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Question

(C) माना $L = \lim _{n \rightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n} = k$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेन

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$\log 2+\frac{\pi}{2}-2$

Vedclass · Answer

(C) माना $L = \lim _{n ightarrow \infty}\left[\prod_{r=1}^n \left(1+\frac{r^2}{n^2}ight)ight]^{1 / n} = k$. दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\log k = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \log \left(1+\frac{r^2}{n^2}ight)$. यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $\log k = \int_0^1 \log(1+x^2) dx$. खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए,$u = \log(1+x^2)$ और $dv = dx$ लें: $\int \log(1+x^2) dx = x \log(1+x^2) - \int x \cdot \frac{2x}{1+x^2} dx$. $= x \log(1+x^2) - 2 \int \frac{x^2}{1+x^2} dx = x \log(1+x^2) - 2 \int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}ight) dx$. $= x \log(1+x^2) - 2x + 2 	an^{-1}(x)$. $0$ से $1$ तक सीमाएँ रखने पर: $\log k = [1 \cdot \log(2) - 2(1) + 2 	an^{-1}(1)] - [0 - 0 + 0]$. $\log k = \log 2 - 2 + 2 \left(\frac{\pi}{4}ight) = \log 2 + \frac{\pi}{2} - 2$.

यदि $\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n^2}\right)\left(1+\frac{2^2}{n^2}\right) \ldots\left(1+\frac{n^2}{n^2}\right)\right]^{1 / n}=k$ है,तो $\log k=$

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$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {\frac{{{{\left( {n + 1} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \frac{{{{\left( {n + 2} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}} + \dots + \frac{{{{\left( {2n} \right)}^{1/3}}}}{{{n^{4/3}}}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S_n = \sum_{k=1}^n \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ और $T_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{n}{n^2+kn+k^2}$ जहाँ $n=1, 2, 3, \ldots$ है। तो,

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( {\frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) \ldots \left( {3n} \right)}}{{{n^{2n}}}}} \right)^{\frac{1}{n}}} = $

निम्नलिखित निश्चित समाकल का योगफल की सीमा के रूप में मान ज्ञात कीजिए: $\int_{-1}^{1} e^{x} dx$

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{1} + \sqrt{2} + \dots + \sqrt{n}}{n^{\frac{3}{2}}} =$

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