AP EAMCET 2014 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ધારો કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ $x^3-2x^2+10x-8=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = 2$,
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = 10$,
$\alpha\beta\gamma = 8$.
આપણે $\alpha^2, \beta^2, \gamma^2$ બીજ ધરાવતું સમીકરણ મેળવવું છે.
નવા બીજનો સરવાળો $\alpha^2+\beta^2+\gamma^2 = (\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) = (2)^2 - 2(10) = 4 - 20 = -16$.
બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha^2\beta^2+\beta^2\gamma^2+\gamma^2\alpha^2 = (\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma) = (10)^2 - 2(8)(2) = 100 - 32 = 68$.
નવા બીજનો ગુણાકાર $\alpha^2\beta^2\gamma^2 = (\alpha\beta\gamma)^2 = (8)^2 = 64$.
માગેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3 - (\text{બીજનો સરવાળો})x^2 + (\text{બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો})x - (\text{બીજનો ગુણાકાર}) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $x^3 - (-16)x^2 + 68x - 64 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $x^3+16x^2+68x-64=0$ થાય છે.

(D) આપેલ છે કે $Z_r = \cos \left(\frac{\pi}{2^r}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{2^r}\right) = e^{i \frac{\pi}{2^r}}$.
ગુણાકાર $P = Z_1 Z_2 Z_3 \ldots = e^{i \frac{\pi}{2^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{2^3}} \ldots$
ઘાતાંકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$P = e^{i \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} + \ldots \right)}$.
ઘાતાંક એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{\pi}{2}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
આ અનંત શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\pi/2}{1 - 1/2} = \frac{\pi/2}{1/2} = \pi$ થાય.
તેથી,$P = e^{i \pi} = \cos \pi + i \sin \pi = -1 + i(0) = -1$.

(A) આપેલ છે કે,$x=p+q$,$y=p \omega+q \omega^2$ અને $z=p \omega^2+q \omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega^3=1$ અને $1+\omega+\omega^2=0$,જેનો અર્થ છે કે $\omega+\omega^2=-1$.
હવે,$xyz = (p+q)(p \omega+q \omega^2)(p \omega^2+q \omega)$
$xyz = (p+q)(p^2 \omega^3 + pq \omega^2 + pq \omega^4 + q^2 \omega^3)$
$xyz = (p+q)(p^2(1) + pq \omega^2 + pq \omega + q^2(1))$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(\omega^2+\omega) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 + pq(-1) + q^2)$
$xyz = (p+q)(p^2 - pq + q^2)$
$xyz = p^3+q^3$.

(D) આપેલ છે કે,$\cos x = \tan y$,$\cot y = \tan z$ અને $\cot z = \tan x$.
આ સમીકરણો પરથી,$\tan y = \cos x$.
$\cot y = \tan z$ હોવાથી,$\frac{1}{\tan y} = \tan z$,જેનો અર્થ છે કે $\tan z = \frac{1}{\cos x}$.
વળી,$\cot z = \tan x$ હોવાથી,$\frac{1}{\tan z} = \tan x$.
$\tan z = \frac{1}{\cos x}$ ને $\cot z = \tan x$ માં મૂકતા,આપણને $\cos x = \tan x$ મળે છે.
$\cos x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \cos^2 x = \sin x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 - \sin^2 x = \sin x$,અથવા $\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $\sin x$ માટે ઉકેલતા: $\sin x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$.
$\sin x$ ની કિંમત $-1$ અને $1$ ની વચ્ચે હોવાથી,આપણે ઋણ કિંમત $\frac{-1-\sqrt{5}}{2} < -1$ ને અવગણીશું.
તેથી,$\sin x = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$
નિત્યસમ $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} = \frac{\sin(81^{\circ}+9^{\circ})}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{1}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}} = \frac{2}{\sin 18^{\circ}}$
તે જ રીતે,$\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ} = \frac{\sin(63^{\circ}+27^{\circ})}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{1}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}} = \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
હવે,પદાવલિ બને છે $\frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}} = 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ} \sin 54^{\circ}} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ} = 2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}$
તેથી,$2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 18^{\circ} \cos 36^{\circ}} \right) = 2 \times 2 = 4$

(C) આપણે નિત્યસમ $\cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણ $\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}$ માં નિત્યસમ મૂકતા:
$\frac{1}{4} \cos 3x = \frac{1}{4}$
$\cos 3x = 1$
$x \in (0, 2\pi)$ માટે,$3x$ એ $(0, 6\pi)$ અંતરાલમાં છે.
$\cos 3x = 1$ માટેના ઉકેલો $3x = 2\pi, 4\pi$ છે.
તેથી,$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ થાય છે.

(C) અહીં પ્રતિ હાઇપરબોલિક વિધેયોના લઘુગણકીય સ્વરૂપોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sec h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1-x^2}}{x}\right)$ અને $\operatorname{cosec} h^{-1} x = \log _e\left(\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x}\right)$.
$\sec h^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \log _e(2+\sqrt{3})$ મળે છે.
$\operatorname{cosec} h^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) = \log _e(3)$ મળે છે.
તેથી,$\log _e(2+\sqrt{3}) - \log _e(3) = \log _e\left(\frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)$.

(D) આપેલ છે,$\cos x + \cos y = \frac{3}{2}$
$\Rightarrow 2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{3}{2}$
અને,$\sin x + \sin y = \frac{3}{4}$
$\Rightarrow 2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right) = \frac{3}{4}$
બીજા સમીકરણને પહેલા સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{2 \sin \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)}{2 \cos \left(\frac{x + y}{2}\right) \cos \left(\frac{x - y}{2}\right)} = \frac{3/4}{3/2}$
$\Rightarrow \tan \left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{1}{2}$
નિત્યસમ $\sin(x + y) = \frac{2 \tan \left(\frac{x + y}{2}\right)}{1 + \tan^2 \left(\frac{x + y}{2}\right)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(x + y) = \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 + (\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{1 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{5}{4}} = \frac{4}{5}$

(B) આપેલ સમીકરણ $x^2 + \alpha y^2 + 2 \beta y - a^2 = 0$ છે.
તેને રેખાઓની જોડીના વ્યાપક સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 + 2Gx + 2Fy + C = 0$ સાથે સરખાવતા,$A=1, B=\alpha, H=0, G=0, F=\beta, C=-a^2$ મળે.
રેખાઓ લંબ હોવા માટેની શરત $A+B=0$ છે.
તેથી,$1 + \alpha = 0 \Rightarrow \alpha = -1$.
રેખાઓની જોડી દર્શાવવા માટેની શરત $ABC + 2FGH - AF^2 - BG^2 - CH^2 = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(1)(\alpha)(-a^2) + 2(\beta)(0)(0) - (1)(\beta)^2 - (\alpha)(0)^2 - (-a^2)(0)^2 = 0$.
આનું સાદું રૂપ $-\alpha a^2 - \beta^2 = 0$ થાય.
$\alpha = -1$ મૂકતા,$-(-1)a^2 - \beta^2 = 0$ મળે,જેનો અર્થ $a^2 - \beta^2 = 0$ થાય.
તેથી,$\beta^2 = a^2$,જે દર્શાવે છે કે $\beta = \pm a$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $\beta = a$ છે.

(D) $ax^2+2hxy+by^2=0$ અને $lx+my+n=0$ રેખાઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{n^2\sqrt{h^2-ab}}{|am^2-2hlm+bl^2|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,રેખાઓની જોડી $x^2-3xy+y^2=0$ છે,તેથી $a=1, h=-\frac{3}{2}, b=1$.
ત્રીજી રેખા $x+y+1=0$ છે,તેથી $l=1, m=1, n=1$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{Area} = \frac{1^2\sqrt{(-\frac{3}{2})^2-(1)(1)}}{|(1)(1)^2-2(-\frac{3}{2})(1)(1)+(1)(1)^2|}$
$\text{Area} = \frac{\sqrt{\frac{9}{4}-1}}{|1+3+1|} = \frac{\sqrt{\frac{5}{4}}}{5} = \frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{5} = \frac{\sqrt{5}}{10} = \frac{1}{2\sqrt{5}}$ ચોરસ એકમ.

(A) ધારો કે બિંદુ $B$ ના યામ $(x, y, z)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(-2, 3, 5)$ એ $A(1, 3, 4)$ અને $B(x, y, z)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $1:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$P = \left( \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, \frac{my_2 + ny_1}{m+n}, \frac{mz_2 + nz_1}{m+n} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{1(x) + 3(1)}{1+3}, \frac{1(y) + 3(3)}{1+3}, \frac{1(z) + 3(4)}{1+3} \right)$
$(-2, 3, 5) = \left( \frac{x+3}{4}, \frac{y+9}{4}, \frac{z+12}{4} \right)$
યામોને સરખાવતા:
$1) \frac{x+3}{4} = -2 \Rightarrow x+3 = -8 \Rightarrow x = -11$
$2) \frac{y+9}{4} = 3 \Rightarrow y+9 = 12 \Rightarrow y = 3$
$3) \frac{z+12}{4} = 5 \Rightarrow z+12 = 20 \Rightarrow z = 8$
આમ,$B$ ના યામ $(-11, 3, 8)$ છે.

(C) ધારો કે દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - px + q = 0$ ના બીજ $\alpha$ અને $\beta$ છે,જ્યાં $\alpha, \beta \in \mathbb{Z}^+$.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$\alpha + \beta = p$ (બીજનો સરવાળો)
$\alpha \cdot \beta = q$ (બીજનો ગુણાકાર)
$q$ અવિભાજ્ય સંખ્યા હોવાથી,તેના અવયવો માત્ર $1$ અને $q$ છે. તેથી,બીજ $1$ અને $q$ હોવા જોઈએ.
સરવાળાના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $1 + q = p$.
$p$ અને $q$ બંને અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ હોવાથી,આપણે એવી બે અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો તફાવત $1$ હોય. આવી માત્ર $2$ અને $3$ છે (જ્યાં $q=2$ અને $p=3$).
$p=3$ અને $q=2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $x^2 - 3x + 2 = 0$.
અવયવ પાડતા: $(x - 1)(x - 2) = 0$.
આમ,બીજ $1$ અને $2$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$x_1$ અને $x_2$ એ સમીકરણ $x^2-kx+c=0$ ના બીજ છે.
બીજના ગુણધર્મો મુજબ:
$x_1+x_2 = k$
$x_1x_2 = c$
બિંદુઓ $A(x_1, 0)$ અને $B(x_2, 0)$ વચ્ચેનું અંતર $|x_2-x_1|$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x_2-x_1)^2 = (x_1+x_2)^2 - 4x_1x_2$.
કિંમતો મૂકતા:
$(x_2-x_1)^2 = k^2 - 4c$.
તેથી,અંતર $|x_2-x_1| = \sqrt{k^2-4c}$ થાય.

