dx = \frac{x^3}{3} \log x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C_1$
इस मान को $I(x)$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2}{3} [\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9}] + C$
$I(x) = \frac{x^3}{3}(\log x)^2 - \frac{2x^3}{9} \log x + \frac{2x^3}{27} + C$
$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] + C$
चूंकि $I(1) = 0$ दिया गया है,$x = 1$ रखने पर:
$I(1) = \frac{1}{27} [9(0)^2 - 6(0) + 2] + C = 0$
$\frac{2}{27} + C = 0 \Rightarrow C = -\frac{2}{27}$
अतः,$I(x) = \frac{x^3}{27} [9(\log x)^2 - 6 \log x + 2] - \frac{2}{27}$.

(C) दिया गया है,$\int \frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \sin ^{-1} x+x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$= \int \left( \frac{\sqrt{1-x^2} \cdot \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$
$= \int \left( \sin ^{-1} x + \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} \right) d x$
$= \int \sin ^{-1} x d x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$\int \sin ^{-1} x d x$ के लिए खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,जहाँ $f(x) = \sin ^{-1} x$ और $g(x) = 1$:
$= \sin ^{-1} x \cdot x - \int \left( \frac{d}{d x} \sin ^{-1} x \cdot \int 1 d x \right) d x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x$
$= x \sin ^{-1} x - \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \cdot x d x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} d x + c$
$= x \sin ^{-1} x + c$
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) दिया गया है,$\int x^3 e^{2 x} d x = \frac{e^{2 x}}{8} f(x) + c$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का बार-बार उपयोग करने पर:
$\int x^3 e^{2 x} d x = x^3 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 3x^2 \frac{e^{2 x}}{2} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3}{2} \left( x^2 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 2x \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \int x e^{2 x} d x$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3}{2} \left( x \frac{e^{2 x}}{2} - \int \frac{e^{2 x}}{2} d x \right)$
$= \frac{x^3 e^{2 x}}{2} - \frac{3x^2 e^{2 x}}{4} + \frac{3x e^{2 x}}{4} - \frac{3}{4} \frac{e^{2 x}}{2} + c$
$= \frac{e^{2 x}}{8} (4x^3 - 6x^2 + 6x - 3) + c$.
दिए गए रूप से तुलना करने पर,$f(x) = 4x^3 - 6x^2 + 6x - 3$.
$f(x) = 1$ के लिए,$4x^3 - 6x^2 + 6x - 4 = 0$,जो सरल होकर $2x^3 - 3x^2 + 3x - 2 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर,$2(x^3 - 1) - 3x(x - 1) = 0 \Rightarrow (x - 1)(2(x^2 + x + 1) - 3x) = 0$.
$(x - 1)(2x^2 - x + 2) = 0$.
मूल $x = 1$ (वास्तविक) और $2x^2 - x + 2 = 0$ (सम्मिश्र) हैं।
सम्मिश्र मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -(\frac{-1}{2}) = \frac{1}{2}$ है।

(A) हमें समाकलन $I = \int e^x \left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 dx$ दिया गया है।
सबसे पहले,कोष्ठक के अंदर के पद को फिर से लिखते हैं:
$\frac{x+2}{x+4} = \frac{x+4-2}{x+4} = 1 - \frac{2}{x+4}$.
अतः,$\left(\frac{x+2}{x+4}\right)^2 = \left(1 - \frac{2}{x+4}\right)^2 = 1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}$.
अब,समाकलन इस प्रकार होगा:
$I = \int e^x \left(1 - \frac{4}{x+4} + \frac{4}{(x+4)^2}\right) dx$.
हम जानते हैं कि मानक रूप $\int e^x [g(x) + g'(x)] dx = e^x g(x) + C$ होता है।
माना $g(x) = 1 - \frac{4}{x+4}$.
तब $g'(x) = -\left(-\frac{4}{(x+4)^2}\right) = \frac{4}{(x+4)^2}$.
इसलिए,$I = e^x \left(1 - \frac{4}{x+4}\right) + C = e^x \left(\frac{x+4-4}{x+4}\right) + C = \frac{x e^x}{x+4} + C$.
अतः,$f(x) = \frac{x e^x}{x+4}$.

(A) दिया गया है,$\int \frac{x^2}{2 x^2+6 \sqrt{2} x+9} d x$.
ध्यान दें कि $2 x^2+6 \sqrt{2} x+9 = (\sqrt{2} x+3)^2$ है।
हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$x^2 = \frac{1}{2} (2 x^2 + 6 \sqrt{2} x + 9) - 3 \sqrt{2} x - \frac{9}{2}$.
अतः,समाकलन इस प्रकार होगा:
$\int \left( \frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} \right) d x = \frac{x}{2} - \int \frac{3 \sqrt{2} x + \frac{9}{2}}{(\sqrt{2} x + 3)^2} d x$.
मान लीजिए $u = \sqrt{2} x + 3$,तो $du = \sqrt{2} dx$,इसलिए $dx = \frac{du}{\sqrt{2}}$ और $x = \frac{u-3}{\sqrt{2}}$.
समाकलन का भाग $\int \frac{3 \sqrt{2} (\frac{u-3}{\sqrt{2}}) + \frac{9}{2}}{u^2} \frac{du}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - 9 + \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{3u - \frac{9}{2}}{u^2} du = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \left( \frac{3}{u} - \frac{9}{2u^2} \right) du$ है।
$= \frac{1}{\sqrt{2}} [3 \log |u| + \frac{9}{2u}] + c = \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} + c$.
इस मान को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{x}{2} - \left( \frac{3}{\sqrt{2}} \log |\sqrt{2} x + 3| + \frac{9}{2 \sqrt{2} (\sqrt{2} x + 3)} \right) + c$.
विकल्पों में दिए गए रूप से मिलाने के लिए,हम $\frac{1}{2 \sqrt{2}}$ को उभयनिष्ठ लेते हैं:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [\sqrt{2} x - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
कोष्ठक के अंदर $3$ जोड़ने और घटाने पर:
$= \frac{1}{2 \sqrt{2}} [(\sqrt{2} x + 3) - 3 - 6 \log |\sqrt{2} x + 3| - \frac{9}{\sqrt{2} x + 3}] + c$.
चूँकि अचर पद $c$ में समाहित हो जाएगा,इसलिए यह विकल्प $(a)$ से मेल खाता है।

