AP EAMCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठे $15$ व्यक्तियों में से $3$ व्यक्तियों को चुनने के कुल तरीके $^{15}C_3$ हैं।
एक स्थान पर एक साथ बैठने वाले $3$ व्यक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या $15$ है।
आवश्यक तरीकों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$^{15}C_3 - 15 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} - 15$
$= (5 \times 7 \times 13) - 15$
$= 455 - 15 = 440$.
अतः,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) चूंकि $15 = 3 \times 5$,$47!$ में $15$ का घातांक $5$ के घातांक द्वारा निर्धारित होता है क्योंकि $47!$ के अभाज्य गुणनखंडन में $5$,$3$ की तुलना में कम बार आता है।
लेजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करते हुए,$n!$ में अभाज्य $p$ का घातांक $E_p(n!) = \sum_{i=1}^{\infty} \left[ \frac{n}{p^i} \right]$ द्वारा दिया जाता है।
$p=5$ और $n=47$ के लिए:
$E_5(47!) = \left[ \frac{47}{5} \right] + \left[ \frac{47}{25} \right] = 9 + 1 = 10$.
अतः,$47!$ को विभाजित करने वाली $15$ की उच्चतम घात $15^{10}$ है।
इसलिए,$k = 10$.
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) दिए गए समीकरण $2 \cdot 4^{2k+1} + 3^{3k+1} = 11t$ और $2 \cdot 4^{2k+3} + 3^{3k+4} = 11(pt + 3^q)$ हैं।
दूसरे समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2 \cdot 4^{2k+1} \cdot 4^2 + 3^{3k+1} \cdot 3^3 = 11(pt + 3^q)$
$16(2 \cdot 4^{2k+1}) + 27(3^{3k+1}) = 11pt + 11 \cdot 3^q$
चूंकि $2 \cdot 4^{2k+1} = 11t - 3^{3k+1}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$16(11t - 3^{3k+1}) + 27(3^{3k+1}) = 11pt + 11 \cdot 3^q$
$176t + 11 \cdot 3^{3k+1} = 11pt + 11 \cdot 3^q$
$11$ से भाग देने पर:
$16t + 3^{3k+1} = pt + 3^q$
तुलना करने पर,$p = 16$ और $q = 3k+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$(p, q) = (16, 3k+1)$।

(A) दी गई श्रेणी $\frac{3}{5}+\frac{21}{25}+\frac{117}{125}+\ldots$ है।
$k$-वां पद $1 - (\frac{2}{5})^k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,योग $S_n = \sum_{k=1}^{n} (1 - (\frac{2}{5})^k) = n - \sum_{k=1}^{n} (\frac{2}{5})^k$.
यहाँ,$\sum_{k=1}^{n} (\frac{2}{5})^k$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जहाँ $a = \frac{2}{5}$ और $r = \frac{2}{5}$ है।
इसका योग $\frac{\frac{2}{5}(1-(\frac{2}{5})^n)}{1-\frac{2}{5}} = \frac{2}{3}(1-\frac{2^n}{5^n}) = \frac{2}{3} - \frac{2^{n+1}}{3 \times 5^n}$ है।
इसलिए,$S_n = n - (\frac{2}{3} - \frac{2^{n+1}}{3 \times 5^n}) = n - \frac{2}{3} + \frac{2^{n+1}}{3 \times 5^n}$.
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \sum_{k=1}^n (x - a_k)^2$ है।
योग का विस्तार करने पर,हमें $f(x) = \sum_{k=1}^n (x^2 - 2xa_k + a_k^2)$ प्राप्त होता है।
यह $f(x) = nx^2 - 2x \sum_{k=1}^n a_k + \sum_{k=1}^n a_k^2$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $f(x)$,$ax^2 + bx + c$ के रूप का एक द्विघात व्यंजक है,यह $x = -\frac{b}{2a}$ पर अपना न्यूनतम मान प्राप्त करता है।
यहाँ,$a = n$ और $b = -2 \sum_{k=1}^n a_k$ है।
अतः,न्यूनतम मान $x = -\frac{-2 \sum_{k=1}^n a_k}{2n} = \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n}$ पर प्राप्त होता है।
परिभाषा के अनुसार,समांतर माध्य $A = \frac{\sum_{k=1}^n a_k}{n}$ है।
इसलिए,$x = A$।

(A) दी गई श्रेणी $S = 1 + (1+2+4) + (4+6+9) + (9+12+16) + \ldots + (81+90+100)$ है।
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$S = 1 + (1^2 + 1 \times 2 + 2^2) + (2^2 + 2 \times 3 + 3^2) + \ldots + (9^2 + 9 \times 10 + 10^2)$।
$r=1$ से $10$ के लिए श्रेणी का सामान्य पद $T_r = (r-1)^2 + r(r-1) + r^2$ है।
चूंकि $r^3 - (r-1)^3 = (r - (r-1))(r^2 + r(r-1) + (r-1)^2) = 1 \times (r^2 + r(r-1) + (r-1)^2)$,इसलिए $T_r = r^3 - (r-1)^3$ है।
अतः,$S = \sum_{r=1}^{10} (r^3 - (r-1)^3)$।
यह एक टेलीस्कोपिंग योग है: $(1^3 - 0^3) + (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \ldots + (10^3 - 9^3) = 10^3 - 0^3 = 1000$।
कारण $(R)$ कहता है कि $\sum_{r=1}^n (r^3 - (r-1)^3) = n^3$,जो समान टेलीस्कोपिंग गुण द्वारा सत्य है।
इसलिए,$(A)$ और $(R)$ दोनों सत्य हैं और $(R)$,$(A)$ की सही व्याख्या है।

(C) श्रेणी का $n$-वां पद $T_n = \sum_{j=1}^n j^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ है।
हमें योग $S_n = \sum_{i=1}^n T_i = \sum_{i=1}^n \frac{i(i+1)(2i+1)}{6}$ ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $S_n = \frac{1}{6} \sum_{i=1}^n (2i^3 + 3i^2 + i) = \frac{1}{3} \sum i^3 + \frac{1}{2} \sum i^2 + \frac{1}{6} \sum i$.
मानक योग सूत्रों का उपयोग करने पर:
$S_n = \frac{1}{3} \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2 + \frac{1}{2} \left[\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\right] + \frac{1}{6} \left[\frac{n(n+1)}{2}\right]$.
$\frac{n(n+1)}{12}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$S_n = \frac{n(n+1)}{12} \left[ n(n+1) + (2n+1) + 1 \right] = \frac{n(n+1)}{12} [n^2 + n + 2n + 2] = \frac{n(n+1)(n^2+3n+2)}{12}$.
चूंकि $n^2+3n+2 = (n+1)(n+2)$,इसलिए $S_n = \frac{n(n+1)^2(n+2)}{12}$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई श्रेणी $x = \frac{3}{10} + \frac{3 \cdot 7}{10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 7 \cdot 9}{10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$ है।
पदों को समायोजित करने के लिए $5$ से गुणा और भाग करने पर:
$x = \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 10} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7}{5 \cdot 10 \cdot 15} + \frac{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9}{5 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 20} + \ldots$
द्विपद प्रसार $(1-y)^{-n}$ का उपयोग करने पर,हमें $1 + x = (1 - 2/5)^{-3/2} = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = \frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1$.
इस प्रकार,$5x + 8 = 5(\frac{5\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} - 1) + 8 = \frac{25\sqrt{5}}{3\sqrt{3}} + 3$.

(A) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = \frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ है।
हम $T_n = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$ लिख सकते हैं।
$n=16$ के लिए,अंतिम पद $\frac{1}{(3(16)-1)(3(16)+2)} = \frac{1}{47 \cdot 50}$ है।
योग $S_{16} = \sum_{n=1}^{16} \frac{1}{3} \left( \frac{1}{3n-1} - \frac{1}{3n+2} \right)$.
$S_{16} = \frac{1}{3} \left[ (\frac{1}{2} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{8}) + \ldots + (\frac{1}{47} - \frac{1}{50}) \right]$.
$S_{16} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{2} - \frac{1}{50} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{25-1}{50} \right] = \frac{1}{3} \left[ \frac{24}{50} \right] = \frac{8}{50} = \frac{4}{25}$.

(D) दी गई श्रेणी $(1-y)^{-n} - 1$ के रूप में है।
तुलना करने पर,$x = \sqrt{5} - 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{1}{x} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ होगा।
$x + \frac{1}{x} = \sqrt{5} - 1 + \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{5\sqrt{5} - 3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) माना $x = \log \left(\tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right)\right)$ है।
अतः,$e^x = \tan \left(\frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1+\tan \frac{\theta}{2}}{1-\tan \frac{\theta}{2}}$ है।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर:
$\frac{e^x-1}{e^x+1} = \frac{(1+\tan \frac{\theta}{2}) - (1-\tan \frac{\theta}{2})}{(1+\tan \frac{\theta}{2}) + (1-\tan \frac{\theta}{2})} = \frac{2 \tan \frac{\theta}{2}}{2} = \tan \frac{\theta}{2}$ है।
हम जानते हैं कि $\tanh \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}} = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}$ होता है।
इसलिए,$\tan \frac{\theta}{2} = \tanh \left(\frac{x}{2}\right)$ है।
दोनों पक्षों का प्रतिलोम हाइपरबोलिक स्पर्शज्या लेने पर:
$\frac{x}{2} = \tanh ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)$ है।
अतः,$x = 2 \tanh ^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)$ है।
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) माना $S = \sum_{k=1}^{7} \sin^4 \frac{k\pi}{8}$.
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\sin \frac{7\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{8}$,$\sin \frac{6\pi}{8} = \sin \frac{2\pi}{8}$,और $\sin \frac{5\pi}{8} = \sin \frac{3\pi}{8}$.
अतः,$S = 2(\sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{2\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8}) + \sin^4 \frac{4\pi}{8}$.
चूँकि $\sin \frac{2\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \frac{4\pi}{8} = \sin \frac{\pi}{2} = 1$,इसलिए $\sin^4 \frac{2\pi}{8} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 = \frac{1}{4}$ और $\sin^4 \frac{4\pi}{8} = 1^4 = 1$ है।
अब,$\sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} = \sin^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{\pi}{8} = (\sin^2 \frac{\pi}{8} + \cos^2 \frac{\pi}{8})^2 - 2\sin^2 \frac{\pi}{8} \cos^2 \frac{\pi}{8} = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{2}(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$S = 2(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}) + 1 = 2(1) + 1 = 3$.

(D) दिया गया है: $x=\frac{\sin^3 \theta}{\cos^2 \theta}$ और $y=\frac{\cos^3 \theta}{\sin^2 \theta}$.
हमें $x+y$ का मान ज्ञात करना है.
$\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 + 2 \sin \theta \cos \theta = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin \theta \cos \theta = -\frac{3}{8}$.
गणना करने पर $x+y = \frac{79}{18}$ प्राप्त होता है.

(C) दिया गया है कि $x+\frac{1}{x}=2 \sin \alpha$। द्विघात सूत्र $x^2 - (2 \sin \alpha)x + 1 = 0$ का उपयोग करके $x$ के लिए हल करने पर,हमें $x = \sin \alpha \pm i \cos \alpha = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) \pm i \sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = e^{\pm i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ प्राप्त होता है।
$x = e^{i(\frac{\pi}{2} - \alpha)}$ लेने पर,$x^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha)}$।
दिया गया है कि $y+\frac{1}{y}=2 \cos \beta$। $y$ के लिए हल करने पर,हमें $y = \cos \beta \pm i \sin \beta = e^{\pm i\beta}$ प्राप्त होता है।
$y = e^{i\beta}$ लेने पर,$y^3 = e^{i3\beta}$।
अतः,$x^3 y^3 = e^{i(\frac{3\pi}{2} - 3\alpha + 3\beta)} = \cos(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) + i \sin(\frac{3\pi}{2} + 3(\beta - \alpha)) = \sin(3(\beta - \alpha)) - i \cos(3(\beta - \alpha))$।
इसी प्रकार,$\frac{1}{x^3 y^3} = \sin(3(\beta - \alpha)) + i \cos(3(\beta - \alpha))$।
इनका योग करने पर,$x^3 y^3 + \frac{1}{x^3 y^3} = 2 \sin(3(\beta - \alpha))$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) हम सर्वसमिका $2 \cot 2A + \tan A = \cot A$ ... $(i)$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$.
$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \left[ \tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} \right]$.
सर्वसमिका $(i)$ में $A = \frac{2 \pi}{5}$ रखने पर,$\tan \frac{2 \pi}{5} + 2 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{2 \pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,$E = \tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5}$.
पुनः सर्वसमिका $(i)$ में $A = \frac{\pi}{5}$ रखने पर,$\tan \frac{\pi}{5} + 2 \cot \frac{2 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही उत्तर $\cot \frac{\pi}{5}$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $\tan \theta + \tan 2\theta + \sqrt{3} \tan \theta \tan 2\theta = \sqrt{3}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \theta + \tan 2\theta = \sqrt{3}(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$
दोनों पक्षों को $(1 - \tan \theta \tan 2\theta)$ से विभाजित करने पर: $\frac{\tan \theta + \tan 2\theta}{1 - \tan \theta \tan 2\theta} = \sqrt{3}$
सर्वसमिका $\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ का उपयोग करने पर: $\tan(3\theta) = \sqrt{3}$
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$,इसलिए $\tan(3\theta) = \tan(\frac{\pi}{3})$
व्यापक हल: $3\theta = n\pi + \frac{\pi}{3}, n \in Z$
$3$ से विभाजित करने पर: $\theta = (3n+1) \frac{\pi}{9}, n \in Z$
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) दिया गया है कि किसी भी $x \in \mathbb{R}$ के लिए,$\cos (x+\alpha)+\cos (x+\beta)+\cos (x+\gamma)=0$ है।
यह सम्मिश्र तल में इकाई लंबाई के तीन सदिशों के योग को दर्शाता है,जो एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।
अतः,कोणों को $\frac{2\pi}{3}$ के सार्व अंतर के साथ समांतर श्रेणी में होना चाहिए।
मान लीजिए $\beta - \alpha = \frac{2\pi}{3}$ और $\gamma - \beta = \frac{2\pi}{3}$ है।
तब $\gamma - \alpha = (\gamma - \beta) + (\beta - \alpha) = \frac{2\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$ है।
अतः,$\tan(\gamma - \alpha) = \tan(\frac{4\pi}{3}) = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ है।

(B) दिया है,$\tan \frac{\theta}{2} = \operatorname{cosec} \theta - \sin \theta$
$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{1}{\sin \theta} - \sin \theta = \frac{1 - \sin^2 \theta}{\sin \theta} = \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta}$
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{(1 - \tan^2 \frac{\theta}{2})^2}{2 \tan \frac{\theta}{2} (1 + \tan^2 \frac{\theta}{2})}$
मान लीजिए $x = \tan^2 \frac{\theta}{2}$,तो $x^2 + 4x - 1 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$x = -2 \pm \sqrt{5}$
चूँकि $\tan^2 \frac{\theta}{2} > 0$,इसलिए $x = -2 + \sqrt{5}$.