(B) ધારો કે $y = \frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}$.
બંને બાજુ $(x^2+x+1)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે $y(x^2+x+1) = x^2-x+1$.
પદોને $x$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા:
$(y-1)x^2 + (y+1)x + (y-1) = 0$.
$x$ વાસ્તવિક હોવાથી,વિવેચક $D \geq 0$.
$D = (y+1)^2 - 4(y-1)^2 \geq 0$.
$(y+1)^2 - [2(y-1)]^2 \geq 0$.
$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$[(y+1) - 2(y-1)][(y+1) + 2(y-1)] \geq 0$.
$(-y+3)(3y-1) \geq 0$.
$(y-3)(3y-1) \leq 0$.
આ અસમતા $\frac{1}{3} \leq y \leq 3$ માટે સાચી છે.
તેથી,$y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{1}{3}$ છે.

(C) આપેલ છે,$(1+i)^n=(1-i)^n$
$\Rightarrow \frac{(1+i)^n}{(1-i)^n}=1$
$\Rightarrow \left[\frac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1+i^2+2i}{1-i^2}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left[\frac{1-1+2i}{1+1}\right]^n=1$
$\Rightarrow \left(\frac{2i}{2}\right)^n=1$
$\Rightarrow i^n=1$
$i^n=1$ થાય તેવો સૌથી નાનો ધન પૂર્ણાંક $n$ એ $4$ છે,તેથી $n=4$.

(A) આપેલ છે,$z^3+\bar{z}=0$. ધારો કે $z=x+iy$.
સમીકરણમાં $z$ ની કિંમત મૂકતા: $(x+iy)^3 + (x-iy) = 0$.
વિસ્તરણ કરતા: $x^3 + 3x^2(iy) + 3x(iy)^2 + (iy)^3 + x - iy = 0$.
$x^3 + 3x^2yi - 3xy^2 - iy^3 + x - iy = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને અલગ કરતા: $(x^3 - 3xy^2 + x) + i(3x^2y - y^3 - y) = 0$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$1) x(x^2 - 3y^2 + 1) = 0$
$2) y(3x^2 - y^2 - 1) = 0$
કિસ્સો $1$: જો $x=0$,તો $-y(y^2+1)=0 \Rightarrow y=0$. ઉકેલ: $(0,0)$.
કિસ્સો $2$: જો $y=0$,તો $x(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0$. ઉકેલ: $(0,0)$.
કિસ્સો $3$: જો $x \neq 0$ અને $y \neq 0$,તો $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ અને $3x^2 - y^2 - 1 = 0$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $4x^2 - 4y^2 = 0 \Rightarrow x^2 = y^2$.
$x^2 = y^2$ ને $x^2 - 3y^2 + 1 = 0$ માં મૂકતા: $y^2 - 3y^2 + 1 = 0$ $\Rightarrow 2y^2 = 1$ $\Rightarrow y = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x^2 = y^2$ હોવાથી,$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
શક્ય જોડીઓ $(x,y)$ એ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}), (-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કુલ ઉકેલો: $(0,0)$ અને ઉપરની $4$ જોડીઓ,આમ કુલ $5$ ઉકેલો મળે છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે દ્વિપદી સહગુણક ${}^{11}C_n = \frac{11!}{n!(11-n)!}$ એ $n$ ની મધ્ય કિંમત માટે મહત્તમ હોય છે.
અહીં $11$ એકી સંખ્યા હોવાથી,${}^{11}C_n$ ની મહત્તમ કિંમત $n = 5$ અને $n = 6$ માટે મળે છે.
આમ,$n!(11-n)!$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $n = 5$ અથવા $n = 6$ માટે મળે છે.

(C) સમતલમાં કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 30$ છે.
$8$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ એક જ રેખા બનાવે છે.
સૂત્ર: $\text{રેખાઓની સંખ્યા} = {}^{n}C_{2} - {}^{m}C_{2} + 1$
કિંમતો મૂકતા:
$\text{રેખાઓની સંખ્યા} = {}^{30}C_{2} - {}^{8}C_{2} + 1$
$= 435 - 28 + 1 = 408$

(B) આપેલ સરવાળો $S = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - (2n)^2 + (2n+1)^2$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે જૂથબદ્ધ કરી શકીએ:
$S = (1^2 - 2^2) + (3^2 - 4^2) + \dots + ((2n-1)^2 - (2n)^2) + (2n+1)^2$.
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,દરેક જોડી બને છે:
$(1-2)(1+2) + (3-4)(3+4) + \dots + ((2n-1)-2n)((2n-1)+2n) + (2n+1)^2$.
$S = -1(3) - 1(7) - 1(11) - \dots - 1(4n-1) + (2n+1)^2$.
$S = -(3 + 7 + 11 + \dots + (4n-1)) + (2n+1)^2$.
કૌંસમાં રહેલો સરવાળો એ $n$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જેમાં પ્રથમ પદ $a=3$ અને અંતિમ પદ $l=4n-1$ છે.
સરવાળો $= \frac{n}{2}(3 + 4n - 1) = \frac{n}{2}(4n+2) = n(2n+1)$.
આમ,$S = -n(2n+1) + (2n+1)^2$.
$S = (2n+1)(-n + 2n + 1) = (2n+1)(n+1)$.

(A) $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{18}$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1}$ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (x)^{\frac{18-r}{2}} (-2)^r (x)^{-\frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{\frac{18-r-r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{9-r}$
$x$ થી સ્વતંત્ર પદ માટે,$x$ નો ઘાતાંક $0$ હોવો જોઈએ:
$9 - r = 0 \Rightarrow r = 9$
$r = 9$ ને સામાન્ય પદમાં મૂકતા:
$T_{9+1} = { }^{18} C_9 (-2)^9$
$T_{10} = -{ }^{18} C_9 2^9$

(D) આપેલ વિસ્તરણ: $(a+bx)^{-3} = \frac{1}{27} + \frac{1}{3}x + \dots$
આપણે લખી શકીએ $(a+bx)^{-3} = a^{-3}(1 + \frac{bx}{a})^{-3}$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1+z)^n = 1 + nz + \frac{n(n-1)}{2!}z^2 + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^{-3}(1 + (-3)(\frac{bx}{a}) + \dots) = \frac{1}{a^3} - \frac{3bx}{a^4} + \dots$
અચળ પદોની સરખામણી કરતા:
$\frac{1}{a^3} = \frac{1}{27} \implies a^3 = 27 \implies a = 3$.
$x$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$-\frac{3b}{a^4} = \frac{1}{3}$.
$a=3$ મૂકતા:
$-\frac{3b}{3^4} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{3^3} = \frac{1}{3} \implies -\frac{b}{27} = \frac{1}{3} \implies b = -\frac{27}{3} = -9$.
આમ,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (3, -9)$ છે.

(C) આપણે નિત્યસમ $\cos \theta \cos \left(\frac{\pi}{3}-\theta\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+\theta\right) = \frac{1}{4} \cos 3\theta$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલ સમીકરણ $\cos x \cos \left(\frac{\pi}{3}-x\right) \cos \left(\frac{\pi}{3}+x\right) = \frac{1}{4}$ માં આ નિત્યસમ મૂકતા:
$\frac{1}{4} \cos 3x = \frac{1}{4}$
$\cos 3x = 1$
$x \in (0, 2\pi)$ માટે,$3x \in (0, 6\pi)$ થાય.
$\cos 3x = 1$ ના ઉકેલો $3x = 2\pi, 4\pi$ છે.
તેથી,$x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$.
ઉકેલોનો સરવાળો $\frac{2\pi}{3} + \frac{4\pi}{3} = \frac{6\pi}{3} = 2\pi$ થાય.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $\tan 81^{\circ} + \tan 9^{\circ} - (\tan 63^{\circ} + \tan 27^{\circ})$.
નિત્યસમ $\tan A + \tan B = \frac{\sin(A+B)}{\cos A \cos B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\sin(81^{\circ}+9^{\circ})}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{\sin(63^{\circ}+27^{\circ})}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 81^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{\sin 90^{\circ}}{\cos 63^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{1}{\sin 9^{\circ} \cos 9^{\circ}} - \frac{1}{\sin 27^{\circ} \cos 27^{\circ}}$
$= \frac{2}{\sin 18^{\circ}} - \frac{2}{\sin 54^{\circ}}$
$= 2 \left( \frac{\sin 54^{\circ} - \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
$\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2 \left( \frac{2 \cos 36^{\circ} \sin 18^{\circ}}{\sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}} \right)$
$= 4 \cos 36^{\circ} / \sin 54^{\circ}$
કારણ કે $\cos 36^{\circ} = \sin 54^{\circ}$,તેથી જવાબ $4 \times 1 = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(a \cos \theta, a \sin \theta)$,$B(b \sin \theta, -b \cos \theta)$ અને $C(1, 0)$ છે.
ધારો કે મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના સૂત્ર મુજબ,$x = \frac{a \cos \theta + b \sin \theta + 1}{3}$ અને $y = \frac{a \sin \theta - b \cos \theta}{3}$.
તેથી,$a \cos \theta + b \sin \theta = 3x - 1$ અને $a \sin \theta - b \cos \theta = 3y$.
બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(a \cos \theta + b \sin \theta)^2 + (a \sin \theta - b \cos \theta)^2 = (3x - 1)^2 + (3y)^2$.
ડાબી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા:
$a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta + 2ab \sin \theta \cos \theta + a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta - 2ab \sin \theta \cos \theta = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
$a^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + b^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = (3x - 1)^2 + 9y^2$.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = (3x - 1)^2 + 9y^2$ મળે છે.

