AP EAMCET 2002 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) આપેલ આંશિક અપૂર્ણાંક વિઘટન: $\frac{1-x+6x^2}{x(1-x)(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1-x} + \frac{C}{1+x}$.
બંને બાજુ $x(1-x)(1+x)$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$1-x+6x^2 = A(1-x^2) + Bx(1+x) + Cx(1-x)$.
$A$ શોધવા માટે,$x = 0$ મૂકતા:
$1 - 0 + 6(0)^2 = A(1 - 0^2) + B(0)(1+0) + C(0)(1-0)$.
$1 = A(1)$.
તેથી,$A = 1$.

(B) પ્રથમ,આપણે $l$ ની ગણતરી કરીએ:
$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} \right) = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( 3 \frac{\sin \theta}{\theta} - 4 \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\theta} \right)$
કારણ કે $\lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$,તેથી $l = 3(1) - 4(0)(1) = 3$.
આગળ,આપણે $m$ ની ગણતરી કરીએ:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{\tan(2\theta)}{\theta}$
લિમિટ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $m = 2$ મળે છે.
બીજ $l=3$ અને $m=2$ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (l+m)x + lm = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (3+2)x + (3 \times 2) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 5x + 6 = 0$ થાય છે.

(B) આપેલ છે કે $\alpha, \beta, \gamma$ એ ત્રિઘાત સમીકરણ $x^3+a x^2+b x+c=0$ ના બીજ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ,બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = b$ છે અને બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta \gamma = -c$ છે.
આપણે $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} + \frac{1}{\gamma} = \frac{\beta \gamma + \alpha \gamma + \alpha \beta}{\alpha \beta \gamma}$.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$ મળે છે.

(B) આપેલ સમીકરણ $x^4-8x^3+x^2-x+3=0$ છે.
$a_0x^n + a_1x^{n-1} + \dots = 0$ સ્વરૂપના સમીકરણનું બીજું પદ દૂર કરવા માટે,આપણે બીજને $h = -\frac{a_1}{n \cdot a_0}$ વડે ઘટાડીએ છીએ.
અહીં,$a_0 = 1$,$a_1 = -8$,અને $n = 4$ છે.
તેથી,$h = -\frac{-8}{4 \times 1} = \frac{8}{4} = 2$.
આમ,બીજને $2$ વડે ઘટાડવા જોઈએ.

(B) ધારો કે $f(x) = x^5 - 6x^2 - 4x + 5$.
ડેસકાર્ટસના ચિહ્નોના નિયમ મુજબ,ધન વાસ્તવિક બીજની સંખ્યા $f(x)$ ના સહગુણકોમાં થતા ચિહ્નોના ફેરફાર જેટલી હોય છે.
સહગુણકો $(1, 0, 0, -6, -4, 5)$ છે.
ચિહ્નોમાં ફેરફાર: $(1$ થી $-6)$ અને $(-4$ થી $5)$.
આમ,$2$ ચિહ્ન ફેરફાર છે,તેથી મહત્તમ $2$ ધન વાસ્તવિક બીજ મળે.
હવે,$f(-x) = -x^5 - 6x^2 + 4x + 5$ લો.
સહગુણકો $(-1, 0, 0, -6, 4, 5)$ છે.
ચિહ્નમાં ફેરફાર: $(-6$ થી $4)$.
આમ,$1$ ચિહ્ન ફેરફાર છે,તેથી મહત્તમ $1$ ઋણ વાસ્તવિક બીજ મળે.
તેથી,વાસ્તવિક બીજની મહત્તમ શક્ય સંખ્યા $2 + 1 = 3$ છે.

(C) આપેલ ઘાત સમીકરણ $x^3+ax^2+bx+c=0$ ના બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
વિયેટાના સૂત્રો મુજબ:
$\alpha+\beta+\gamma = -a$
$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha = b$
$\alpha\beta\gamma = -c$
આપણે $\alpha^{-1}+\beta^{-1}+\gamma^{-1} = \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma}$ શોધવાનું છે.
લસાઅ લેતા:
$\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}+\frac{1}{\gamma} = \frac{\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha}{\alpha\beta\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{b}{-c} = -\frac{b}{c}$.

(B) આપેલ ત્રિઘાત સમીકરણ $2x^3 + 0x^2 - 2x - 1 = 0$ છે.
ધારો કે બીજ $\alpha, \beta, \gamma$ છે.
ત્રિઘાત સમીકરણ $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ માટે વિએટાના સૂત્રો મુજબ,બબ્બે બીજના ગુણાકારનો સરવાળો $\Sigma \alpha \beta = \frac{c}{a}$ થાય છે.
અહીં,$a = 2$,$b = 0$,$c = -2$,અને $d = -1$ છે.
તેથી,$\Sigma \alpha \beta = \frac{-2}{2} = -1$.
આપણે $(\Sigma \alpha \beta)^2$ શોધવાનું છે.
$(\Sigma \alpha \beta)^2 = (-1)^2 = 1$.

(D) દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,સંકર બીજો હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $1-i$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ $1+i$ પણ સમીકરણનું બીજ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ માટે,બીજોનો ગુણાકાર અચળ પદ $b$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$b = (1-i)(1+i)$.
નિત્યસમ $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
આમ,$b = 2$.

(A) આપેલ છે કે $x_n = \cos \left(\frac{\pi}{4^n}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{4^n}\right) = e^{i \frac{\pi}{4^n}}$.
ગુણાકાર $P = x_1 x_2 x_3 \ldots \infty$ નીચે મુજબ છે:
$P = e^{i \frac{\pi}{4^1}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^2}} \cdot e^{i \frac{\pi}{4^3}} \ldots = e^{i \pi \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{4^3} + \ldots \right)}$.
ઘાતાંક એ એક અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{4}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{4}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1}{3}$ થાય.
તેથી,$P = e^{i \pi \left(\frac{1}{3}\right)} = e^{i \frac{\pi}{3}}$.
$P = \cos \left(\frac{\pi}{3}\right) + i \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$.

(D) આપેલ છે કે $z = 3+5i$,તેથી તેનો અનુબદ્ધ સંકર સંખ્યા $\bar{z} = 3-5i$ થાય.
પ્રથમ,$z^3$ ની ગણતરી કરીએ:
$z^2 = (3+5i)^2 = 9 + 25i^2 + 30i = 9 - 25 + 30i = -16 + 30i$.
$z^3 = z^2 \cdot z = (-16 + 30i)(3 + 5i) = -48 - 80i + 90i + 150i^2$.
$i^2 = -1$ હોવાથી,$z^3 = -48 + 10i - 150 = -198 + 10i$.
હવે,આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$z^3 + \bar{z} + 198 = (-198 + 10i) + (3 - 5i) + 198$.
$= (-198 + 198) + (10i - 5i) + 3 = 0 + 5i + 3 = 3 + 5i$.

(A) આપેલ છે,$\left|z+\frac{i}{2}\right|^2=\left|z-\frac{i}{2}\right|^2$.
$z=x+iy$ મૂકતા:
$\left|x+i\left(y+\frac{1}{2}\right)\right|^2 = \left|x+i\left(y-\frac{1}{2}\right)\right|^2$.
ગુણધર્મ $|a+ib|^2 = a^2+b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x^2 + \left(y+\frac{1}{2}\right)^2 = x^2 + \left(y-\frac{1}{2}\right)^2$.
$x^2 + y^2 + y + \frac{1}{4} = x^2 + y^2 - y + \frac{1}{4}$.
બંને બાજુથી $x^2 + y^2 + \frac{1}{4}$ બાદ કરતા:
$y = -y$ $\Rightarrow 2y = 0$ $\Rightarrow y = 0$.
સમીકરણ $y=0$ એ $x$-અક્ષ દર્શાવે છે.

(B) પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^nC_5 + {}^nC_6 = {}^{n+1}C_6$ મળે છે.
આપેલ અસમતા: ${}^{n+1}C_6 > {}^{n+1}C_5$.
સંયોજનોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(n+1)!}{6!(n-5)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}$.
બંને બાજુ $(n+1)!$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{6!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)!}$.
$6! = 6 \times 5!$ અને $(n-4)! = (n-4) \times (n-5)!$ હોવાથી: $\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા: $\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$.
આથી $n-4 > 6$,એટલે કે $n > 10$.
આ શરતનું પાલન કરતી ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n = 11$ છે.