(D) दिया गया है: $\tan A - \tan B = x$ और $\cot A - \cot B = y$.
हम जानते हैं कि $\tan A - \tan B = \frac{1}{\cot A} - \frac{1}{\cot B} = \frac{\cot B - \cot A}{\cot A \cot B} = x$.
चूंकि $\cot A - \cot B = y$,इसलिए $\cot B - \cot A = -y$.
इस मान को समीकरण में रखने पर: $\frac{-y}{\cot A \cot B} = x$,जिसका अर्थ है $\cot A \cot B = -\frac{y}{x}$.
अब,सूत्र $\cot (A - B) = \frac{\cot A \cot B + 1}{\cot B - \cot A}$ का उपयोग करने पर:
$\cot (A - B) = \frac{-\frac{y}{x} + 1}{-y} = \frac{\frac{x - y}{x}}{-y} = \frac{y - x}{xy}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है.

(A) दिया गया है: $\sin x + \sin y = \frac{\sqrt{3}+1}{2}$ और $\cos x + \cos y = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$2 \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{2} \implies \sin \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{4} \quad (i)$
$2 \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \implies \cos \left(\frac{x+y}{2}\right) \cos \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}-1}{4} \quad (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\tan \left(\frac{x+y}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} = 2+\sqrt{3}$.
अतः,$\tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = (2+\sqrt{3})^2 = 7+4\sqrt{3}$.
$(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\cos^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = \frac{1}{2} \implies \sec^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = 2$.
अतः,$\tan^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) = 2-1 = 1$.
इसलिए,$\tan^2 \left(\frac{x-y}{2}\right) + \tan^2 \left(\frac{x+y}{2}\right) = 1 + 7 + 4\sqrt{3} = 8+4\sqrt{3}$.

(C) दिया गया है $\cos \alpha = \frac{a}{b+c}$.
सर्वसमिका $\cos \alpha = \frac{1 - \tan^2(\alpha/2)}{1 + \tan^2(\alpha/2)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{1 - \tan^2(\alpha/2)}{1 + \tan^2(\alpha/2)} = \frac{a}{b+c}$ प्राप्त होता है।
योगान्तरानुपात (componendo and dividendo) नियम लागू करने पर,$\frac{(1 + \tan^2(\alpha/2)) + (1 - \tan^2(\alpha/2))}{(1 + \tan^2(\alpha/2)) - (1 - \tan^2(\alpha/2))} = \frac{(b+c) + a}{(b+c) - a}$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{2}{2 \tan^2(\alpha/2)} = \frac{a+b+c}{b+c-a}$ हो जाता है,अतः $\tan^2(\alpha/2) = \frac{b+c-a}{a+b+c}$।
इसी प्रकार,$\tan^2(\beta/2) = \frac{c+a-b}{a+b+c}$ और $\tan^2(\gamma/2) = \frac{a+b-c}{a+b+c}$।
इनका योग करने पर,$\tan^2(\alpha/2) + \tan^2(\beta/2) + \tan^2(\gamma/2) = \frac{(b+c-a) + (c+a-b) + (a+b-c)}{a+b+c} = \frac{a+b+c}{a+b+c} = 1$।

(A) माना व्यंजक $E = \cos ^2 5^{\circ}-(\cos ^2 15^{\circ}+\sin ^2 15^{\circ})+\sin ^2 35^{\circ}+\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ}-\cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ}$ है।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,$\cos^2 15^{\circ} + \sin^2 15^{\circ} = 1$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$2 \sin \theta \cos \theta = \sin 2\theta$ का उपयोग करने पर,$\cos 15^{\circ} \sin 15^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $E$ में प्रतिस्थापित करने पर,$E = \cos^2 5^{\circ} - 1 + \sin^2 35^{\circ} + \frac{1}{4} - \cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos^2 5^{\circ} - 1 = -\sin^2 5^{\circ}$,इसलिए $E = -\sin^2 5^{\circ} + \sin^2 35^{\circ} + \frac{1}{4} - \cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ}$ है।
$\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A-B)\sin(A+B)$ का उपयोग करने पर,$\sin^2 35^{\circ} - \sin^2 5^{\circ} = \sin(35^{\circ}-5^{\circ})\sin(35^{\circ}+5^{\circ}) = \sin 30^{\circ} \sin 40^{\circ} = \frac{1}{2} \sin 40^{\circ}$ प्राप्त होता है।
$2 \cos A \sin B = \sin(A+B) - \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर,$\cos 5^{\circ} \sin 35^{\circ} = \frac{1}{2} [\sin(35^{\circ}+5^{\circ}) - \sin(35^{\circ}-5^{\circ})] = \frac{1}{2} (\sin 40^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = \frac{1}{2} \sin 40^{\circ} - \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $E$ में वापस रखने पर,$E = \frac{1}{2} \sin 40^{\circ} + \frac{1}{4} - (\frac{1}{2} \sin 40^{\circ} - \frac{1}{4}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $S = \operatorname{cosec} 48^{\circ} + \operatorname{cosec} 96^{\circ} + \operatorname{cosec} 192^{\circ} + \operatorname{cosec} 384^{\circ}$.
$\operatorname{cosec} \theta = \frac{1}{\sin \theta}$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर:
$S = \frac{1}{\sin 48^{\circ}} + \frac{1}{\sin 96^{\circ}} + \frac{1}{\sin 192^{\circ}} + \frac{1}{\sin 384^{\circ}}$.
चूँकि $\sin 192^{\circ} = -\sin 12^{\circ}$ और $\sin 384^{\circ} = \sin 24^{\circ}$,
$S = \frac{1}{\sin 48^{\circ}} + \frac{1}{\sin 96^{\circ}} - \frac{1}{\sin 12^{\circ}} + \frac{1}{\sin 24^{\circ}}$.
इन पदों को सरल करने पर अंतिम उत्तर $0$ प्राप्त होता है।

(D) हम जानते हैं कि $\sin \theta = \cos(90^{\circ} - \theta)$.
अतः,$\sin 84^{\circ} = \cos(90^{\circ} - 84^{\circ}) = \cos 6^{\circ}$.
अब,$\cos 66^{\circ} + \sin 84^{\circ} = \cos 66^{\circ} + \cos 6^{\circ}$.
सूत्र $\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \cos \frac{66^{\circ} + 6^{\circ}}{2} \cos \frac{66^{\circ} - 6^{\circ}}{2}$
$= 2 \cos 36^{\circ} \cos 30^{\circ}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ और $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5} + 1}{4}$,इसलिए:
$= 2 \times \left(\frac{\sqrt{5} + 1}{4}\right) \times \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$= \frac{\sqrt{3}(\sqrt{5} + 1)}{4}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(C) दिया गया है $\theta = \frac{\pi}{6}$,इसलिए $x = \log \left[ \cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) \right]$.
$x = \log \left[ \cot \left( \frac{5\pi}{12} \right) \right]$.
सूत्र $\cot(A+B) = \frac{\cot A \cot B - 1}{\cot A + \cot B}$ का उपयोग करने पर,$\cot \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6} \right) = \frac{\cot(\pi/4) \cot(\pi/6) - 1}{\cot(\pi/6) + \cot(\pi/4)} = \frac{1 \cdot \sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.
अतः,$e^x = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$ और $e^{-x} = \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$.
परिभाषा $\sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ का उपयोग करने पर,$\sinh(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1} - \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} \right)$.
$\sinh(x) = \frac{1}{2} \left( \frac{(\sqrt{3}-1)^2 - (\sqrt{3}+1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{(3+1-2\sqrt{3}) - (3+1+2\sqrt{3})}{3-1} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{-4\sqrt{3}}{2} \right) = -\sqrt{3}$.
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(B) हम प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलनों के लघुगणकीय रूप जानते हैं:
$\sec h^{-1} x = \log \left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$
$\tan h^{-1} x = \frac{1}{2} \log \left(\frac{1+x}{1-x}\right)$
$\sin h^{-1} x = \log \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$
$x = \frac{1}{2}$ के लिए:
$\sec h^{-1} \frac{1}{2} = \log (2+\sqrt{3})$
$\tan h^{-1} \frac{1}{2} = \log \sqrt{3}$
$\sin h^{-1} \frac{1}{2} = \log \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)$
अतः,व्यंजक:
$= e^{\log \left((2+\sqrt{3}) \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)}$
$= \frac{3 + 2\sqrt{3} + 3\sqrt{5} + 2\sqrt{15}}{2}$

(B) दिया है $\sec \theta - 1 = (\sqrt{2} - 1) \tan \theta$ जहाँ $\cos \theta \neq 0$.
$\Rightarrow \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} = (\sqrt{2} - 1) \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
चूँकि $\cos \theta \neq 0$,इसलिए $1 - \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \sin \theta$.
अर्ध-कोण सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर: $1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$:
$2 \sin^2 \frac{\theta}{2} = (\sqrt{2} - 1) 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$
$\Rightarrow 2 \sin \frac{\theta}{2} [\sin \frac{\theta}{2} - (\sqrt{2} - 1) \cos \frac{\theta}{2}] = 0$
इसका अर्थ है या तो $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ या $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{2} - 1$.
स्थिति $1$: $\sin \frac{\theta}{2} = 0$ $\Rightarrow \frac{\theta}{2} = n \pi$ $\Rightarrow \theta = 2 n \pi, n \in Z$.
स्थिति $2$: $\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{2} - 1$. चूँकि $\tan \frac{\pi}{8} = \sqrt{2} - 1$,इसलिए $\frac{\theta}{2} = n \pi + \frac{\pi}{8} \Rightarrow \theta = 2 n \pi + \frac{\pi}{4}, n \in Z$.
अतः,$\theta = 2 n \pi + \frac{\pi}{4} \text{ या } 2 n \pi, n \in Z$.

(A) हम जानते हैं कि $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$.
माना $\theta = \frac{\pi}{5} = 36^{\circ}$.
अतः व्यंजक $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5}$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\tan \theta + 2 \tan 2 \theta + 4 \cot 4 \theta = \cot \theta$ का उपयोग करने पर,
$\theta = \frac{\pi}{5}$ रखने पर,हमें $\tan \frac{\pi}{5} + 2 \tan \frac{2 \pi}{5} + 4 \cot \frac{4 \pi}{5} = \cot \frac{\pi}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि $x: y: z = \tan \left(12^{\circ}+\alpha\right): \tan \left(12^{\circ}+\beta\right): \tan \left(12^{\circ}+\gamma\right)$.
माना $x = k \tan \left(12^{\circ}+\alpha\right)$,$y = k \tan \left(12^{\circ}+\beta\right)$,और $z = k \tan \left(12^{\circ}+\gamma\right)$.
पद $\frac{z+x}{z-x} \sin ^2(\gamma-\alpha)$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{\tan A + \tan B}{\tan A - \tan B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin(A-B)}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{z+x}{z-x} = \frac{\tan(12^{\circ}+\gamma) + \tan(12^{\circ}+\alpha)}{\tan(12^{\circ}+\gamma) - \tan(12^{\circ}+\alpha)} = \frac{\sin(24^{\circ} + \gamma + \alpha)}{\sin(\gamma - \alpha)}$.
अतः,$\frac{z+x}{z-x} \sin ^2(\gamma-\alpha) = \sin(24^{\circ} + \gamma + \alpha) \sin(\gamma - \alpha)$.
$2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{2} [\cos(24^{\circ} + 2\alpha) - \cos(24^{\circ} + 2\gamma)]$.
इसी प्रकार,अन्य पदों का योग करने पर परिणाम $0$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $x=a \sin ^\alpha \theta \cos ^{\alpha+1} \theta$ और $y=a \sin ^{\alpha+1} \theta \cos ^\alpha \theta$।
$x^2+y^2$ की गणना करें:
$x^2+y^2 = a^2 \sin^{2\alpha} \theta \cos^{2\alpha+2} \theta + a^2 \sin^{2\alpha+2} \theta \cos^{2\alpha} \theta$
$= a^2 \sin^{2\alpha} \theta \cos^{2\alpha} \theta (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha}$।
$xy$ की गणना करें:
$xy = (a \sin ^\alpha \theta \cos ^{\alpha+1} \theta)(a \sin ^{\alpha+1} \theta \cos ^\alpha \theta) = a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha+1}$।
अब,व्यंजक पर विचार करें:
$\frac{(x^2+y^2)^m}{(xy)^n} = \frac{(a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha})^m}{(a^2 (\sin \theta \cos \theta)^{2\alpha+1})^n} = \frac{a^{2m} (\sin \theta \cos \theta)^{2m\alpha}}{a^{2n} (\sin \theta \cos \theta)^{n(2\alpha+1)}}$
$= a^{2m-2n} (\sin \theta \cos \theta)^{2m\alpha - n(2\alpha+1)}$।
व्यंजक के $\theta$ से स्वतंत्र होने के लिए,$(\sin \theta \cos \theta)$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$2m\alpha - n(2\alpha+1) = 0$
$\Rightarrow 2m\alpha = n(2\alpha+1)$।

(C) दिया गया समीकरण: $\sqrt{4 \sin^4 \theta + \sin^2 2\theta} + 4 \cos^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{\theta}{2}\right) = 2$ है।
$\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,पहला पद $\sqrt{4 \sin^4 \theta + 4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta} = \sqrt{4 \sin^2 \theta (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)} = \sqrt{4 \sin^2 \theta} = 2 |\sin \theta|$ है।
$2 \cos^2 x = 1 + \cos 2x$ का उपयोग करने पर,दूसरा पद $2(1 + \cos(\frac{\pi}{2} - \theta)) = 2(1 + \sin \theta)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $2 |\sin \theta| + 2 + 2 \sin \theta = 2$,जो सरल होकर $|\sin \theta| + \sin \theta = 0$ हो जाता है।
यह तब सत्य है जब $\sin \theta \leq 0$ हो,जिसका अर्थ है कि $\theta$ $3^{\text{rd}}$ या $4^{\text{th}}$ चतुर्थांश में स्थित है। अतः,$(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ के लिए,$\sqrt{\sin^2 \theta} = |\sin \theta|$ होता है,न कि $\sin \theta$। अतः,$(R)$ असत्य है।

(A) दिया गया समीकरण: $4(\sin 2x \sin 4x + \sin^2 x) = 3$
सर्वसमिका $2 \sin A \sin B = \cos(A-B) - \cos(A+B)$ और $2 \sin^2 x = 1 - \cos 2x$ का उपयोग करने पर:
$2(2 \sin 2x \sin 4x) + 2(2 \sin^2 x) = 3$
$2(\cos 2x - \cos 6x) + 2 - 2 \cos 2x = 3$
$-2 \cos 6x + 2 = 3$
$\cos 6x = -\frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \theta = \cos \alpha \Rightarrow \theta = 2n\pi \pm \alpha$,जहाँ $\alpha = \frac{2\pi}{3}$:
$6x = 2n\pi \pm \frac{2\pi}{3}$
$6$ से भाग देने पर:
$x = \frac{n\pi}{3} \pm \frac{\pi}{9}, n \in Z$

(C) दिया गया समीकरण: $|\cos x|^{2\sin^2 x - 3\sin x + 1} = 1$.
यह समीकरण तब सत्य है यदि:
$1)$ $|\cos x| = 1$
$2)$ घातांक $0$ हो (जब आधार $0$ न हो)।
स्थिति $1$: $|\cos x| = 1 \implies \cos x = 1$ या $\cos x = -1$.
$x \in [0, 2\pi]$ के लिए,$x = 0, \pi, 2\pi$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2\sin^2 x - 3\sin x + 1 = 0$.
$(2\sin x - 1)(\sin x - 1) = 0$.
$\sin x = \frac{1}{2}$ या $\sin x = 1$.
यदि $\sin x = \frac{1}{2}$,तो $x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$.
यदि $\sin x = 1$,तो $x = \frac{\pi}{2}$.
हालाँकि,डोमेन $x \in [0, 2\pi] - \{\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\}$ है।
इसलिए,$x = \frac{\pi}{2}$ को हटा दिया जाता है।
मान्य हल: $x \in \{0, \pi, 2\pi, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}\}$.
कुल मानों की संख्या $5$ है।

(C) दिया गया समीकरण $4 \sin^3 x - 3 \sin x + a = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin 3x = 3 \sin x - 4 \sin^3 x$ का उपयोग करने पर,समीकरण $\sin 3x = a$ बन जाता है।
चूंकि $\angle P$ और $\angle Q$ इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं,इसलिए $\sin 3P = a$ और $\sin 3Q = a$ है।
अतः,$\sin 3P = \sin 3Q$ है।
$\angle P > \angle Q$ होने के कारण,हम जानते हैं कि $3P + 3Q = \pi$ होगा।
इसलिए,$3(P + Q) = \pi$,जिसका अर्थ है $P + Q = \frac{\pi}{3}$।
$\triangle PQR$ में,$P + Q + R = \pi$ होता है।
$P + Q = \frac{\pi}{3}$ रखने पर,$R = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) जब निर्देशांक अक्षों को धनात्मक दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
इन्हें समीकरण $25x^2 + 9y^2 = 225$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$25 \left( \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \right)^2 + 9 \left( \frac{X+Y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 225$
$\frac{25}{2} (X^2 + Y^2 - 2XY) + \frac{9}{2} (X^2 + Y^2 + 2XY) = 225$
$\frac{34X^2 + 34Y^2 - 32XY}{2} = 225$
$17X^2 - 16XY + 17Y^2 = 225$
इसे $\alpha x^2 + \beta xy + \gamma y^2 = \delta$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 17$,$\beta = -16$,$\gamma = 17$,और $\delta = 225$ प्राप्त होता है।
अब,$(\alpha + \beta + \gamma - \sqrt{\delta})^2$ की गणना करने पर:
$(17 - 16 + 17 - \sqrt{225})^2 = (18 - 15)^2 = 3^2 = 9$.

(A) दिए गए बिंदु $P(0, 7, 10)$,$Q(-1, 6, 6)$ और $R(-4, 9, 6)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$ का उपयोग करने पर:
$PQ = \sqrt{(-1-0)^2 + (6-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{1 + 1 + 16} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$QR = \sqrt{(-4 - (-1))^2 + (9-6)^2 + (6-6)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 9 + 0} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
$PR = \sqrt{(-4-0)^2 + (9-7)^2 + (6-10)^2} = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 4 + 16} = \sqrt{36} = 6$.
चूंकि $PQ = QR = 3\sqrt{2}$,त्रिभुज समद्विबाहु है।
साथ ही,$PQ^2 + QR^2 = 18 + 18 = 36 = PR^2$। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम से,$\triangle PQR$ एक समकोण त्रिभुज है।
अतः,$\triangle PQR$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है।

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2+2 y^2-8 x-12 y+18=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2(x^2-4x+4) + 2(y^2-6y+9) = -18 + 8 + 18$
$2(x-2)^2 + 2(y-3)^2 = 8$
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4$.
जब मूल बिंदु को $(2,3)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो समीकरण $X^2 + Y^2 = 4$ हो जाता है,जहाँ $X = x-2$ और $Y = y-3$ है।
अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाने से वृत्त $X^2 + Y^2 = r^2$ का रूप नहीं बदलता है,क्योंकि $X^2 + Y^2 = (X' \cos \theta - Y' \sin \theta)^2 + (X' \sin \theta + Y' \cos \theta)^2 = X'^2 + Y'^2$ होता है।
अतः,रूपांतरित समीकरण $x^2+y^2=4$ ही रहेगा।

(A) त्रिभुज के शीर्ष ज्ञात करने के लिए,हम रेखाओं के समीकरणों को युग्मों में हल करते हैं:
$1$. $x+y-1=0$ और $x-y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर $2x-2=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $x=1$। $x=1$ को $x+y-1=0$ में रखने पर $y=0$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $A(1, 0)$ है।
$2$. $x-y-1=0$ और $x-3y+3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
पहले में से दूसरा समीकरण घटाने पर $2y-4=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=2$। $y=2$ को $x-y-1=0$ में रखने पर $x=3$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $B(3, 2)$ है।
$3$. $x-3y+3=0$ और $x+y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु:
पहले में से दूसरा समीकरण घटाने पर $-4y+4=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $y=1$। $y=1$ को $x+y-1=0$ में रखने पर $x=0$ प्राप्त होता है। अतः,शीर्ष $C(0, 1)$ है।
त्रिभुज का केंद्रक $(G) = \left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$ सूत्र का उपयोग करने पर:
$G = \left(\frac{1+3+0}{3}, \frac{0+2+1}{3}\right) = \left(\frac{4}{3}, 1\right)$.

(C) माना शीर्ष $A(-2,-1)$,$B(6,-1)$ और $C(2,5)$ हैं।
सबसे पहले,$AB$ का लंब समद्विभाजक ज्ञात करें। $A$ और $B$ का $y$-निर्देशांक समान है,इसलिए रेखा $AB$ क्षैतिज है। मध्यबिंदु $(\frac{-2+6}{2}, -1) = (2,-1)$ है। लंब समद्विभाजक ऊर्ध्वाधर रेखा $x=2$ है ... $(i)$।
अगला,$BC$ का लंब समद्विभाजक ज्ञात करें। $BC$ का मध्यबिंदु $(\frac{6+2}{2}, \frac{-1+5}{2}) = (4,2)$ है। $BC$ की ढाल $m = \frac{5-(-1)}{2-6} = \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}$ है। लंब समद्विभाजक की ढाल $\frac{2}{3}$ है। समीकरण $y-2 = \frac{2}{3}(x-4)$ $\Rightarrow 3y-6 = 2x-8$ $\Rightarrow 2x-3y=2$ है ... (ii)।
$(i)$ से $x=2$ को (ii) में रखने पर: $2(2)-3y=2$ $\Rightarrow 4-3y=2$ $\Rightarrow 3y=2$ $\Rightarrow y=\frac{2}{3}$।
परिकेंद्र $(2, \frac{2}{3})$ है।
$2$ और $\frac{2}{3}$ मूलों वाला द्विघात समीकरण $x^2 - (2+\frac{2}{3})x + 2(\frac{2}{3}) = 0$ है।
$x^2 - \frac{8}{3}x + \frac{4}{3} = 0 \Rightarrow 3x^2-8x+4=0$।
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(C) माना $P$ मूलबिंदु $O(0, 0)$ से रेखा $3x - 4y + 25 = 0$ पर डाला गया लंब है।
लंबवत दूरी $OP$ इस प्रकार है:
$OP = \left| \frac{3(0) - 4(0) + 25}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} \right| = \left| \frac{25}{\sqrt{9 + 16}} \right| = \left| \frac{25}{5} \right| = 5$.
समकोण त्रिभुज $\triangle OAP$ में,पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार:
$AP^2 + OP^2 = OA^2$
$AP^2 + 5^2 = 13^2$
$AP^2 = 169 - 25 = 144$
$AP = 12$.
चूँकि $OP \perp AB$,$P$,$AB$ का मध्यबिंदु है,अतः $AB = 2 \times AP = 2 \times 12 = 24$.
$\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times AB \times OP = \frac{1}{2} \times 24 \times 5 = 60$ वर्ग इकाई।

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(h, k)$,$B(5, -1)$,और $C(-2, 3)$ हैं। मूलबिंदु $O(0, 0)$ लंबकेंद्र है।
चूंकि $AO \perp BC$,$AO$ की ढाल $\times$ $BC$ की ढाल $= -1$ होगी।
$BC$ की ढाल $= \frac{3 - (-1)}{-2 - 5} = \frac{4}{-7}$।
$AO$ की ढाल $= \frac{k - 0}{h - 0} = \frac{k}{h}$।
अतः,$\frac{k}{h} \times \left(-\frac{4}{7}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{k}{h} = \frac{7}{4}$ $\Rightarrow 7h - 4k = 0$ (समी. $1$)।
चूंकि $BO \perp AC$,$BO$ की ढाल $\times$ $AC$ की ढाल $= -1$ होगी।
$BO$ की ढाल $= \frac{-1 - 0}{5 - 0} = -\frac{1}{5}$।
$AC$ की ढाल $= \frac{k - 3}{h - (-2)} = \frac{k - 3}{h + 2}$।
अतः,$\left(-\frac{1}{5}\right) \times \left(\frac{k - 3}{h + 2}\right) = -1$ $\Rightarrow k - 3 = 5(h + 2)$ $\Rightarrow 5h - k + 13 = 0$ (समी. $2$)।
समी. $1$ से,$k = \frac{7h}{4}$। इस मान को समी. $2$ में रखने पर:
$5h - \frac{7h}{4} + 13 = 0$ $\Rightarrow \frac{20h - 7h}{4} = -13$ $\Rightarrow 13h = -52$ $\Rightarrow h = -4$।
तब $k = \frac{7(-4)}{4} = -7$।
अतः,तीसरा शीर्ष $(-4, -7)$ है।