(A) $1$. $P(1,3)$ નું $y=x$ ની સાપેક્ષમાં પરાવર્તન $Q(3,1)$ આપે છે.
$2$. $Q(3,1)$ નું $X$-અક્ષની ધન દિશામાં $3$ એકમ સ્થાનાંતર $R(6,1)$ આપે છે.
$3$. $R(6,1)$ નું ઉગમબિંદુની આસપાસ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ ખૂણે પરિભ્રમણ:
$x' = 6 \cos(-\frac{\pi}{6}) - 1 \sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{6\sqrt{3}+1}{2}$
$y' = 6 \sin(-\frac{\pi}{6}) + 1 \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}-6}{2}$
અંતિમ સ્થાન $\left(\frac{6 \sqrt{3}+1}{2}, \frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P = \left(-\frac{7}{5}, -\frac{6}{5}\right)$ અને તેનું પ્રતિબિંબ $Q = (1, 2)$ છે. રેખા એ $PQ$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left(\frac{-\frac{7}{5} + 1}{2}, \frac{-\frac{6}{5} + 2}{2}\right) = \left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)$ છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m_{PQ} = \frac{2 - (-6/5)}{1 - (-7/5)} = \frac{16/5}{12/5} = \frac{4}{3}$ છે.
માગેલ રેખાનો ઢાળ $m = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{3}{4}$ થાય.
બિંદુ $M$ પર બિંદુ-ઢાળ સ્વરૂપ $y - y_1 = m(x - x_1)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y - \frac{2}{5} = -\frac{3}{4}\left(x + \frac{1}{5}\right)$
$\frac{5y - 2}{5} = -\frac{3}{4} \cdot \frac{5x + 1}{5}$
$4(5y - 2) = -3(5x + 1)$
$20y - 8 = -15x - 3$
$15x + 20y = 5$
$5$ વડે ભાગતા,આપણને $3x + 4y = 1$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ $3x - 4y = 6$ છે.
આ રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $4x + 3y = k$ સ્વરૂપમાં હોય.
આ રેખાના યામ અક્ષો પરના અંતઃખંડો $x = \frac{k}{4}$ અને $y = \frac{k}{3}$ છે.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\text{Area} = \frac{1}{2} \times |\text{base}| \times |\text{height}|$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{1}{2} \times |\frac{k}{4}| \times |\frac{k}{3}| = 6$.
$|\frac{k^2}{24}| = 6$.
$k^2 = 144$.
$k = \pm 12$.
તેથી,રેખાનું જરૂરી સમીકરણ $4x + 3y = 12$ અથવા $4x + 3y = -12$ છે.

(A) બિંદુઓ $A(k, 2k), B(3k, 3k)$,અને $C(3, 1)$ સમરેખ હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ અને $BC$ નો ઢાળ સમાન થાય.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{3k - 2k}{3k - k} = \frac{k}{2k} = \frac{1}{2}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
ઢાળ સરખાવતા: $\frac{1}{2} = \frac{1 - 3k}{3 - 3k}$.
ગુણાકાર કરતા: $3 - 3k = 2(1 - 3k)$ $\Rightarrow 3 - 3k = 2 - 6k$ $\Rightarrow 3k = -1$ $\Rightarrow k = -\frac{1}{3}$.
$B(-1, -1)$ અને $C(3, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ: $y - 1 = \frac{1 - (-1)}{3 - (-1)}(x - 3)$.
$y - 1 = \frac{1}{2}(x - 3)$ $\Rightarrow 2y - 2 = x - 3$ $\Rightarrow x - 2y - 1 = 0$.
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $Ax + By + C = 0$ નું અંતર $d = \frac{|C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ છે.
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(A) ધારો કે $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. વર્તુળનું કેન્દ્ર $C(2,4)$ છે.
કેન્દ્ર $C(2,4)$ થી રેખા $x+y+2=0$ નું લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|2+4+2|}{\sqrt{1^2+1^2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$.
જીવાની લંબાઈ $6$ છે,તેથી અડધી જીવાની લંબાઈ $AB = \frac{6}{2} = 3$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle CAB$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ:
$r^2 = d^2 + (AB)^2$
$r^2 = (4\sqrt{2})^2 + 3^2$
$r^2 = 32 + 9 = 41$
$r = \sqrt{41}$.

(C) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=2^2$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r=2$ છે.
$m$ ઢાળવાળા વર્તુળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx \pm 2\sqrt{1+m^2}$ છે.
પરવલય $y^2=32x$ માટે નાભિ $(8, 0)$ છે.
સ્પર્શક નાભિમાંથી પસાર થતો હોવાથી,$0 = 8m \pm 2\sqrt{1+m^2}$.
$8m = \mp 2\sqrt{1+m^2} \Rightarrow 4m = \mp \sqrt{1+m^2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$16m^2 = 1+m^2$.
$15m^2 = 1 \Rightarrow m^2 = \frac{1}{15}$.
તેથી,$m = \pm \frac{1}{\sqrt{15}}$.

(C) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(-g, -f)$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2-20x+4=0$ નું કેન્દ્ર $(10, 0)$ છે.
બે વર્તુળો લંબચ્છેદી હોય તેની શરત $2g_1g_2 + 2f_1f_2 = c_1+c_2$ છે.
અહીં,$g_1 = -10, f_1 = 0, c_1 = 4$ અને $g_2 = g, f_2 = f, c_2 = c$.
તેથી,$2(-10)(g) + 2(0)(f) = 4+c$,જે $c = -20g-4$ આપે છે.
વર્તુળ રેખા $x=2$ ને સ્પર્શે છે,તેથી કેન્દ્ર $(-g, -f)$ થી રેખાનું અંતર ત્રિજ્યા $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ જેટલું થાય.
$| -g - 2 | = \sqrt{g^2+f^2-c} \Rightarrow (g+2)^2 = g^2+f^2-c$.
$g^2+4g+4 = g^2+f^2-c \Rightarrow f^2-c-4g-4 = 0$.
$c = -20g-4$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$f^2 - (-20g-4) - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 20g + 4 - 4g - 4 = 0$ $\Rightarrow f^2 + 16g = 0$.
$(-g, -f)$ ને $(x, y)$ સાથે બદલતા,$g = -x$ અને $f = -y$ મળે.
$(-y)^2 + 16(-x) = 0$ $\Rightarrow y^2 - 16x = 0$ $\Rightarrow y^2 = 16x$.

(C) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો $x^2+y^2-4x-4y+7=0$ અને $x^2+y^2-12x-10y+45=0$ છે.
$x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ સાથે સરખાવતા,કેન્દ્રો અને ત્રિજ્યાઓ નીચે મુજબ છે:
પ્રથમ વર્તુળ માટે: $C_1 = (2, 2)$ અને $r_1 = \sqrt{2^2+2^2-7} = \sqrt{8-7} = 1$.
બીજા વર્તુળ માટે: $C_2 = (6, 5)$ અને $r_2 = \sqrt{6^2+5^2-45} = \sqrt{36+25-45} = \sqrt{16} = 4$.
કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1C_2 = \sqrt{(6-2)^2+(5-2)^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = 5$.
અહીં $C_1C_2 = r_1+r_2 = 1+4 = 5$ હોવાથી,વર્તુળો એકબીજાને બહારથી સ્પર્શે છે.
સ્પર્શબિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $C_1C_2$ નું $r_1:r_2 = 1:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P = \left(\frac{1(6)+4(2)}{1+4}, \frac{1(5)+4(2)}{1+4}\right) = \left(\frac{6+8}{5}, \frac{5+8}{5}\right) = \left(\frac{14}{5}, \frac{13}{5}\right)$.

(D) આપેલ વર્તુળોના સમીકરણો:
$x^2+y^2-4y=0$ $(1)$
$x^2+y^2-8x-4y+11=0$ $(2)$
સમીકરણ $(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા,સામાન્ય જીવાનું સમીકરણ મળે છે:
$(x^2+y^2-8x-4y+11) - (x^2+y^2-4y) = 0$
$-8x+11=0$ $\Rightarrow 8x=11$ $\Rightarrow x=\frac{11}{8}$
પ્રથમ વર્તુળ $x^2+y^2-4y=0$ માટે,કેન્દ્ર $C(0, 2)$ અને ત્રિજ્યા $r = 2$ છે.
કેન્દ્ર $(0, 2)$ થી રેખા $x = \frac{11}{8}$ નું લંબ અંતર $d = |0 - \frac{11}{8}| = \frac{11}{8}$ છે.
જીવાની લંબાઈ $L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$
$L = 2\sqrt{2^2 - (\frac{11}{8})^2} = 2\sqrt{4 - \frac{121}{64}} = 2\sqrt{\frac{135}{64}} = \frac{\sqrt{135}}{4} \text{ એકમ}$.

(A) બે રેખાઓ $lx + my + n = 0$ અને $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ની સાપેક્ષમાં સંયુગ્મી હોય જો પ્રથમ રેખાનો ધ્રુવ (pole) બીજી રેખા પર આવેલો હોય.
વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ ની સાપેક્ષમાં રેખા $lx + my + n = 0$ નો ધ્રુવ $(x_1, y_1) = (-\frac{lr^2}{n}, -\frac{mr^2}{n})$ છે.
આ બિંદુ રેખા $l_1x + m_1y + n_1 = 0$ પર હોવાથી:
$l_1(-\frac{lr^2}{n}) + m_1(-\frac{mr^2}{n}) + n_1 = 0$
$-l_1lr^2 - m_1mr^2 + n_1n = 0$
$nn_1 = r^2(ll_1 + mm_1)$.