(A) ધારો કે $T_n$ એ $n^{th}$ ગણનું પ્રથમ પદ છે. પ્રથમ પદો $1, 2, 4, 7, 11, \ldots$ છે.
આ એક શ્રેણી છે જેમાં તફાવત $1, 2, 3, 4, \ldots$ છે.
$n^{th}$ પદ $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k = 1 + \frac{(n-1)n}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$50^{th}$ ગણ માટે,$n=50$,તેથી $T_{50} = 1 + \frac{49 \times 50}{2} = 1 + 1225 = 1226$.
$50^{th}$ ગણમાં $1226$ થી શરૂ થતા $50$ ક્રમિક પૂર્ણાંકો છે.
સમાંતર શ્રેણીમાં $n$ પદોનો સરવાળો $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ છે.
અહીં $n=50$,$a=1226$,અને $d=1$,તેથી $S_{50} = \frac{50}{2}[2(1226) + 49(1)] = 25[2452 + 49] = 25[2501] = 62525$.

(B) $\triangle ABC$ માં,ધારો કે $a, b, c$ બાજુઓની લંબાઈ છે અને $p_1, p_2, p_3$ અનુરૂપ વેધ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ છે.
આથી $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,અને $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ મળે.
આપેલ છે કે $p_1, p_2, p_3$ એ $AP$ માં છે,તેથી $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ એ $AP$ માં છે.
$2\Delta$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ $AP$ માં છે.
હરાત્મક શ્રેણીની વ્યાખ્યા મુજબ,જો પદોના વ્યસ્ત $AP$ માં હોય,તો તે પદો $HP$ માં હોય.
તેથી,$a, b, c$ એ $HP$ માં છે.

(C) ધારો કે $E = \cos^2 76^{\circ} + \cos^2 16^{\circ} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1 + \cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1 + \cos 32^{\circ}}{2} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$E = 1 + \frac{1}{2} (\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ}) - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \cos \frac{C-D}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = 2 \cos 92^{\circ} \cos 60^{\circ} = \cos 92^{\circ}$
$2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{2} (\cos 92^{\circ} + \cos 60^{\circ}) = \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = 1 + \frac{1}{2} \cos 92^{\circ} - (\frac{1}{2} \cos 92^{\circ} + \frac{1}{4}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$

(D) આપેલ છે કે,$x = \tan \theta + \sin \theta$ અને $y = \tan \theta - \sin \theta$.
સમીકરણોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા:
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{x - y}{2}$.
હવે,ગુણાકાર $xy$ લેતા:
$xy = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$xy = \sin^2 \theta \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - 1\right) = \sin^2 \theta \cdot \tan^2 \theta$.
વળી,$x^2 - y^2 = 4 \tan \theta \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2 - y^2)^2 = 16 \tan^2 \theta \sin^2 \theta$.
તેથી,$(x^2 - y^2)^2 = 16xy$.

(D) આપણે નિત્યસમ $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A + B) \sin(A - B)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$A = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2}$ અને $B = \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}$ છે.
તેથી $A + B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} + \frac{\pi}{8} - \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4}$ થાય.
અને $A - B = \frac{\pi}{8} + \frac{x}{2} - \left(\frac{\pi}{8} - \frac{x}{2}\right) = x$ થાય.
તેથી,$f(x) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \sin(x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(x)$ મળે.
$\sin(x)$ નો આવર્તમાન $2\pi$ છે.
તેથી,$f(x)$ નો આવર્તમાન $2\pi$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\cos (\alpha+\beta) = \frac{4}{5}$. કારણ કે $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $0 < \alpha+\beta < \frac{\pi}{2}$,માટે $\tan (\alpha+\beta) = \frac{3}{4}$.
આપેલ છે કે $\sin (\alpha-\beta) = \frac{5}{13}$. કારણ કે $0 < \alpha, \beta < \frac{\pi}{4}$,તેથી $-\frac{\pi}{4} < \alpha-\beta < \frac{\pi}{4}$,માટે $\tan (\alpha-\beta) = \frac{5}{12}$.
હવે,$\tan 2\alpha = \tan [(\alpha+\beta)+(\alpha-\beta)]$.
સૂત્ર $\tan (A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{3}{4} + \frac{5}{12}}{1 - (\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{12})}$
$\tan 2\alpha = \frac{\frac{9+5}{12}}{1 - \frac{15}{48}} = \frac{\frac{14}{12}}{\frac{48-15}{48}} = \frac{14}{12} \cdot \frac{48}{33} = \frac{14 \cdot 4}{33} = \frac{56}{33}$.

(B) આપણે સરવાળો $S = \sum_{k=1}^3 \cos^2 \left((2k-1) \frac{\pi}{12}\right)$ ની ગણતરી કરવાની છે.
$k=1, 2, 3$ માટે સરવાળો વિસ્તૃત કરતા:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{3\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
ખૂણાઓને સરળ બનાવતા:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right)$.
કારણ કે $\cos \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \cos \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{12}\right)$,તેથી $\cos^2 \left(\frac{5\pi}{12}\right) = \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right)$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$S = \cos^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \sin^2 \left(\frac{\pi}{12}\right) + \cos^2 \left(\frac{\pi}{4}\right)$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$S = 1 + \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $D(4, 2)$ અને $C(-2, 6)$ છે. રેખા $L=0$ એ રેખાખંડ $CD$ નો લંબદ્વિભાજક છે.
રેખા $CD$ નો ઢાળ $= \frac{6-2}{-2-4} = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}$.
રેખા $L$ એ $CD$ ને લંબ હોવાથી,તેનો ઢાળ $m = -\frac{1}{(-2/3)} = \frac{3}{2}$ થાય.
$CD$ નું મધ્યબિંદુ $O$ એ $\left(\frac{4-2}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (1, 4)$ છે.
બિંદુ $(1, 4)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{3}{2}$ ઢાળ ધરાવતી રેખા $L$ નું સમીકરણ:
$y - 4 = \frac{3}{2}(x - 1)$
$2y - 8 = 3x - 3$
$3x - 2y + 5 = 0$.

(B) $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ રેખાઓની જોડીના ખૂણાના દ્વિભાજકનું સમીકરણ $\frac{x^2 - y^2}{a - b} = \frac{xy}{h}$ છે.
જો યામ અક્ષો દ્વિભાજક હોય,તો તેમનું સમીકરણ $xy = 0$ થાય.
આથી,$h = 0$ હોવું જોઈએ.

(D) આપેલ સમીકરણ $Ax^2 + 2Hxy + By^2 = 0$ છે,જ્યાં $A = \cos \theta - \sin \theta$,$H = \cos \theta$,અને $B = \cos \theta + \sin \theta$.
રેખાઓની જોડી વચ્ચેનો લઘુકોણ $\alpha$ માટે $\tan \alpha = \left| \frac{2 \sqrt{H^2 - AB}}{A + B} \right|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
કિંમતો મૂકતા:
$H^2 - AB = \cos^2 \theta - (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = \sin^2 \theta$.
$A + B = 2 \cos \theta$.
તેથી,$\tan \alpha = \left| \frac{2 \sin \theta}{2 \cos \theta} \right| = |\tan \theta|$.
$2 \theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\alpha = \theta$ મળે.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $mx-y+c=0$ છે.
રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે જો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા પરના લંબનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોય.
લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \left| \frac{m(0) - (0) + c}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} \right| = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
બે ભિન્ન બિંદુઓ માટે,$d < r$ હોવું જોઈએ:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(B) આપેલ છે કે પરિમિતિ $2s = 16 \text{ cm}$,તેથી અર્ધ-પરિમિતિ $s = 8 \text{ cm}$.
ધારો કે બાજુઓ $a, b, c$ છે. $a = 6 \text{ cm}$ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta = 12 \text{ cm}^2$ આપેલ છે.
હેરોનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$.
$144 = 8(8-6)(8-b)(8-c)$.
$144 = 16(8-b)(8-c) \Rightarrow 9 = (8-b)(8-c)$.
$a+b+c = 16$ અને $a=6$ હોવાથી,$b+c = 10$,એટલે કે $c = 10-b$.
સમીકરણમાં $c$ ની કિંમત મૂકતા: $9 = (8-b)(8-(10-b))$.
$9 = (8-b)(b-2)$.
$b^2 - 10b + 25 = 0$.
$(b-5)^2 = 0 \Rightarrow b = 5$.
$b=5$ હોવાથી,$c = 10-5 = 5$.
બે બાજુઓ સમાન $(b=c=5)$ હોવાથી,ત્રિકોણ સમદ્વિબાજુ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \frac{\cos^2 x + \sin^4 x}{\sin^2 x + \cos^4 x}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ અને $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
અંશમાં આ કિંમતો મૂકતા:
અંશ $= \cos^2 x + \sin^4 x = \cos^2 x + \sin^2 x (\sin^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x (1 - \cos^2 x) = \cos^2 x + \sin^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
તે જ રીતે,છેદ માટે:
છેદ $= \sin^2 x + \cos^4 x = \sin^2 x + \cos^2 x (\cos^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x (1 - \sin^2 x) = \sin^2 x + \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
આમ,$f(x) = \frac{1 - \sin^2 x \cos^2 x}{1 - \sin^2 x \cos^2 x} = 1$,તમામ $x \in R$ માટે.
તેથી,$f(2002) = 1$.