(D) दी गई रेखाएँ $x+y-1=0$ और $6x^2-13xy+5y^2=0$ हैं।
दूसरे समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$6x^2-10xy-3xy+5y^2=0$
$(2x-y)(3x-5y)=0$
अतः,रेखाएँ $2x-y=0$ और $3x-5y=0$ हैं।
माना त्रिभुज के शीर्ष $O(0,0)$,$A$,और $B$ हैं।
$2x-y=0$ और $x+y-1=0$ को हल करने पर,$A = (1/3, 2/3)$ प्राप्त होता है।
$3x-5y=0$ और $x+y-1=0$ को हल करने पर,$B = (5/8, 3/8)$ प्राप्त होता है।
माना लंबकेंद्र $H(h, k)$ है।
$B$ से $OA$ पर डाला गया शीर्षलंब $y=2x$ के लंबवत है। इसका समीकरण $4x + 8y - 6 = 0$ है।
$A$ से $OB$ पर डाला गया शीर्षलंब $y=3/5x$ के लंबवत है। इसका समीकरण $15x + 9y - 11 = 0$ है।
इन दो शीर्षलंब समीकरणों को हल करने पर:
$4h + 8k = 6$ और $15h + 9k = 11$.
हल करने पर $h = 17/42$ और $k = 109/168$ प्राप्त होता है।
मूलबिंदु से दूरी $\sqrt{h^2+k^2} = \frac{11\sqrt{2}}{24}$ है।

(A) $\triangle ABC$ का केंद्रक $G = \left(\frac{3+4+6}{3}, \frac{2+1+2}{3}, \frac{-1+1+5}{3}\right) = \left(\frac{13}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है।
चूंकि $D, E, F$ भुजाओं $BC, CA, AB$ को समान अनुपात $k:1$ (जहाँ $k=2$) में विभाजित करते हैं,इसलिए $\triangle DEF$ का केंद्रक $\triangle ABC$ के केंद्रक के समान ही होता है।
अतः,$\triangle DEF$ का केंद्रक $\left(\frac{13}{3}, \frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right)$ है।

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$x+2y-3=0$ $\dots(i)$
$3x+4y-7=0$ $\dots(ii)$
$2x+3y-4=0$ $\dots(iii)$
$4x+5y-6=0$ $\dots(iv)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 3-2y$. $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(3-2y) + 4y - 7 = 0$
$9 - 6y + 4y - 7 = 0$
$-2y + 2 = 0 \implies y = 1$.
अतः $x = 3 - 2(1) = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(1, 1)$ है।
अब,जाँचें कि क्या $P(1, 1)$ समीकरण $(iii)$ को संतुष्ट करता है:
$2(1) + 3(1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 \neq 0$.
चूँकि पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी रेखा पर स्थित नहीं है,इसलिए रेखाएँ संगामी नहीं हैं।

(D) दो समान भुजाओं के समीकरण हैं:
$7x-y+3=0 \quad \dots(i)$
$x+y-3=0 \quad \dots(ii)$
एक समद्विबाहु त्रिभुज में,तीसरी भुजा दो समान भुजाओं के बीच के कोण के समद्विभाजक पर लंब होती है।
माना तीसरी भुजा का ढाल $m$ है। तीसरी भुजा और $7x-y+3=0$ (ढाल $m_1=7$) के बीच का कोण,तीसरी भुजा और $x+y-3=0$ (ढाल $m_2=-1$) के बीच के कोण के बराबर होता है।
सूत्र $\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}|$ का उपयोग करने पर:
$|\frac{m-7}{1+7m}| = |\frac{m+1}{1-m}|$
इस समीकरण को हल करने पर हमें $3m^2 + 8m - 3 = 0$ प्राप्त होता है।
$(3m-1)(m+3) = 0$
अतः,$m = \frac{1}{3}$ या $m = -3$।
चूँकि $m$ एक पूर्णांक है,इसलिए $m = -3$।

(C) $3x - 4y + 1 = 0$ और $5x + y - 1 = 0$ रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण $(3x - 4y + 1) + \lambda(5x + y - 1) = 0$ है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y = \lambda - 1$ प्राप्त होता है।
रेखा का अंतःखंड रूप $\frac{x}{\frac{\lambda - 1}{3 + 5\lambda}} + \frac{y}{\frac{\lambda - 1}{\lambda - 4}} = 1$ है।
चूंकि अंतःखंड समान और शून्येतर हैं,इसलिए $\frac{\lambda - 1}{3 + 5\lambda} = \frac{\lambda - 1}{\lambda - 4}$ जहाँ $\lambda \neq 1$ है।
इससे $\lambda - 4 = 3 + 5\lambda$ प्राप्त होता है,जिसका हल $4\lambda = -7$ अर्थात $\lambda = -\frac{7}{4}$ है।
$\lambda = -\frac{7}{4}$ को $(3 + 5\lambda)x + (\lambda - 4)y = \lambda - 1$ में रखने पर,$(3 - \frac{35}{4})x + (-\frac{7}{4} - 4)y = -\frac{7}{4} - 1$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,$-\frac{23}{4}x - \frac{23}{4}y = -\frac{11}{4}$,जो $23x + 23y = 11$ देता है।

(D) अंतःखंड $a$ और $b$ वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ है।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x' \cos \theta - y' \sin \theta}{a} + \frac{x' \sin \theta + y' \cos \theta}{b} = 1$
$x' \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right) + y' \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right) = 1$.
इसे नए अक्षों में रेखा के अंतःखंड रूप $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ से तुलना करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b}$ और $\frac{1}{q} = \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a}$.
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right)^2 + \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right)^2$
$= \frac{\cos^2 \theta}{a^2} + \frac{\sin^2 \theta}{b^2} + \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab} + \frac{\cos^2 \theta}{b^2} + \frac{\sin^2 \theta}{a^2} - \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab}$
$= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{a^2} + \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{b^2}$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.

(B) दी गई रेखाएं $L_1: 4x+y-1=0$ और $L_2: 3x-4y+1=0$ हैं। $L_1$ की ढाल $m_1 = -4$ है और $L_2$ की ढाल $m_2 = \frac{3}{4}$ है।
बिंदु $A(2, -7)$ है। रेखा $AB$,$L_1$ है। बिंदु $B$,$L_1$ और $L_2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
चूंकि $AB=AC$ और $A$ उभयनिष्ठ बिंदु है,$AB$ और $BC$ के बीच का कोण $AC$ और $BC$ के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए। मान लीजिए $AC$ की ढाल $m$ है। $AB$ और $BC$ के बीच का कोण $\theta$,$\tan \theta = |\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}| = |\frac{-4 - 3/4}{1 + (-4)(3/4)}| = \frac{19}{8}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $BC$ समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ का आधार है,रेखा $BC$,$AB$ और $AC$ के साथ समान कोण बनाती है। इसलिए $AC$ और $BC$ के बीच का कोण भी $\theta = \tan^{-1}(\frac{19}{8})$ है।
$\tan \theta = |\frac{m-m_2}{1+mm_2}|$ का उपयोग करते हुए,$\frac{19}{8} = |\frac{m-3/4}{1+m(3/4)}| = |\frac{4m-3}{4+3m}|$ प्राप्त होता है।
इसके दो मामले हैं: $\frac{4m-3}{4+3m} = \frac{19}{8}$ या $\frac{4m-3}{4+3m} = -\frac{19}{8}$।
मामला $1$: $32m - 24 = 76 + 57m \Rightarrow m = -4$ (यह रेखा $AB$ है)।
मामला $2$: $32m - 24 = -76 - 57m$ $\Rightarrow 89m = -52$ $\Rightarrow m = -\frac{52}{89}$।
रेखा $AC$ का समीकरण $y - (-7) = -\frac{52}{89}(x - 2) \Rightarrow 52x + 89y + 519 = 0$ है।

(B) $AB$ का लंब समद्विभाजक $2x+3y+1=0$ है। इस रेखा की ढाल $-2/3$ है। अतः,$AB$ की ढाल $3/2$ है।
$AB$ का समीकरण $y-2 = \frac{3}{2}(x-3)$ है,जो सरल होकर $3x-2y-5=0$ बनता है।
$AB$ $(3x-2y-5=0)$ और इसके लंब समद्विभाजक $(2x+3y+1=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AB$ का मध्य बिंदु $D$ देता है। हल करने पर,$D=(1,-1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $D$,$AB$ का मध्य बिंदु है,$\frac{3+x_B}{2}=1$ और $\frac{2+y_B}{2}=-1$,इसलिए $B=(-1,-4)$ प्राप्त होता है।
$AC$ का लंब समद्विभाजक $x+2y-2=0$ है। इस रेखा की ढाल $-1/2$ है। अतः,$AC$ की ढाल $2$ है।
$AC$ का समीकरण $y-2 = 2(x-3)$ है,जो सरल होकर $2x-y-4=0$ बनता है।
$AC$ $(2x-y-4=0)$ और इसके लंब समद्विभाजक $(x+2y-2=0)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $AC$ का मध्य बिंदु $E$ देता है। हल करने पर,$E=(2,0)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $E$,$AC$ का मध्य बिंदु है,$\frac{3+x_C}{2}=2$ और $\frac{2+y_C}{2}=0$,इसलिए $C=(1,-2)$ प्राप्त होता है।
$B(-1,-4)$ और $C(1,-2)$ से गुजरने वाली भुजा $BC$ का समीकरण $y-(-4) = \frac{-2-(-4)}{1-(-1)}(x-(-1))$ है।
$y+4 = \frac{2}{2}(x+1) \implies y+4 = x+1 \implies x-y-3=0$.

(A) फलन $f: R \rightarrow R$ के लिए जो $f(x)=px+q$ $(p \neq 0)$ द्वारा परिभाषित है,यह एक रैखिक फलन है। रैखिक फलन वास्तविक संख्याओं के समुच्चय $R$ पर एकैकी-आच्छादक (bijection) होते हैं। अतः,$A \rightarrow II$.
$(B)$ फलन $f: R \rightarrow R^{+} \cup \{0\}$ के लिए जो $f(x)=x^2$ द्वारा परिभाषित है,हम देखते हैं कि $f(-1)=f(1)=1$,इसलिए यह एकैकी नहीं है। हालाँकि,प्रत्येक $y \in R^{+} \cup \{0\}$ के लिए,$x = \sqrt{y} \in R$ मौजूद है ताकि $f(x)=y$,इसलिए यह आच्छादक है। अतः,$B \rightarrow IV$.
$(C)$ $f: N \rightarrow N$ के लिए जो $f(n)=n^2+2n+3$ द्वारा परिभाषित है,यह एकैकी है क्योंकि $f(n_1)=f(n_2) \implies n_1^2+2n_1+3 = n_2^2+2n_2+3 \implies (n_1-n_2)(n_1+n_2+2)=0$,जिसका अर्थ है $n_1=n_2$ जहाँ $n \in N$ है। यह आच्छादक नहीं है क्योंकि $f(n)=3$ के लिए,$n^2+2n+3=3 \implies n(n+2)=0$,जो $n=0$ या $n=-2$ देता है,जिनमें से कोई भी $N$ में नहीं है। अतः,$C \rightarrow III$.
$(D)$ $f: R \rightarrow R$ के लिए जो $f(x)=2(\cos^2 5x + \sin^2 5x) = 2(1) = 2$ द्वारा परिभाषित है। यह एक अचर फलन है। एक अचर फलन न तो एकैकी होता है और न ही आच्छादक। अतः,$D \rightarrow I$.
अतः,सही मिलान $(A)-II, (B)-IV, (C)-III, (D)-I$ है।

(D) फलन $f(x)$ के सतत होने के लिए,इसे $x=1$,$x=3$,और $x=5$ बिंदुओं पर सतत होना चाहिए।
$x=1$ पर: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 5$ और $\lim_{x \to 1^+} f(x) = a+b$. अतः,$a+b=5$ (समीकरण $i$)।
$x=3$ पर: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = a+3b$ और $\lim_{x \to 3^+} f(x) = b+15$. अतः,$a+3b = b+15 \Rightarrow a+2b=15$ (समीकरण $ii$)।
$x=5$ पर: $\lim_{x \to 5^-} f(x) = b+25$ और $\lim_{x \to 5^+} f(x) = 30$. अतः,$b+25=30 \Rightarrow b=5$ (समीकरण $iii$)।
$b=5$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $a+2(5)=15 \Rightarrow a=5$।
अब,जाँचें कि क्या $a=5$ और $b=5$ समीकरण $i$ को संतुष्ट करते हैं: $5+5 = 10 \neq 5$।
चूँकि $x=1, 3, 5$ पर सांतत्य की शर्तें एक साथ संतुष्ट नहीं हो सकती हैं,इसलिए $f$ किसी भी $a$ और $b$ के मान के लिए सतत नहीं है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x-1}{x^3+6x^2+11x+6}$ है।
सबसे पहले,हर $x^3+6x^2+11x+6$ का गुणनखंड करते हैं।
मूलों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $x = -1$ एक मूल है क्योंकि $(-1)^3 + 6(-1)^2 + 11(-1) + 6 = -1 + 6 - 11 + 6 = 0$ है।
बहुपद को $(x+1)$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2+5x+6$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $(x+2)(x+3)$ होते हैं।
अतः,$f(x) = \frac{x-1}{(x+1)(x+2)(x+3)}$ है।
एक परिमेय फलन वहाँ असांतत्य होता है जहाँ उसका हर शून्य होता है।
हर को शून्य के बराबर रखने पर: $(x+1)(x+2)(x+3) = 0$।
इससे असांतत्य के बिंदु $x = -1, -2, -3$ प्राप्त होते हैं।
चूँकि ऐसे $3$ बिंदु हैं,इसलिए $\mathbb{R}$ में असांतत्य की संख्या $3$ है।

(A) फलन $f(x)$ के $x = 0$ पर सतत होने के लिए,$f(0) = \lim_{x \to 0} f(x)$ होना चाहिए।
$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} - \dots$ और $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots$ के टेलर श्रेणी विस्तार का उपयोग करते हुए:
$\cos(\sin x) = 1 - \frac{(x - x^3/6)^2}{2} + \frac{(x - x^3/6)^4}{24} = 1 - \frac{x^2 - x^4/3}{2} + \frac{x^4}{24} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}$.
अब,$f(x) = \frac{(1 - x^2/2 + 5x^4/24) - (1 - x^2/2 + x^4/24)}{x^4} = \frac{4x^4/24}{x^4} = \frac{1}{6}$.
अतः,$k = \lim_{x \to 0} f(x) = \frac{1}{6}$.

