AP EAMCET 2014 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $2m$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ વેગ $u \cos \theta$ હોય છે.
આમ,વિસ્ફોટ પહેલાં ગોળાનું વેગમાન $P = (2m)(u \cos \theta)$ છે.
વિસ્ફોટ પછી,ગોળો દરેક $m$ દળના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થાય છે.
એક ભાગ તેનો માર્ગ પાછો ખેંચે છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો વેગ $v_1 = -u \cos \theta$ છે.
ધારો કે બીજા ભાગનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$2m u \cos \theta = m v_1 + m v_2$
$2m u \cos \theta = m(-u \cos \theta) + m v_2$
$2m u \cos \theta = -m u \cos \theta + m v_2$
$m v_2 = 3m u \cos \theta \Rightarrow v_2 = 3u \cos \theta$.
પ્રથમ ભાગની ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} m v_1^2 = \frac{1}{2} m (-u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા ભાગની ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (3u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2} m (9 u^2 \cos^2 \theta) = 9 \left( \frac{1}{2} m u^2 \cos^2 \theta \right)$ છે.
તેથી,$E_2 = 9 E_1$.

(C) પ્રકૃતિમાં ચાર મૂળભૂત બળોની સાપેક્ષ શક્તિઓ,જેમાં સૌથી મજબૂત (પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ) ને $1$ તરીકે લેવામાં આવે છે,તે નીચે મુજબ છે:
$(A)$ પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $= 1$ ($f$ સાથે જોડાય છે)
$(B)$ નિર્બળ ન્યુક્લિયર બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-13}$ ($h$ સાથે જોડાય છે)
$(C)$ વિદ્યુતચુંબકીય બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-2}$ ($e$ સાથે જોડાય છે)
$(D)$ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ: સાપેક્ષ શક્તિ $\approx 10^{-39}$ ($i$ સાથે જોડાય છે)
તેથી,સાચી જોડ $A-f, B-h, C-e, D-i$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{n R T}{\gamma-1}$ છે.
અહીં $n = 1$ મોલ હોવાથી,$U = \frac{R T}{\gamma-1}$ થાય.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $p V = R T$ મુજબ,$U = \frac{p V}{\gamma-1}$ લખી શકાય.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $p V_i = p V$,તેથી $U_i = \frac{p V}{\gamma-1}$.
અંતિમ સ્થિતિ: $p V_f = p(2V) = 2 p V$,તેથી $U_f = \frac{2 p V}{\gamma-1}$.
તેથી,$\Delta U = \frac{2 p V}{\gamma-1} - \frac{p V}{\gamma-1} = \frac{p V}{\gamma-1}$.

(B) ધારો કે $T$ એ દોરીમાં રહેલું તણાવ બળ છે અને $F$ એ દળને સંતુલનમાં રાખવા માટે લગાડવામાં આવેલું સમક્ષિતિજ બળ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,દળ પર લાગતા બળો સંતુલિત થાય છે:
$1$. શિરોલંબ દિશામાં: $T \cos \theta = M g$ (જ્યાં $\theta = 60^{\circ}$)
$2$. સમક્ષિતિજ દિશામાં: $F = T \sin \theta$
સમક્ષિતિજ બળના સમીકરણને શિરોલંબ બળના સમીકરણ વડે ભાગતા:
$\frac{F}{M g} = \frac{T \sin \theta}{T \cos \theta} = \tan \theta$
$F = M g \tan \theta$
અહીં $\theta = 60^{\circ}$ આપેલ હોવાથી:
$F = M g \tan 60^{\circ} = M g \sqrt{3}$

(A) એકમ કદ દીઠ સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $(u)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$u = \frac{1}{2} \times \text{stress} \times \text{strain} = \frac{1}{2} \times \frac{F}{A} \times \frac{F}{AY} = \frac{F^2}{2A^2Y}$
અહીં બળ $(F)$,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અને લંબાઈ $(l)$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી:
$u \propto \frac{1}{A^2} \propto \frac{1}{d^4}$
આપેલ વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1 : d_2 = 1:2$ છે,તેથી એકમ કદ દીઠ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{u_1}{u_2} = \left( \frac{d_2}{d_1} \right)^4 = \left( \frac{2}{1} \right)^4 = \frac{16}{1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $16:1$ થશે.

