પરવલય $y^2=32x$ ની નાભિસ્થ જીવાઓના ઢાળ,જે વર્તુળ $x^2+y^2=4$ ને સ્પર્શક છે,તે શોધો.

વક્રો $x^2 + y^2 + 4x + 16y + 66 = 0$ અને $y^2 = 8x$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?

ધારો કે $C_i \equiv x^2 + y^2 = i^2$ જ્યાં $i = 1, 2, 3$ એ ત્રણ વર્તુળો છે. દરેક વર્તુળ $C_i$ ના પરિઘ પર $4i$ બિંદુઓ છે. જો ત્રણેય વર્તુળો પરના તમામ બિંદુઓમાંથી કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય,તો આ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા શોધો જેનું પરિકેન્દ્ર ઉગમબિંદુ પર ન હોય:

ધારો કે $M = \{(x, y) \in \mathbb{R} \times \mathbb{R} : x^2 + y^2 \leq r^2\}$,જ્યાં $r > 0$. ભૌમિતિક શ્રેણી $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$,$n = 1, 2, 3, \ldots$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S_0 = 0$ અને,$n \geq 1$ માટે,$S_n$ એ આ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો દર્શાવે છે. $n \geq 1$ માટે,$C_n$ એ $(S_{n-1}, 0)$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે,અને $D_n$ એ $(S_{n-1}, S_{n-1})$ કેન્દ્ર અને $a_n$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
$(1)$ $r = \frac{1025}{513}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $k$ એ $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $C_n$ ની સંખ્યા છે. ધારો કે $l$ એ આ $k$ વર્તુળોમાં એવા વર્તુળોની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા છે કે જેથી કોઈ પણ બે વર્તુળો એકબીજાને છેદે નહીં. તો
$(A)$ $k + 2l = 22$ $(B)$ $2k + l = 26$ $(C)$ $2k + 3l = 34$ $(D)$ $3k + 2l = 40$
$(2)$ $r = \frac{(2^{199}-1)\sqrt{2}}{2^{198}}$ સાથે $M$ ધ્યાનમાં લો. $M$ ની અંદર આવેલા તમામ વર્તુળો $D_n$ ની સંખ્યા છે
$(A)$ $198$ $(B)$ $199$ $(C)$ $200$ $(D)$ $201$

રેખા $x=2y$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=1$ ને બિંદુઓ $P$ અને $Q$ માં છેદે છે. $PQ$ ને વ્યાસ તરીકે લેતા વર્તુળનું સમીકરણ શું થાય?

ધારો કે વર્તુળો $C_1 : |z| = r$ અને $C_2 : |z - 3 - 4i| = 5, z \in \mathbb{C}$ એવા છે કે જેથી $C_2$ એ $C_1$ ની અંદર આવેલું છે. જો $z_1$ એ $C_1$ પર ગતિ કરે,$z_2$ એ $C_2$ પર ગતિ કરે અને $\min |z_1 - z_2| = 2$ હોય,તો $\max |z_1 - z_2|$ ની કિંમત શોધો: