lim _{n rightarrow infty} frac{1}{n} [(n+1)(n | vedclass

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Question

(D) माना $P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log P = \lim

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$\frac{4}{e}$

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(D) माना $P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}}$.दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:$\log P = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left( \frac{n+r}{n} \right) = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \log \left( 1 + \frac{r}{n} \right)$.यह एक रीमैन योग है,जिसे निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$\int_{0}^{1} \log(1+x) dx$.खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर,$\int \log(1+x) dx = (1+x)\log(1+x) - (1+x) + C$.$0$ से $1$ तक मूल्यांकन करने पर:$[(1+x)\log(1+x) - (1+x)]_{0}^{1} = (2\log 2 - 2) - (0 - 1) = 2\log 2 - 1 = \log 4 - \log e = \log \left( \frac{4}{e} \right)$.चूँकि $\log P = \log \left( \frac{4}{e} \right)$,इसलिए $P = \frac{4}{e}$.अतः,विकल्प $(D)$ सही है.

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} [(n+1)(n+2) \cdots (2n)]^{\frac{1}{n}} = $

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$\int_{-1}^{2}(7 x-5) d x$ का मान योगफल की सीमा के रूप में ज्ञात कीजिए।

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