(D) फलन $f(x) = [x] + |1 - x|$ को अंतराल $[-1, 3]$ पर परिभाषित किया गया है।
अंतराल $[-1, 3]$ में महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ के लिए असंतत बिंदु $x = 0, 1, 2, 3$ हैं।
$x = 1$ पर,फलन $f(x) = [x] + |1 - x|$ है। चूंकि $|1 - x|$ हर जगह सतत है,इसलिए अवकलनीय न होने की स्थिति $[x]$ की असंततता $x = 0, 1, 2, 3$ पर और $|1 - x|$ के कोणीय बिंदु $x = 1$ पर उत्पन्न होती है।
बिंदुओं की जाँच:
$1$. $x = 0$ पर: $[x]$ असंतत है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$2$. $x = 1$ पर: $[x]$ असंतत है और $|1 - x|$ का एक कोणीय बिंदु है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$3$. $x = 2$ पर: $[x]$ असंतत है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
$4$. $x = 3$ पर: $[x]$ असंतत है,इसलिए $f(x)$ अवकलनीय नहीं है।
अतः,फलन $x = 0, 1, 2, 3$ पर अवकलनीय नहीं है। ऐसे कुल $4$ बिंदु हैं।

(C) दिया गया फलन $f(x) = |x - 0.5| + |x - 1| + \tan x$ है।
हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x - a|$,$x = a$ पर अवकलनीय नहीं होता है।
इसलिए,$|x - 0.5|$,$x = 0.5$ पर और $|x - 1|$,$x = 1$ पर अवकलनीय नहीं है।
दोनों $x = 0.5$ और $x = 1$ अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित हैं।
इसके अतिरिक्त,फलन $\tan x$,$x = \frac{\pi}{2}$ पर परिभाषित नहीं है (और इसलिए अवकलनीय भी नहीं है)।
चूंकि $\pi \approx 3.14$,इसलिए $\frac{\pi}{2} \approx 1.57$,जो अंतराल $(0, 2)$ के भीतर स्थित है।
अतः,फलन $f(x)$,$x = 0.5$,$x = 1$,और $x = \frac{\pi}{2}$ पर अवकलनीय नहीं है।
अंतराल $(0, 2)$ में ऐसे $3$ बिंदु हैं।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(C) $f(x)$ के हर जगह अवकलनीय होने के लिए,इसे $x = 1$ और $x = -1$ पर सतत और अवकलनीय होना चाहिए। चूंकि $f(x)$ एक सम फलन है,हम $x = 1$ पर जांच करते हैं।
$x = 1$ पर सांतत्य: $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1)$.
$\lim_{x \to 1^-} (\alpha x^2 - \beta) = \alpha - \beta$.
$\lim_{x \to 1^+} (-\frac{1}{x}) = -1$.
अतः,$\alpha - \beta = -1$ (समीकरण $1$)।
$x = 1$ पर अवकलनीयता: $f'(1^-) = f'(1^+)$.
$|x| < 1$ के लिए $f'(x) = 2\alpha x$ और $|x| > 1$ के लिए $f'(x) = \frac{1}{x^2}$।
$f'(1^-) = 2\alpha(1) = 2\alpha$.
$f'(1^+) = \frac{1}{(1)^2} = 1$.
इस प्रकार,$2\alpha = 1 \implies \alpha = \frac{1}{2}$।
समीकरण $1$ में $\alpha = \frac{1}{2}$ रखने पर: $\frac{1}{2} - \beta = -1 \implies \beta = \frac{3}{2}$।
अतः,क्रमित युग्म $(\alpha, \beta) = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ है।

(B) हमारे पास फलन इस प्रकार है:
$f(x) = \begin{cases} x-1, & -\infty < x < 1 \\ 0, & x=1 \\ x^3-1, & 1 < x < \infty \end{cases}$
सबसे पहले,$x=1$ पर सांतत्य की जाँच करते हैं:
बायां सीमा $(LHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} (x-1) = 1-1 = 0$.
दायां सीमा $(RHL)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} (x^3-1) = 1^3-1 = 0$.
फलन का मान $f(1) = 0$.
चूंकि $LHL$ = $RHL$ = $f(1)$,फलन $x=1$ पर सतत है।
अब,$x=1$ पर अवकलनीयता की जाँच करते हैं:
बायां अवकलज $(LHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^-} \frac{(x-1)-0}{x-1} = 1$.
दायां अवकलज $(RHD)$ = $\lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{(x^3-1)-0}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} \frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1} = \lim_{x \rightarrow 1^+} (x^2+x+1) = 1^2+1+1 = 3$.
चूंकि $LHD$ $\neq$ $RHD$,फलन $x=1$ पर अवकलनीय नहीं है।

(D) दिया गया है $x=\sec \theta-\cos \theta$ और $y=\sec ^{10} \theta-\cos ^{10} \theta$।
$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = \sec \theta \tan \theta + \sin \theta = \tan \theta (\sec \theta + \cos \theta)$।
$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = 10 \sec^9 \theta (\sec \theta \tan \theta) - 10 \cos^9 \theta (-\sin \theta) = 10 \tan \theta (\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = 10 \frac{\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta}{\sec \theta + \cos \theta}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = 100 \frac{(\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)^2}{(\sec \theta + \cos \theta)^2}$।
सर्वसमिका $(a+b)^2 = (a-b)^2 + 4ab$ का उपयोग करने पर:
$(\sec^{10} \theta + \cos^{10} \theta)^2 = (\sec^{10} \theta - \cos^{10} \theta)^2 + 4(\sec^{10} \theta \cos^{10} \theta) = y^2 + 4$।
इसी प्रकार,$(\sec \theta + \cos \theta)^2 = (\sec \theta - \cos \theta)^2 + 4 = x^2 + 4$।
इन मानों को $(\frac{dy}{dx})^2$ के व्यंजक में रखने पर:
$(\frac{dy}{dx})^2 = 100 \frac{y^2+4}{x^2+4}$।
अतः,$(x^2+4)(\frac{dy}{dx})^2 = 100(y^2+4)$।
दिए गए समीकरण $(x^2+4)(\frac{dy}{dx})^2 = k(y^2+4)$ से तुलना करने पर,हमें $k=100$ प्राप्त होता है।

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$x^4+y^4=t^2+\frac{1}{t^2} \quad \dots (i)$
$x^2+y^2=t-\frac{1}{t} \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2+y^2)^2 = (t-\frac{1}{t})^2$
$x^4+y^4+2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
समीकरण $(i)$ से मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(t^2+\frac{1}{t^2}) + 2x^2y^2 = t^2+\frac{1}{t^2}-2$
$2x^2y^2 = -2$
$x^2y^2 = -1$
$y^2 = -\frac{1}{x^2}$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(-x^{-2})$
$2y \frac{dy}{dx} = -(-2)x^{-3}$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{2}{x^3}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x^3y}$
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(C) माना $y = \log \left( \sqrt{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \right)$.
लघुगणक के गुणधर्म $\log(u^n) = n \log(u)$ का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$y = \frac{1}{2} \log \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \frac{d}{dx} \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right)$.
आंतरिक पद का अवकलन ज्ञात करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( x + \sqrt{x^2 + a^2} \right) = 1 + \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot (2x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + a^2}} = \frac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}}$.
इस मान को अवकलन व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + a^2}} \cdot \left( \frac{\sqrt{x^2 + a^2} + x}{\sqrt{x^2 + a^2}} \right)$.
उभयनिष्ठ पद $(x + \sqrt{x^2 + a^2})$ को काटने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 \sqrt{x^2 + a^2}}$.

(A) दिए गए समीकरण हैं:
$x = a(t + \sin t) \quad \dots (i)$
$y = a(1 - \cos t) \quad \dots (ii)$
$(i)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = a(1 + \cos t)$
$(ii)$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dt} = a(\sin t)$
अब,$\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1 + \cos t)} = \frac{\sin t}{1 + \cos t} = \tan\left(\frac{t}{2}\right)$
अब,$\frac{d^2y}{dx^2}$ ज्ञात करते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\tan\left(\frac{t}{2}\right)\right) = \frac{d}{dt}\left(\tan\left(\frac{t}{2}\right)\right) \cdot \frac{dt}{dx}$
$= \sec^2\left(\frac{t}{2}\right) \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{a(1 + \cos t)}$
$= \frac{1}{2 \cos^2(t/2)} \cdot \frac{1}{a(2 \cos^2(t/2))} = \frac{1}{4a \cos^4(t/2)}$
$t = \frac{2\pi}{3}$ पर,$\frac{t}{2} = \frac{\pi}{3}$:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{4a \cos^4(\pi/3)} = \frac{1}{4a (1/2)^4} = \frac{1}{4a (1/16)} = \frac{16}{4a} = \frac{4}{a}$

(C) दिया गया है,$\cos (f(x)) = \frac{1-x^2}{1+x^2}$।
मान लीजिए $x = \tan \theta$,तो $\cos (f(x)) = \frac{1-\tan^2 \theta}{1+\tan^2 \theta} = \cos 2\theta$।
अतः,$f(x) = 2\theta = 2 \tan^{-1} x$।
अब,$\tan (g(x)) = \frac{3x-x^3}{1-3x^2}$।
सर्वसमिका $\tan 3\theta = \frac{3\tan \theta - \tan^3 \theta}{1-3\tan^2 \theta}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan (g(x)) = \tan 3\theta$ प्राप्त होता है।
अतः,$g(x) = 3\theta = 3 \tan^{-1} x$।
हमें $\frac{df}{dg} = \frac{df/dx}{dg/dx}$ ज्ञात करना है।
$\frac{df}{dx} = \frac{d}{dx}(2 \tan^{-1} x) = \frac{2}{1+x^2}$।
$\frac{dg}{dx} = \frac{d}{dx}(3 \tan^{-1} x) = \frac{3}{1+x^2}$।
इसलिए,$\frac{df}{dg} = \frac{2/(1+x^2)}{3/(1+x^2)} = \frac{2}{3}$।

(C) दिया है,$y=e^{\sin ^{-1} x}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y_1 = \frac{d}{dx} e^{\sin ^{-1} x} = e^{\sin ^{-1} x} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$y_1 = \frac{y}{\sqrt{1-x^2}}$
$y_1 \sqrt{1-x^2} = y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष गुणन नियम का उपयोग करके अवकलन करने पर:
$y_2 \sqrt{1-x^2} + y_1 \cdot \frac{1}{2\sqrt{1-x^2}} \cdot (-2x) = y_1$
$y_2 \sqrt{1-x^2} - \frac{x y_1}{\sqrt{1-x^2}} = y_1$
दोनों पक्षों को $\sqrt{1-x^2}$ से गुणा करने पर:
$y_2 (1-x^2) - x y_1 = y_1 \sqrt{1-x^2}$
चूँकि $y_1 \sqrt{1-x^2} = y$,इसलिए:
$(1-x^2) y_2 - x y_1 = y$
अतः,विकल्प $(c)$ सही है।

(D) दिया गया है,$f(x)=\cot ^{-1}\left(\frac{x^x-x^{-x}}{2}\right)$.
माना $y = \cot ^{-1}\left(\frac{x^{2x}-1}{2x^x}\right)$.
$x^x = \tan \theta$ रखने पर,$y = \cot ^{-1}\left(\frac{\tan^2 \theta - 1}{2 \tan \theta}\right)$.
चूँकि $\cot 2\theta = \frac{1-\tan^2 \theta}{2 \tan \theta}$,इसलिए $y = \cot ^{-1}(-\cot 2\theta)$.
गुणधर्म $\cot ^{-1}(-z) = \pi - \cot ^{-1}(z)$ का उपयोग करने पर,$y = \pi - \cot ^{-1}(\cot 2\theta) = \pi - 2\theta$.
$\theta = \tan ^{-1}(x^x)$ वापस रखने पर,$y = \pi - 2 \tan ^{-1}(x^x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = -2 \cdot \frac{1}{1+(x^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(x^x)$.
चूँकि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x^x(1 + \ln x)}{1 + x^{2x}}$.
$x=1$ पर,$\frac{dy}{dx} = -\frac{2(1)^1(1 + \ln 1)}{1 + (1)^2} = -\frac{2(1)(1+0)}{2} = -1$.