(A) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sin x + \sin 2x}$ है।
$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर,$I = \int \frac{dx}{\sin x(1 + 2 \cos x)}$.
अंश और हर को $\sin x$ से गुणा करने पर: $I = \int \frac{\sin x dx}{\sin^2 x(1 + 2 \cos x)} = \int \frac{\sin x dx}{(1 - \cos^2 x)(1 + 2 \cos x)}$.
माना $\cos x = t$,तो $-\sin x dx = dt$. अतः,$I = -\int \frac{dt}{(1 - t^2)(1 + 2t)} = \int \frac{dt}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)}$.
आंशिक भिन्नों का उपयोग करने पर: $\frac{1}{(t - 1)(t + 1)(2t + 1)} = \frac{A}{t - 1} + \frac{B}{t + 1} + \frac{C}{2t + 1}$.
स्थिरांकों को हल करने पर: $1 = A(t + 1)(2t + 1) + B(t - 1)(2t + 1) + C(t^2 - 1)$.
$t = 1$ के लिए: $1 = A(2)(3) \Rightarrow A = \frac{1}{6}$.
$t = -1$ के लिए: $1 = B(-2)(-1) \Rightarrow B = \frac{1}{2}$.
$t = -\frac{1}{2}$ के लिए: $1 = C(\frac{1}{4} - 1) = C(-\frac{3}{4}) \Rightarrow C = -\frac{4}{3}$.
मान प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int (\frac{1/6}{t - 1} + \frac{1/2}{t + 1} - \frac{4/3}{2t + 1}) dt = \frac{1}{6} \ln|t - 1| + \frac{1}{2} \ln|t + 1| - \frac{2}{3} \ln|2t + 1| + c$.
$t = \cos x$ रखने पर: $I = \frac{1}{6} \ln|\cos x - 1| + \frac{1}{2} \ln|\cos x + 1| - \frac{2}{3} \ln|2 \cos x + 1| + c$.
चूंकि $|\cos x - 1| = |1 - \cos x|$,परिणाम $\frac{1}{6} \ln|1 - \cos x| + \frac{1}{2} \ln|1 + \cos x| - \frac{2}{3} \ln|1 + 2 \cos x| + c$ प्राप्त होता है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{dx}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)}$ है।
आंशिक भिन्नों का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(x + 1)^2 (x^2 + 1)} = \frac{A}{(x + 1)^2} + \frac{B}{x + 1} + \frac{Cx + D}{x^2 + 1}$ लिखें।
$(x + 1)^2 (x^2 + 1)$ से गुणा करने पर,$1 = A(x^2 + 1) + B(x + 1)(x^2 + 1) + (Cx + D)(x + 1)^2$ प्राप्त होता है।
$x = -1$ रखने पर,$A = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
गुणांकों की तुलना करने पर,$A = \frac{1}{2}$,$B = \frac{1}{2}$,$C = -\frac{1}{2}$,$D = 0$ प्राप्त होते हैं।
अतः,$I = \int [\frac{1}{2(x + 1)^2} + \frac{1}{2(x + 1)} - \frac{x}{2(x^2 + 1)}] dx$।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,$I = \frac{1}{2} [-\frac{1}{x + 1} + \log_e|x + 1| - \frac{1}{2} \log_e(x^2 + 1)] + C$।
$I = \frac{1}{2} \log_e(x + 1) - \frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) - \frac{1}{2(x + 1)} + C$।
$\frac{1}{2} \log_e(x + 1) = \log_e \sqrt{x + 1}$ और $\frac{1}{4} \log_e(x^2 + 1) = \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1}$ का उपयोग करने पर,$I = \log_e \sqrt{x + 1} - \frac{1}{2} \log_e \sqrt{x^2 + 1} - \frac{1}{2(x + 1)} + C$ प्राप्त होता है।

(B) माना समाकलन $I = \int \frac{x^5 \, dx}{(x^2+x+1)(x^6+1)(x^4-x^3+x-1)}$ है।
सबसे पहले,हर के पदों को सरल करें:
$(x^2+x+1)(x^4-x^3+x-1) = (x^2+x+1)(x^3(x-1) + 1(x-1)) = (x^2+x+1)(x^3+1)(x-1)$.
चूंकि $(x^2+x+1)(x-1) = x^3-1$,इसलिए गुणनफल $(x^3-1)(x^3+1) = x^6-1$ हो जाता है।
अतः,समाकलन $I = \int \frac{x^5 \, dx}{(x^6+1)(x^6-1)}$ में बदल जाता है।
$t = x^6$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = 6x^5 \, dx$,इसलिए $x^5 \, dx = \frac{1}{6} \, dt$.
$I = \frac{1}{6} \int \frac{dt}{(t+1)(t-1)}$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए,$\frac{1}{(t+1)(t-1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right)$.
$I = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} \int \left( \frac{1}{t-1} - \frac{1}{t+1} \right) dt = \frac{1}{12} (\log_e |t-1| - \log_e |t+1|) + c$.
$I = \frac{1}{12} \log_e \left| \frac{t-1}{t+1} \right| + c = \frac{1}{12} \log_e \left| \frac{x^6-1}{x^6+1} \right| + c$.

(A) माना $I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^3+x^2+x}} d x$.
अंश और हर को $x^2$ से भाग देने पर:
$I = \int \frac{x-1}{(x+1) \sqrt{x^2(x+1+\frac{1}{x})}} d x = \int \frac{x-1}{x(x+1) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}} d x$.
अंश और हर को $x$ से गुणा करने पर:
$I = \int \frac{x^2-1}{x^2(x+1) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}} d x$.
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$I = \int \frac{(1 - \frac{1}{x^2}) d x}{(1 + \frac{1}{x}) \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}}$.
माना $t = \sqrt{x+1+\frac{1}{x}}$. तब $t^2 = x+1+\frac{1}{x}$,और $2t dt = (1 - \frac{1}{x^2}) dx$.
अतः,$I = 2 \tan^{-1} \left( \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}} \right) + c$.