(D) પ્રવેગ $a$ એ $a = v \frac{dv}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ આલેખ પરથી,વેગ $v$ એ સ્થાનાંતર $x$ નું સુરેખ વિધેય છે.
અંતરાલ $0 \le x \le 100$ માટે,ઢાળ ધન છે. ધારો કે $v = kx$ (જ્યાં $k > 0$). તેથી,$a = v \frac{dv}{dx} = (kx)(k) = k^2 x$. આ દર્શાવે છે કે આ અંતરાલમાં $a$ એ $x$ સાથે સુરેખ રીતે વધે છે.
અંતરાલ $100 \le x \le 200$ માટે,ઢાળ ઋણ છે. ધારો કે $v = -k(x - 200) = -kx + 200k$. તેથી,$a = v \frac{dv}{dx} = (-kx + 200k)(-k) = k^2 x - 200k^2$. આ દર્શાવે છે કે આ અંતરાલમાં પણ $a$ એ $x$ સાથે સુરેખ રીતે વધે છે,પરંતુ ઋણ આંતરછેદ સાથે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ પ્રથમ ભાગમાં પ્રવેગમાં ધન સુરેખ વધારો અને બીજા ભાગમાં ઋણ મૂલ્ય સાથે ધન સુરેખ વધારો દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $D$ છે.

(B) ધારો કે દળ $M$ ને $M = C^a h^b G^c$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પારિમાણિક સૂત્રો:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકો સરખાવતા:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $b + c = 0$,તેથી $b = -c$.
$b = -c$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-c - c = 1 \implies -2c = 1 \implies c = -1/2$.
તેથી $b = 1/2$.
$b = 1/2$ અને $c = -1/2$ ને (iii) માં મૂકતા: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \implies -a - 1/2 + 1 = 0 \implies a = 1/2$.
આમ,$M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(C) $M_p$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r = R_p + h$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_p}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહ ગ્રહની ખૂબ નજીક પરિભ્રમણ કરતો હોવાથી,$h \approx 0$,તેથી $r \approx R_p$ લેતા.
ગ્રહની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R_p$ ના સંદર્ભમાં ગ્રહનું દળ $M_p = \frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho$ થાય છે.
$M_p$ ની કિંમત સમયગાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_p^3}{G (\frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho)}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$.

(C) ઉપરની ગતિ માટે,જરૂરી બળ $F_{\text{up}} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ છે.
નીચેની ગતિ માટે,સરકતા અટકાવવા માટે જરૂરી બળ $F_{\text{down}} = mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$F_{\text{up}} = 2 F_{\text{down}}$.
પદોને મૂકતા,$mg(\sin \theta + \mu \cos \theta) = 2mg(\sin \theta - \mu \cos \theta)$.
બંને બાજુ $mg$ વડે ભાગતા,$\sin \theta + \mu \cos \theta = 2 \sin \theta - 2 \mu \cos \theta$.
પદોને ગોઠવતા,$3 \mu \cos \theta = \sin \theta$,જેનું સાદું રૂપ $\mu = \frac{1}{3} \tan \theta$ થાય છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$,તેથી $\mu = \frac{1}{3} \tan 60^{\circ} = \frac{1}{3} \times \sqrt{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

(D) ટીપાની ઉર્જા $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે.
$n$ નાના ટીપાંની ઉર્જા: $U_i = n \times (4\pi r^2 T)$.
મોટા ટીપાની ઉર્જા: $E = 4\pi R^2 T$.
ઉર્જાનો વ્યય $\Delta U = U_i - E = 3E$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
કિંમતો મૂકતા: $n(4\pi r^2 T) - 4\pi R^2 T = 3(4\pi R^2 T)$.
$n(4\pi r^2 T) = 4\pi R^2 T + 12\pi R^2 T$.
$n(4\pi r^2 T) = 16\pi R^2 T$.
$n = \frac{16\pi R^2 T}{4\pi r^2 T} = 4\frac{R^2}{r^2}$.

(B) બજાર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય: $t_1 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \,km}{5 \,km/h} = 0.5 \,h = 30 \,min$.
ઘરે પાછા ફરવા માટે લાગતો સમય: $t_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{2.5 \,km}{7.5 \,km/h} = \frac{1}{3} \,h = 20 \,min$.
આખી મુસાફરી માટે લાગતો કુલ સમય $30 \,min + 20 \,min = 50 \,min$ છે।
કુલ કાપેલું અંતર = $2.5 \,km + 2.5 \,km = 5 \,km = 5000 \,m$.
સેકન્ડમાં કુલ સમય = $50 \,min \times 60 \,s/min = 3000 \,s$.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{5000 \,m}{3000 \,s} = \frac{5}{3} \,m/s$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,પ્રતિરોધક બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય બસની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
$W = \Delta K$
$F \cdot s = \frac{1}{2} m v^2$
અહીં પ્રતિરોધક બળ $F$ અને પ્રારંભિક વેગ $v$ અચળ હોવાથી:
$s = \frac{m v^2}{2 F} \implies s \propto m$
ધારો કે પ્રારંભિક દળ $m_1 = m$ છે અને પ્રારંભિક અંતર $s_1 = x$ છે.
$25\%$ વધારા પછી નવું દળ $m_2 = m + 0.25m = 1.25m$ થશે.
પ્રમાણસરતા $s \propto m$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{s_2}{s_1} = \frac{m_2}{m_1}$
$s_2 = s_1 \cdot \frac{1.25m}{m}$
$s_2 = 1.25 x$.