(A) समीकरण $y = \sin^{2} (\cot^{-1} \sqrt{\frac{1 + x}{1 - x}})$ दिया गया है।
$x = \cos 2\theta$ प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1 + x}{1 - x} = \frac{1 + \cos 2\theta}{1 - \cos 2\theta} = \frac{2\cos^{2}\theta}{2\sin^{2}\theta} = \cot^{2}\theta$ होता है।
अतः,$y = \sin^{2} (\cot^{-1} \sqrt{\cot^{2}\theta}) = \sin^{2} (\cot^{-1} (\cot\theta)) = \sin^{2}\theta$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^{2}\theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर,$y = \frac{1 - x}{2}$ प्राप्त होता है।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{1}{2} - \frac{x}{2}) = 0 - \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$.

(D) माना $y = \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ है। $x = \tan \theta$ रखने पर,$y = \sin ^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan ^{-1} x$ प्राप्त होता है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{2}{1+x^2}$ मिलता है। अतः,$A \rightarrow III$.
$(B)$ माना $y = \tan ^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right) = \tan ^{-1}(1) - \tan ^{-1}(x) = \frac{\pi}{4} - \tan ^{-1} x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{-1}{1+x^2}$ मिलता है। अतः,$B \rightarrow II$.
$(C)$ माना $y = e^{\log (\sin x+\cos x)} = \sin x + \cos x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = \cos x - \sin x$ मिलता है। अतः,$C \rightarrow I$.
$(D)$ माना $y = \sqrt{1-\sin 2 x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x - 2\sin x \cos x} = \sqrt{(\cos x - \sin x)^2}$ है। $0 < x < \frac{\pi}{4}$ के लिए,$\cos x > \sin x$,अतः $y = \cos x - \sin x$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin x - \cos x$ मिलता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$D \rightarrow IV$ सही मिलान है।

(B) दिया गया है,$f(t) = \frac{1 + \operatorname{cosec} t}{1 - \operatorname{cosec} t}$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln f(t) = \ln(1 + \operatorname{cosec} t) - \ln(1 - \operatorname{cosec} t)$.
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)} = \frac{-\operatorname{cosec} t \cot t}{1 + \operatorname{cosec} t} - \frac{\operatorname{cosec} t \cot t}{1 - \operatorname{cosec} t}$.
$\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)} = -\operatorname{cosec} t \cot t \left( \frac{1}{1 + \operatorname{cosec} t} + \frac{1}{1 - \operatorname{cosec} t} \right)$.
$\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)} = -\operatorname{cosec} t \cot t \left( \frac{1 - \operatorname{cosec} t + 1 + \operatorname{cosec} t}{1 - \operatorname{cosec}^2 t} \right)$.
$\frac{f^{\prime}(t)}{f(t)} = -\operatorname{cosec} t \cot t \left( \frac{2}{-\cot^2 t} \right) = \frac{2 \operatorname{cosec} t \cot t}{\cot^2 t} = \frac{2 \operatorname{cosec} t}{\cot t} = 2 \sec t \operatorname{cosec} t$.
चूंकि $2 \sec t \operatorname{cosec} t = \frac{2}{\sin t \cos t} = \frac{4}{2 \sin t \cos t} = \frac{4}{\sin 2t} = 4 \operatorname{cosec} 2t$.
अतः,$g(t) = 4 \operatorname{cosec} 2t$.

(D) हम जानते हैं कि $\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\frac{dy}{dx}}$.
अब,$y$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = \frac{d}{dy} \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{\frac{dy}{dx}} \right) \cdot \frac{dx}{dy}$.
अवकलन के नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{d}{dx} \left( \left( \frac{dy}{dx} \right)^{-1} \right) = -\left( \frac{dy}{dx} \right)^{-2} \cdot \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^2}$.
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2x}{dy^2} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^2} \cdot \frac{1}{\frac{dy}{dx}} = -\frac{\frac{d^2y}{dx^2}}{(\frac{dy}{dx})^3}$.
बिंदु $P$ पर $\frac{dy}{dx} = 4$ और $\frac{d^2y}{dx^2} = -3$ दिया गया है:
$\left( \frac{d^2x}{dy^2} \right)_P = -\frac{-3}{(4)^3} = \frac{3}{64}$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(B) दिया गया है $y^2 = a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = -2a^2 \cos x \sin x + 2b^2 \sin x \cos x = (b^2 - a^2) \sin 2x$.
अतः,$y \frac{dy}{dx} = \frac{b^2 - a^2}{2} \sin 2x$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$y \frac{d^2 y}{dx^2} + \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 = (b^2 - a^2) \cos 2x$.
प्रथम अवकलज से,$\frac{dy}{dx} = \frac{(b^2 - a^2) \sin 2x}{2y}$.
इस मान को द्वितीय अवकलज समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$y \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{(b^2 - a^2)^2 \sin^2 2x}{4y^2} = (b^2 - a^2) \cos 2x$.
$y^2$ से गुणा करने पर:
$y^3 \frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{(b^2 - a^2)^2 \sin^2 2x}{4} = y^2 (b^2 - a^2) \cos 2x$.
$y^2 = a^2 \cos^2 x + b^2 \sin^2 x$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $y^3 (\frac{d^2 y}{dx^2} + y) = a^2 b^2$.
अतः,$\frac{d^2 y}{dx^2} + y = \frac{a^2 b^2}{y^3} = \frac{1}{y} \left( \frac{ab}{y} \right)^2$.

(B) मान लीजिए $f(x)$ एक ऐसा फलन है कि $f(2)=2, f(3)=5, f(4)=10$ है।
अंतराल $[2, 3]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय (Lagrange's Mean Value Theorem) के अनुसार,एक $c_1 \in (2, 3)$ मौजूद है ताकि $f'(c_1) = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{5-2}{1} = 3$ हो।
अंतराल $[3, 4]$ पर लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,एक $c_2 \in (3, 4)$ मौजूद है ताकि $f'(c_2) = \frac{f(4)-f(3)}{4-3} = \frac{10-5}{1} = 5$ हो।
अब,$f'(x)$ पर अंतराल $[c_1, c_2]$ के लिए माध्य मान प्रमेय लागू करने पर,एक $c \in (c_1, c_2) \subset (2, 4)$ मौजूद है ताकि $f''(c) = \frac{f'(c_2)-f'(c_1)}{c_2-c_1} = \frac{5-3}{c_2-c_1} = \frac{2}{c_2-c_1}$ हो।
चूंकि $c_1 \in (2, 3)$ और $c_2 \in (3, 4)$ है,इसलिए अंतराल की लंबाई $c_2-c_1$ का मान $2$ से कम है।
विशेष रूप से,$0 < c_2-c_1 < 2$ है।
इसलिए,$f''(c) = \frac{2}{c_2-c_1} > \frac{2}{2} = 1$ है।
अतः,किसी $x \in (2, 4)$ के लिए $f''(x) > 1$ सत्य है।

(B) दिया गया है,$x=4 \cos ^3 \theta$ ... $(i)$ और $y=3 \sin ^2 \theta$ ... (ii).
$\theta$ के सापेक्ष $(i)$ और (ii) का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = 4 \times 3 \cos^2 \theta (-\sin \theta) = -12 \cos^2 \theta \sin \theta$ ... (iii).
$\frac{dy}{d\theta} = 3 \times 2 \sin \theta \cos \theta = 6 \sin \theta \cos \theta$ ... (iv).
अब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{6 \sin \theta \cos \theta}{-12 \cos^2 \theta \sin \theta} = -\frac{1}{2} \sec \theta$.
$x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ का अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left( -\frac{1}{2} \sec \theta \right) = -\frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta \cdot \frac{d\theta}{dx}$.
$\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{-12 \cos^2 \theta \sin \theta}$ रखने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2} \sec \theta \tan \theta \cdot \left( \frac{1}{-12 \cos^2 \theta \sin \theta} \right) = \frac{1}{24 \cos^4 \theta}$.
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\cos^4 \theta = \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^4 = \frac{1}{4}$.
अतः,$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{24 \times (1/4)} = \frac{1}{6}$.

(A) दिया गया है,$x = \sin \theta$ और $y = \cos(p \theta)$।
$\frac{dx}{d\theta} = \cos \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = -p \sin(p \theta)$।
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{-p \sin(p \theta)}{\cos \theta}$।
चूंकि $\sin(p \theta) = \sqrt{1 - y^2}$ और $\cos \theta = \sqrt{1 - x^2}$,इसलिए $\frac{dy}{dx} = -p \frac{\sqrt{1 - y^2}}{\sqrt{1 - x^2}}$।
$\sqrt{1 - x^2} y_1 = -p \sqrt{1 - y^2}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(1 - x^2) y_1^2 = p^2 (1 - y^2)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$(1 - x^2) \cdot 2 y_1 y_2 + y_1^2 (-2x) = p^2 (-2y y_1)$।
$2 y_1$ से भाग देने पर (मान लीजिए $y_1 \neq 0$):
$(1 - x^2) y_2 - x y_1 = -p^2 y$।
अतः,$(1 - x^2) y_2 = x y_1 - p^2 y$।
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही है।

(C) माना $x^3 = \sin \theta$ और $y^3 = \sin \phi$ है। तब समीकरण $\cos \theta + \cos \phi = a(\sin \theta - \sin \phi)$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$2 \cos \frac{\theta+\phi}{2} \cos \frac{\theta-\phi}{2} = a \cdot 2 \cos \frac{\theta+\phi}{2} \sin \frac{\theta-\phi}{2}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\cot \frac{\theta-\phi}{2} = a$,जो एक स्थिरांक है।
अतः,$\frac{\theta-\phi}{2} = \text{स्थिरांक} \Rightarrow \theta - \phi = C$।
मान वापस रखने पर,$\arcsin(x^3) - \arcsin(y^3) = C$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}} - \frac{3y^2}{\sqrt{1-y^6}} \frac{dy}{dx} = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{3y^2}{\sqrt{1-y^6}} \frac{dy}{dx} = \frac{3x^2}{\sqrt{1-x^6}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$y^2 \frac{dy}{dx} = x^2 \sqrt{\frac{1-y^6}{1-x^6}}$।

(A) दिया गया है कि $f(x)=x^3+p x^2+q x$ अंतराल $[0,2]$ पर परिभाषित है।
चूँकि $f(0)=f(2)$:
$f(0) = 0^3 + p(0)^2 + q(0) = 0$
$f(2) = 2^3 + p(2)^2 + q(2) = 8 + 4p + 2q$
$f(0)=f(2)$ रखने पर $8 + 4p + 2q = 0$,जो सरल होकर $2p + q + 4 = 0$ (समीकरण $i$) देता है।
अब,अवकलज $f^{\prime}(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f^{\prime}(x) = 3x^2 + 2px + q$
दिया गया है $f^{\prime}\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$:
$3\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 + 2p\left(1+\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + q = 0$
$3\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$
$3\left(\frac{4}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\right) + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$
$4 + 2\sqrt{3} + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q = 0$ (समीकरण $ii$).
समीकरण $ii$ से समीकरण $i$ $(2p + q = -4)$ घटाने पर:
$(4 + 2\sqrt{3} + 2p + \frac{2p}{\sqrt{3}} + q) - (2p + q) = 0 - (-4)$
$4 + 2\sqrt{3} + \frac{2p}{\sqrt{3}} = 4$
$2\sqrt{3} + \frac{2p}{\sqrt{3}} = 0$
$2\sqrt{3} = -\frac{2p}{\sqrt{3}}$
$2p = -2(3) = -6 \Rightarrow p = -3$.
$p = -3$ को समीकरण $i$ में रखने पर:
$2(-3) + q + 4 = 0$
$-6 + q + 4 = 0 \Rightarrow q = 2$.
अतः,$p^2 + q^2 = (-3)^2 + (2)^2 = 9 + 4 = 13$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया वक्र $y^2(x-a)=x^2(x+a)$ है।
स्पर्श रेखा के $X$-अक्ष के समांतर होने के लिए,ढाल $\frac{dy}{dx} = 0$ होनी चाहिए।
अवकलन करने पर: $2y \frac{dy}{dx}(x-a) + y^2 = 2x(x+a) + x^2$ प्राप्त होता है।
$\frac{dy}{dx} = 0$ रखने पर,$y^2 = 3x^2 + 2ax$ मिलता है।
$y^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x^2(x+a)}{x-a} = 3x^2 + 2ax$।
$x=0$ के लिए $y=0$ मिलता है। अन्य हल के लिए $x$ से विभाजित करने पर:
$x^2 - ax - a^2 = 0$ प्राप्त होता है।
इसके मूल $x = \frac{a \pm a\sqrt{5}}{2}$ हैं।
$y^2 = 5ax + 3a^2$ में मान रखने पर,केवल धनात्मक मान के लिए वास्तविक $y$ प्राप्त होता है,अतः $2$ स्पर्श रेखाएँ संभव हैं।

(A) स्पर्श रेखा का समीकरण $2y = 3x - 1$ है,जिसे $y = \frac{3}{2}x - \frac{1}{2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,स्पर्श रेखा की ढाल $m = \frac{3}{2}$ है।
दिए गए वक्र $y^2 = ax^3 + b$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} = 3ax^2 \implies \frac{dy}{dx} = \frac{3ax^2}{2y}$.
बिंदु $(1, 1)$ पर,ढाल $\frac{dy}{dx} = \frac{3a(1)^2}{2(1)} = \frac{3a}{2}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{3a}{2} = \frac{3}{2} \implies a = 1$.
चूंकि बिंदु $(1, 1)$ वक्र $y^2 = ax^3 + b$ पर स्थित है,इसलिए $x=1, y=1, a=1$ रखने पर:
$1^2 = 1(1)^3 + b \implies 1 = 1 + b \implies b = 0$.
अतः,$(a, b) = (1, 0)$.