(C) આપેલ છે કે $3$ એ $x^2+kx-24=0$ સમીકરણનું બીજ છે.
$x=3$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$(3)^2 + k(3) - 24 = 0$
$9 + 3k - 24 = 0$
$3k - 15 = 0$
$3k = 15 \Rightarrow k = 5$.
હવે,$k=5$ અને $x=3$ મૂકીને વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $C$ માટે: $x^2 - kx + 6 = 0$
$x=3$ અને $k=5$ મૂકતા:
$(3)^2 - (5)(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
આમ,$3$ એ $x^2-kx+6=0$ નું પણ બીજ છે.

(A) ધારો કે $\alpha$ એ બંને સમીકરણોનું સામાન્ય બીજ છે. તો:
$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ $(1)$
$\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$(\alpha^2 - \alpha^2) + (a\alpha - b\alpha) + (b - a) = 0$
$(a - b)\alpha - (a - b) = 0$
$(a - b)(\alpha - 1) = 0$
અહીં $a \neq b$ હોવાથી,$\alpha - 1 = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 1$.
$\alpha = 1$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$(1)^2 + a(1) + b = 0$
$1 + a + b = 0$
$a + b = -1$

(B) પ્રથમ,આપણે $l$ ની ગણતરી કરીએ:
$l = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{3 \sin \theta - 4 \sin^2 \theta}{\theta} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( 3 \frac{\sin \theta}{\theta} - 4 \sin \theta \cdot \frac{\sin \theta}{\theta} \right) = 3(1) - 4(0)(1) = 3$.
આગળ,આપણે $m$ ની ગણતરી કરીએ:
$m = \lim_{\theta \rightarrow 0} \frac{2 \tan \theta}{\theta(1 - \tan^2 \theta)} = \lim_{\theta \rightarrow 0} \left( \frac{\tan \theta}{\theta} \cdot \frac{2}{1 - \tan^2 \theta} \right) = 1 \cdot \frac{2}{1 - 0} = 2$.
$l=3$ અને $m=2$ બીજ ધરાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2 - (l+m)x + lm = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $x^2 - (3+2)x + (3 \times 2) = 0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - 5x + 6 = 0$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણ $x^4-x^2+x-1=0$ છે.
ધારો કે $\alpha = \frac{1+\sqrt{3}i}{2}$. સહગુણકો વાસ્તવિક હોવાથી,તેની અનુબદ્ધ સંખ્યા $\beta = \frac{1-\sqrt{3}i}{2}$ પણ એક બીજ હશે.
બીજનો સરવાળો $\alpha + \beta = \frac{1+\sqrt{3}i + 1-\sqrt{3}i}{2} = 1$.
બીજનો ગુણાકાર $\alpha \beta = \frac{1^2 - (\sqrt{3}i)^2}{4} = \frac{1+3}{4} = 1$.
આ બીજોને અનુરૂપ દ્વિઘાત અવયવ $x^2 - (\alpha+\beta)x + \alpha\beta = x^2 - x + 1 = 0$ છે.
$x^4-x^2+x-1$ ને $x^2-x+1$ વડે ભાગતા,આપણને $x^4-x^2+x-1 = (x^2-x+1)(x^2+x-1) = 0$ મળે છે.
વાસ્તવિક બીજ $x^2+x-1=0$ પરથી મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1-4(1)(-1)}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે $z = \frac{3+2i \sin \theta}{1-2i \sin \theta}$. છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(1+2i \sin \theta)$ વડે અંશ અને છેદને ગુણતા:
$z = \frac{(3+2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}{(1-2i \sin \theta)(1+2i \sin \theta)}$
$z = \frac{3 + 6i \sin \theta + 2i \sin \theta + 4i^2 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta}$
$i^2 = -1$ હોવાથી:
$z = \frac{3 - 4 \sin^2 \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} + i \left( \frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} \right)$
$z$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\frac{8 \sin \theta}{1 + 4 \sin^2 \theta} = 0$
આથી $\sin \theta = 0$.
$0 < \theta < 2\pi$ આપેલ હોવાથી,$\theta = \pi$ મળે.

(D) સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ ના સહગુણકો $a$ અને $b$ વાસ્તવિક હોવાથી,તેના સંકર બીજ હંમેશા અનુબદ્ધ જોડીમાં હોય છે.
આપેલ છે કે $1-i$ એક બીજ છે,તેથી તેનું અનુબદ્ધ $1+i$ પણ સમીકરણનું બીજ થશે.
દ્વિઘાત સમીકરણ $x^2+ax+b=0$ માટે,બીજનો ગુણાકાર અચળ પદ $b$ જેટલો થાય છે.
તેથી,$b = (1-i)(1+i)$.
નિત્યસમ $(x-y)(x+y) = x^2-y^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$b = 1^2 - i^2$.
કારણ કે $i^2 = -1$,તેથી:
$b = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે હાઇપરબોલિક સાઇન વિધેયની વ્યાખ્યા $\sinh(z) = \frac{e^z - e^{-z}}{2}$ છે.
$z = ix$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\sinh(ix) = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2}$.
ઓઈલરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2} = i \sin x$.
તેથી,$\sinh(ix) = i \sin x$.

(C) ઉપલબ્ધ એકી અંકો $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ છે.
આ $5$ ભિન્ન અંકોનો ઉપયોગ કરીને બનતી $5$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $5! = 120$ છે.
જો સંખ્યાનો છેલ્લો અંક $5$ હોય,તો તે સંખ્યા $5$ વડે વિભાજ્ય ગણાય.
જો છેલ્લો અંક $5$ નિશ્ચિત હોય,તો બાકીના $4$ સ્થાન બાકીના $4$ અંકો $\{1, 3, 7, 9\}$ દ્વારા $4!$ રીતે ભરી શકાય.
$5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $5$ અંકની સંખ્યાઓ $= 4! = 24$.
તેથી,$5$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી $5$ અંકની સંખ્યાઓ $= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$.

(A) $n$ ભિન્ન વસ્તુઓની વર્તુળાકાર ક્રમચયની સંખ્યા $(n-1)!$ છે.
હાર માટે,ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં ગોઠવણી સમાન ગણાય છે,તેથી રીતોની સંખ્યા $\frac{(n-1)!}{2}$ થાય.
અહીં,$n = 8$.
રીતોની સંખ્યા = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2} = \frac{5040}{2} = 2520$.

(C) $\left(x^2+\frac{k}{x}\right)^5$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ નીચે મુજબ છે:
$T_{r+1} = { }^5 C_r (x^2)^{5-r} (\frac{k}{x})^r$
$T_{r+1} = { }^5 C_r k^r x^{10-3r}$
$x$ ના સહગુણક માટે,$x$ નો ઘાતાંક $1$ લેતા:
$10 - 3r = 1$
$3r = 9 \Rightarrow r = 3$
$r = 3$ મૂકતા,સહગુણક:
સહગુણક $= { }^5 C_3 k^3 = 10 k^3$
આપેલ છે કે સહગુણક $270$ છે:
$10 k^3 = 270$
$k^3 = 27$
$k = 3$

(B) $(1+x)^n$ ના વિસ્તરણમાં $p$ મું પદ $T_p = { }^n C_{p-1} x^{p-1}$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $p = { }^n C_{p-1}$ છે.
$(p+1)$ મું પદ $T_{p+1} = { }^n C_p x^p$ છે,તેથી તેનો સહગુણક $q = { }^n C_p$ છે.
દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણોત્તર $\frac{q}{p} = \frac{{ }^n C_p}{{ }^n C_{p-1}} = \frac{n-p+1}{p}$ છે.
તેથી,$q = n-p+1$.
આમ,$p+q = p + n - p + 1 = n+1$.

(C) કોઈપણ બહુપદી $P(x)$ ના વિસ્તરણમાં સહગુણકોનો સરવાળો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$ મૂકીએ છીએ.
આપેલ પદાવલિ $(1+x+x^2)^n$ છે.
$x = 1$ મૂકતા:
$(1 + 1 + 1^2)^n = (1 + 1 + 1)^n = 3^n$.
આમ,સહગુણકોનો સરવાળો $3^n$ છે.