(C) પરવલય $y^2=4ax$ પરના બિંદુ $P(at^2, 2at)$ આગળના અભિલંબનું સમીકરણ $y + tx = 2at + at^3$ છે.
ધારો કે આ અભિલંબ પરવલયને ફરીથી બિંદુ $Q$ પર મળે છે. શિરોબિંદુ $O(0,0)$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ સાથે જોડતી રેખાઓ $OP$ અને $OQ$ નું સંયુક્ત સમીકરણ પરવલયના સમીકરણ $y^2=4ax$ ને અભિલંબના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને સમઘાત બનાવીને મેળવવામાં આવે છે:
$y^2 = 4ax \left( \frac{y+tx}{2at+at^3} \right)$
$y^2(2at + at^3) = 4ax(y + tx)$
$y^2(2at + at^3) = 4axy + 4atx^2$
$4atx^2 + 4axy - (2at + at^3)y^2 = 0$
કારણ કે $OP$ અને $OQ$ કાટખૂણે છે,તેથી $x^2$ અને $y^2$ ના સહગુણકોનો સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$4at - (2at + at^3) = 0$
$4at - 2at - at^3 = 0$
$2at - at^3 = 0$
$at(2 - t^2) = 0$
અભિલંબ જીવા માટે $t \neq 0$ હોવાથી,આપણને $t^2 = 2$ મળે છે.

(B) નાભિઓનો $y$-યામ $0$ છે,તેથી મુખ્ય અક્ષ $X$-અક્ષ પર છે. \\
આપેલ છે કે $ae = 4$. \\
ધારો કે ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે. \\
$b^2 = a^2(1 - e^2) = a^2 - (ae)^2 = a^2 - 16$ હોવાથી,બિંદુ $(4\sqrt{2}, 2\sqrt{6})$ મૂકતા: \\
$\frac{32}{a^2} + \frac{24}{a^2 - 16} = 1$ \\
$32(a^2 - 16) + 24a^2 = a^2(a^2 - 16)$ \\
$a^4 - 72a^2 + 512 = 0$ \\
$(a^2 - 64)(a^2 - 8) = 0$ \\
$a > ae$ હોવાથી $a^2 > 16$,તેથી $a^2 = 64$ અને $a = 8$. \\
$ae = 4$ હોવાથી $8e = 4$,એટલે કે $e = \frac{1}{2}$.

(D) ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ છે,જ્યાં $a^2 = 16$ અને $b^2 = 9$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું નિયામક વર્તુળ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25$ છે.
આમ,આપેલ વર્તુળ $x^2 + y^2 = 25$ એ ઉપવલયનું નિયામક વર્તુળ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ઉપવલયના લંબ સ્પર્શકોના છેદબિંદુનો બિંદુપથ તેનું નિયામક વર્તુળ છે.
તેથી,નિયામક વર્તુળ પરના કોઈપણ બિંદુથી ઉપવલય પર દોરેલા સ્પર્શકો વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{2}$ છે.

(C) ધારો કે અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ છે.
આપેલ ઉપવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{13^2} + \frac{y^2}{5^2} = 1$ છે.
ઉપવલય માટે,$a_e = 13$ અને $b_e = 5$.
ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{b_e^2}{a_e^2}} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$.
ઉપવલયની નાભિ $(\pm a_e e, 0) = (\pm 13 \times \frac{12}{13}, 0) = (\pm 12, 0)$ છે.
અતિવલય $(\pm 12, 0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{12^2}{a^2} - \frac{0}{b^2} = 1$,જે $a^2 = 144$ આપે છે.
અતિવલયની ઉત્કેન્દ્રતા $e' = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}}$.
ઉત્કેન્દ્રતાનો ગુણાકાર $1$ હોવાથી,$e \times e' = 1$.
$\frac{12}{13} \times \sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = 1$.
$\sqrt{1 + \frac{b^2}{144}} = \frac{13}{12}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$1 + \frac{b^2}{144} = \frac{169}{144}$.
$\frac{b^2}{144} = \frac{169}{144} - 1 = \frac{25}{144}$.
આમ,$b^2 = 25$.
અતિવલયનું સમીકરણ $\frac{x^2}{144} - \frac{y^2}{25} = 1$ છે.

(C) આપણે લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^2}-\sqrt{1-x+x^2}}{3^x-1}$ ની ગણતરી કરીએ.
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણે $\frac{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}}$ વડે ગુણીએ:
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x^2)-(1-x+x^2)}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{(3^x-1)(\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2})}$
$= \lim _{x}$ ${\rightarrow 0} \left( \frac{1}{\frac{3^x-1}{x}} \right) \times \left( \frac{1}{\sqrt{1+x^2}+\sqrt{1-x+x^2}} \right)$
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^x-1}{x} = \log _e a$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{\sqrt{1+0}+\sqrt{1-0+0}}$
$= \frac{1}{\log _e 3} \times \frac{1}{1+1}$
$= \frac{1}{2 \log _e 3} = \frac{1}{\log _e 3^2} = \frac{1}{\log _e 9}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\sum_{i=1}^n x_i^2 = 400$ અને $\sum_{i=1}^n x_i = 80$.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિચરણ હંમેશા અ-ઋણ હોય છે,એટલે કે $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \left(\frac{\sum x_i}{n}\right)^2 \geq 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{400}{n} - \left(\frac{80}{n}\right)^2 \geq 0$
$\frac{400}{n} - \frac{6400}{n^2} \geq 0$
$n^2$ વડે ગુણતા ($n > 0$ હોવાથી):
$400n - 6400 \geq 0$
$400n \geq 6400$
$n \geq 16$.
આમ,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $16$ છે.

(C) ધારો કે ચાર અવલોકનો $x_1, x_2, x_3$ અને $x_4$ છે.
આપેલ છે કે,મધ્યક $(\bar{x}) = 3$ અને વર્ગોનો સરવાળો $\Sigma x_i^2 = 48$.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 4$.
પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ નું સૂત્ર:
$SD = \sqrt{\frac{\Sigma x_i^2}{n} - (\bar{x})^2}$
કિંમતો મૂકતા:
$SD = \sqrt{\frac{48}{4} - (3)^2}$
$SD = \sqrt{12 - 9}$
$SD = \sqrt{3}$

(D) આપેલ છે કે ત્રિકોણના ખૂણાઓનો ગુણોત્તર $1: 1: 4$ છે. ધારો કે ખૂણાઓ $A, B$ અને $C$ છે.
$\therefore A: B: C = 1: 1: 4$
ધારો કે $A = x, B = x$ અને $C = 4x$.
ત્રિકોણના ત્રણેય ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય,તેથી $x + x + 4x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$.
તેથી,$A = 30^{\circ}, B = 30^{\circ}$ અને $C = 120^{\circ}$.
સૌથી મોટો ખૂણો $120^{\circ}$ છે,તેથી સૌથી મોટી બાજુ $c$ છે.
પરિમિતિ અને સૌથી મોટી બાજુનો ગુણોત્તર $(a + b + c) : c$ છે.
સાઇનના નિયમ મુજબ,$a = 2R \sin A, b = 2R \sin B, c = 2R \sin C$.
ગુણોત્તર $= (2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 30^{\circ} + 2R \sin 120^{\circ}) : 2R \sin 120^{\circ}$
$= (\sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 120^{\circ}) : \sin 120^{\circ}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2}$
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2}) : \frac{\sqrt{3}}{2} = (2 + \sqrt{3}) : \sqrt{3}$.

(C) ધારો કે $2s = a+b+c$. તેથી $b+c-a = 2s-2a$,$c+a-b = 2s-2b$,અને $a+b-c = 2s-2c$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2} = 4 \frac{s(s-a)}{bc} \cdot \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos^2(\frac{A}{2}) = \frac{s(s-a)}{bc}$ અને $\sin^2(\frac{A}{2}) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4 \cos^2(\frac{A}{2}) \sin^2(\frac{A}{2}) = (2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2}))^2 = \sin^2 A$.

(D) આપેલ છે,$r_1=2, r_2=3$ અને $r_3=6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$,જ્યાં $r$ એ અંતઃત્રિજ્યા છે.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+2+1}{6} = 1$,તેથી $r=1$.
વળી,$\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3} = \sqrt{1 \times 2 \times 3 \times 6} = \sqrt{36} = 6$.
કારણ કે $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,તેથી $2 = \frac{6}{s-a}$,જેનો અર્થ છે કે $s-a = 3$.
વળી,$s = \frac{\Delta}{r} = \frac{6}{1} = 6$.
$s=6$ ને $s-a=3$ માં મૂકતા,આપણને $6-a=3$ મળે છે,તેથી $a=3$.

(D) ધારો કે $s = \frac{a+b+c}{2}$ એ $\triangle ABC$ ની અર્ધ-પરિમિતિ છે. તેથી $a+b+c = 2s$,$b+c-a = 2(s-a)$,$c+a-b = 2(s-b)$,અને $a+b-c = 2(s-c)$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2s)(2(s-a))(2(s-b))(2(s-c))}{4b^2c^2} = \frac{16s(s-a)(s-b)(s-c)}{4b^2c^2}$.
હેરોનના સૂત્ર મુજબ,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,તેથી પદાવલિ $\frac{16\Delta^2}{4b^2c^2} = \frac{4\Delta^2}{b^2c^2}$ બને છે.
ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ હોવાથી,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc}$ મળે.
આમ,$\frac{4\Delta^2}{b^2c^2} = (\frac{2\Delta}{bc})^2 = \sin^2 A$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે બે શંકુચ્છેદ $\frac{x^2}{a_1^2}+\frac{y^2}{b_1^2}=1$ અને $\frac{x^2}{a_2^2}+\frac{y^2}{b_2^2}=1$ એકબીજાને લંબરૂપે છેદે તો તેની શરત $a_1^2-b_1^2 = a_2^2-b_2^2$ છે,જેને $a_1^2-a_2^2 = b_1^2-b_2^2$ તરીકે પણ લખી શકાય.
અહીં આપેલા વક્રો $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ અને $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ છે.
લંબરૂપે છેદવાની શરત લાગુ પાડતા:
$a^2-25 = b^2-16$
$a^2-b^2$ ની કિંમત મેળવવા માટે પદોને ગોઠવતા:
$a^2-b^2 = 25-16$
$a^2-b^2 = 9$
આમ,જવાબ $9$ છે.