(D) આપેલ માર્ગનું સમીકરણ $y = ax - bx^2$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના માર્ગનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
બંને સમીકરણોમાં $x$ અને $x^2$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા:
$\tan \theta = a \implies \theta = \tan^{-1}(a)$.
વળી,$b = \frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$\tan \theta = a$ પરથી,$\sin \theta = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$ મળે.
$u^2 = \frac{g}{2b \cos^2 \theta}$ ને ઊંચાઈના સૂત્રમાં મૂકતા:
$H = \frac{g}{2b \cos^2 \theta} \cdot \frac{\sin^2 \theta}{2g} = \frac{\tan^2 \theta}{4b} = \frac{a^2}{4b}$.
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈ $\frac{a^2}{4b}$ અને પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\tan^{-1}(a)$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષેપણ ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ હોવો જોઈએ.
તેથી,$R_{\max} = \frac{u^2 \sin(90^{\circ})}{g} = \frac{u^2}{g} \quad \dots (i)$.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને મળે $T = \frac{2u \sin 45^{\circ}}{g} = \frac{2u}{g \sqrt{2}} = \frac{u \sqrt{2}}{g}$.
આના પરથી,$u = \frac{Tg}{\sqrt{2}}$ મળે છે.
હવે $u$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$R_{\max} = \frac{1}{g} \left( \frac{Tg}{\sqrt{2}} \right)^2 = \frac{1}{g} \cdot \frac{T^2 g^2}{2} = \frac{g T^2}{2}$.

(D) ધારો કે સરળ આવર્ત ગતિનો કંપવિસ્તાર $a$ છે. મધ્યમાન સ્થાનથી પદાર્થનું સ્થાનાંતર $x = \frac{a}{N}$ છે.
પદાર્થની ગતિઊર્જા $(KE)$ નીચે મુજબ છે:
$KE = \frac{1}{2} m \omega^2 (a^2 - x^2) = \frac{1}{2} m \omega^2 \left(a^2 - \frac{a^2}{N^2}\right) = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(1 - \frac{1}{N^2}\right) = \frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(\frac{N^2 - 1}{N^2}\right) \quad (i)$
પદાર્થની સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નીચે મુજબ છે:
$PE = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \left(\frac{a}{N}\right)^2 = \frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2} \quad (ii)$
$KE$ અને $PE$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{KE}{PE} = \frac{\frac{1}{2} m \omega^2 a^2 \left(\frac{N^2 - 1}{N^2}\right)}{\frac{1}{2} m \omega^2 \frac{a^2}{N^2}} = \frac{N^2 - 1}{1} = N^2 - 1$

(B) કેલરીમીટ્રીના સિદ્ધાંત મુજબ:
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા
ધારો કે ઘનીભૂત થયેલી વરાળનું દળ $m$ ગ્રામ છે.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા = $m \times L + m \times C_w \times (T_{steam} - T_{final})$
$= m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 90) = 550m \ cal$
પાણી અને કેલરીમીટર દ્વારા મેળવેલી ઉષ્મા = $(m_{water} + m_{eq}) \times C_w \times (T_{final} - T_{initial})$
$= (1000 \ g + 200 \ g) \times 1 \times (90 - 9) = 1200 \times 81 = 97200 \ cal$
બંનેને સરખાવતા:
$550m = 97200$
$m = \frac{97200}{550} \approx 176.7 \ g$
$kg$ માં ફેરવતા,$m \approx 0.1767 \ kg$,જે આશરે $0.18 \ kg$ છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,$A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા અને $T$ નિરપેક્ષ તાપમાને રહેલા કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવર $P = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો:
$\sigma = 5.67 \times 10^{-8} \ W m^{-2} K^{-4}$
$T = 727^{\circ} C = 727 + 273 = 1000 \ K$
$A = 200 \ mm^2 = 200 \times 10^{-6} \ m^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (5.67 \times 10^{-8}) \times (200 \times 10^{-6}) \times (1000)^4$
$P = 5.67 \times 10^{-8} \times 200 \times 10^{-6} \times 10^{12}$
$P = 5.67 \times 2 \times 10^2 \times 10^{-14} \times 10^{12}$
$P = 11.34 \times 10^2 \times 10^{-2}$
$P = 11.34 \ J/s$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $dU$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$dU = n C_v dT$
અહીં $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ હોવાથી, સૂત્ર આ મુજબ બનશે:
$dU = n \frac{R}{\gamma - 1} (T_2 - T_1)$
આપેલ કિંમતો:
$n = 5 \, mol$
$T_1 = 273 \, K$ ($STP$ પર)
$T_2 = 673 \, K$
$R = 8.3 \, J/mol-K$
$\gamma = 1.4$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$dU = 5 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times (673 - 273)$
$dU = 5 \times \frac{8.3}{0.4} \times 400$
$dU = 5 \times 8.3 \times 1000$
$dU = 41500 \, J$
કિલો જૂલમાં ફેરવતા:
$dU = 41.50 \, kJ$