(C) ધારો કે $E = \cos ^2 76^{\circ}+\cos ^2 16^{\circ}-\cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$.
$\cos^2 \theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{1+\cos 152^{\circ}}{2} + \frac{1+\cos 32^{\circ}}{2} - \cos 76^{\circ} \cos 16^{\circ}$
$\cos C + \cos D = 2\cos\frac{C+D}{2}\cos\frac{C-D}{2}$ સૂત્ર મુજબ:
$\cos 152^{\circ} + \cos 32^{\circ} = \cos 92^{\circ}$ થાય છે.
તેથી,$E = 1 + \frac{1}{2}(\cos 92^{\circ}) - \frac{1}{2}(\cos 92^{\circ} + \cos 60^{\circ})$
$E = 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(C) આપણી પાસે $\sum_{k=1}^3 \cos ^2\left((2 k-1) \frac{\pi}{12}\right) = \cos ^2 \frac{\pi}{12} + \cos ^2 \frac{3 \pi}{12} + \cos ^2 \frac{5 \pi}{12}$ છે.
કારણ કે $\frac{3 \pi}{12} = \frac{\pi}{4}$,તેથી $\cos ^2 \frac{\pi}{4} = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,પદાવલિ $\cos ^2 \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} + \cos ^2 \frac{5 \pi}{12}$ બને છે.
નિત્યસમ $\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \frac{5 \pi}{12} = \cos(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12}) = \sin \frac{\pi}{12}$ મળે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} + \cos ^2 \frac{\pi}{12} + \sin ^2 \frac{\pi}{12}$ મળે છે.
કારણ કે $\cos ^2 \theta + \sin ^2 \theta = 1$,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$ થાય.

(D) ધારો કે વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ છે.
બિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c = 0$ મળે.
બિંદુ $(2,0)$ માટે,$4 + 4g = 0 \Rightarrow g = -1$.
બિંદુ $(0,-2)$ માટે,$4 - 4f = 0 \Rightarrow f = 1$.
આમ,વર્તુળનું સમીકરણ $x^2 + y^2 - 2x + 2y = 0$ છે.
બિંદુ $(k,-2)$ આ વર્તુળ પર હોવાથી:
$k^2 + (-2)^2 - 2(k) + 2(-2) = 0$
$k^2 + 4 - 2k - 4 = 0$
$k(k - 2) = 0$
બિંદુઓ ભિન્ન હોવાથી,$k = 2$ મળે.

(A) ધારો કે જૂના યામ $(x, y)$ છે અને નવા યામ $(x', y')$ છે. અક્ષોને $\theta$ ખૂણે ફેરવવા માટેના રૂપાંતરણ સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
આપેલ છે કે $\theta = 45^{\circ}$,$x' = \sqrt{2}$,અને $y' = 4$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$x = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} - 4 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 - 2\sqrt{2}$
$y = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} + 4 \cos 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 + 2\sqrt{2}$
આમ,જૂની પદ્ધતિમાં યામ $(1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$ છે.

(B) આપેલી રેખા $2x - 3y + 7 = 0$ છે.
આપેલી રેખાને લંબ રેખાનું સમીકરણ $3x + 2y + k = 0$ સ્વરૂપમાં હોય.
અંતઃખંડ શોધવા માટે,$y = 0$ લેતા: $3x + k = 0 \Rightarrow x = -\frac{k}{3}$.
$x = 0$ લેતા: $2y + k = 0 \Rightarrow y = -\frac{k}{2}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_{intercept} \cdot y_{intercept}| = 3$ છે.
$\frac{1}{2} |(-\frac{k}{3}) \cdot (-\frac{k}{2})| = 3$.
$\frac{1}{2} |\frac{k^2}{6}| = 3$.
$|k^2| = 36 \Rightarrow k = \pm 6$.
$k$ ની કિંમત $3x + 2y + k = 0$ માં મૂકતા,આપણને $3x + 2y = \pm 6$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખાઓની જોડીનું સમીકરણ $xy-x-y+1=0$ છે.
અવયવ પાડતા: $x(y-1)-1(y-1)=0$,જે $(x-1)(y-1)=0$ આપે છે.
આ બે રેખાઓ દર્શાવે છે: $x=1$ અને $y=1$.
આ બે રેખાઓનું છેદબિંદુ $(1, 1)$ છે.
આ રેખાઓ રેખા $ax+2y-3a=0$ સાથે સંગામી હોવાથી,બિંદુ $(1, 1)$ એ રેખા $ax+2y-3a=0$ ના સમીકરણનું સમાધાન કરવું જોઈએ.
$x=1$ અને $y=1$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $a(1)+2(1)-3a=0$.
$a+2-3a=0$.
$-2a+2=0$.
$2a=2$.
$a=1$.

(D) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. ઉગમબિંદુથી અંતર $c$ હોવાથી,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$. વર્તુળનું કેન્દ્ર $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}) = (x, y)$ છે. તેથી $a=2x, b=2y$. કિંમતો મૂકતા,$\frac{1}{4x^2} + \frac{1}{4y^2} = \frac{1}{c^2}$.

(B) ધારો કે વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ પ્રથમ ચરણમાં છે અને બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $(r, r)$ થાય.
વર્તુળનું સમીકરણ $(x - r)^2 + (y - r)^2 = r^2$ છે.
વર્તુળ રેખા $4x + 3y - 12 = 0$ ને સ્પર્શે છે. કેન્દ્ર $(r, r)$ થી રેખાનું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $r$ જેટલું હોવું જોઈએ:
$\frac{|4r + 3r - 12|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = r$
$\frac{|7r - 12|}{5} = r$
આનાથી બે કિસ્સા મળે છે:
$1) 7r - 12 = 5r$ $\Rightarrow 2r = 12$ $\Rightarrow r = 6$
$2) 7r - 12 = -5r$ $\Rightarrow 12r = 12$ $\Rightarrow r = 1$
આપણે મોટા વર્તુળની ત્રિજ્યા શોધવાની હોવાથી,ત્રિજ્યા $6$ છે.

(B) વર્તુળ ત્રીજા ચરણમાં બંને યામ અક્ષોને સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર બંને અક્ષોથી ઋણ દિશામાં $5$ એકમ દૂર હોવું જોઈએ.
તેથી,વર્તુળનું કેન્દ્ર $(-5, -5)$ છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5$ આપેલી છે.
કેન્દ્ર $(h, k)$ અને ત્રિજ્યા $r$ ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
$h = -5$,$k = -5$,અને $r = 5$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x - (-5))^2 + (y - (-5))^2 = 5^2$
$(x+5)^2 + (y+5)^2 = 25$.

(A) વર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2=r^2$ છે,જેનું કેન્દ્ર $(0,0)$ અને ત્રિજ્યા $r$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $mx-y+c=0$ છે.
રેખા વર્તુળને બે ભિન્ન બિંદુઓમાં છેદે છે જો કેન્દ્ર $(0,0)$ થી રેખા પરના લંબનું અંતર ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઓછું હોય.
લંબ અંતર $d$ નીચે મુજબ છે:
$d = \frac{|m(0) - (0) + c|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}}$.
$d < r$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{|c|}{\sqrt{m^2+1}} < r$
$|c| < r \sqrt{m^2+1}$
આ અસમતા સૂચવે છે કે:
$-r \sqrt{m^2+1} < c < r \sqrt{m^2+1}$.

(C) આપેલ છે કે નાભિ $S(3,0)$ છે,ધારો કે $P(x, y)$ એ પરવલય પરનું કોઈ બિંદુ છે.
પરવલયની વ્યાખ્યા મુજબ,$P$ થી નાભિ $S$ નું અંતર એ $P$ થી નિયામિકાના લંબ અંતર જેટલું હોય છે.
$SP^2 = PM^2$
$(x-3)^2 + (y-0)^2 = (x+3)^2$
$y^2 = (x+3)^2 - (x-3)^2$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y^2 = (x+3+x-3)(x+3-x+3)$
$y^2 = (2x)(6)$
$y^2 = 12x$

(C) ધારો કે પરવલય $y^2 = 4ax$ છે. ધારો કે $P(at_1^2, 2at_1)$ અને $Q(at_2^2, 2at_2)$ એ પરવલય પરના બે બિંદુઓ છે જેથી $PQ$ એ નાભિ $S(a, 0)$ માંથી પસાર થતી નાભિસ્થ જીવા છે.
જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $y(t_1 + t_2) = 2x + 2at_1t_2$ છે.
તે $(a, 0)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$0 = 2a + 2at_1t_2$,જેનો અર્થ છે કે $t_1t_2 = -1$.
ધારો કે $(x_1, y_1)$ એ પરવલય $y^2 = 4ax$ ની સાપેક્ષમાં જીવા $PQ$ નો ધ્રુવ છે.
$(x_1, y_1)$ ના ધ્રુવીયનું સમીકરણ $yy_1 = 2a(x + x_1)$ છે,જેને $yy_1 - 2ax = 2ax_1$ તરીકે લખી શકાય.
આને જીવાના સમીકરણ $y(t_1 + t_2) - 2x = 2at_1t_2$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = \frac{-2a}{-2} = \frac{2ax_1}{2at_1t_2}$
$\frac{y_1}{t_1 + t_2} = a$ પરથી,આપણને $y_1 = a(t_1 + t_2)$ મળે છે.
$a = \frac{x_1}{t_1t_2}$ પરથી,આપણને $x_1 = at_1t_2$ મળે છે.
કારણ કે $t_1t_2 = -1$,આપણને $x_1 = a(-1) = -a$ મળે છે.
આમ,ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ નો બિંદુપથ $x = -a$ છે,જે પરવલયની નિયામિકા છે.