(C) આપેલ છે,$\frac{2x^3+x^2-5}{x^4-25}=\frac{Ax+B}{x^2-5}+\frac{Cx+1}{x^2+5}$
$x^4-25 = (x^2-5)(x^2+5)$ હોવાથી,
$2x^3+x^2-5 = (Ax+B)(x^2+5) + (Cx+1)(x^2-5)$
$2x^3+x^2-5 = Ax^3 + 5Ax + Bx^2 + 5B + Cx^3 - 5Cx + x^2 - 5$
$2x^3+x^2-5 = x^3(A+C) + x^2(B+1) + x(5A-5C) + (5B-5)$
સહગુણકોને સરખાવતા:
$1) A+C = 2$
$2) B+1 = 1 \Rightarrow B = 0$
$3) 5A-5C = 0 \Rightarrow A = C$
$A=C$ ને $A+C=2$ માં મૂકતા,$2C=2$,તેથી $C=1$ અને $A=1$.
આમ,$(A, B, C) = (1, 0, 1)$.

(B) ધારો કે $S$ એ બે પાસાઓનો સરવાળો $7$ હોય તેવા પરિણામોનો નિદર્શાવકાશ છે.
શક્ય પરિણામો:
$S = \{(1, 6), (6, 1), (2, 5), (5, 2), (3, 4), (4, 3)\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6$.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે સંખ્યા $3$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવે છે.
સાનુકૂળ પરિણામો:
$E = \{(3, 4), (4, 3)\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 2$.
જરૂરી સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(D) આપેલ છે કે,$P(B) = \frac{3}{2} P(A)$ અને $P(C) = \frac{1}{2} P(B)$.
$A, B$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓ હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થાય:
$P(A) + P(B) + P(C) = 1$
$P(A)$ ના સ્વરૂપમાં કિંમતો મૂકતા:
$P(A) + \frac{3}{2} P(A) + \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} P(A) \right) = 1$
$P(A) \left( 1 + \frac{3}{2} + \frac{3}{4} \right) = 1$
$P(A) \left( \frac{4 + 6 + 3}{4} \right) = 1$
$\frac{13}{4} P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{4}{13}$
હવે,$P(C)$ શોધીએ:
$P(C) = \frac{3}{4} P(A) = \frac{3}{4} \times \frac{4}{13} = \frac{3}{13}$
$A$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup C) = P(A) + P(C)$:
$P(A \cup C) = \frac{4}{13} + \frac{3}{13} = \frac{7}{13}$

(B) આપેલ છે,$A=\left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha\end{array}\right]$.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2-2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3-3R_1$,અને $R_4 \rightarrow R_4-6R_1$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & -4 & -11 & \alpha\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_3$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha-3\end{array}\right]$.
$R_4 \rightarrow R_4-R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \left[\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha-5\end{array}\right]$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોવાથી,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ.
તેથી,$\alpha-5=0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha=5$.

(D) આપેલ છે કે,$f(x) = \frac{x}{1+x}$.
આપણે $g(x) = f(f(x))$ શોધવાનું છે.
$g(x) = f\left(\frac{x}{1+x}\right) = \frac{\frac{x}{1+x}}{1 + \frac{x}{1+x}}$.
અંશ અને છેદને $(1+x)$ વડે ગુણતા:
$g(x) = \frac{x}{1+x+x} = \frac{x}{2x+1}$.
હવે,ભાગાકારના નિયમ $\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$g^{\prime}(x) = \frac{(1)(2x+1) - (x)(2)}{(2x+1)^2}$.
$g^{\prime}(x) = \frac{2x+1 - 2x}{(2x+1)^2} = \frac{1}{(2x+1)^2}$.

(D) આપેલ છે કે,વ્યાસમાં ભૂલ $\Delta D = \pm 0.04 \text{ cm}$.
ત્રિજ્યા $r = \frac{D}{2}$ હોવાથી,ત્રિજ્યામાં ભૂલ $\Delta r = \frac{\Delta D}{2} = \pm \frac{0.04}{2} = \pm 0.02 \text{ cm}$ થાય.
ગોળાનું ઘનફળ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
$r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dV}{dr} = 4 \pi r^2$ મળે.
ઘનફળમાં આશરે ભૂલ $\Delta V \approx \frac{dV}{dr} \Delta r = 4 \pi r^2 \Delta r$ થાય.
ઘનફળમાં પ્રતિશત ભૂલ $\frac{\Delta V}{V} \times 100$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = \frac{4 \pi r^2 \Delta r}{\frac{4}{3} \pi r^3} \times 100 = \frac{3 \Delta r}{r} \times 100$.
અહીં $r = 10 \text{ cm}$ અને $\Delta r = \pm 0.02 \text{ cm}$ હોવાથી,પ્રતિશત ભૂલ $\frac{3 \times (\pm 0.02)}{10} \times 100 = \frac{\pm 0.06}{10} \times 100 = \pm 0.6 \%$ થાય.

(B) આપેલ છે,$\int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^3 x \cos x}}=g(x)+c$.
આપણે સંકલનને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ:
$\int \frac{d x}{\sqrt{\sin ^4 x \cdot \frac{\cos x}{\sin x}}} = \int \frac{d x}{\sin ^2 x \sqrt{\cot x}}$
આનું સાદું રૂપ નીચે મુજબ છે:
$\int \operatorname{cosec}^2 x \cdot (\cot x)^{-1/2} d x$
ધારો કે $t = \cot x$,તેથી $dt = -\operatorname{cosec}^2 x d x$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{cosec}^2 x d x = -dt$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા:
$\int -t^{-1/2} dt = -\frac{t^{1/2}}{1/2} + c = -2\sqrt{t} + c$
હવે $t = \cot x$ પાછું મૂકતા:
$-2\sqrt{\cot x} + c = -\frac{2}{\sqrt{\tan x}} + c$
તેથી,$g(x) = -\frac{2}{\sqrt{\tan x}}$.

(B) આપેલ લક્ષને રીમાન સરવાળા તરીકે દર્શાવી શકાય છે:
$S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5} = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,આ $\int_0^1 \frac{x^4}{x^5+1} dx$ બરાબર છે.
ધારો કે $t = x^5 + 1$,તો $dt = 5x^4 dx$,અથવા $x^4 dx = \frac{dt}{5}$.
જ્યારે $x=0, t=1$. જ્યારે $x=1, t=2$.
આમ,સંકલન $\int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\log |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{5} \log 2$ થાય છે.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = y + x e^{y/x}$ છે.
$x$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + e^{y/x}$ મળે છે.
આ એક સુરેખ સમઘાત વિકલ સમીકરણ છે. ધારો કે $y = vx$,તો $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $v + x \frac{dv}{dx} = v + e^v$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $x \frac{dv}{dx} = e^v$ અથવા $e^{-v} dv = \frac{1}{x} dx$ મળે છે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int e^{-v} dv = \int \frac{1}{x} dx$,જે $-e^{-v} = \log x + c$ આપે છે.
$v = y/x$ મૂકતા,આપણને $-e^{-y/x} = \log x + c$ મળે છે.
શરત $y(1) = 0$ આપેલ છે,તેથી $x = 1$ અને $y = 0$ મૂકતા: $-e^0 = \log 1 + c$,જેનો અર્થ છે કે $-1 = 0 + c$,તેથી $c = -1$.
આમ,$-e^{-y/x} = \log x - 1$,જેનું સાદું રૂપ $e^{-y/x} + \log x = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$\hat{d} = \frac{1}{x}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c}) \implies x\hat{d} = \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} \implies \hat{a} + \hat{b} + \hat{c} - x\hat{d} = 0$.
તે જ રીતે,$\hat{d} = \frac{1}{y}(\hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) \implies y\hat{d} = \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} \implies \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} - y\hat{d} = 0$.
કારણ કે $\hat{a}, \hat{b}, \hat{c}$ અસમતલીય છે,તેઓ સુરેખ રીતે સ્વતંત્ર છે.
આપેલ સમીકરણો પરથી આપણે તારણ કાઢી શકીએ કે $\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d} = 0$.
તેથી,$\frac{1}{xy}(\hat{a} + \hat{b} + \hat{c} + \hat{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(C) આપેલ સદિશો $\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}$,$\vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$,અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$ છે.
પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6 \hat{i} - 3x \hat{j} + xy \hat{k}$.
આપેલ છે કે $\vec{a} \times \vec{b} = z \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા,$z=6$,$3x=3 \Rightarrow x=1$,અને $xy=1 \Rightarrow y=1$ મળે છે.
હવે,અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ થાય.
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (x \hat{i} + y \hat{j} + z \hat{k})$.
$x=1, y=1, z=6$ મૂકતા:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = (6 \hat{i} - 3 \hat{j} + \hat{k}) \cdot (1 \hat{i} + 1 \hat{j} + 6 \hat{k}) = (6)(1) + (-3)(1) + (1)(6) = 6 - 3 + 6 = 9$.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(3,4,5), B(4,6,3), C(-1,2,4)$ અને $D(1,0,5)$ છે.
રેખા $DC$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_C - x_D, y_C - y_D, z_C - z_D) = (-1-1, 2-0, 4-5) = (-2, 2, -1)$ છે.
રેખા $AB$ ના દિકગુણોત્તરો $(x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $DC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે. $\cos \theta$ માટેનું સૂત્ર:
$\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{|(-2)(1) + (2)(2) + (-1)(-2)|}{\sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} \sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2}}$
$\cos \theta = \frac{|-2 + 4 + 2|}{\sqrt{4 + 4 + 1} \sqrt{1 + 4 + 4}}$
$\cos \theta = \frac{4}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(D) આપેલ સમીકરણો $2l + m + 2n = 0$ $(1)$ અને $3l^2 + 5m^2 - 11n^2 = 0$ $(2)$ છે.
$(1)$ પરથી,$m = -2l - 2n$.
$m$ ની કિંમત $(2)$ માં મૂકતા: $3l^2 + 5(-2l - 2n)^2 - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 5(4l^2 + 8ln + 4n^2) - 11n^2 = 0$.
$3l^2 + 20l^2 + 40ln + 20n^2 - 11n^2 = 0$.
$23l^2 + 40ln + 9n^2 = 0$.
$n^2$ વડે ભાગતા: $23(\frac{l}{n})^2 + 40(\frac{l}{n}) + 9 = 0$.
ધારો કે $x = \frac{l}{n}$. તો $23x^2 + 40x + 9 = 0$.
ધારો કે બીજ $x_1 = \frac{l_1}{n_1}$ અને $x_2 = \frac{l_2}{n_2}$ છે.
તો $x_1 x_2 = \frac{l_1 l_2}{n_1 n_2} = \frac{9}{23}$.
તે જ રીતે,$l = -\frac{m+2n}{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા $23m^2 + 12mn - 32n^2 = 0$ મળે છે.
$n^2$ વડે ભાગતા,$23(\frac{m}{n})^2 + 12(\frac{m}{n}) - 32 = 0$.
ધારો કે $y_1 = \frac{m_1}{n_1}$ અને $y_2 = \frac{m_2}{n_2}$. તો $y_1 y_2 = \frac{m_1 m_2}{n_1 n_2} = -\frac{32}{23}$.
બે રેખાઓ માટે જેમની દિકગુણોત્તર $(l_1, m_1, n_1)$ અને $(l_2, m_2, n_2)$ હોય,$\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$.
$l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2 = n_1 n_2 (x_1 x_2 + y_1 y_2 + 1) = n_1 n_2 (\frac{9}{23} - \frac{32}{23} + 1) = n_1 n_2 (\frac{-23}{23} + 1) = 0$.
આમ,$\cos \theta = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2}$.