(B) दिया गया है,$\int \cos x \cdot \cos 2 x \cdot \cos 5 x \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (2 \cos 5 x \cos x) \cos 2 x \, dx$
$= \frac{1}{2} \int (\cos 6 x + \cos 4 x) \cos 2 x \, dx$
$= \frac{1}{4} \int (2 \cos 6 x \cos 2 x + 2 \cos 4 x \cos 2 x) \, dx$
$= \frac{1}{4} \int (\cos 8 x + \cos 4 x + \cos 6 x + \cos 2 x) \, dx$
$= \frac{1}{4} \left[ \frac{\sin 8 x}{8} + \frac{\sin 4 x}{4} + \frac{\sin 6 x}{6} + \frac{\sin 2 x}{2} \right] + k$
$= \frac{\sin 2 x}{8} + \frac{\sin 4 x}{16} + \frac{\sin 6 x}{24} + \frac{\sin 8 x}{32} + k$
$A \sin 2 x + B \sin 4 x + C \sin 6 x + D \sin 8 x + k$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$A = \frac{1}{8}, B = \frac{1}{16}, C = \frac{1}{24}, D = \frac{1}{32}$
अतः,$\frac{1}{B} + \frac{1}{C} = 16 + 24 = 40$
और $\frac{1}{A} + \frac{1}{D} = 8 + 32 = 40$
इसलिए,$\frac{1}{B} + \frac{1}{C} = \frac{1}{A} + \frac{1}{D}$.

(D) दिया गया है $I_n = \int \frac{\sin nx}{\sin x} dx$.
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{\sin nx - \sin(n-2)x}{\sin x} dx$ पर विचार करें।
सूत्र $\sin A - \sin B = 2 \cos(\frac{A+B}{2}) \sin(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:
$I_n - I_{n-2} = \int \frac{2 \cos((n-1)x) \sin x}{\sin x} dx = \int 2 \cos((n-1)x) dx = \frac{2 \sin((n-1)x)}{n-1} + C'$.
$n=6$ के लिए,$I_6 - I_4 = \frac{2 \sin 5x}{5}$.
$n=4$ के लिए,$I_4 - I_2 = \frac{2 \sin 3x}{3}$.
$n=2$ के लिए,$I_2 = \int \frac{\sin 2x}{\sin x} dx = \int \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} dx = 2 \int \cos x dx = 2 \sin x + C''$.
इन सबका योग करने पर,$I_6 = (I_6 - I_4) + (I_4 - I_2) + I_2 = \frac{2 \sin 5x}{5} + \frac{2 \sin 3x}{3} + 2 \sin x + c$.
$\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर:
$I_6 = \frac{2}{5} \sin 5x + \frac{2}{3}(3 \sin x - 4 \sin^3 x) + 2 \sin x + c$
$I_6 = \frac{2}{5} \sin 5x + 2 \sin x - \frac{8}{3} \sin^3 x + 2 \sin x + c$
$I_6 = \frac{2}{5} \sin 5x - \frac{8}{3} \sin^3 x + 4 \sin x + c$.

(B) हमारे पास $A_n = \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^n x \, dx$ है।
$A_n$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$A_n = \left[ -e^{-x} \cos^n x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} - \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} n \cos^{n-1} x \sin x \, dx = 0 - n \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$.
अब,$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx$ का खंडशः समाकलन करने पर:
माना $u = \cos^{n-1} x \sin x$ और $dv = e^{-x} dx$.
तब $du = ((n-1) \cos^{n-2} x (-\sin^2 x) + \cos^n x) dx = ((n-1) \cos^{n-2} x (\cos^2 x - 1) + \cos^n x) dx = (n \cos^n x - (n-1) \cos^{n-2} x) dx$.
अतः,$\int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \, dx = \left[ -e^{-x} \cos^{n-1} x \sin x \right]_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} + \int_{\frac{\pi}{2}}^{\infty} e^{-x} (n \cos^n x - (n-1) \cos^{n-2} x) dx = 0 + n A_n - (n-1) A_{n-2}$.
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर: $A_n = -n (n A_n - (n-1) A_{n-2}) = -n^2 A_n + n(n-1) A_{n-2}$.
$(1 + n^2) A_n = n(n-1) A_{n-2}$.
$n=6$ के लिए: $(1 + 36) A_6 = 6(5) A_4 \implies 37 A_6 = 30 A_4 \implies A_6 = \frac{30}{37} A_4$.
अतः,$\frac{A_4 - A_6}{A_4} = 1 - \frac{A_6}{A_4} = 1 - \frac{30}{37} = \frac{7}{37}$.

(B) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x}{\sin x + \cos x} dx$ ...$(i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) dx = \int_0^a f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos^2 x}{\cos x + \sin x} dx$ ...(ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x + \cos x} dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{\sin x + \cos x} dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \operatorname{cosec}\left(x + \frac{\pi}{4}\right) dx$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \log \left| \operatorname{cosec} \left( x + \frac{\pi}{4} \right) - \cot \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \right| \right]_0^{\frac{\pi}{2}}$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log |\operatorname{cosec} \frac{3\pi}{4} - \cot \frac{3\pi}{4}| - \log |\operatorname{cosec} \frac{\pi}{4} - \cot \frac{\pi}{4}| ]$
$2I = \frac{1}{\sqrt{2}} [ \log (\sqrt{2}+1) - \log (\sqrt{2}-1) ] = \frac{1}{\sqrt{2}} [ 2 \log (\sqrt{2}+1) ]$
अतः,$I = \frac{1}{\sqrt{2}} \log (\sqrt{2}+1)$.