(A) રેખાનું સમીકરણ $x+4y-4=0$ છે. $lx+my+n=0$ સાથે સરખાવતા,$l=1, m=4, n=-4$ મળે છે.
ઉપવલયનું સમીકરણ $x^2+4y^2=4$ છે,જેને $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{1}=1$ તરીકે લખી શકાય.
અહીં,$a^2=4$ અને $b^2=1$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ના સંદર્ભમાં રેખા $lx+my+n=0$ ના ધ્રુવ $(x_1, y_1)$ માટેનું સૂત્ર:
$x_1 = -\frac{a^2l}{n}$ અને $y_1 = -\frac{b^2m}{n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x_1 = -\frac{4 \times 1}{-4} = 1$
$y_1 = -\frac{1 \times 4}{-4} = 1$
આમ,ધ્રુવ $(1,1)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ એ અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $|A| \neq 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે વ્યસ્ત શ્રેણિક $A^{-1}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
સમીકરણ $AB = O$ આપેલ છે,જ્યાં $O$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.
બંને બાજુએ ડાબી બાજુથી $A^{-1}$ વડે ગુણતા:
$A^{-1}(AB) = A^{-1}O$
$(A^{-1}A)B = O$
$IB = O$
$B = O$
તેથી,$B$ એ શૂન્ય શ્રેણિક છે.

(C) આપેલ વિધેયો $f(x) = 3x - 4$ અને $g(x) = 3x + 2$ છે.
$f^{-1}(y)$ શોધવા માટે,ધારો કે $f(x) = y$.
$3x - 4 = y \implies 3x = y + 4 \implies x = \frac{y + 4}{3}$.
તેથી,$f^{-1}(y) = \frac{y + 4}{3}$.
હવે,$f^{-1}(5) = \frac{5 + 4}{3} = \frac{9}{3} = 3$.
$g^{-1}(z)$ શોધવા માટે,ધારો કે $g(x) = z$.
$3x + 2 = z \implies 3x = z - 2 \implies x = \frac{z - 2}{3}$.
તેથી,$g^{-1}(z) = \frac{z - 2}{3}$.
અંતે,$g^{-1}(f^{-1}(5)) = g^{-1}(3) = \frac{3 - 2}{3} = \frac{1}{3}$.

(A) વિધેય $f(x)$ એ $x = 0$ આગળ સતત હોવા માટે,ડાબી બાજુનું લક્ષ,જમણી બાજુનું લક્ષ અને $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $x = 0$ આગળ ડાબી બાજુનું લક્ષ $(LHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0-h) = \lim_{h \rightarrow 0} (a^2 \cos^2 h + b^2 \sin^2 h) = a^2(1)^2 + b^2(0)^2 = a^2$.
$2$. $x = 0$ આગળ જમણી બાજુનું લક્ષ $(RHL)$:
$\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(0+h) = \lim_{h \rightarrow 0} e^{a(h)+b} = e^b$.
$3$. $x = 0$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય:
$f(0) = a^2 \cos^2(0) + b^2 \sin^2(0) = a^2$.
વિધેય સતત હોવાથી,$LHL = RHL = f(0)$,તેથી:
$a^2 = e^b$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા:
$\ln(a^2) = \ln(e^b)$
$2 \ln |a| = b$
આમ,$b = 2 \log |a|$.

(B) આપેલ વક્રો $x=y^2$ $(i)$ અને $xy=a^3$ (ii) છે.
વક્ર $(i)$ માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $1 = 2y \frac{dy}{dx} \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2y}$.
વક્ર (ii) માટે,$x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા: $x \frac{dy}{dx} + y = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.
છેદબિંદુ શોધવા માટે,$x=y^2$ ને $xy=a^3$ માં મૂકતા: $y^2 \cdot y = a^3 \Rightarrow y^3 = a^3 \Rightarrow y = a$.
તેથી $x = a^2$. આમ છેદબિંદુ $(a^2, a)$ છે.
ધારો કે $(a^2, a)$ આગળ સ્પર્શકોના ઢાળ $m_1$ અને $m_2$ છે.
$m_1 = \left(\frac{1}{2y}\right)_{(a^2, a)} = \frac{1}{2a}$.
$m_2 = \left(-\frac{y}{x}\right)_{(a^2, a)} = -\frac{a}{a^2} = -\frac{1}{a}$.
વક્રો લંબરૂપે છેદતા હોવાથી,$m_1 m_2 = -1$.
$\left(\frac{1}{2a}\right) \left(-\frac{1}{a}\right) = -1$.
$-\frac{1}{2a^2} = -1$.
$2a^2 = 1 \Rightarrow a^2 = \frac{1}{2}$.

(A) ધારો કે $f(x) = \log(1+x) - \frac{2x}{2+x}$.
વિધેય વ્યાખ્યાયિત થવા માટે,$1+x > 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે $x > -1$.
હવે,વિકલિત $f'(x)$ શોધો:
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{(2+x)(2) - 2x(1)}{(2+x)^2}$
$f'(x) = \frac{1}{1+x} - \frac{4+2x-2x}{(2+x)^2} = \frac{1}{1+x} - \frac{4}{(2+x)^2}$
વિધેય વધતું હોવા માટે,$f'(x) > 0$:
$\frac{(2+x)^2 - 4(1+x)}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{4+x^2+4x - 4 - 4x}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
$\frac{x^2}{(1+x)(2+x)^2} > 0$
કારણ કે $x^2 \ge 0$ અને $x \neq -2$ માટે $(2+x)^2 > 0$,અસમતા ત્યારે જ સાચી ઠરે છે જ્યારે $1+x > 0$ અને $x \neq 0$ હોય.
આમ,$x > -1$ અને $x \neq 0$.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = x e^{-x}$ છે.
ક્રિટિકલ પોઈન્ટ્સ શોધવા માટે,આપણે ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ વિકલન $f'(x)$ મેળવીએ છીએ:
$f'(x) = (1)e^{-x} + x(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$.
મહત્તમ કે ન્યૂનતમ કિંમત માટે $f'(x) = 0$ લેતા:
$e^{-x}(1 - x) = 0$.
કોઈપણ $x \in R$ માટે $e^{-x} \neq 0$ હોવાથી,$1 - x = 0$ મળે,જેનો અર્થ છે $x = 1$.
હવે,મહત્તમ કિંમત ચકાસવા માટે આપણે દ્વિતીય વિકલન $f''(x)$ મેળવીએ છીએ:
$f''(x) = \frac{d}{dx}[e^{-x} - x e^{-x}] = -e^{-x} - [e^{-x} - x e^{-x}] = e^{-x}(x - 2)$.
$x = 1$ આગળ કિંમત મુકતા:
$f''(1) = e^{-1}(1 - 2) = -e^{-1} < 0$.
દ્વિતીય વિકલન $x = 1$ આગળ ઋણ હોવાથી,વિધેય $x = 1$ આગળ મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે.

(C) આપણી પાસે છે,$I = \int \frac{dx}{1-\cos x-\sin x}$.
અડધા ખૂણાના સૂત્રો $\cos x = \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ અને $\sin x = \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{dx}{1 - \frac{1-\tan^2(x/2)}{1+\tan^2(x/2)} - \frac{2\tan(x/2)}{1+\tan^2(x/2)}}$
$I = \int \frac{(1+\tan^2(x/2)) dx}{1+\tan^2(x/2) - 1 + \tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)}$
$I = \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{2\tan^2(x/2) - 2\tan(x/2)} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2(x/2) dx}{\tan(x/2)(\tan(x/2)-1)}$.
ધારો કે $z = \tan(x/2)$,તો $dz = \frac{1}{2}\sec^2(x/2) dx$,તેથી $\sec^2(x/2) dx = 2dz$.
$I = \int \frac{2dz}{2z(z-1)} = \int \frac{dz}{z(z-1)}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}$.
$I = \int \left(\frac{1}{z-1} - \frac{1}{z}\right) dz = \log|z-1| - \log|z| + C = \log\left|\frac{z-1}{z}\right| + C$.
$z = \tan(x/2)$ પાછું મૂકતા:
$I = \log\left|\frac{\tan(x/2)-1}{\tan(x/2)}\right| + C = \log|1 - \cot(x/2)| + C$.