(B) माना स्पर्श बिंदु $(h, k)$ है। चूँकि $(h, k)$ वक्र $y = \sin x$ पर स्थित है,इसलिए $k = \sin h$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $\frac{dy}{dx} = \cos x$ है। $(h, k)$ पर प्रवणता $\cos h$ है।
$(h, k)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - k = \cos h(x - h)$ है।
चूँकि स्पर्श रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,इसलिए $x = 0$ और $y = 0$ रखने पर:
$0 - k = \cos h(0 - h) \Rightarrow -k = -h \cos h \Rightarrow k = h \cos h$।
$k = \sin h$ से,$\cos h = \frac{k}{h}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 h + \cos^2 h = 1$ का उपयोग करते हुए,$\sin h = k$ और $\cos h = \frac{k}{h}$ रखने पर:
$k^2 + \left(\frac{k}{h}\right)^2 = 1
k^2 + \frac{k^2}{h^2} = 1
h^2 k^2 + k^2 = h^2
h^2 - k^2 = h^2 k^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x^2 - y^2 = x^2 y^2$ है।

(C) दिए गए वक्र का समीकरण $3 y^2 = 4 x^3$ ...$(i)$ है।
माना $P(h, k)$ वक्र पर एक बिंदु है।
समीकरण $(i)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$6 y \frac{dy}{dx} = 12 x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{2 x^2}{y}$।
बिंदु $(h, k)$ पर,ढाल $m = \frac{2 h^2}{k}$ है।
अधोस्पर्शक की लंबाई $T = \left| \frac{k}{m} \right| = \left| \frac{k}{2 h^2 / k} \right| = \frac{k^2}{2 h^2}$।
चूंकि $3 k^2 = 4 h^3$,इसलिए $k^2 = \frac{4}{3} h^3$।
इस मान को $T$ में प्रतिस्थापित करने पर,$T = \frac{4 h^3}{3(2 h^2)} = \frac{2}{3} h$।
अधोलंब की लंबाई $N = |k m| = \left| k \cdot \frac{2 h^2}{k} \right| = 2 h^2$।
हमें $T$ और $N$ के बीच संबंध ज्ञात करना है।
$N = 2 h^2$ से,$h^2 = \frac{N}{2}$,इसलिए $h = \sqrt{\frac{N}{2}}$।
अतः $T = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{N}{2}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$T^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{N}{2} = \frac{2 N}{9}$।
इस प्रकार,$9 T^2 = 2 N$,जिसे $(3 T)^2 = 2 N$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसकी तुलना $(\beta T)^2 = 2 N$ से करने पर,हमें $\beta = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) एक सरल लोलक का आवर्त काल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\ln T = \ln(2 \pi) + \frac{1}{2} \ln L - \frac{1}{2} \ln g$.
दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dL}{L}$.
यहाँ,घड़ी प्रति दिन $2$ मिनट खो देती है,इसलिए $\Delta T = -2$ मिनट।
एक दिन में कुल समय $24 \times 60 = 1440$ मिनट होता है।
अतः,समय में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{-2}{1440} = -\frac{1}{720}$ है।
$\frac{\Delta L}{L} = 2 \frac{\Delta T}{T}$ संबंध का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta L}{L} = 2 \times \left( -\frac{1}{720} \right) = -\frac{1}{360}$.
इसे प्रतिशत परिवर्तन के रूप में व्यक्त करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं:
$\frac{\Delta L}{L} \% = -\frac{1}{360} \times 100 = -\frac{10}{36} = -\frac{5}{18} \%$.
इसलिए,लंबाई में $-\frac{5}{18} \%$ का परिवर्तन किया जाना चाहिए।

(D) माना $r$ गोले की त्रिज्या है।
दिया गया है,त्रिज्या में परिवर्तन की दर $\frac{dr}{dt} = 0.04 \text{ cm/sec}$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3} \pi (3r^2) \cdot \frac{dr}{dt} = 4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(i)$
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4 \pi r^2$ है।
$t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dS}{dt} = 4 \pi (2r) \cdot \frac{dr}{dt} = 8 \pi r \cdot \frac{dr}{dt} \quad \dots(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dV/dt}{dS/dt} = \frac{dV}{dS} = \frac{4 \pi r^2 \cdot \frac{dr}{dt}}{8 \pi r \cdot \frac{dr}{dt}}$
$\frac{dV}{dS} = \frac{r}{2}$
$r = 10 \text{ cm}$ दिया गया है,मान रखने पर:
$\frac{dV}{dS} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm}$।
अतः,पृष्ठीय क्षेत्रफल के सापेक्ष आयतन में वृद्धि की दर $5 \text{ cm}$ है।
इसलिए,विकल्प $(D)$ सही है।

(C) माना सीढ़ी के निचले सिरे की दीवार से दूरी $x$ है और ऊपरी सिरे की जमीन से ऊँचाई $y$ है।
सीढ़ी की लंबाई $5 \ m$ दी गई है,अतः पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$ होगा।
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर,$2x \frac{dx}{dt} + 2y \frac{dy}{dt} = 0$ प्राप्त होता है,जिसे $x \frac{dx}{dt} + y \frac{dy}{dt} = 0$ के रूप में सरल किया जा सकता है।
हमें $\frac{dx}{dt} = 3 \ m/sec$ दिया गया है और चूँकि सीढ़ी नीचे उतर रही है,इसलिए $\frac{dy}{dt} = -4 \ m/sec$ है।
इन मानों को अवकलित समीकरण में रखने पर: $x(3) + y(-4) = 0$,जिससे $3x = 4y$ या $x = \frac{4}{3}y$ प्राप्त होता है।
अब $x = \frac{4}{3}y$ को मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 25$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{4}{3}y)^2 + y^2 = 25$
$\frac{16}{9}y^2 + y^2 = 25$
$\frac{25}{9}y^2 = 25$
$y^2 = 9$
$y = 3 \ m$ (चूँकि ऊँचाई धनात्मक होनी चाहिए)।
अतः,ऊपरी सिरे की ऊँचाई $3 \ m$ है।

(B) दिया गया है,$f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x$.
चूंकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए मोनोटोनिकली वर्धमान है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।
$f'(x) = (2k+1) + k e^{-x} + 2 e^x \geq 0$.
$e^x$ से गुणा करने पर (जो हमेशा धनात्मक होता है):
$(2k+1)e^x + k + 2e^{2x} \geq 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2e^{2x} + (2k+1)e^x + k \geq 0$.
$e^x$ के संदर्भ में द्विघात व्यंजक के गुणनखंड करने पर:
$2e^{2x} + 2ke^x + e^x + k \geq 0$.
$2e^x(e^x + k) + 1(e^x + k) \geq 0$.
$(2e^x + 1)(e^x + k) \geq 0$.
चूंकि $2e^x + 1 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,इसलिए $e^x + k \geq 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है $k \geq -e^x$ सभी $x \in R$ के लिए।
जैसे-जैसे $x \to -\infty$,$e^x \to 0$,इसलिए $k \geq 0$.
अतः,$k$ का न्यूनतम मान $0$ है।

(D) माना $f(x) = \frac{\log(7+x)}{\log(3+x)}$। फलन के ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$ होना चाहिए।
भागफल नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{\frac{1}{7+x} \log(3+x) - \frac{1}{3+x} \log(7+x)}{(\log(3+x))^2}$।
$f'(x) < 0$ के लिए,$\frac{\log(3+x)}{7+x} < \frac{\log(7+x)}{3+x}$ होना चाहिए।
यह स्थिति $x > 0$ के लिए हमेशा सत्य है क्योंकि फलन $g(t) = \frac{\log t}{t}$,$t > e$ के लिए एक ह्रासमान फलन है।
अतः,दिया गया फलन $x \in (0, \infty)$ के लिए ह्रासमान है।
इसलिए,विकल्प $(d)$ सही है।

(D) फलन $f(x)$ अंतराल $[-1, 1]$ पर परिभाषित है।
$x \in [-1, 0)$ के लिए,$f(x) = 2^x + 1$ है। जैसे $x \to 0^-$,$f(x) \to 2^0 + 1 = 2$ होता है। चूंकि $2^x$ सख्ती से बढ़ रहा है,$f(x)$ का मान $f(-1) = 2^{-1} + 1 = 1.5$ से बढ़कर $2$ तक जाता है।
$x = 0$ पर,$f(0) = 1$ है।
$x \in (0, 1]$ के लिए,$f(x) = 2^x - 1$ है। जैसे $x \to 0^+$,$f(x) \to 2^0 - 1 = 0$ होता है। चूंकि $2^x$ सख्ती से बढ़ रहा है,$f(x)$ का मान $0$ से बढ़कर $f(1) = 2^1 - 1 = 1$ तक जाता है।
फलन का परिसर $[1.5, 2) \cup \{1\} \cup (0, 1]$ है।
अतः,परिसर $(0, 1] \cup [1.5, 2)$ है।
चूंकि परिसर एक बंद अंतराल नहीं है और फलन के मान अपने डोमेन के भीतर उच्चतम या निम्नतम सीमा प्राप्त नहीं करते हैं (मान $2$ के करीब जाते हैं लेकिन $2$ तक नहीं पहुँचते हैं,और $0$ के करीब जाते हैं लेकिन $0$ तक नहीं पहुँचते हैं),इसलिए फलन का $[-1, 1]$ पर न तो कोई अधिकतम मान है और न ही कोई न्यूनतम मान।

(B) दिया गया है,$f(x)=a \log |x|+b x^2+x$.
अवकलन करने पर,$f^{\prime}(x) = \frac{a}{x} + 2bx + 1$.
चूंकि फलन के चरम मान $x=-1$ और $x=2$ पर हैं,इसलिए $f^{\prime}(-1)=0$ और $f^{\prime}(2)=0$ होगा।
$x=-1$ के लिए: $f^{\prime}(-1) = \frac{a}{-1} + 2b(-1) + 1 = 0 \Rightarrow -a - 2b + 1 = 0 \Rightarrow a + 2b = 1$ $(i)$.
$x=2$ के लिए: $f^{\prime}(2) = \frac{a}{2} + 2b(2) + 1 = 0 \Rightarrow \frac{a}{2} + 4b + 1 = 0 \Rightarrow a + 8b = -2$ (ii).
समीकरण (ii) में से $(i)$ को घटाने पर: $(a + 8b) - (a + 2b) = -2 - 1 \Rightarrow 6b = -3 \Rightarrow b = -\frac{1}{2}$.
$b = -\frac{1}{2}$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर: $a + 2(-\frac{1}{2}) = 1 \Rightarrow a - 1 = 1 \Rightarrow a = 2$.
अतः,क्रमित युग्म $(a, b) = \left(2, -\frac{1}{2}\right)$ है।

(B) दिया गया है $f(x)=(\sin ^{-1} x)^2+(\cos ^{-1} x)^2$.
चूंकि $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} x$.
माना $t = \sin ^{-1} x$. चूंकि $x \in [-1, 1]$,$t \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
तब $f(t) = t^2 + (\frac{\pi}{2} - t)^2 = t^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi t + t^2 = 2t^2 - \pi t + \frac{\pi^2}{4}$.
यह ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है। इसका शीर्ष $t = -\frac{-\pi}{2(2)} = \frac{\pi}{4}$ पर है।
चूंकि $\frac{\pi}{4} \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$,न्यूनतम मान $t = \frac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है।
$\alpha = f(\frac{\pi}{4}) = 2(\frac{\pi^2}{16}) - \pi(\frac{\pi}{4}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8} - \frac{\pi^2}{4} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{8}$.
अधिकतम मान अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के अंतिम बिंदुओं पर प्राप्त होता है।
$t = -\frac{\pi}{2}$ पर,$f(-\frac{\pi}{2}) = 2(-\frac{\pi}{2})^2 - \pi(-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{5\pi^2}{4}$.
$t = \frac{\pi}{2}$ पर,$f(\frac{\pi}{2}) = 2(\frac{\pi}{2})^2 - \pi(\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{2} - \frac{\pi^2}{2} + \frac{\pi^2}{4} = \frac{\pi^2}{4}$.
अतः,$\beta = \frac{5\pi^2}{4}$.
अंत में,$8(\alpha + \beta) = 8(\frac{\pi^2}{8} + \frac{5\pi^2}{4}) = 8(\frac{\pi^2 + 10\pi^2}{8}) = 11\pi^2$.