(B) ધારો કે દળ $M$ ને $M = C^a h^b G^c$ તરીકે દર્શાવી શકાય.
પારિમાણિક સૂત્રો:
$C = [LT^{-1}]$
$h = [ML^2T^{-1}]$
$G = [M^{-1}L^3T^{-2}]$
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$[M^1L^0T^0] = [LT^{-1}]^a [ML^2T^{-1}]^b [M^{-1}L^3T^{-2}]^c$
$[M^1L^0T^0] = [M^{b-c} L^{a+2b+3c} T^{-a-b-2c}]$
બંને બાજુ $M, L, T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$b - c = 1$ $(i)$
$a + 2b + 3c = 0$ (ii)
$-a - b - 2c = 0$ (iii)
(ii) અને (iii) નો સરવાળો કરતા: $b + c = 0$,તેથી $b = -c$.
$b = -c$ ને $(i)$ માં મૂકતા: $-c - c = 1 \Rightarrow -2c = 1 \Rightarrow c = -1/2$.
તેથી $b = 1/2$.
$b = 1/2$ અને $c = -1/2$ ને (iii) માં મૂકતા: $-a - 1/2 - 2(-1/2) = 0 \Rightarrow -a - 1/2 + 1 = 0 \Rightarrow a = 1/2$.
આમ,$M = C^{1/2} h^{1/2} G^{-1/2}$.

(C) ધારો કે પાઇપની લંબાઈ $l$ છે અને ધ્વનિની ઝડપ $v$ છે.
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ છે.
બંધ પાઇપનો $3^{rd}$ હાર્મોનિક $f_{3,c} = 3 \times f_c = \frac{3v}{4l}$ છે.
ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_o = \frac{v}{2l}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ, ખુલ્લી પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ બંધ પાઇપના $3^{rd}$ હાર્મોનિક કરતા $55 \,Hz$ ઓછી છે:
$f_{3,c} - f_o = 55 \,Hz$
$\frac{3v}{4l} - \frac{v}{2l} = 55$
$\frac{3v - 2v}{4l} = 55$
$\frac{v}{4l} = 55 \,Hz$
બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4l}$ હોવાથી, તેનું મૂલ્ય $55 \,Hz$ છે.

(B) કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ અચળ હોવાથી અને પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = 0$ હોવાથી,$t$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta = \frac{1}{2} \alpha t^2$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $t$ સમયમાં $\theta = 15^{\circ}$,તેથી $15^{\circ} = \frac{1}{2} \alpha t^2$ (સમીકરણ $1$).
હવે,આપણે પછીના $2t \ s$ સમયમાં કપાયેલ ખૂણો શોધવાનો છે. કુલ સમય $t + 2t = 3t \ s$ થાય.
$3t$ સમયમાં કુલ ખૂણો $\theta_{total} = \frac{1}{2} \alpha (3t)^2 = 9 \times (\frac{1}{2} \alpha t^2)$ થશે.
સમીકરણ $1$ ની કિંમત મૂકતા,$\theta_{total} = 9 \times 15^{\circ} = 135^{\circ}$.
તેથી,પછીના $2t \ s$ સમયમાં વધારાનો ખૂણો $\Delta \theta = \theta_{total} - \theta = 135^{\circ} - 15^{\circ} = 120^{\circ}$ મળે.

(D) ધારો કે ગોળાનું દળ $M$ છે અને મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ $v_h = u \cos \theta$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગમાન $P = M u \cos \theta$ છે.
$M/2$ દળના બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત થયા પછી,એક ભાગ તેના માર્ગે પાછો ફરે છે,એટલે કે તેનો વેગ $-u \cos \theta$ છે. ધારો કે બીજા ભાગનો વેગ $v_2$ છે.
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M u \cos \theta = \frac{M}{2} (-u \cos \theta) + \frac{M}{2} v_2$
$u \cos \theta = -\frac{1}{2} u \cos \theta + \frac{1}{2} v_2$
$\frac{3}{2} u \cos \theta = \frac{1}{2} v_2 \implies v_2 = 3 u \cos \theta$.
પ્રથમ ભાગની ગતિઊર્જા $E_1 = \frac{1}{2} (M/2) (u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બીજા ભાગની ગતિઊર્જા $E_2 = \frac{1}{2} (M/2) (3 u \cos \theta)^2 = \frac{1}{4} M (9 u^2 \cos^2 \theta) = \frac{9}{4} M u^2 \cos^2 \theta$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $E_2 = 9 E_1$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$.
આને પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નીચે મુજબ મળે છે: $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = \frac{10^6}{2500} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$.
$rms$ પ્રવાહ $i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$ થાય છે.