(B) ધારો કે $I = \int \frac{dx}{7+5 \cos x}$.
નિત્યસમ $\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}$ અને $1 = \cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int \frac{dx}{7(\cos^2 \frac{x}{2} + \sin^2 \frac{x}{2}) + 5(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2})}$
$I = \int \frac{dx}{12 \cos^2 \frac{x}{2} + 2 \sin^2 \frac{x}{2}}$
અંશ અને છેદને $\cos^2 \frac{x}{2}$ વડે ભાગતા:
$I = \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{12 + 2 \tan^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \int \frac{\sec^2 \frac{x}{2} dx}{6 + \tan^2 \frac{x}{2}}$
ધારો કે $\tan \frac{x}{2} = z$,તેથી $\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} dx = dz$.
$I = \int \frac{dz}{6 + z^2} = \int \frac{dz}{(\sqrt{6})^2 + z^2}$
સૂત્ર $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \frac{z}{\sqrt{6}} + c = \frac{1}{\sqrt{6}} \tan^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{6}} \tan \frac{x}{2}\right) + c$.

(A) ધારો કે $I = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{9^x-1}} = \int \frac{3^x \, dx}{\sqrt{(3^x)^2-1}}$.
$3^x = z$ આદેશ લેતા,બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા $3^x \log 3 \, dx = dz$ મળે,એટલે કે $3^x \, dx = \frac{dz}{\log 3}$.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{\log 3} \int \frac{dz}{\sqrt{z^2-1}}$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{dt}{\sqrt{t^2-a^2}} = \log |t + \sqrt{t^2-a^2}| + c$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \frac{1}{\log 3} \log |z + \sqrt{z^2-1}| + c$.
હવે $z = 3^x$ પાછું મૂકતા:
$I = \frac{1}{\log 3} \log |3^x + \sqrt{9^x-1}| + c$.

(B) અહીં વિધેય $f(x) = \sin^4 x \cos^6 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી:
$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx = 2 \int_0^{\pi / 2} \sin ^4 x \cos ^6 x \, dx$
વોલિસના સૂત્ર $\int_0^{\pi/2} \sin^m x \cos^n x \, dx = \frac{\Gamma(\frac{m+1}{2}) \Gamma(\frac{n+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{m+n+2}{2})}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = 2 \times \frac{\Gamma(\frac{4+1}{2}) \Gamma(\frac{6+1}{2})}{2 \Gamma(\frac{4+6+2}{2})} = \frac{\Gamma(\frac{5}{2}) \Gamma(\frac{7}{2})}{\Gamma(6)}$
$\Gamma(n+1) = n\Gamma(n)$ અને $\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\Gamma(\frac{5}{2}) = \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{3}{4} \sqrt{\pi}$
$\Gamma(\frac{7}{2}) = \frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{\pi} = \frac{15}{8} \sqrt{\pi}$
$\Gamma(6) = 5! = 120$
$I = \frac{(\frac{3}{4} \sqrt{\pi}) (\frac{15}{8} \sqrt{\pi})}{120} = \frac{45 \pi}{32 \times 120} = \frac{3 \pi}{256}$

(B) આપણી પાસે છે,
$\int_2^3 \frac{d x}{x^2-x} = \int_2^3 \frac{1}{x(x-1)} d x$
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{1}{x(x-1)} = \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x}$
તેથી,$\int_2^3 \left( \frac{1}{x-1} - \frac{1}{x} \right) d x = [\log |x-1| - \log |x|]_2^3$
$= [\log |\frac{x-1}{x}|]_2^3$
$= \log |\frac{3-1}{3}| - \log |\frac{2-1}{2}|$
$= \log \frac{2}{3} - \log \frac{1}{2}$
$= \log \left( \frac{2/3}{1/2} \right) = \log \frac{4}{3}$

(A) આપેલ સંકલન $\int_{1}^{9} x^2 dx$ માટે $n = 4$ અંતરાલો છે.
દરેક અંતરાલની પહોળાઈ $h = \frac{9-1}{4} = 2$ છે.
$x$ ના મૂલ્યો $x_0=1, x_1=3, x_2=5, x_3=7, x_4=9$ છે.
$y = f(x) = x^2$ ના અનુરૂપ મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$y_0 = f(1) = 1^2 = 1$
$y_1 = f(3) = 3^2 = 9$
$y_2 = f(5) = 5^2 = 25$
$y_3 = f(7) = 7^2 = 49$
$y_4 = f(9) = 9^2 = 81$
ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_{a}^{b} f(x) dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3) + y_4]$
કિંમતો મૂકતા:
$\int_{1}^{9} x^2 dx \approx \frac{2}{2} [1 + 2(9 + 25 + 49) + 81]$
$\int_{1}^{9} x^2 dx \approx 1 [1 + 2(83) + 81]$
$\int_{1}^{9} x^2 dx \approx 1 + 166 + 81 = 248$.

(A) $(h, k)$ પર કેન્દ્રિત તમામ સમકેન્દ્રી વર્તુળોના પરિવારનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
અહીં,$(h, k)$ એ નિશ્ચિત અચળાંકો (કેન્દ્ર) છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે,જે એકમાત્ર સ્વૈચ્છિક અચળાંક છે.
કારણ કે અહીં માત્ર એક જ સ્વૈચ્છિક અચળાંક $(r)$ છે,તેથી વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ સ્વૈચ્છિક અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
તેથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = (\frac{x}{y})^{-1/3}$ છે.
જમણી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા,$\frac{dy}{dx} = (\frac{y}{x})^{1/3} = \frac{y^{1/3}}{x^{1/3}}$ મળે.
ચલને અલગ કરતા,$y^{-1/3} dy = x^{-1/3} dx$ મળે.
બંને બાજુ સંકલન કરતા,$\int y^{-1/3} dy = \int x^{-1/3} dx$ મળે.
સંકલનના ઘાતનો નિયમ $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ વાપરતા,$\frac{y^{2/3}}{2/3} = \frac{x^{2/3}}{2/3} + C'$ મળે.
$\frac{2}{3}$ વડે ગુણતા,$y^{2/3} = x^{2/3} + \frac{2}{3}C'$ મળે.
ધારો કે $c = \frac{2}{3}C'$,તેથી $y^{2/3} - x^{2/3} = c$ મળે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{1}{3}$ અને $Q = 1$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{1}{3} dx} = e^{x/3}$ દ્વારા મળે છે.
સમીકરણની બંને બાજુઓને $IF$ વડે ગુણતા:
$e^{x/3} \frac{dy}{dx} + \frac{1}{3} e^{x/3} y = e^{x/3}$
આને નીચે મુજબ લખી શકાય:
$\frac{d}{dx} (y \cdot e^{x/3}) = e^{x/3}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$y \cdot e^{x/3} = \int e^{x/3} dx + c$
$y \cdot e^{x/3} = 3e^{x/3} + c$
$e^{x/3}$ વડે ભાગતા:
$y = 3 + ce^{-x/3}$

(A) આપેલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} - y = x^2$ છે.
આ એક સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે જે $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $P = -1$ અને $Q = x^2$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$y e^{-x} = \int x^2 e^{-x} dx + c$.
ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા,$\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x} + c$.
તેથી,$y e^{-x} = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$.
બંને બાજુ $e^x$ વડે ગુણતા,$y = -(x^2 + 2x + 2) + ce^x$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,$y + x^2 + 2x + 2 = ce^x$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે સ્થાન સદિશો $A = \hat{i} + x\hat{j} + 3\hat{k}$,$B = 3\hat{i} + 4\hat{j} + 7\hat{k}$,અને $C = y\hat{i} - 2\hat{j} - 5\hat{k}$ છે.
બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,સદિશો $\vec{AB}$ અને $\vec{BC}$ સમાંતર હોવા જોઈએ,એટલે કે કોઈ અદિશ $t$ માટે $\vec{AB} = t\vec{BC}$ થાય.
સૌ પ્રથમ,સદિશોની ગણતરી કરીએ:
$\vec{AB} = (3-1)\hat{i} + (4-x)\hat{j} + (7-3)\hat{k} = 2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k}$.
$\vec{BC} = (y-3)\hat{i} + (-2-4)\hat{j} + (-5-7)\hat{k} = (y-3)\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$.
$\vec{AB} = t\vec{BC}$ ને સરખાવતા:
$2\hat{i} + (4-x)\hat{j} + 4\hat{k} = t(y-3)\hat{i} - 6t\hat{j} - 12t\hat{k}$.
$\hat{k}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$4 = -12t \Rightarrow t = -\frac{1}{3}$.
$\hat{j}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$4 - x = -6t = -6(-\frac{1}{3}) = 2 \Rightarrow x = 2$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકોને સરખાવતા:
$t(y - 3) = 2 \Rightarrow -\frac{1}{3}(y - 3) = 2 \Rightarrow y - 3 = -6 \Rightarrow y = -3$.
આમ,$(x, y) = (2, -3)$.