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{\log _e(1+x)}{1+x^2} d x$ है।
$x = \tan \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$d x = \sec^2 \theta d \theta$ प्राप्त होता है।
जब $x = 0$,तो $\theta = 0$,और जब $x = 1$,तो $\theta = \frac{\pi}{4}$।
अतः,$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\log _e(1+\tan \theta)}{1+\tan^2 \theta} \sec^2 \theta d \theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan \theta) d \theta$ ... $(i)$।
गुणधर्म $\int_0^a f(\theta) d \theta = \int_0^a f(a-\theta) d \theta$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan(\frac{\pi}{4}-\theta)) d \theta$।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}-\theta) = \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$,इसलिए:
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1 + \frac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}) d \theta = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(\frac{2}{1+\tan \theta}) d \theta$।
$I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e 2 d \theta - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log _e(1+\tan \theta) d \theta$।
$I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 - I$।
$2I = \frac{\pi}{4} \log _e 2 \implies I = \frac{\pi}{8} \log _e 2$।
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(D) माना $I = \int_{e^{-1}}^{e^2} \left| \frac{\log x}{x} \right| dx$.
चूंकि $x \in [e^{-1}, 1)$ के लिए $\log x < 0$ और $x \in [1, e^2]$ के लिए $\log x \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को विभाजित करते हैं:
$I = \int_{e^{-1}}^{1} \left( -\frac{\log x}{x} \right) dx + \int_{1}^{e^2} \left( \frac{\log x}{x} \right) dx$.
$t = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = \frac{dx}{x}$ प्राप्त होता है।
जब $x = e^{-1}, t = -1$. जब $x = 1, t = 0$. जब $x = e^2, t = 2$.
$I = -\int_{-1}^{0} t dt + \int_{0}^{2} t dt$.
$I = -\left[ \frac{t^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ \frac{t^2}{2} \right]_{0}^{2}$.
$I = -\left( 0 - \frac{(-1)^2}{2} \right) + \left( \frac{2^2}{2} - 0 \right)$.
$I = -\left( -\frac{1}{2} \right) + \frac{4}{2} = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) समाकलन $I_{m} = \int_{0}^{\infty} e^{-x} \sin^{m} x dx$ के लिए सामान्य सूत्र $I_{m} = \frac{m(m - 1)}{1 + m^{2}} I_{m - 2}$ है,जहाँ $m > 2$ है।
$m = 6$ के लिए इस पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए:
$I_{6} = \frac{6(5)}{1 + 6^{2}} I_{4} = \frac{30}{37} I_{4}$
$I_{4} = \frac{4(3)}{1 + 4^{2}} I_{2} = \frac{12}{17} I_{2}$
$I_{2} = \frac{2(1)}{1 + 2^{2}} I_{0} = \frac{2}{5} I_{0}$
अब,$I_{0}$ की गणना करते हैं:
$I_{0} = \int_{0}^{\infty} e^{-x} dx = [-e^{-x}]_{0}^{\infty} = 0 - (-1) = 1$
इन मानों को वापस रखने पर:
$I_{6} = \frac{30}{37} \times \frac{12}{17} \times \frac{2}{5} \times 1 = \frac{720}{3145} = \frac{144}{629}$.

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} dx$ ... $(i)$
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -\frac{\pi}{2}$ और $b = \frac{\pi}{2}$,हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है।
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos(-x)}{1+e^{-x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+\frac{1}{e^x}} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{e^x \cos x}{e^x+1} dx$ ... (ii)
$(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:
$2I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x + e^x \cos x}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x(1+e^x)}{1+e^x} dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx$
$2I = [\sin x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2}) = 1 - (-1) = 2$
$I = 1$
अतः,$\tan^{-1}(I) = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$.

(C) दी गई सीमा:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{4n} \frac{n^2}{(n+r)^3}$
हम सामान्य पद को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$\frac{n^2}{(n+r)^3} = \frac{n^2}{n^3(1+\frac{r}{n})^3} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1+\frac{r}{n})^3}$
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$L = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=0}^{4n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{(1+\frac{r}{n})^3}$
योगफल की सीमा के रूप में निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,जहाँ $\frac{r}{n} = x$ और $\frac{1}{n} = dx$,जैसे ही $n \rightarrow \infty$,$x$ की सीमा $0$ से $4$ तक है:
$L = \int_{0}^{4} \frac{1}{(1+x)^3} dx$
$L = \left[ \frac{(1+x)^{-2}}{-2} \right]_{0}^{4} = -\frac{1}{2} \left[ \frac{1}{(1+x)^2} \right]_{0}^{4}$
$L = -\frac{1}{2} \left( \frac{1}{25} - 1 \right) = -\frac{1}{2} \left( -\frac{24}{25} \right) = \frac{12}{25}$
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(B) दिया गया व्यंजक है,$I = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}}$
$= \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{r=1}^{n} \sqrt{r}}{n \sqrt{n}}$
$= \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \sqrt{\frac{r}{n}}$
निश्चित समाकलन की परिभाषा का उपयोग करते हुए,$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(\frac{r}{n}) = \int_{0}^{1} f(x) dx$,जहाँ $f(x) = \sqrt{x}$ है।
$I = \int_{0}^{1} \sqrt{x} dx$
$= [\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} [x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{1}$
$= \frac{2}{3} (1 - 0) = \frac{2}{3}$

(A) दिया गया समाकलन: $\int_{\log _e 2}^x \frac{d t}{\sqrt{e^t-1}}=\frac{\pi}{6}$.
माना $e^t - 1 = u^2$,तब $e^t dt = 2u du$,जिससे $dt = \frac{2u du}{u^2+1}$.
जब $t = \log_e 2$,तब $u = \sqrt{e^{\log_e 2} - 1} = \sqrt{2-1} = 1$.
जब $t = x$,तब $u = \sqrt{e^x - 1}$.
समाकलन इस प्रकार होगा: $\int_{1}^{\sqrt{e^x-1}} \frac{2u du}{(u^2+1)u} = 2 \int_{1}^{\sqrt{e^x-1}} \frac{du}{u^2+1} = 2 [\tan^{-1} u]_{1}^{\sqrt{e^x-1}} = \frac{\pi}{6}$.
$2 [\tan^{-1}(\sqrt{e^x-1}) - \tan^{-1}(1)] = \frac{\pi}{6}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x-1}) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{12}$.
$\tan^{-1}(\sqrt{e^x-1}) = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi+3\pi}{12} = \frac{4\pi}{12} = \frac{\pi}{3}$.
$\sqrt{e^x-1} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
$e^x - 1 = 3 \Rightarrow e^x = 4$.
$x = \log_e 4 = \log_e(2^2) = 2 \log_e 2$.
अतः,विकल्प $A$ सही है.