(B) વર્તુળાકાર ગૂંચળાનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L = \frac{N \Phi_B}{I}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર ગૂંચળા માટે,કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 N I}{2r}$ છે.
ગૂંચળામાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_B = B \cdot A = \left( \frac{\mu_0 N I}{2r} \right) (\pi r^2) = \frac{\mu_0 N I \pi r}{2}$ છે.
આમ,$L = \frac{N}{I} \left( \frac{\mu_0 N I \pi r}{2} \right) = \frac{\mu_0 \pi r}{2} N^2$.
આ દર્શાવે છે કે $L \propto N^2$.
તેથી,$\frac{L_2}{L_1} = \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2$.
અહીં $L_1 = 108 \ mH$,$N_1 = 600$,અને $N_2 = 500$ આપેલ છે:
$L_2 = L_1 \left( \frac{N_2}{N_1} \right)^2 = 108 \times \left( \frac{500}{600} \right)^2 = 108 \times \left( \frac{5}{6} \right)^2 = 108 \times \frac{25}{36} = 3 \times 25 = 75 \ mH$.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ પ્રયોગમાં, ફ્રિન્જની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે, જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર છે。
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે જ્યારે $\lambda$ અને $D$ અચળ હોય ત્યારે $\beta \propto \frac{1}{d}$ થાય。
આપેલ છે: પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = 2 \text{ mm}$, પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
નવું સ્લિટ અંતર $d_2 = 1.5 \times d_1 = 1.5 \times 2 \text{ mm} = 3 \text{ mm}$.
પ્રમાણસરતા $\beta_1 d_1 = \beta_2 d_2$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\beta_2 = \beta_1 \times \frac{d_1}{d_2} = 1.2 \text{ mm} \times \frac{2 \text{ mm}}{3 \text{ mm}} = 1.2 \times \frac{2}{3} \text{ mm} = 0.4 \times 2 \text{ mm} = 0.8 \text{ mm}$.
તેથી, નવી ફ્રિન્જની પહોળાઈ $0.8 \text{ mm}$ થશે.

(B) યંગના ડબલ-સ્લિટ વ્યતિકરણ પ્રયોગમાં, શલાકાની પહોળાઈ $\beta$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{\lambda D}{d}$
જ્યાં $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે, $D$ એ સ્લિટ અને પડદા વચ્ચેનું અંતર છે, અને $d$ એ સ્લિટ્સ વચ્ચેનું અંતર છે.
આપેલ છે:
$\beta_1 = 1.2 \ \text{mm}$
$d_2 = 1.5 \times d_1$
અહીં $\beta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી ($\lambda$ અને $D$ અચળ રહે છે),
$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1} = 1.5$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \ \text{mm}$
આમ, નવી શલાકાની પહોળાઈ $0.8 \ \text{mm}$ થશે.

(D) આપેલ છે: કેપેસિટન્સ $C = 50 \mu F = 50 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને વોલ્ટેજ $V = 220 \sin 50 t \text{ V}$.
પ્રમાણિત સમીકરણ $V = V_0 \sin \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $V_0 = 220 \text{ V}$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 50 \text{ rad/s}$ મળે છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{50 \times 50 \times 10^{-6}} = \frac{1}{2500 \times 10^{-6}} = 400 \Omega$.
પીક પ્રવાહ $i_0$ નીચે મુજબ મળે છે:
$i_0 = \frac{V_0}{X_C} = \frac{220}{400} = 0.55 \text{ A}$.
rms પ્રવાહ $i_{\text{rms}}$ નીચે મુજબ છે:
$i_{\text{rms}} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{0.55}{\sqrt{2}} \text{ A}$.

(A) $n$-મી કક્ષાની કુલ ઉર્જા $E_n = -\frac{m e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2 n^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $E_n \propto m$ હોવાથી,$\mu^{-}$-સિસ્ટમ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{\mu}}{E_e} = \frac{m_{\mu}}{m_e} = 207$ થાય.
તેથી,$E_{\mu} = 207 \times E_e = 207 \times (-13.6 \text{ eV}) = -13.6 \times 207 \text{ eV}$.
$n$-મી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_n = \frac{\varepsilon_0 h^2 n^2}{\pi m e^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $r_n \propto \frac{1}{m}$ હોવાથી,$\mu^{-}$-સિસ્ટમ અને હાઇડ્રોજન પરમાણુની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_{\mu}}{r_H} = \frac{m_e}{m_{\mu}} = \frac{1}{207}$ થાય.
તેથી,$r_{\mu} = \frac{r_H}{207}$.