(D) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, -1, 1)$,$B(1, -3, -5)$ અને $C(3, -4, -4)$ છે.
બાજુઓના સદિશો નીચે મુજબ છે:
$\vec{AB} = (1-2)\hat{i} + (-3 - (-1))\hat{j} + (-5-1)\hat{k} = -\hat{i} - 2\hat{j} - 6\hat{k}$
$\vec{BC} = (3-1)\hat{i} + (-4 - (-3))\hat{j} + (-4 - (-5))\hat{k} = 2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$
$\vec{CA} = (2-3)\hat{i} + (-1 - (-4))\hat{j} + (1 - (-4))\hat{k} = -\hat{i} + 3\hat{j} + 5\hat{k}$
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = |\vec{AB}| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 4 + 36} = \sqrt{41}$
$a = |\vec{BC}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$
$b = |\vec{CA}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$
કાટકોણ ત્રિકોણની શરત $(a^2 + b^2 = c^2)$ તપાસતા:
$a^2 + b^2 = 6 + 35 = 41$
$c^2 = 41$
આમ,$a^2 + b^2 = c^2$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ કાટકોણ ત્રિકોણ છે.

(A) ધારો કે સદિશ $a = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$ છે.
આપેલ છે કે $a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$.
$a \cdot \hat{i} = a \cdot (\hat{i} + \hat{j})$ પરથી,આપણને $a \cdot \hat{i} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot \hat{j} = 0$. આમ,$y = 0$.
$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})$ પરથી,આપણને $a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} = a \cdot \hat{i} + a \cdot \hat{j} + a \cdot \hat{k}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a \cdot \hat{k} = 0$. આમ,$z = 0$.
કારણ કે $a \cdot \hat{i} = x$,અને જો આપણે $a = \hat{i}$ લઈએ,તો $a \cdot \hat{i} = 1$,$a \cdot (\hat{i} + \hat{j}) = 1$,અને $a \cdot (\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}) = 1$ થાય છે.
તેથી,$a = \hat{i}$ એ આપેલ શરતોનું પાલન કરે છે.

(B) સદિશ $\vec{a}$ નો શૂન્યેતર સદિશ $\vec{b}$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ એ $\vec{b}$ ની દિશામાં $\vec{a}$ નો ઘટક છે.
$\vec{a}$ નો $\vec{b}$ પરના પ્રક્ષેપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \hat{b}$
અહીં એકમ સદિશ $\hat{b} = \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$ હોવાથી,આપણે તેને સૂત્રમાં મૂકીએ:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \right) \left( \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} \right)$
આ પદનું સાદુરૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$\text{Proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}}{|\vec{b}|^2}$

(B) આપણને પદાવલિ $(a+b) \cdot ((b+c) \times (a+b+c))$ આપેલ છે.
પ્રથમ,ક્રોસ પ્રોડક્ટ પદનું વિસ્તરણ કરીએ: $(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times b) + (b \times c) + (c \times a) + (c \times b) + (c \times c)$.
કોઈ સદિશનો તેની સાથેનો ક્રોસ પ્રોડક્ટ શૂન્ય હોવાથી ($b \times b = 0$ અને $c \times c = 0$) અને $c \times b = -(b \times c)$,આપણને મળે:
$(b+c) \times (a+b+c) = (b \times a) + (b \times c) + (c \times a) - (b \times c) = (b \times a) + (c \times a)$.
હવે,$(a+b)$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા:
$(a+b) \cdot ((b \times a) + (c \times a)) = a \cdot (b \times a) + a \cdot (c \times a) + b \cdot (b \times a) + b \cdot (c \times a)$.
સ્કેલર ટ્રિપલ પ્રોડક્ટ $[x y z] = x \cdot (y \times z)$ ના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા:
$a \cdot (b \times a) = [a b a] = 0$ (કારણ કે બે સદિશ સમાન છે).
$a \cdot (c \times a) = [a c a] = 0$.
$b \cdot (b \times a) = [b b a] = 0$.
$b \cdot (c \times a) = [b c a]$.
કારણ કે $[b c a] = [a b c]$,અંતિમ પરિણામ $[a b c]$ મળે છે.

(B) રેખાખંડ $PQ$ ને દર્શાવતો સદિશ $\vec{PQ} = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1)$ છે.
સમતલ $x+y+z=3$ નો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (1, 1, 1)$ છે.
સદિશ $\vec{v}$ નો સમતલ પરના પ્રક્ષેપની લંબાઈનું સૂત્ર $L = |\vec{v}| \sin(\theta)$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સદિશ $\vec{v}$ અને અભિલંબ $\vec{n}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
પ્રથમ,$\vec{PQ}$ નું માન શોધો:
$|\vec{PQ}| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
ત્યારબાદ,$\vec{PQ}$ અને $\vec{n}$ વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન શોધો:
$\cos(\theta) = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec{n}|}{|\vec{PQ}| |\vec{n}|} = \frac{|(0)(1) + (-1)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{|0 - 1 + 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}} = 0$.
$\cos(\theta) = 0$ હોવાથી,$\theta = 90^\circ$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sin(\theta) = 1$.
તેથી,પ્રક્ષેપની લંબાઈ $L = |\vec{PQ}| \sin(90^\circ) = \sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$ થાય.

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A(0,0,1)$,$B(0,1,2)$ અને $C(1,0,3)$ છે.
સમતલ પર આવેલા સદિશો $\vec{AB} = (0-0, 1-0, 2-1) = (0,1,1)$ અને $\vec{AC} = (1-0, 0-0, 3-1) = (1,0,2)$ છે.
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{AB} \times \vec{AC}$ દ્વારા મળે છે:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix}$
$\vec{n} = \hat{i}(1 \times 2 - 1 \times 0) - \hat{j}(0 \times 2 - 1 \times 1) + \hat{k}(0 \times 0 - 1 \times 1)$
$\vec{n} = \hat{i}(2) - \hat{j}(-1) + \hat{k}(-1)$
$\vec{n} = 2\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$
તેથી,અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $(2,1,-1)$ છે.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $by + cz + d = 0$ છે.
સમીકરણમાં $x$ ચલ ગેરહાજર હોવાથી,સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 0\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ છે.
આ અભિલંબ સદિશ $YOZ$-સમતલમાં રહેલો છે.
જ્યારે બે સમતલના અભિલંબ સદિશો પરસ્પર લંબ હોય ત્યારે તે બે સમતલ પણ પરસ્પર લંબ હોય છે.
$YOZ$-સમતલનો અભિલંબ $x$-અક્ષ છે,જે $\hat{i}$ છે.
અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = b\hat{j} + c\hat{k}$ અને $x$-અક્ષના સદિશ $\hat{i}$ નો ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,સમતલ $by + cz + d = 0$ એ $YOZ$-સમતલને લંબ છે.

