यदि 1, alpha_1, alpha_2, ldots, alpha_{n-1} इ | vedclass

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Question

(C) चूंकि $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ इकाई के $n$ वें मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं। अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1

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$0$

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(C) चूंकि $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ इकाई के $n$ वें मूल हैं,इसलिए वे समीकरण $x^n - 1 = 0$ के मूल हैं। अतः,हम लिख सकते हैं $x^n - 1 = (x - 1)(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1})$। दोनों पक्षों को $(x - 1)$ से विभाजित करने पर,हमें $(x - \alpha_1)(x - \alpha_2) \ldots (x - \alpha_{n-1}) = \frac{x^n - 1}{x - 1}$ प्राप्त होता है। समीकरण में $x = -1$ रखने पर,हमें $(-1 - \alpha_1)(-1 - \alpha_2) \ldots (-1 - \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-1 - 1}$ प्राप्त होता है। बाईं ओर के $(n-1)$ पदों से $(-1)$ कॉमन लेने पर,हमें $(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{(-1)^n - 1}{-2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $n$ एक सम प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $(-1)^n = 1$ होता है। अतः,$(-1)^{n-1}(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = \frac{1 - 1}{-2} = 0$। चूंकि $(-1)^{n-1} 
eq 0$,इसलिए $(1 + \alpha_1)(1 + \alpha_2) \ldots (1 + \alpha_{n-1}) = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $1, \alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_{n-1}$ इकाई के $n$ वें मूल हैं और $n$ एक सम प्राकृतिक संख्या है,तो $(1+\alpha_1)(1+\alpha_2) \ldots (1+\alpha_{n-1})=$

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