(C) આપેલ છે કે,દ્વિપદી ચલનો મધ્યક $np = 8$ અને વિચરણ $npq = 4$ છે.
$\therefore q = \frac{npq}{np} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$.
$p = 1 - q$ હોવાથી,$p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$np = 8$ માં $p = \frac{1}{2}$ મૂકતા,$n \times \frac{1}{2} = 8$,તેથી $n = 16$.
આપણે $P(X < 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(X=k) = {}^{n}C_{k} p^{k} q^{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(X=0) = {}^{16}C_{0} (\frac{1}{2})^{0} (\frac{1}{2})^{16} = 1 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{1}{2^{16}}$.
$P(X=1) = {}^{16}C_{1} (\frac{1}{2})^{1} (\frac{1}{2})^{15} = 16 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{16}{2^{16}}$.
$P(X=2) = {}^{16}C_{2} (\frac{1}{2})^{2} (\frac{1}{2})^{14} = \frac{16 \times 15}{2} \times \frac{1}{2^{16}} = 120 \times \frac{1}{2^{16}} = \frac{120}{2^{16}}$.
તેથી,$P(X < 3) = \frac{1 + 16 + 120}{2^{16}} = \frac{137}{2^{16}}$.

(B) આપેલ છે કે,$f: [-2, 2] \rightarrow R$ એ $[-2, 2]$ પર સતત છે.
$f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,$\lim_{x \rightarrow 0^{-}} f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} f(x) = f(0)$ થવું જોઈએ.
પ્રથમ,$x = 0$ આગળ $LHL$ શોધો:
$LHL = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sqrt{1 + cx} - \sqrt{1 - cx}}{x}$
અંશનું સંમેયીકરણ કરતા:
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(\sqrt{1 + cx} - \sqrt{1 - cx})(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{(1 + cx) - (1 - cx)}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})}$
$= \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2cx}{x(\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx})} = \lim_{x \rightarrow 0^{-}} \frac{2c}{\sqrt{1 + cx} + \sqrt{1 - cx}}$
$= \frac{2c}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} = \frac{2c}{2} = c$.
હવે,$x = 0$ આગળ $RHL$ શોધો:
$RHL = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x + 3}{x + 1} = \frac{0 + 3}{0 + 1} = 3$.
વિધેય $x = 0$ આગળ સતત હોવાથી,$LHL = RHL$.
તેથી,$c = 3$.

(D) આપેલ પદ એ $x = 1$ આગળ $f(x)$ ના વિકલન (derivative) ની વ્યાખ્યા છે,એટલે કે $f'(1)$.
આપેલ છે $f(x) = x \tan^{-1} x$.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)$.
$f'(x) = 1 \cdot \tan^{-1} x + x \cdot \frac{1}{1 + x^2} = \tan^{-1} x + \frac{x}{1 + x^2}$.
હવે,$x = 1$ મુકતા:
$f'(1) = \tan^{-1}(1) + \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{\pi}{4} + \frac{1}{2}$.
$f'(1) = \frac{\pi}{4} + \frac{2}{4} = \frac{\pi + 2}{4}$.

(D) આપેલ વક્રો $y=x^2+1$ અને $y=2x-2$ છે.
આ પ્રદેશ શિરોલંબ રેખાઓ $x=-1$ અને $x=2$ દ્વારા ઘેરાયેલ છે.
અંતરાલ $[-1, 2]$ માટે,આપણે ચકાસીએ કે વક્રો છેદે છે કે નહીં. $x^2+1 = 2x-2$ લેતા,આપણને $x^2-2x+3=0$ મળે છે. વિવેચક $D = (-2)^2 - 4(1)(3) = 4-12 = -8 < 0$. આમ,કોઈ છેદબિંદુ નથી,અને તમામ $x$ માટે $x^2+1 > 2x-2$ છે.
જરૂરી ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} [(x^2+1) - (2x-2)] \, dx$
$\text{Area} = \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3) \, dx$
$\text{Area} = \left[ \frac{x^3}{3} - x^2 + 3x \right]_{-1}^{2}$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} - 4 + 6 \right) - \left( \frac{-1}{3} - 1 - 3 \right)$
$\text{Area} = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 4 \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} - \left( -\frac{13}{3} \right)$
$\text{Area} = \frac{14}{3} + \frac{13}{3} = \frac{27}{3} = 9$ ચોરસ એકમ.

(C) આપેલ છે કે,$a^2+b^2+c^2+d^2=1$ અને $A=\left[\begin{array}{cc}a+ib & c+id \\ -c+id & a-ib\end{array}\right]$.
પ્રથમ,આપણે નિશ્ચાયક $|A|$ ની ગણતરી કરીએ:
$|A| = (a+ib)(a-ib) - (c+id)(-c+id)$
$|A| = (a^2 - (ib)^2) - ((id)^2 - c^2)$
$|A| = (a^2 + b^2) - (-d^2 - c^2) = a^2+b^2+c^2+d^2 = 1$.
કારણ કે $|A|=1$,વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ એ એડજોઈન્ટ મેટ્રિક્સ $\text{adj}(A)$ દ્વારા મળે છે:
$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A) = \frac{1}{1} \left[\begin{array}{cc}a-ib & -(c+id) \\ -(-c+id) & a+ib\end{array}\right]$
$A^{-1} = \left[\begin{array}{cc}a-ib & -c-id \\ c-id & a+ib\end{array}\right]$.

(B) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & 3 & 2 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \\ 6 & 8 & 7 & \alpha \end{bmatrix}$ છે.
હારની પ્રક્રિયાઓ $R_2 \rightarrow R_2 - 2R_1$,$R_3 \rightarrow R_3 - 3R_1$,અને $R_4 \rightarrow R_4 - 2R_3$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 4 & 5 & \alpha - 6 \end{bmatrix}$.
$R_4 \rightarrow R_4 + R_3$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & -3 & \alpha - 3 \end{bmatrix}$.
$R_4 \rightarrow R_4 - R_2$ લાગુ પાડતા:
$A \sim \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & -3 & 2 \\ 0 & -4 & -8 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \alpha - 5 \end{bmatrix}$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક (rank) $3$ હોવાથી,છેલ્લી હાર શૂન્ય હાર હોવી જોઈએ.
તેથી,$\alpha - 5 = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 5$.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} k & k\alpha & \alpha \\ 0 & \alpha & k\alpha \\ 0 & 0 & k \end{bmatrix}$ છે.
$A$ એ ઉપલા ત્રિકોણીય શ્રેણિક હોવાથી,તેનો નિશ્ચાયક તેના વિકર્ણ ઘટકોનો ગુણાકાર છે:
$|A| = k \times \alpha \times k = \alpha k^2$.
આપણને આપેલ છે કે $|A^2| = k^2$.
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મ $|A^2| = |A|^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|A|^2 = k^2$.
$|A|$ ની કિંમત મૂકતા:
$(\alpha k^2)^2 = k^2$.
$\alpha^2 k^4 = k^2$.
$k > 1$ હોવાથી,બંને બાજુ $k^4$ વડે ભાગતા:
$\alpha^2 = \frac{k^2}{k^4} = \frac{1}{k^2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$|\alpha| = \sqrt{\frac{1}{k^2}} = \frac{1}{k}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y + \tan^{-1} z = \pi$.
ત્રણ ઇન્વર્સ ટેન્જેન્ટના સરવાળા માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan^{-1} \left( \frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} \right) = \pi$.
બંને બાજુ ટેન્જેન્ટ લેતા:
$\frac{x+y+z-xyz}{1-(xy+yz+zx)} = \tan(\pi) = 0$.
અહીં છેદ $1-(xy+yz+zx) \neq 0$ છે (કારણ કે $xy+yz+zx < 1$ આપેલ છે),તેથી અંશ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$x+y+z-xyz = 0$.
તેથી,$x+y+z = xyz$.

(D) ધારો કે $y = f(x) = \frac{2+x}{2-x}$.
$y(2-x) = 2+x$
$2y - xy = 2 + x$
$2y - 2 = x + xy$
$2(y-1) = x(1+y)$
$x = \frac{2(y-1)}{y+1}$.
$x$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય તે માટે છેદ $y+1 \neq 0$ હોવો જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $y \neq -1$.
આમ,$f(x)$ નો વિસ્તાર $R - \{-1\}$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એ $f(x) = \begin{cases} x & \text{જો } x \in Q \\ 1-x & \text{જો } x \notin Q \end{cases}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે.
આપણે ગણ $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ શોધવાનો છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \in Q$ હોય,તો $f(x) = x$. કારણ કે $x \in [0,1]$ અને $x$ સંમેય છે,તેથી $f(x) \in Q$. આમ,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x) = x$. આ તમામ $x \in Q \cap [0,1]$ માટે સાચું છે.
કિસ્સો $2$: જો $x \notin Q$ હોય,તો $f(x) = 1-x$. કારણ કે $x$ અસંમેય છે અને $x \in [0,1]$,તેથી $1-x$ પણ અસંમેય છે અને $1-x \in [0,1]$. આમ,$(f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(1-x) = 1-(1-x) = x$. આ તમામ $x \in [0,1] \setminus Q$ માટે સાચું છે.
આમ,તમામ $x \in [0,1]$ માટે $(f \circ f)(x) = x$ હોવાથી,ગણ $S$ એ સંપૂર્ણ અંતરાલ $[0,1]$ છે.