(C) दिया गया है,$f(x) = 2x^3 - 9ax^2 + 12a^2x + 1$.
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 6x^2 - 18ax + 12a^2$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $6(x^2 - 3ax + 2a^2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $6(x - a)(x - 2a) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = a$ और $x = 2a$ हैं।
हम द्वितीय अवकलज ज्ञात करते हैं: $f''(x) = 12x - 18a$.
$x = a$ के लिए,$f''(a) = 12a - 18a = -6a$. चूँकि $a > 0$,$f''(a) < 0$,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $p = a$ पर है।
$x = 2a$ के लिए,$f''(2a) = 12(2a) - 18a = 6a$. चूँकि $a > 0$,$f''(2a) > 0$,इसलिए $f(x)$ का न्यूनतम मान $q = 2a$ पर है।
शर्त $p^2 = q$ दी गई है,मान रखने पर: $a^2 = 2a$.
चूँकि $a > 0$,$a$ से भाग देने पर हमें $a = 2$ प्राप्त होता है।

(C) अंतराल $[-2, 2]$ पर फलन $f(x) = x^2 e^{2x}$ दिया गया है।
सबसे पहले,हम अवकलज $f'(x) = 0$ रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 2x e^{2x} + x^2 (2 e^{2x}) = 2x e^{2x} (1 + x)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[-2, 2]$ के अंत बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = (-2)^2 e^{2(-2)} = 4 e^{-4}$.
$f(-1) = (-1)^2 e^{2(-1)} = 1 e^{-2} = e^{-2}$.
$f(0) = (0)^2 e^{2(0)} = 0$.
$f(2) = (2)^2 e^{2(2)} = 4 e^4$.
इन मानों की तुलना करने पर,वैश्विक अधिकतम $p = 4 e^4$ और वैश्विक न्यूनतम $q = 0$ प्राप्त होता है।
अंत में,हम $p e^{-4} + q e^4 = (4 e^4) e^{-4} + (0) e^4 = 4 e^0 + 0 = 4(1) = 4$ की गणना करते हैं।

(A) मान लीजिए कि $R = 3$ इकाई त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित बेलन की ऊँचाई $h$ और त्रिज्या $r$ है।
अंतर्निहित बेलन की ज्यामिति से,हमारे पास संबंध $r^2 + (h/2)^2 = R^2$ है।
$R = 3$ रखने पर,हमें $r^2 + h^2/4 = 9$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r^2 = 9 - h^2/4$।
बेलन का आयतन $V = \pi r^2 h$ द्वारा दिया जाता है।
$r^2$ का मान रखने पर,हमें $V = \pi (9 - h^2/4) h = \pi (9h - h^3/4)$ प्राप्त होता है।
अधिकतम आयतन ज्ञात करने के लिए,हम $V$ का $h$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dV}{dh} = \pi (9 - 3h^2/4)$।
$\frac{dV}{dh} = 0$ रखने पर,हमें $9 - 3h^2/4 = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $3h^2/4 = 9$,इसलिए $h^2 = 12$ और $h = 2\sqrt{3}$ (क्योंकि ऊँचाई धनात्मक होनी चाहिए)।
तब $r^2 = 9 - (12/4) = 9 - 3 = 6$।
अधिकतम आयतन $V = \pi (6) (2\sqrt{3}) = 12\sqrt{3}\pi$ घन इकाई है।

(D) चूंकि $f$ एक बहुपद फलन है,यह $[2,7]$ पर सतत है और $(2,7)$ पर अवकलनीय है।
लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के अनुसार,कोई $c \in (2,7)$ ऐसा मौजूद है कि:
$\frac{f(7)-f(2)}{7-2} = f^{\prime}(c)$
यह दिया गया है कि $(2,7)$ में सभी $x$ के लिए $f^{\prime}(x) \leq 5$,इसलिए $f^{\prime}(c) \leq 5$ होगा।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{f(7)-3}{5} \leq 5$
$f(7)-3 \leq 25$
$f(7) \leq 28$
अतः,$f(7)$ का अधिकतम संभावित मान $28$ है।

(A) दिया गया फलन $f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 5$ है।
क्रांतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम अवकलन करते हैं: $f'(x) = 6x^2 - 6x - 12$।
$f'(x) = 0$ रखने पर,$6(x^2 - x - 2) = 0$ प्राप्त होता है,जिसके गुणनखंड $6(x + 1)(x - 2) = 0$ हैं।
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = -1$ और $x = 2$ हैं,जो दोनों अंतराल $[-2, 4]$ में स्थित हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर फलन का मान ज्ञात करते हैं:
$f(-2) = 2(-8) - 3(4) - 12(-2) + 5 = -16 - 12 + 24 + 5 = 1$।
$f(-1) = 2(-1) - 3(1) - 12(-1) + 5 = -2 - 3 + 12 + 5 = 12$।
$f(2) = 2(8) - 3(4) - 12(2) + 5 = 16 - 12 - 24 + 5 = -15$।
$f(4) = 2(64) - 3(16) - 12(4) + 5 = 128 - 48 - 48 + 5 = 37$।
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $37$ है,जो $x = 4$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया है कि फलन $f(x) = x^{2m-1}(a-x)^{2n}$ के लिए अंतराल $(0, a)$ में रोले का प्रमेय लागू होता है।
गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = (2m-1)x^{2m-2}(a-x)^{2n} - 2n(a-x)^{2n-1}x^{2m-1}$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,एक ऐसा $c \in (0, a)$ मौजूद है जिसके लिए $f'(c) = 0$ है।
$(2m-1)c^{2m-2}(a-c)^{2n} - 2nc^{2m-1}(a-c)^{2n-1} = 0$.
$c^{2m-2}(a-c)^{2n-1}$ से भाग देने पर (चूंकि $c \neq 0$ और $c \neq a$):
$(2m-1)(a-c) = 2nc$.
$(2m-1)a - (2m-1)c = 2nc$.
$(2m-1)a = (2m-1+2n)c$.
$c = \frac{a(2m-1)}{2m+2n-1}$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) दिया गया है कि,$f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6$,$[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।
अतः,$f(1)=f(3)$.
$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a + b + 5$
$f(3) = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6 = 27a + 9b + 33 - 6 = 27a + 9b + 27$
चूंकि $f(1)=f(3)$,इसलिए $a+b+5 = 27a+9b+27$,जिसे सरल करने पर $26a+8b = -22$,या $13a+4b = -11$ प्राप्त होता है ... $(i)$.
साथ ही,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$.
दिया गया है कि $f'(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$.
रोले के प्रमेय के अनुसार,$[1,3]$ अंतराल में $f'(x) = 0$ के मूल $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।
$f'(x)=0$ के मूलों का योग लेने पर,$x_1 + x_2 = -\frac{2b}{3a}$.
यहाँ,$(2 - \frac{1}{\sqrt{3}}) + (2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 4 = -\frac{2b}{3a} \Rightarrow 4 = -\frac{2b}{3a} \Rightarrow b = -6a$.
$b = -6a$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$13a + 4(-6a) = -11$
$13a - 24a = -11$
$-11a = -11 \Rightarrow a = 1$.
तब $b = -6(1) = -6$.
अतः,$a+b = 1 + (-6) = -5$.

(A) $\triangle AOB$ में,अर्ध-शीर्ष कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
$\tan 45^{\circ} = \frac{r}{h} \implies 1 = \frac{r}{h} \implies r = h$.
तिर्यक ऊँचाई के सूत्र $l = \sqrt{r^2 + h^2}$ का उपयोग करने पर,हमें $l = \sqrt{h^2 + h^2} = \sqrt{2h^2} = h\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = \pi r l$ है।
$r = h$ और $l = h\sqrt{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $S = \pi (h)(h\sqrt{2}) = \sqrt{2} \pi h^2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $h = 20.025 \ cm$,इसलिए $h^2 = (20.025)^2 = 401.000625 \approx 401$.
अतः,$S \approx \sqrt{2} \pi (401) = 401 \sqrt{2} \pi \ cm^2$.
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(A) माना $AB$ लैंप-पोस्ट है और $PQ$ व्यक्ति है। माना $C$ छाया का सिरा है। माना $AP = x$ लैंप-पोस्ट से व्यक्ति की दूरी है और $PC = y$ उसकी छाया की लंबाई है।
दिया गया है: $AB = 9 \ m$,$PQ = 2 \ m$,और $\frac{dx}{dt} = 7 \ m/min$.
चूँकि $\triangle CAB$ और $\triangle CPQ$ समरूप त्रिभुज हैं,हमारे पास है:
$\frac{PC}{AC} = \frac{PQ}{AB}$
$\frac{y}{x+y} = \frac{2}{9}$
$9y = 2x + 2y$
$7y = 2x$
$x = \frac{7}{2}y$
समय $t$ के सापेक्ष दोनों पक्षों का अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = \frac{7}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dx}{dt} = 7$ प्रतिस्थापित करने पर:
$7 = \frac{7}{2} \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = 2 \ m/min$.
अतः,उसकी छाया की लंबाई $2 \ m/min$ की दर से बढ़ रही है।

(D) दिया गया समाकलन,$I = \int \frac{d x}{x+\sqrt{x-1}}$
$x-1 = t^2$ रखने पर $\Rightarrow dx = 2t \, dt$
तब $I = \int \frac{2t}{(t^2+1)+t} \, dt = \int \frac{(2t+1)-1}{t^2+t+1} \, dt$
$= \int \frac{2t+1}{t^2+t+1} \, dt - \int \frac{dt}{t^2+t+1}$
$= \log _e|t^2+t+1| - \int \frac{dt}{(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}$
$= \log _e|t^2+t+1| - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{t+\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right) + c$
$= \log _e|t^2+t+1| - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{2t+1}{\sqrt{3}}\right) + c$
$t = \sqrt{x-1}$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है
$I = \log _e|x+\sqrt{x-1}| - \frac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}\left(\frac{2\sqrt{x-1}+1}{\sqrt{3}}\right) + c$
अतः,विकल्प $D$ सही है.

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\cos 4x + 1}{\cot x - \tan x} dx$ है।
सर्वसमिका $\cos 4x + 1 = 2 \cos^2 2x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\sin x}{\cos x}} dx$
$I = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin x \cos x}} dx$
चूंकि $\cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ और $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ है,इसलिए:
$I = \int \frac{2 \cos^2 2x}{\frac{\cos 2x}{\frac{1}{2} \sin 2x}} dx = \int \frac{2 \cos^2 2x \cdot \frac{1}{2} \sin 2x}{\cos 2x} dx$
$I = \int \cos 2x \sin 2x dx = \frac{1}{2} \int \sin 4x dx$
$I = \frac{1}{2} \left( -\frac{\cos 4x}{4} \right) + c = -\frac{1}{8} \cos 4x + c$.
$k \cos 4x + c$ के साथ तुलना करने पर,हमें $k = -\frac{1}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $(C)$ सही है।

(A) हमें समाकलन $I = \int e^{2 x}\left[\cos (3 x+4)+5 x^2\right] d x$ का मान ज्ञात करना है।
समाकलन को दो भागों में विभाजित करें: $I = \int e^{2 x} \cos (3 x+4) d x + 5 \int e^{2 x} x^2 d x$।
सूत्र $\int e^{a x} \cos (b x+c) d x = \frac{e^{a x}}{a^2+b^2}(a \cos (b x+c)+b \sin (b x+c))$ का उपयोग करते हुए:
$\int e^{2 x} \cos (3 x+4) d x = \frac{e^{2 x}}{2^2+3^2}(2 \cos (3 x+4)+3 \sin (3 x+4)) = \frac{e^{2 x}}{13}(2 \cos (3 x+4)+3 \sin (3 x+4))$।
अब,खंडशः समाकलन $\int u v dx = u \int v dx - \int (u' \int v dx) dx$ का उपयोग करके $5 \int e^{2 x} x^2 d x$ की गणना करें:
$5 \int x^2 e^{2 x} d x = 5 \left[ x^2 \frac{e^{2 x}}{2} - \int 2x \frac{e^{2 x}}{2} d x \right] = \frac{5 x^2 e^{2 x}}{2} - 5 \int x e^{2 x} d x$।
पुनः खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए:
$5 \int x e^{2 x} d x = 5 \left[ x \frac{e^{2 x}}{2} - \int 1 \cdot \frac{e^{2 x}}{2} d x \right] = \frac{5 x e^{2 x}}{2} - \frac{5}{2} \cdot \frac{e^{2 x}}{2} = \frac{5 x e^{2 x}}{2} - \frac{5 e^{2 x}}{4}$।
सभी भागों को जोड़ने पर:
$I = e^{2 x} \left[ \frac{2}{13} \cos (3 x+4) + \frac{3}{13} \sin (3 x+4) \right] + \frac{5 x^2 e^{2 x}}{2} - \left( \frac{5 x e^{2 x}}{2} - \frac{5 e^{2 x}}{4} \right) + c$।
$I = e^{2 x} \left[ \frac{2}{13} \cos (3 x+4) + \frac{3}{13} \sin (3 x+4) + \frac{5 x^2}{2} - \frac{5 x}{2} + \frac{5}{4} \right] + c$।
अतः,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) दिया गया है $I_{m, n} = \int e^{mx} \cdot x^n \, dx$.
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = x^n$ और $dv = e^{mx} \, dx$.
तब $du = nx^{n-1} \, dx$ और $v = \frac{e^{mx}}{m}$ प्राप्त होता है।
$I_{m, n} = \int u \, dv = uv - \int v \, du$.
$I_{m, n} = x^n \left( \frac{e^{mx}}{m} \right) - \int \left( \frac{e^{mx}}{m} \right) (nx^{n-1}) \, dx$.
$I_{m, n} = \frac{x^n e^{mx}}{m} - \frac{n}{m} \int e^{mx} x^{n-1} \, dx$.
चूँकि $I_{m, n-1} = \int e^{mx} x^{n-1} \, dx$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$I_{m, n} = \frac{x^n e^{mx}}{m} - \frac{n}{m} I_{m, n-1} + c$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें मिलता है:
$I_{m, n} + \frac{n}{m} I_{m, n-1} = \frac{x^n e^{mx}}{m} + c$.
अतः,विकल्प $C$ सही है।