(B) ટ્રાન્સમિટિંગ એન્ટેનાની ઊંચાઈ $h_T$ અને જમીન પરના રિસીવિંગ એન્ટેના માટે મહત્તમ લાઇન-ઓફ-સાઇટ અંતર $d$ નું સૂત્ર: $d = \sqrt{2 R_e h_T}$ છે.
આપેલ છે:
$R_e = 6.4 \times 10^6 \ m$
$h_T = 128 \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$d = \sqrt{2 \times 6.4 \times 10^6 \times 128}$
$d = \sqrt{12.8 \times 10^6 \times 128}$
$d = \sqrt{1638.4 \times 10^6} \ m$
$d = \sqrt{16.384 \times 10^8} \ m = 40477 \ m \approx 40.5 \ km$
વિકલ્પ $B$ મુજબ: $\frac{128}{\sqrt{10}} \approx \frac{128}{3.162} \approx 40.48 \ km$.
તેથી,સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા એટલે પાવર, $P = I^2 R$. $5 \Omega$ ના અવરોધ માટે $P_2 = 50 \text{ J/s}$ આપેલ છે.
$I_2^2 \times 5 = 50 \Rightarrow I_2^2 = 10 \Rightarrow I_2 = \sqrt{10} \text{ A}$.
સમાંતર શાખાઓ વચ્ચેનો વોલ્ટેજ $V = I_2 \times 5 = 5\sqrt{10} \text{ V}$ છે.
ઉપરની શાખામાં $2 \Omega$ અને $8 \Omega$ ના અવરોધો શ્રેણીમાં છે, તેથી ઉપરની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{upper} = 2 + 8 = 10 \Omega$ થાય.
ઉપરની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{upper}} = \frac{5\sqrt{10}}{10} = \frac{\sqrt{10}}{2} \text{ A}$ છે.
$2 \Omega$ ના અવરોધમાં પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $P_1 = I_1^2 \times R_1$ છે.
$P_1 = \left( \frac{\sqrt{10}}{2} \right)^2 \times 2 = \frac{10}{4} \times 2 = \frac{20}{4} = 5 \text{ J/s}$.

(A) આપેલ છે: $\rho_B = 2 \rho_A$ અને $R_A = R_B = R$.
ધારો કે તાર $A$ ની ત્રિજ્યા $r_A = r$ છે. તાર $B$ નો વ્યાસ $A$ કરતા બમણો હોવાથી,તાર $B$ ની ત્રિજ્યા $r_B = 2r$ થશે.
તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = \rho \frac{l}{\pi r^2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_A = R_B$ હોવાથી:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r_A^2} = \rho_B \frac{l_B}{\pi r_B^2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\rho_A \frac{l_A}{\pi r^2} = (2 \rho_A) \frac{l_B}{\pi (2r)^2}$
$\rho_A \frac{l_A}{r^2} = 2 \rho_A \frac{l_B}{4r^2}$
$l_A = \frac{2}{4} l_B$
$l_A = \frac{1}{2} l_B$
તેથી,$\frac{l_B}{l_A} = 2$.

(B) આપેલ છે કે ફોટોનની ઊર્જા $E$ એ પ્રોટોનની ગતિઊર્જા $K_p = E$ જેટલી છે.
પ્રોટોન માટે,ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_1 = \frac{h}{p}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ પ્રોટોનનું વેગમાન છે.
$E = \frac{p^2}{2m}$ હોવાથી,$p = \sqrt{2mE}$ મળે.
તેથી,$\lambda_1 = \frac{h}{\sqrt{2mE}}$.
ફોટોન માટે,તરંગલંબાઈ $\lambda_2 = \frac{hc}{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ ની ગણતરી કરતા:
$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{h / \sqrt{2mE}}{hc / E} = \frac{h}{\sqrt{2mE}} \cdot \frac{E}{hc} = \frac{E}{c \sqrt{2mE}} = \frac{\sqrt{E}}{c \sqrt{2m}}$.
અહીં $c$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} \propto \sqrt{E}$ અથવા $E^{1/2}$ થાય.

(C) વિદ્યુતક્ષેત્ર માટે આપેલું સમીકરણ $E = i 30 \cos (k z - 5 \times 10^8 t)$ છે.
આને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $E = E_0 \cos (k z - \omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 5 \times 10^8 \ rad/s$ મળે છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને તરંગ સદિશ $k$ વચ્ચેનો સંબંધ $c = \frac{\omega}{k}$ છે.
$k$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$k = \frac{\omega}{c}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $k = \frac{5 \times 10^8 \ rad/s}{3 \times 10^8 \ m/s}$.
આમ,$k = \frac{5}{3} \approx 1.66 \ rad/m$ થાય છે.