(D) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx \quad \dots (i)$
गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर:
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3(\frac{\pi}{2}-x) \cos(\frac{\pi}{2}-x)}{\sin ^4(\frac{\pi}{2}-x)+\cos ^4(\frac{\pi}{2}-x)} \, dx$
$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x \sin x}{\cos ^4 x+\sin ^4 x} \, dx \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x (\sin ^2 x + \cos ^2 x)}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx$
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x} \, dx$
अंश और हर को $\cos^4 x$ से विभाजित करने पर:
$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\tan x \sec^2 x}{\tan ^4 x+1} \, dx$
माना $\tan^2 x = t$,तब $2 \tan x \sec^2 x \, dx = dt$,अतः $\tan x \sec^2 x \, dx = \frac{dt}{2}$.
जब $x=0, t=0$ और जब $x=\frac{\pi}{2}, t \to \infty$.
$2I = \int_0^{\infty} \frac{1}{t^2+1} \cdot \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} [\tan^{-1} t]_0^{\infty} = \frac{1}{2} (\frac{\pi}{2} - 0) = \frac{\pi}{4}$.
$2I = \frac{\pi}{4} \implies I = \frac{\pi}{8}$.

(B) दिया गया है कि वक्र $y=ax^2+bx$ बिंदु $(1,2)$ से होकर गुजरता है।
$\therefore 2 = a(1)^2 + b(1) \Rightarrow a+b=2$ ... $(i)$
यह दिया गया है कि वक्र $0 \leq x \leq 8$ के लिए $X$-अक्ष के ऊपर स्थित है,इसलिए वक्र,$X$-अक्ष और रेखा $x=6$ द्वारा घिरा क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\int_0^6 (ax^2+bx) dx = 108$
$\Rightarrow \left[ \frac{ax^3}{3} + \frac{bx^2}{2} \right]_0^6 = 108$
$\Rightarrow \frac{a(216)}{3} + \frac{b(36)}{2} = 108$
$\Rightarrow 72a + 18b = 108$
$18$ से भाग देने पर,हमें $4a + b = 6$ प्राप्त होता है ... $(ii)$
$(ii)$ में से $(i)$ को घटाने पर:
$(4a+b) - (a+b) = 6 - 2$
$3a = 4 \Rightarrow a = \frac{4}{3}$
$a = \frac{4}{3}$ को $(i)$ में रखने पर:
$\frac{4}{3} + b = 2 \Rightarrow b = 2 - \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$
अब,$2b-a$ की गणना करने पर:
$2b-a = 2\left(\frac{2}{3}\right) - \frac{4}{3} = \frac{4}{3} - \frac{4}{3} = 0$

(A) दिए गए वक्रों के समीकरण $x^2+y^2=2$ और $y=x^2$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु के लिए,वृत्त के समीकरण में $x^2=y$ प्रतिस्थापित करने पर:
$y+y^2=2 \Rightarrow y^2+y-2=0$
$(y+2)(y-1)=0$
चूंकि $y=x^2 \ge 0$,इसलिए $y=1$ है। अतः,$x^2=1 \Rightarrow x=\pm 1$ है।
वृत्त का क्षेत्रफल $A_{circle} = \pi r^2 = 2\pi$ है।
छोटे भाग का क्षेत्रफल $A_{small}$,$x=-1$ से $x=1$ के बीच वृत्त के नीचे के क्षेत्रफल में से परवलय के नीचे के क्षेत्रफल को घटाने पर प्राप्त होता है:
$A_{small} = \int_{-1}^{1} (\sqrt{2-x^2} - x^2) dx = 2 \int_{0}^{1} \sqrt{2-x^2} dx - 2 \int_{0}^{1} x^2 dx$
सूत्र $\int \sqrt{a^2-x^2} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:
$A_{small} = 2 [\frac{x}{2}\sqrt{2-x^2} + \frac{2}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{\sqrt{2}})]_0^1 - 2[\frac{x^3}{3}]_0^1$
$A_{small} = 2 [(\frac{1}{2}\sqrt{1} + \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}})) - 0] - \frac{2}{3} = 2(\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}) - \frac{2}{3} = 1 + \frac{\pi}{2} - \frac{2}{3} = \frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}$ है।
बड़े भाग का क्षेत्रफल $A_{large} = A_{circle} - A_{small} = 2\pi - (\frac{\pi}{2} + \frac{1}{3}) = \frac{3\pi}{2} - \frac{1}{3}$ वर्ग इकाई है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) वक्र $y = \tan^{-1} x$ और $y = \cot^{-1} x$ वहाँ प्रतिच्छेद करते हैं जहाँ $\tan^{-1} x = \cot^{-1} x$ होता है। चूँकि $\cot^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x$,इसलिए $2 \tan^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\tan^{-1} x = \frac{\pi}{4}$,अतः $x = 1$ है।
वक्रों और $Y$-अक्ष $(x=0)$ द्वारा $x=0$ से $x=1$ तक परिबद्ध क्षेत्रफल ऊपरी वक्र और निचले वक्र के अंतर का समाकलन है।
$x \in [0, 1]$ के लिए,$\cot^{-1} x \ge \tan^{-1} x$ है।
क्षेत्रफल $= \int_0^1 (\cot^{-1} x - \tan^{-1} x) dx$
$= \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - \tan^{-1} x - \tan^{-1} x) dx = \int_0^1 (\frac{\pi}{2} - 2 \tan^{-1} x) dx$
$= \frac{\pi}{2} [x]_0^1 - 2 \int_0^1 \tan^{-1} x dx$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log_e(1+x^2)]_0^1$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ (1 \cdot \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2) - (0 - 0) ]$
$= \frac{\pi}{2} - 2 [ \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} \log_e 2 ]$
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{2} + \log_e 2 = \log_e 2$.
अतः,सही विकल्प $(b)$ है।

(A) वक्र का समीकरण $y = x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$ है।
सबसे पहले,हम $(1, 4)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं।
$y$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 2x + 2$ प्राप्त होता है।
$(1, 4)$ बिंदु पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = 2(1) + 2 = 4$ है।
स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 4 = 4(x - 1)$ है,जिसे सरल करने पर $y = 4x$ प्राप्त होता है।
वक्र,स्पर्श रेखा और $Y$-अक्ष द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल,$x = 0$ से $x = 1$ तक वक्र के नीचे का क्षेत्रफल और स्पर्श रेखा,$X$-अक्ष तथा रेखा $x = 1$ द्वारा बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का अंतर है।
क्षेत्रफल $A = \int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx - \int_0^1 (4x) dx$.
प्रथम समाकलन की गणना: $\int_0^1 (x^2 + 2x + 1) dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x^2 + x \right]_0^1 = \frac{1}{3} + 1 + 1 = \frac{7}{3}$.
द्वितीय समाकलन (त्रिभुज का क्षेत्रफल) की गणना: $\int_0^1 4x dx = \left[ 2x^2 \right]_0^1 = 2(1)^2 - 0 = 2$.
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल $A = \frac{7}{3} - 2 = \frac{7 - 6}{3} = \frac{1}{3} \ sq. \ units$.