(D) આપેલ છે,$y=\tan ^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+a^2 x^2}-1}{a x}\right)$.
$ax = \tan \theta$ લેતા,તેથી $\theta = \tan^{-1}(ax)$.
$y = \tan^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right) = \tan^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right) = \frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \tan^{-1}(ax)$.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y' = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1+(ax)^2} \cdot a = \frac{a}{2(1+a^2x^2)}$.
તેથી,$2(1+a^2x^2)y' = a$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા (ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને):
$2[(1+a^2x^2)y'' + y'(2a^2x)] = 0$.
$(1+a^2x^2)y'' + 2a^2xy' = 0$.

(C) આપેલ છે કે,$f(x)=\sqrt{x-2}$ જ્યાં $x \in [2,6]$.
લેગ્રાન્જના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,કોઈક $c \in (2,6)$ એવું મળે કે જેથી $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ થાય.
અહીં,$a=2$ અને $b=6$ છે.
$f(a) = f(2) = \sqrt{2-2} = 0$.
$f(b) = f(6) = \sqrt{6-2} = \sqrt{4} = 2$.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sqrt{x-2}) = \frac{1}{2\sqrt{x-2}}$.
તેથી,$f'(c) = \frac{1}{2\sqrt{c-2}}$.
આ કિંમતોને પ્રમેયના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{2-0}{6-2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2\sqrt{c-2}} = \frac{1}{2}$.
$\sqrt{c-2} = 1$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$c-2 = 1$,જે આપણને $c = 3$ આપે છે.
કારણ કે $3 \in (2,6)$,તેથી $c$ ની કિંમત $3$ છે.

(C) ધારો કે $I = \int \frac{x^2-1}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx$.
જમણી બાજુના પદનું વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} \left( A \tan^{-1} \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}} \right) = A \cdot \frac{1}{1 + \frac{x^2+x+1}{x}} \cdot \frac{d}{dx} \left( \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}} \right)$.
$= A \cdot \frac{x}{x^2+2x+1} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}} \cdot \left( \frac{x(2x+1) - (x^2+x+1)}{x^2} \right)$.
$= A \cdot \frac{x}{(x+1)^2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x^2+x+1}} \cdot \left( \frac{2x^2+x-x^2-x-1}{x^2} \right)$.
$= A \cdot \frac{x}{(x+1)^2} \cdot \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x^2+x+1}} \cdot \frac{x^2-1}{x^2}$.
$= A \cdot \frac{x^2-1}{2(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}}$.
આપેલ સંકલન સાથે સરખાવતા,$\frac{A}{2} = 1$,તેથી $A = 2$ મળે છે.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x(1-x)}} = \int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x} \sqrt{1-x}}$.
$\sqrt{x} = t$ લેતા,$x = t^2$ અને $dx = 2t \, dt$ મળે.
તેથી $I = \int \frac{2t \, dt}{(1+t) t \sqrt{1-t^2}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t) \sqrt{(1-t)(1+t)}} = 2 \int \frac{dt}{(1+t)^{3/2} (1-t)^{1/2}}$.
આપેલ સ્વરૂપનું વિકલન કરતા,આપણને $A=2$ અને $B=-2$ મળે છે.
તેથી,$A+B = 2 + (-2) = 0$.

(A) આપેલ છે $I_n = \int \tan^n x \, dx$.
આપણે આને આ રીતે લખી શકીએ:
$I_n = \int \tan^{n-2} x \cdot \tan^2 x \, dx$
$I_n = \int \tan^{n-2} x (\sec^2 x - 1) \, dx$
$I_n = \int \tan^{n-2} x \sec^2 x \, dx - \int \tan^{n-2} x \, dx$
આદેશ $u = \tan x$ લેતા,$du = \sec^2 x \, dx$,તેથી પ્રથમ સંકલન $\int u^{n-2} \, du = \frac{u^{n-1}}{n-1} = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1}$ બને છે.
આમ,$I_n = \frac{\tan^{n-1} x}{n-1} - I_{n-2}$.
આને આપેલ સ્વરૂપ $I_n = \frac{1}{a} \tan^{n-1} x - b I_{n-2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{a} = \frac{1}{n-1} \implies a = n-1$
$b = 1$
તેથી,ક્રમયુક્ત જોડ $(a, b) = (n-1, 1)$ છે.

(B) આપેલ લક્ષ $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{r^5+n^5}$ છે.
આપણે તેને $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r^4}{n^5( (r/n)^5 + 1 )} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{(r/n)^4}{(r/n)^5 + 1}$ તરીકે લખી શકીએ.
નિશ્ચિત સંકલનની વ્યાખ્યા મુજબ,$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} f(r/n) = \int_0^1 f(x) dx$.
અહીં,$f(x) = \frac{x^4}{x^5 + 1}$.
તેથી,$S = \int_0^1 \frac{x^4}{x^5 + 1} dx$.
ધારો કે $t = x^5 + 1$,તો $dt = 5x^4 dx$,અથવા $x^4 dx = \frac{dt}{5}$.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે $t = 1$. જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = 2$.
$S = \int_1^2 \frac{1}{t} \cdot \frac{dt}{5} = \frac{1}{5} [\ln |t|]_1^2 = \frac{1}{5} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{5} \ln 2$.

(D) ધારો કે $I = \int_0^{\pi/6} \cos^4 3\theta \sin^2 6\theta \, d\theta$.
$3\theta = t$ લેતા,$d\theta = \frac{dt}{3}$.
જ્યારે $\theta = 0, t = 0$ અને જ્યારે $\theta = \pi/6, t = \pi/2$.
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t \sin^2 2t \, dt$.
$\sin 2t = 2 \sin t \cos t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^4 t (2 \sin t \cos t)^2 \, dt = \frac{4}{3} \int_0^{\pi/2} \cos^6 t \sin^2 t \, dt$.
વોલિસના સૂત્ર (Wallis's Formula) નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{4}{3} \left[ \frac{(2-1)!!(6-1)!!}{(2+6)!!} \cdot \frac{\pi}{2} \right] = \frac{4}{3} \left[ \frac{1 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 1}{8 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right]$.
$I = \frac{4}{3} \cdot \frac{15}{384} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{5\pi}{192}$.

(C) $(0,-1)$ પર શિરોબિંદુ અને $Y$-અક્ષ પર અક્ષ ધરાવતા પરવલયોના કુળનું સમીકરણ $x^2 = 4a(y+1)$ $(i)$ છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2x = 4a y^{\prime}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = \frac{x}{2y^{\prime}}$.
સમીકરણ $(i)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $x^2 = 4 \left( \frac{x}{2y^{\prime}} \right) (y+1)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $x = \frac{2(y+1)}{y^{\prime}}$ મળે છે.
આમ,$x y^{\prime} = 2y + 2$,અથવા $x y^{\prime} - 2y - 2 = 0$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\cos y + (x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = 0$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,$(x \sin y - 1) \frac{dy}{dx} = -\cos y$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$\frac{dx}{dy} = -\frac{x \sin y - 1}{\cos y} = -x \tan y + \sec y$ મળે.
આને $\frac{dx}{dy} + x \tan y = \sec y$ તરીકે લખી શકાય.
આ $\frac{dx}{dy} + Px = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \tan y$ અને $Q = \sec y$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dy} = e^{\int \tan y dy} = e^{\ln |\sec y|} = \sec y$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $x(IF) = \int Q(IF) dy + C$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$x \sec y = \int \sec y \cdot \sec y dy + C$.
$x \sec y = \int \sec^2 y dy + C$.
$x \sec y = \tan y + C$.

(A) આપેલ છે કે $\vec{a}+3\vec{b}$ એ $\vec{c}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,$\vec{a}+3\vec{b} = \lambda\vec{c}$ કોઈ અદિશ $\lambda$ માટે.
આ સૂચવે છે કે $\vec{a}+3\vec{b}-\lambda\vec{c} = 0$ $(i)$
વળી,$3\vec{b}+2\vec{c}$ એ $\vec{a}$ સાથે સમરેખ છે.
તેથી,$3\vec{b}+2\vec{c} = \mu\vec{a}$ કોઈ અદિશ $\mu$ માટે.
આ સૂચવે છે કે $3\vec{b}+2\vec{c}-\mu\vec{a} = 0$ $(ii)$
$(i)$ પરથી,આપણી પાસે $3\vec{b} = \lambda\vec{c} - \vec{a}$ છે.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$(\lambda\vec{c} - \vec{a}) + 2\vec{c} - \mu\vec{a} = 0$
$(\lambda+2)\vec{c} - (1+\mu)\vec{a} = 0$
કારણ કે $\vec{a}$ અને $\vec{c}$ અસમરેખ છે,તેથી તેમના સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ.
આમ,$\lambda+2 = 0 \implies \lambda = -2$ અને $1+\mu = 0 \implies \mu = -1$.
$\lambda = -2$ ને $(i)$ માં મૂકતા:
$\vec{a}+3\vec{b} = -2\vec{c}$
$\vec{a}+3\vec{b}+2\vec{c} = 0$

(C) આપેલ છે કે,$\vec{d} = \frac{1}{x}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) \implies \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = x\vec{d}$.
તેમજ,$\vec{d} = \frac{1}{y}(\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) \implies \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = y\vec{d}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) - (\vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = x\vec{d} - y\vec{d}$.
આથી $\vec{a} - \vec{d} = (x - y)\vec{d}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{a} = (x - y + 1)\vec{d}$.
કારણ કે $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અસમતલીય છે,તેથી $\vec{d}$ એ આ સદિશોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ.
આપેલ સમીકરણો પરથી,આપણે તારવી શકીએ કે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = 0$ એ શરત છે જે અસમતલીય સદિશો માટે સંતોષાય છે.
તેથી,$\frac{1}{xy}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{xy}(0) = 0$.