(C) કુલંબના નિયમ મુજબ,$r$ અંતરે રહેલા બે વિદ્યુતભારો $q$ અને $Q-q$ વચ્ચેનું બળ $F$ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{q(Q-q)}{r^2}$
બળ મહત્તમ થાય તે માટે $q$ નું મૂલ્ય શોધવા,આપણે $F$ નું $q$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરી તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{dF}{dq} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} \cdot \frac{d}{dq}(Qq - q^2) = 0$
$Q - 2q = 0$
$2q = Q$
$q = \frac{Q}{2}$
આમ,જ્યારે વિદ્યુતભાર $Q$ ને બે સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે,એટલે કે $q = \frac{Q}{2}$ હોય,ત્યારે બળ મહત્તમ થાય છે.

(A) ધારો કે પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા $\sigma$ છે. કુલ વિદ્યુતભાર $Q$ બંને કવચ પર એવી રીતે વહેંચાયેલ છે કે $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = \sigma(4 \pi r^2) + \sigma(4 \pi R^2) = 4 \pi \sigma(r^2 + R^2)$.
તેથી,$\sigma = \frac{Q}{4 \pi (r^2 + R^2)}$.
$q$ વિદ્યુતભાર ધરાવતા $a$ ત્રિજ્યાના ગોળાકાર કવચના કેન્દ્ર પર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{q}{a}$ છે.
બંને કવચ માટે,કેન્દ્ર પરનું કુલ સ્થિતિમાન દરેક કવચને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે:
$V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q_1}{r} + \frac{q_2}{R} \right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{\sigma 4 \pi r^2}{r} + \frac{\sigma 4 \pi R^2}{R} \right)$.
$V = \frac{\sigma}{\varepsilon_0} (r + R)$.
$\sigma$ ની કિંમત મૂકતા:
$V = \frac{Q}{4 \pi \varepsilon_0 (r^2 + R^2)} (r + R) = \frac{Q(R+r)}{4 \pi \varepsilon_0 (R^2+r^2)}$.

(D) $n$ આંટા અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર ગૂંચળાના કેન્દ્રમાં $i$ પ્રવાહને કારણે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 n i}{2 r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે તારની લંબાઈ $L$ છે. એક આંટા માટે $(n_1 = 1)$,પરિઘ $2 \pi r_1 = L$ થાય,તેથી $r_1 = \frac{L}{2 \pi}$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_1 = B = \frac{\mu_0 (1) i}{2 r_1} = \frac{\mu_0 i}{2 (L / 2 \pi)} = \frac{\mu_0 i \pi}{L}$ છે.
જ્યારે તે જ તારને $n$ આંટામાં વાળવામાં આવે $(n_2 = n)$,ત્યારે દરેક આંટાનો નવો પરિઘ $2 \pi r_2 = \frac{L}{n}$ થાય,તેથી $r_2 = \frac{L}{2 \pi n}$.
નવું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_2 = \frac{\mu_0 n i}{2 r_2} = \frac{\mu_0 n i}{2 (L / 2 \pi n)} = \frac{\mu_0 n i \pi n}{L} = n^2 \left( \frac{\mu_0 i \pi}{L} \right)$ થાય.
કૌંસમાં રહેલા પદ માટે $B$ મૂકતા,આપણને $B_2 = n^2 B$ મળે છે.

(D) જ્યારે $q$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતો કણ $v$ વેગ સાથે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ ને લંબ રૂપે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે.
બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,જેના કારણે કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
આ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$r = \frac{mv}{qB}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે ત્રિજ્યા $r$ એ વેગ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(r \propto v)$.
તેથી,કણ એવી વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે જેની ત્રિજ્યા તેના વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(D) આપેલ છે:
પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક,$B_H = 0.8 \times 10^{-4} \,T$
ડીપનો ખૂણો,$\theta = 60^{\circ}$
ધારો કે પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_e$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક અને કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$B_H = B_e \cos \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.8 \times 10^{-4} = B_e \cos 60^{\circ}$
કારણ કે $\cos 60^{\circ} = 0.5$ અથવા $\frac{1}{2}$ છે,તેથી:
$0.8 \times 10^{-4} = B_e \times 0.5$
$B_e$ માટે ગણતરી કરતા:
$B_e = \frac{0.8 \times 10^{-4}}{0.5}$
$B_e = 1.6 \times 10^{-4} \,T$
આમ,પૃથ્વીનું કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $1.6 \times 10^{-4} \,T$ છે.

(D) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે, જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ-ક્રમાંક છે。
આપેલ છે:
$R_1 = 1.5 \text{ fermi}$, $A_1 = 125$
$A_2 = 64$
આપણે $R_2$ શોધવાનું છે。
ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \left( \frac{A_1}{A_2} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \left( \frac{125}{64} \right)^{1/3}$
$\frac{1.5}{R_2} = \frac{5}{4}$
$R_2 = \frac{1.5 \times 4}{5} = 0.3 \times 4 = 1.2 \text{ fermi}$.