(C) यह क्षेत्र परवलय $x^2=y$,रेखा $y=x+2$ और $X$-अक्ष द्वारा परिबद्ध है।
परवलय $y=x^2$ और रेखा $y=x+2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $x^2=x+2$ को हल करके प्राप्त किए जाते हैं,जिससे $x^2-x-2=0$ मिलता है,जिसका अर्थ है $(x-2)(x+1)=0$। अतः,$x=-1$ और $x=2$ हैं।
रेखा $y=x+2$,$X$-अक्ष को $x=-2$ पर काटती है (जहाँ $y=0$ है)।
अभीष्ट क्षेत्रफल $x=-2$ से $x=-1$ तक रेखा के नीचे और $x=-1$ से $x=0$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्र है।
क्षेत्रफल $= \int_{-2}^{-1} (x+2) dx + \int_{-1}^{0} x^2 dx$
$= \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{-1} + \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0}$
$= \left( (\frac{1}{2} - 2) - (\frac{4}{2} - 4) \right) + \left( 0 - (-\frac{1}{3}) \right)$
$= (-\frac{3}{2} - (-2)) + \frac{1}{3}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6} \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) दिया गया वक्र $ay^2 = x^2(a - x)$ है,जहाँ $a > 0$ है।
चूँकि वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,कुल क्षेत्रफल $x$-अक्ष के ऊपर के क्षेत्रफल का दोगुना होगा।
समीकरण से,$y^2 = \frac{x^2(a - x)}{a}$,इसलिए $y = \pm x \sqrt{\frac{a - x}{a}}$।
लूप $x \in [0, a]$ के लिए मौजूद है।
आवश्यक क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 2 \int_0^a y \, dx = 2 \int_0^a x \sqrt{\frac{a - x}{a}} \, dx$
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_0^a x \sqrt{a - x} \, dx$
माना $a - x = t^2$,तो $dx = -2t \, dt$। जब $x = 0, t = \sqrt{a}$ और जब $x = a, t = 0$।
$A = \frac{2}{\sqrt{a}} \int_{\sqrt{a}}^0 (a - t^2) t (-2t \, dt) = \frac{4}{\sqrt{a}} \int_0^{\sqrt{a}} (at^2 - t^4) \, dt$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left[ \frac{at^3}{3} - \frac{t^5}{5} \right]_0^{\sqrt{a}}$
$A = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a(\sqrt{a})^3}{3} - \frac{(\sqrt{a})^5}{5} \right) = \frac{4}{\sqrt{a}} \left( \frac{a^2 \sqrt{a}}{3} - \frac{a^2 \sqrt{a}}{5} \right)$
$A = 4 \left( \frac{a^2}{3} - \frac{a^2}{5} \right) = 4 \left( \frac{5a^2 - 3a^2}{15} \right) = 4 \left( \frac{2a^2}{15} \right) = \frac{8}{15} a^2$।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(D) मूलबिंदु $(0,0)$ पर नाभि और $X$-अक्ष पर अक्ष वाले परवलयों के परिवार का समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ है,जहाँ $a$ एक स्वेच्छ अचर है।
इसका विस्तार करने पर,$y^2 = 4ax + 4a^2$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 4a \Rightarrow a = \frac{y}{2} \frac{dy}{dx}$.
$a$ का यह मान मूल समीकरण $y^2 = 4a(x+a)$ में रखने पर:
$y^2 = 4 \left( \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right) \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y^2 = 2y \frac{dy}{dx} \left( x + \frac{y}{2} \frac{dy}{dx} \right)$
$y$ से भाग देने पर ($y \neq 0$ मानते हुए):
$y = 2x \frac{dy}{dx} + y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$
$y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 2x \frac{dy}{dx} - y = 0$.
चूँकि इस समीकरण में केवल प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ शामिल है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।

(D) दिया गया वक्रों का कुल: $x^2 = c(y+c)^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें प्राप्त होता है $x = \sqrt{c}(y+c)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $1 = \sqrt{c} \frac{dy}{dx}$,जिसका अर्थ है $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$.
समीकरण $x = \sqrt{c}(y+c)$ में $\sqrt{c} = \frac{dx}{dy}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \frac{dx}{dy} \left( y + \left( \frac{dx}{dy} \right)^2 \right)$.
दोनों पक्षों को $\left( \frac{dy}{dx} \right)^3$ से गुणा करने पर:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = \left( \frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} \right) \left( y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1 \right)$.
चूंकि $\frac{dx}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = 1$,इसलिए:
$x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 = y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 + 1$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $x \left( \frac{dy}{dx} \right)^3 - y \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 - 1 = 0$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $y y^{\prime} = x \left[ \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)} \right]$.
दोनों पक्षों को $x^2$ से विभाजित करने पर: $\frac{y}{x} \frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{x^2} + \frac{\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}{\phi^{\prime}\left(\frac{y^2}{x^2}\right)}$.
माना $v = \frac{y^2}{x^2}$. तब $v x^2 = y^2$. $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $2v x + x^2 \frac{dv}{dx} = 2y \frac{dy}{dx}$.
अतः,$y \frac{dy}{dx} = v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{1}{x} (v x + \frac{x^2}{2} \frac{dv}{dx}) = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
$v + \frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = v + \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
$\frac{x}{2} \frac{dv}{dx} = \frac{\phi(v)}{\phi^{\prime}(v)}$.
चरों को पृथक करने पर: $\frac{\phi^{\prime}(v)}{\phi(v)} dv = \frac{2}{x} dx$.
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\ln|\phi(v)| = 2 \ln|x| + \ln|c| = \ln|c x^2|$.
इसलिए,$\phi(v) = c x^2$.
$v = \frac{y^2}{x^2}$ रखने पर,हमें $\phi\left(\frac{y^2}{x^2}\right) = c x^2$ प्राप्त होता है।