(A) આપેલ રેખાઓ $\vec{r} = \vec{a} + \lambda \vec{b}$ સ્વરૂપમાં છે.
પ્રથમ રેખા માટે,દિશા સદિશ $\vec{b_1} = \hat{i} + 4 \hat{j} + 3 \hat{k}$ છે.
બીજી રેખા માટે,દિશા સદિશ $\vec{b_2} = \hat{i} + 2 \hat{j} - 3 \hat{k}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(1) + (4)(2) + (3)(-3) = 1 + 8 - 9 = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = \cos^{-1}(0) = \frac{\pi}{2}$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે,$|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3$ અને $|\vec{c}|=4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $|\vec{x}-\vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$.
તેથી,$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 = (|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2-2\vec{a} \cdot \vec{b}) + (|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2-2\vec{b} \cdot \vec{c}) + (|\vec{c}|^2+|\vec{a}|^2-2\vec{c} \cdot \vec{a})$.
$= 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})^2 \geq 0$,જેનો અર્થ છે કે $|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq 0$.
તેથી,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) \geq -(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
આ કિંમતને આપણા સમીકરણમાં મૂકતા:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 2(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2) - (-(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)) = 3(|\vec{a}|^2+|\vec{b}|^2+|\vec{c}|^2)$.
માન મૂકતા:
$|\vec{a}-\vec{b}|^2+|\vec{b}-\vec{c}|^2+|\vec{c}-\vec{a}|^2 \leq 3(2^2+3^2+4^2) = 3(4+9+16) = 3(29) = 87$.
આમ,શ્રેષ્ઠ ઉપલી સીમા $87$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$\vec{a}=x \hat{i}+2 \hat{j}, \vec{b}=y \hat{j}+3 \hat{k}$ અને $\vec{c}=x \hat{i}+y \hat{j}+z \hat{k}$.
સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ નીચે મુજબ મળે:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ x & 2 & 0 \\ 0 & y & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-0) - \hat{j}(3x-0) + \hat{k}(xy-0) = 6\hat{i} - 3x\hat{j} + xy\hat{k}$.
આને આપેલ $\vec{a} \times \vec{b} = z\hat{i} - 3\hat{j} + \hat{k}$ સાથે સરખાવતા:
$6 = z$,$-3x = -3 \Rightarrow x = 1$,અને $xy = 1$.
$x=1$ હોવાથી,$1 \cdot y = 1 \Rightarrow y = 1$.
તેથી,$\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j}$,$\vec{b} = \hat{j} + 3\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + \hat{j} + 6\hat{k}$.
અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]$ એ $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ના ઘટકોનો નિશ્ચાયક છે:
$[\vec{a} \vec{b} \vec{c}] = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 6 \end{vmatrix} = 1(6-3) - 2(0-3) + 0(0-1) = 3 + 6 = 9$.

(B) દિશા ગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2=m^2+n^2$ છે.
$l+m+n=0$ પરથી,આપણને $l=-(m+n)$ મળે છે.
આ કિંમતને $l^2=m^2+n^2$ માં મૂકતા,$(-(m+n))^2 = m^2+n^2$ મળે છે.
$m^2+n^2+2mn = m^2+n^2$,જેનો અર્થ છે કે $2mn=0$,તેથી $mn=0$.
આનાથી બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $m=0$. તો $l=-n$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, 0, -k)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ છે.
કિસ્સો $II$: $n=0$. તો $l=-m$. ધારો કે દિશા ગુણોત્તરો $(k, -k, 0)$ છે. એકમ સદિશ $(\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$ છે.
ધારો કે $\vec{a} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, 0, -\frac{1}{\sqrt{2}})$ અને $\vec{b} = (\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}, 0)$.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |\vec{a} \cdot \vec{b}|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{2}})(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (0)(-\frac{1}{\sqrt{2}}) + (-\frac{1}{\sqrt{2}})(0)| = |\frac{1}{2} + 0 + 0| = \frac{1}{2}$.
તેથી $\cos \theta = \frac{1}{2}$,એટલે કે $\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) દિકકોસાઇન $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m+n=0$ --- $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ --- $(ii)$
$(i)$ પરથી,$n = -(l+m)$.
આ કિંમત $(ii)$ માં મૂકતા:
$l^2 + m^2 - (-(l+m))^2 = 0$
$l^2 + m^2 - (l^2 + m^2 + 2lm) = 0$
$-2lm = 0 \Rightarrow lm = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $l=0$ અથવા $m=0$.
કિસ્સો $1$: જો $l=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$m+n=0 \Rightarrow m=-n$. ધારો કે $m=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(0, 1, -1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=0$ હોય,તો $(i)$ પરથી,$l+n=0 \Rightarrow l=-n$. ધારો કે $l=1$,તો $n=-1$. દિકગુણોત્તર $(1, 0, -1)$ મળે છે.
ધારો કે બે સદિશો $\vec{a} = 0\hat{i} + 1\hat{j} - 1\hat{k}$ અને $\vec{b} = 1\hat{i} + 0\hat{j} - 1\hat{k}$ છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (0)(1) + (1)(0) + (-1)(-1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) રેખા $AB$ ના દિક્-ગુણોત્તર (DRs) $(x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1) = (4-3, 6-4, 3-5) = (1, 2, -2)$ છે.
રેખા $DC$ ના દિક્-ગુણોત્તર (DRs) $(x_4-x_3, y_4-y_3, z_4-z_3) = (1-(-1), 0-2, 5-4) = (2, -2, 1)$ છે.
ધારો કે રેખાઓ $AB$ અને $DC$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
$\cos \theta$ માટેનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\cos \theta = \frac{|(1)(2) + (2)(-2) + (-2)(1)|}{\sqrt{1^2 + 2^2 + (-2)^2} \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2}}$.
$\cos \theta = \frac{|2 - 4 - 2|}{\sqrt{1 + 4 + 4} \sqrt{4 + 4 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{9} \sqrt{9}} = \frac{4}{3 \times 3} = \frac{4}{9}$.

(D) દિકકોસાઇન $l, m, n$ માટે આપેલ સમીકરણો:
$l+m+n=0 \implies n = -(l+m)$
$n$ ની કિંમત $l^2-5m^2+n^2=0$ માં મૂકતા:
$l^2-5m^2+(-l-m)^2=0$
$l^2-5m^2+l^2+2lm+m^2=0$
$2l^2+2lm-4m^2=0$
$l^2+lm-2m^2=0$
$(l+2m)(l-m)=0$
કિસ્સો $1$: $l=m$. તો $n = -(l+m) = -2l$. દિકગુણોત્તર $(l, l, -2l)$ એટલે કે $(1, 1, -2)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_1, m_1, n_1) = (\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, -\frac{2}{\sqrt{6}})$.
કિસ્સો $2$: $l=-2m$. તો $n = -(-2m+m) = m$. દિકગુણોત્તર $(-2m, m, m)$ એટલે કે $(-2, 1, 1)$ મળે.
પ્રમાણિત દિકકોસાઇન $(l_2, m_2, n_2) = (-\frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{1}{\sqrt{6}})$.
ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન $\cos \theta = |l_1 l_2 + m_1 m_2 + n_1 n_2|$ દ્વારા મળે છે.
$\cos \theta = |(\frac{1}{\sqrt{6}})(-\frac{2}{\sqrt{6}}) + (\frac{1}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}}) + (-\frac{2}{\sqrt{6}})(\frac{1}{\sqrt{6}})|$
$\cos \theta = |-\frac{2}{6} + \frac{1}{6} - \frac{2}{6}| = |-\frac{3}{6}| = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(C) આપેલ સમીકરણો $l+m+n=0$ અને $l^2+m^2-n^2=0$ છે.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$l = -(m+n)$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $(-m-n)^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$m^2 + 2mn + n^2 + m^2 - n^2 = 0$.
$2m^2 + 2mn = 0 \Rightarrow 2m(m+n) = 0$.
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
કિસ્સો $1$: $m=0$. તો $l = -n$. દિક્ગુણોત્તર $(-1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: $m = -n$. તો $l = 0$. દિક્ગુણોત્તર $(0, -1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓ સદિશ $\vec{a} = -\hat{i} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = -\hat{j} + \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ એ $\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ દ્વારા મળે છે.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1)(0) + (0)(-1) + (1)(1) = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$|\vec{b}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = \frac{\pi}{3}$.

(A) ધારો કે $S$ સફળતા (પાસ) અને $F$ નિષ્ફળતા (નાપાસ) દર્શાવે છે. પ્રથમ કસોટી પાસ કરવાની સંભાવના $P(S_1) = p$ છે,તેથી $P(F_1) = 1-p$.
ત્યારબાદની કસોટીઓ માટે,$P(S_{n+1} | S_n) = p$ અને $P(S_{n+1} | F_n) = \frac{p}{2}$.
ઉમેદવાર ઓછામાં ઓછી બે કસોટી પાસ કરે તો પસંદ થાય છે. શક્ય પરિણામો $(S, S, S), (S, S, F), (S, F, S), (F, S, S)$ છે.
$P(S, S, S) = p \times p \times p = p^3$.
$P(S, S, F) = p \times p \times (1-p) = p^2(1-p)$.
$P(S, F, S) = p \times (1-p) \times \frac{p}{2} = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
$P(F, S, S) = (1-p) \times \frac{p}{2} \times p = \frac{p^2(1-p)}{2}$.
કુલ સંભાવના: $p^3 + p^2(1-p) + p^2(1-p) = p^3 + 2p^2 - 2p^3 = 2p^2 - p^3 = p^2(2-p)$.

(B) સંભાવના વિતરણ માટે,બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ:
$\Sigma P(X=x) = K + 2K + 3K + 2K + K = 9K = 1$
$\therefore K = \frac{1}{9}$
મધ્યક $E(X) = \Sigma x_i P(x_i) = (1 \times K) + (2 \times 2K) + (3 \times 3K) + (4 \times 2K) + (5 \times K)$
$= K + 4K + 9K + 8K + 5K = 27K = 27 \times \frac{1}{9} = 3$
$E(X^2) = \Sigma x_i^2 P(x_i) = (1^2 \times K) + (2^2 \times 2K) + (3^2 \times 3K) + (4^2 \times 2K) + (5^2 \times K)$
$= K + 8K + 27K + 32K + 25K = 93K = 93 \times \frac{1}{9} = \frac{93}{9} = \frac{31}{3}$
વિચરણ $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$
$= \frac{31}{3} - (3)^2 = \frac{31}{3} - 9 = \frac{31 - 27}{3} = \frac{4}{3}$