(C) પ્રથમ શરત મુજબ,બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સનું સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ છે.
અહીં $f = 25 \,cm$ અને $v = 75 \,cm$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{75} - \frac{1}{u}$
$\frac{1}{u} = \frac{1}{75} - \frac{1}{25} = \frac{1-3}{75} = -\frac{2}{75}$
$u = -37.5 \,cm$.
આમ,વસ્તુ લેન્સથી $37.5 \,cm$ ના અંતરે મૂકવામાં આવી છે.
બીજી શરત મુજબ,પડદાને લેન્સની નજીક $25 \,cm$ ખસેડવામાં આવે છે,તેથી નવું પ્રતિબિંબ અંતર $v_1 = 75 \,cm - 25 \,cm = 50 \,cm$ થશે.
લેન્સના સૂત્રનો ફરીથી ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{25} = \frac{1}{50} - \frac{1}{u_1}$
$\frac{1}{u_1} = \frac{1}{50} - \frac{1}{25} = \frac{1-2}{50} = -\frac{1}{50}$
$u_1 = -50 \,cm$.
આમ,નવું વસ્તુ અંતર $50 \,cm$ છે.
વસ્તુને જે અંતરે ખસેડવી પડે તે $\Delta u = |u_1| - |u| = 50 \,cm - 37.5 \,cm = 12.5 \,cm$ છે.

(C) સમાન વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = R$ અને $R_2 = -R$ ધરાવતા બહિર્ગોળ લેન્સ માટે,લેન્સ મેકરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right]$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{-R} \right] = (\mu - 1) \left[ \frac{2}{R} \right]$
આમ,$R = 2f(\mu - 1)$.
જ્યારે લેન્સને ઊભી રીતે બે સમાન સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સમાં કાપવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક નવા લેન્સની એક સપાટીની ત્રિજ્યા $R$ હોય છે અને બીજી સપાટી સમતલ (ત્રિજ્યા $\infty$) હોય છે.
નવા લેન્સ માટે કેન્દ્રલંબાઈ $f'$ શોધવા માટે લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} - \frac{1}{\infty} \right]$
$\frac{1}{f'} = (\mu - 1) \left[ \frac{1}{R} \right]$
$f' = \frac{R}{\mu - 1}$
$R = 2f(\mu - 1)$ ની કિંમત મૂકતા:
$f' = \frac{2f(\mu - 1)}{\mu - 1} = 2f$.

(B) ટ્રાન્ઝિસ્ટરની આઉટપુટ લાક્ષણિકતાઓને બેઝ પ્રવાહ $(I_B)$ ને અચળ રાખીને કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $(V_{CE})$ સાથે કલેક્ટર પ્રવાહ $(I_C)$ ના ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આ સંબંધને આલેખ દ્વારા દર્શાવવા માટે $I_B$ ના વિવિધ નિશ્ચિત મૂલ્યો માટે y-અક્ષ પર $I_C$ અને x-અક્ષ પર $V_{CE}$ ને આલેખવામાં આવે છે.

(D) આપેલ છે:
આંતરિક કેરિયર સાંદ્રતા $n_i = 1.6 \times 10^{16} / m^3$
ડોનર સાંદ્રતા $N_D = 4.8 \times 10^{20} / m^3$
$n$-પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,ઇલેક્ટ્રોન સાંદ્રતા $n_e \approx N_D = 4.8 \times 10^{20} / m^3$.
સેમિકન્ડક્ટર માટે માસ એક્શનના નિયમ મુજબ,$n_i^2 = n_e \times n_h$,જ્યાં $n_h$ એ હોલની સાંદ્રતા છે.
કિંમતો મૂકતા:
$(1.6 \times 10^{16})^2 = (4.8 \times 10^{20}) \times n_h$
$2.56 \times 10^{32} = 4.8 \times 10^{20} \times n_h$
$n_h = \frac{2.56 \times 10^{32}}{4.8 \times 10^{20}}$
$n_h = 0.533 \times 10^{12} / m^3 = 5.33 \times 10^{11} / m^3$.
આમ,હોલ્સની સાંદ્રતા આશરે $5.3 \times 10^{11} / m^3$ છે.

(B) યંગના ડબલ સ્લિટ વ્યતિકરણના પ્રયોગમાં ફ્રિન્જની પહોળાઈનું સૂત્ર $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક ફ્રિન્જ પહોળાઈ $\beta_1 = 1.2 \text{ mm}$.
પ્રારંભિક સ્લિટ અંતર $d_1 = 2 \text{ mm}$.
સ્લિટ વચ્ચેનું અંતર અગાઉના મૂલ્ય કરતા દોઢ ગણું વધારવામાં આવે છે,તેથી $d_2 = 1.5 d_1$.
આમ,$\beta \propto \frac{1}{d}$ હોવાથી,$\frac{\beta_1}{\beta_2} = \frac{d_2}{d_1}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.2}{\beta_2} = 1.5$.
$\beta_2 = \frac{1.2}{1.5} = 0.8 \text{ mm}$.