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Question

(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 4 & 4 & -3 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह की कोटि $3$ होने

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-$6$

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(C) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 4 & 4 & -3 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ है।आव्यूह की कोटि $3$ होने के लिए,आव्यूह का सारणिक $0$ होना चाहिए और $3$ क्रम का कम से कम एक अशून्य माइनर मौजूद होना चाहिए।आव्यूह को सरल बनाने के लिए पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने पर:$R_2 ightarrow R_2 - 4R_1$ और $R_4 ightarrow R_4 - 9R_1$:$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 0 & 0 & b+9 & 3 \end{bmatrix}$.$R_4 ightarrow R_4 - 3R_2$ लागू करने पर:$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \ 0 & 0 & 1 & 1 \ b & 2 & 2 & 2 \ 0 & 0 & b+6 & 0 \end{bmatrix}$.कोटि $3$ होने के लिए,चौथी पंक्ति को अन्य पंक्तियों का रैखिक संयोजन होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि अंतिम पंक्ति को शून्य हो जाना चाहिए।अतः,$b+6 = 0$ लेने पर,$b = -6$ प्राप्त होता है।

$b$ का वह मान जिसके लिए आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 & 0 \\ 4 & 4 & -3 & 1 \\ b & 2 & 2 & 2 \\ 9 & 9 & b & 3 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) $3$ है,है

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आव्यूह $\begin{bmatrix} -1 & 2 & 5 \\ 2 & -4 & a - 4 \\ 1 & -2 & a + 1 \end{bmatrix}$ की कोटि (rank) क्या है?

यदि $A(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ x+1 & 2x+1 & 3x+1 \\ x^2+1 & 2x^2+1 & 3x^2+1 \end{array} \right|$ है,तो $\int_0^1 A(x) \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 2x & \sin 2x & -\sin x \\ \sin 2x & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ है,तो $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f'(x) \,dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2\cos^2 x & \sin(2x) & -\sin x \\ \sin(2x) & 2\sin^2 x & \cos x \\ \sin x & -\cos x & 0 \end{array} \right|$ है। तो,$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + f'(x)] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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