(A) $Y$-अक्ष के समांतर अक्ष वाले परवलय का सामान्य समीकरण $y = Ax^2 + Bx + C$ है,जहाँ $A, B, C$ स्वेच्छ अचर हैं।
अवकल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम तीन अचरों को हटाने के लिए $x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करते हैं।
प्रथम अवकलज: $\frac{dy}{dx} = 2Ax + B$.
द्वितीय अवकलज: $\frac{d^2y}{dx^2} = 2A$.
तृतीय अवकलज: $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$.
अतः,अभीष्ट अवकल समीकरण $\frac{d^3y}{dx^3} = 0$ है।

(D) दिया गया समीकरण $y=e^x(a \cos x+b \sin x)$ है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d y}{d x} = e^x(a \cos x + b \sin x) + e^x(-a \sin x + b \cos x)$
$\frac{d y}{d x} = y + e^x(-a \sin x + b \cos x) \quad \dots(I)$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + \frac{d}{d x}[e^x(-a \sin x + b \cos x)]$
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + e^x(-a \sin x + b \cos x) + e^x(-a \cos x - b \sin x)$
समीकरण $(I)$ से,$e^x(-a \sin x + b \cos x) = \frac{d y}{d x} - y$ है।
इस मान को द्वितीय अवकलज में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = \frac{d y}{d x} + (\frac{d y}{d x} - y) - e^x(a \cos x + b \sin x)$
चूंकि $e^x(a \cos x + b \sin x) = y$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{d x^2} = 2 \frac{d y}{d x} - y - y$
$\frac{d^2 y}{d x^2} - 2 \frac{d y}{d x} + 2 y = 0$.

(D) कथन $(I)$:
दिया गया है $y=(\alpha+\beta+\gamma) x$. माना $k = \alpha+\beta+\gamma$,जहाँ $k$ एक स्वेच्छ अचर है।
तब $y = kx$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = k$ प्राप्त होता है।
चूंकि यहाँ केवल एक स्वतंत्र स्वेच्छ अचर है,इसलिए अवकल समीकरण की कोटि $1$ है।
अतः,कथन $(I)$ असत्य है।
कथन $(II)$:
दिया गया है $y = \alpha x + \beta \sin x + \gamma e^x$.
इस समीकरण में $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(\alpha, \beta, \gamma)$ हैं।
$x$ के सापेक्ष तीन बार अवकलन करने पर:
$(1) \frac{dy}{dx} = \alpha + \beta \cos x + \gamma e^x$
$(2) \frac{d^2y}{dx^2} = -\beta \sin x + \gamma e^x$
$(3) \frac{d^3y}{dx^3} = -\beta \cos x + \gamma e^x$
चूंकि हमारे पास $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर हैं,हम उन्हें विलुप्त करके $3$ कोटि का अवकल समीकरण बना सकते हैं।
अतः,कथन $(II)$ सत्य है।

(C) दिया गया है,$y = e^x(A \cos x + B \sin x)$ ...$(i)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime} = e^x(A \cos x + B \sin x) + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} = y + e^x(-A \sin x + B \cos x)$
$y^{\prime} - y = e^x(-A \sin x + B \cos x)$ ...(ii)
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = e^x(-A \sin x + B \cos x) + e^x(-A \cos x - B \sin x)$
समीकरण (ii) से $e^x(-A \sin x + B \cos x) = y^{\prime} - y$ और समीकरण $(i)$ से $e^x(-A \cos x - B \sin x) = -y$ रखने पर:
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = (y^{\prime} - y) - y$
$y^{\prime \prime} - y^{\prime} = y^{\prime} - 2y$
$y^{\prime \prime} - 2y^{\prime} + 2y = 0$
अतः,सही विकल्प $C$ है.

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + 2y \tan x = \sin x$ है।
यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P = 2 \tan x$ और $Q = \sin x$ है।
समाकलन गुणक $(I.F.)$ $e^{\int P dx} = e^{\int 2 \tan x dx} = e^{2 \ln |\sec x|} = e^{\ln \sec^2 x} = \sec^2 x$ है।
व्यापक हल $y \cdot (I.F.) = \int Q \cdot (I.F.) dx + c$ है।
$y \sec^2 x = \int \sin x \cdot \sec^2 x dx + c$.
$y \sec^2 x = \int \sec x \tan x dx + c$.
$y \sec^2 x = \sec x + c$.
दिया है कि $x = \frac{\pi}{3}$ पर $y = 0$,इसलिए:
$0 \cdot \sec^2(\frac{\pi}{3}) = \sec(\frac{\pi}{3}) + c$.
$0 = 2 + c \implies c = -2$.
अतः,$y \sec^2 x = \sec x - 2$.
$\sec^2 x$ से भाग देने पर,$y = \frac{\sec x}{\sec^2 x} - \frac{2}{\sec^2 x} = \cos x - 2 \cos^2 x$ प्राप्त होता है।
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,$y = \cos x - 2(1 - \sin^2 x) = \cos x - 2 + 2 \sin^2 x$.
इसलिए,$y = 2 \sin^2 x + \cos x - 2$.

(D) दिया गया रैखिक अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx} + P(x) y = Q(x)$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx}$ है।
सामान्य हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ है।
दिया गया है कि $y = A(x) e^{\int P(x) dx}$,इसलिए $A(x) = \int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$A'(x) = \frac{d}{dx} [\int Q(x) e^{\int P(x) dx} dx]$.
चूंकि अवकलन और समाकलन एक-दूसरे के व्युत्क्रम हैं:
$A'(x) = Q(x) e^{\int P(x) dx}$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\sin y \frac{dy}{dx} = \cos y(1 - x \cos y)$ है।
दोनों पक्षों को $\cos^2 y$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\sin y}{\cos^2 y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\cos y} - x$
$\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \sec y - x$
माना $\sec y = t$. तब $\sec y \tan y \frac{dy}{dx} = \frac{dt}{dx}$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है:
$\frac{dt}{dx} = t - x \implies \frac{dt}{dx} - t = -x$.
समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।
हल $t(IF) = \int (-x)(IF) dx + c$ है।
$t e^{-x} = \int -x e^{-x} dx + c$.
$\int -x e^{-x} dx$ के लिए खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर:
$\int -x e^{-x} dx = x e^{-x} - \int e^{-x} dx = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
अतः,$t e^{-x} = x e^{-x} + e^{-x} + c$.
$e^x$ से गुणा करने पर,हमें $t = x + 1 + c e^x$ प्राप्त होता है।
$t = \sec y$ वापस रखने पर,हमें $\sec y = x + 1 + c e^x$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} = y - x \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ है।
$x$ से भाग देने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} - \tan \left(\frac{y}{x}\right)$ प्राप्त होता है।
माना $y = vx$,तब $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ होगा।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $v + x \frac{dv}{dx} = v - \tan v$।
यह सरल होकर $x \frac{dv}{dx} = -\tan v$ या $\frac{dv}{\tan v} = -\frac{dx}{x}$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \cot v \, dv = -\int \frac{1}{x} \, dx$।
इससे $\ln |\sin v| = -\ln |x| + \ln |k|$ प्राप्त होता है।
लघुगणक के नियमों का उपयोग करने पर,$\ln |\sin v| = \ln \left|\frac{k}{x}\right|$,अतः $\sin v = \frac{k}{x}$।
$v = \frac{y}{x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sin \left(\frac{y}{x}\right) = \frac{k}{x}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = x \sin^{-1} \left(\frac{k}{x}\right)$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,यदि $A$ मूल बिंदु है,तो $B$ और $C$ के स्थिति सदिश क्रमशः $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ हैं। केंद्रक $G$ का स्थिति सदिश $\vec{AG} = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए सदिशों का मान रखने पर:
$\vec{AG} = \frac{(\hat{i} + 3\hat{j} + 4\hat{k}) + (5\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k})}{3}$
$\vec{AG} = \frac{6\hat{i} + 4\hat{j} + 6\hat{k}}{3} = 2\hat{i} + \frac{4}{3}\hat{j} + 2\hat{k}$.
अब,परिमाण $|\vec{AG}|$ की गणना करने पर: $|\vec{AG}| = \sqrt{2^2 + (\frac{4}{3})^2 + 2^2} = \sqrt{4 + \frac{16}{9} + 4} = \sqrt{8 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{72 + 16}{9}} = \sqrt{\frac{88}{9}} = \frac{\sqrt{4 \times 22}}{3} = \frac{2}{3}\sqrt{22}$.
अतः,सही विकल्प $(a)$ है।

(D) दिए गए स्थिति सदिश हैं:
$P = 3 \hat{i} - 2 \hat{j} - \hat{k}$
$Q = 2 \hat{i} + 3 \hat{j} - 4 \hat{k}$
$R = -\hat{i} + \hat{j} + 2 \hat{k}$
$S = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} + \lambda \hat{k}$
चूंकि बिंदु $P, Q, R, S$ समतलीय हैं,इसलिए सदिशों $\vec{PQ}, \vec{PR}, \vec{PS}$ का अदिश त्रिक गुणनफल शून्य होगा,अर्थात $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$.
सदिशों की गणना:
$\vec{PQ} = Q - P = -\hat{i} + 5\hat{j} - 3\hat{k}$
$\vec{PR} = R - P = -4\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$
$\vec{PS} = S - P = \hat{i} + 7\hat{j} + (\lambda+1)\hat{k}$
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $\vec{PQ} \times \vec{PR}$ ज्ञात करें:
$\vec{PQ} \times \vec{PR} = 24\hat{i} + 15\hat{j} + 17\hat{k}$
अब,डॉट प्रोडक्ट $\vec{PS} \cdot (\vec{PQ} \times \vec{PR}) = 0$ का उपयोग करें:
$1(24) + 7(15) + 17(\lambda+1) = 0$
$24 + 105 + 17\lambda + 17 = 0$
$146 + 17\lambda = 0$
$\lambda = -\frac{146}{17}$

(D) दिया गया है कि बिंदु $A$ का स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ है।
रेखा सदिश $\vec{v} = 2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ के समांतर है।
रेखा की दिशा में इकाई सदिश $\hat{u} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{\sqrt{2^2+1^2+(-2)^2}} = \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3}$ है।
चूंकि $P$ रेखा पर स्थित है और $|AP|=18$ है,इसलिए सदिश $\vec{AP} = \pm 18 \hat{u} = \pm 18 \left( \frac{2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}}{3} \right) = \pm 6(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) = \pm (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k})$ होगा।
सदिश योग के त्रिभुज नियम के अनुसार,$P$ का स्थिति सदिश $\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP}$ है।
स्थिति $1$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) + (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = 13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$.
स्थिति $2$: $\vec{OP} = (\hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}) - (12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) = -11 \hat{i}-7 \hat{j}+15 \hat{k}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$13 \hat{i}+5 \hat{j}-9 \hat{k}$ विकल्प में मौजूद है।

(D) मान लीजिए कि बिंदुओं $A, B,$ और $C$ के स्थिति सदिश इस प्रकार हैं:
$\vec{OA} = \alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$
$\vec{OB} = \beta \hat{i} + \gamma \hat{j} + \alpha \hat{k}$
$\vec{OC} = \gamma \hat{i} + \alpha \hat{j} + \beta \hat{k}$
भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश हैं:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA} = (\beta - \alpha) \hat{i} + (\gamma - \beta) \hat{j} + (\alpha - \gamma) \hat{k}$
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (\gamma - \beta) \hat{i} + (\alpha - \gamma) \hat{j} + (\beta - \alpha) \hat{k}$
$\vec{CA} = \vec{OA} - \vec{OC} = (\alpha - \gamma) \hat{i} + (\beta - \alpha) \hat{j} + (\gamma - \beta) \hat{k}$
अब,इन भुजाओं के परिमाण की गणना करें:
$|\vec{AB}| = \sqrt{(\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2}$
$|\vec{BC}| = \sqrt{(\gamma - \beta)^2 + (\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2}$
$|\vec{CA}| = \sqrt{(\alpha - \gamma)^2 + (\beta - \alpha)^2 + (\gamma - \beta)^2}$
चूँकि $|\vec{AB}| = |\vec{BC}| = |\vec{CA}|$ है,इसलिए बिंदु एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
चूँकि $\alpha, \beta, \gamma$ भिन्न हैं,इसलिए परिमाण शून्य नहीं है।
अतः,बिंदु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष हैं।