(C) પ્રથમ,આપણે $2001$ ના અવિભાજ્ય અવયવો શોધીએ.
$2001 = 3 \times 23 \times 29$.
આપેલ છે કે $a, b, c$ એ $2001$ ના અવયવો છે જ્યાં $a < b < c$,તેથી $a = 3$,$b = 23$,અને $c = 29$ મળે.
સમતલના અભિલંબના દિકગુણોત્તરો $b, c, a$ એટલે કે $23, 29, 3$ છે.
બિંદુ $(x_0, y_0, z_0)$ માંથી પસાર થતા અને અભિલંબ સદિશ $(b, c, a)$ ધરાવતા સમતલનું સમીકરણ $b(x - x_0) + c(y - y_0) + a(z - z_0) = 0$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$23(x - 1) + 29(y - 1) + 3(z - 1) = 0$.
તેનું વિસ્તરણ કરતા,$23x - 23 + 29y - 29 + 3z - 3 = 0$.
$23x + 29y + 3z - 55 = 0$.
તેથી,સમતલનું સમીકરણ $23x + 29y + 3z = 55$ છે.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $7x + 11y + 13z = 3003$ છે.
આખા સમીકરણને $3003$ વડે ભાગતા,આપણને સમતલનું અંતઃખંડ સ્વરૂપ મળે છે:
$\frac{7x}{3003} + \frac{11y}{3003} + \frac{13z}{3003} = 1$
$\frac{x}{429} + \frac{y}{273} + \frac{z}{231} = 1$
આ સમતલ યામ અક્ષોને $A, B$ અને $C$ બિંદુઓ પર મળે છે. આ બિંદુઓ અનુક્રમે $x, y$ અને $z$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો છે:
$A = (429, 0, 0)$
$B = (0, 273, 0)$
$C = (0, 0, 231)$
શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)$ અને $(x_3, y_3, z_3)$ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, \frac{y_1+y_2+y_3}{3}, \frac{z_1+z_2+z_3}{3}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યકેન્દ્ર $= \left(\frac{429+0+0}{3}, \frac{0+273+0}{3}, \frac{0+0+231}{3}\right)$
મધ્યકેન્દ્ર $= (143, 91, 77)$.

(D) આપેલ છે કે સફળતાની સંભાવના $p = \frac{1}{4}$.
તેથી,નિષ્ફળતાની સંભાવના $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
દ્વિપદી વિતરણનું પ્રમાણિત વિચલન $(SD)$ $\sqrt{npq} = 3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $npq = 9$ મળે છે.
$p$ અને $q$ ની કિંમતો મૂકતા:
$n \times \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = 9$
$n \times \frac{3}{16} = 9$
$n = 9 \times \frac{16}{3} = 48$.
દ્વિપદી વિતરણનો મધ્યક $np$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યક $= 48 \times \frac{1}{4} = 12$.

(A) શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ હાર મુજબ વિસ્તરણ કરીએ:
$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$
$|A| = 1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$
$|A| = 1(1 \times 1 - 0 \times 2) - 0 + 1(2 \times 2 - 1 \times 3)$
$|A| = 1(1 - 0) + 1(4 - 3)$
$|A| = 1(1) + 1(1) = 1 + 1 = 2$
આમ,$\det(A)$ ની કિંમત $2$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણોની સિસ્ટમ:
$x - cy - bz = 0$
$-cx + y - az = 0$
$-bx - ay + z = 0$
કારણ કે $x^2+y^2+z^2 \neq 0$,તેથી આ સિસ્ટમનો શૂન્યેતર ઉકેલ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\begin{vmatrix} 1 & -c & -b \\ -c & 1 & -a \\ -b & -a & 1 \end{vmatrix} = 0$
પ્રથમ હાર મુજબ નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(1 - a^2) - (-c)(-c - ab) + (-b)(ca + b) = 0$
$1 - a^2 - c^2 - abc - abc - b^2 = 0$
$1 - a^2 - b^2 - c^2 - 2abc = 0$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$a^2 + b^2 + c^2 + 2abc = 1$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
આપેલ સમીકરણ: $\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$(\sin ^{-1} x + \cos ^{-1} x) + (\sin ^{-1} x - \cos ^{-1} x) = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$
$2 \sin ^{-1} x = \frac{3\pi + \pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$
$\sin ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$
$x = \sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = \cos^2 x + \sin^4 x$.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = 1 - \sin^2 x + \sin^4 x = 1 - \sin^2 x(1 - \sin^2 x) = 1 - \sin^2 x \cos^2 x$.
$4$ વડે ગુણતા અને ભાગતા,આપણને મળે છે:
$f(x) = 1 - \frac{4 \sin^2 x \cos^2 x}{4} = 1 - \frac{(2 \sin x \cos x)^2}{4} = 1 - \frac{\sin^2 2x}{4}$.
કારણ કે $0 \leq \sin^2 2x \leq 1$,તેથી:
$0 \leq \frac{\sin^2 2x}{4} \leq \frac{1}{4}$.
$-1$ વડે ગુણીને $1$ ઉમેરતા:
$1 - 0 \geq 1 - \frac{\sin^2 2x}{4} \geq 1 - \frac{1}{4}$.
$1 \geq f(x) \geq \frac{3}{4}$.
આમ,વિસ્તાર $f(R) = \left[\frac{3}{4}, 1\right]$ છે.

(A) વિધેય $f(x) = \frac{|x|}{x}$ માટે,જ્યાં $A = \{x \in R, x \neq 0, -4 \leq x \leq 4\}$.
જો $x > 0$ હોય,તો $|x| = x$,તેથી $f(x) = \frac{x}{x} = 1$.
જો $x < 0$ હોય,તો $|x| = -x$,તેથી $f(x) = \frac{-x}{x} = -1$.
કારણ કે $x$ એ $0$ હોઈ શકે નહીં,વિધેય $f(x)$ માત્ર $1$ અને $-1$ કિંમતો ધારણ કરે છે.
તેથી,$f$ નો વિસ્તાર $\{1, -1\}$ છે.

(C) વિધેય $f(x) = x - [x]$ એ અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય છે,જેને $\{x\}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
આપણે કોઈપણ પૂર્ણાંક $n \in Z$ આગળ $f(x)$ ની સાતત્યતા તપાસીએ.
ડાબી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n-h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - [n-h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n-h) - (n-1)) = \lim_{h \rightarrow 0} (1-h) = 1$.
જમણી બાજુનું લક્ષ:
$\lim_{x \rightarrow n^+} f(x) = \lim_{h \rightarrow 0} f(n+h) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - [n+h]) = \lim_{h \rightarrow 0} ((n+h) - n) = \lim_{h \rightarrow 0} h = 0$.
$x=n$ આગળ વિધેયનું મૂલ્ય:
$f(n) = n - [n] = n - n = 0$.
અહીં $\lim_{x \rightarrow n^-} f(x) \neq \lim_{x \rightarrow n^+} f(x)$ હોવાથી,વિધેય $f(x)$ દરેક પૂર્ણાંક $n \in Z$ આગળ અસતત છે.
તેથી,અસતત બિંદુઓનો ગણ $Z$ છે.

(A) આપેલ વિધેય $f(x) = \sqrt{ax} + \frac{a^2}{\sqrt{ax}}$ છે.
આપણે વિધેયને $f(x) = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^2 \cdot \sqrt{a}^{-1} \cdot x^{-1/2} = \sqrt{a} \cdot x^{1/2} + a^{3/2} \cdot x^{-1/2}$ તરીકે લખી શકીએ.
$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,ઘાતનો નિયમ $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ નો ઉપયોગ કરીને:
$f^{\prime}(x) = \sqrt{a} \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} + a^{3/2} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) x^{-3/2}$.
$f^{\prime}(x) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{x}} - \frac{a^{3/2}}{2x\sqrt{x}}$.
હવે,વિકલિતમાં $x = a$ મૂકતા:
$f^{\prime}(a) = \frac{\sqrt{a}}{2\sqrt{a}} - \frac{a^{3/2}}{2a\sqrt{a}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{a^{3/2}}{2a^{3/2}}$.
$f^{\prime}(a) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$.

(B) આપેલ છે કે $z = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$.
પ્રથમ,$\frac{\partial z}{\partial x}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \frac{1}{y} - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \left( -\frac{y}{x^2} \right) \right] - \frac{y}{x^2} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right]$
$x \frac{\partial z}{\partial x} = \cos \left( \frac{x}{y} \right) + \frac{y^2}{x^2} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) - z \quad \dots (i)$
ત્યારબાદ,$\frac{\partial z}{\partial y}$ ની ગણતરી કરીએ:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] + \frac{y}{x} \left[ \cos \left( \frac{x}{y} \right) \cdot \left( -\frac{x}{y^2} \right) - \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} \right]$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{x} \left[ \sin \frac{x}{y} + \cos \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \right] - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right)$
$y \frac{\partial z}{\partial y} = z - \cos \left( \frac{x}{y} \right) - \frac{y}{x} \sin \left( 1 + \frac{y}{x} \right) \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x \frac{\partial z}{\partial x} = -y \frac{\partial z}{\partial y}$.

(B) આપેલ છે કે $f(x)=e^x$ અને $g(x)=\sin^{-1} x$.
તેથી $h(x) = f(g(x)) = e^{\sin^{-1} x}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે $\ln(h(x)) = \sin^{-1} x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{h(x)} \cdot h'(x) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x)$.
આમ,$\frac{h'(x)}{h(x)} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.

(C) આપેલ વિધેય: $y = ae^x + be^{-x} + c$
$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x} + c) = ae^x - be^{-x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં ફરીથી વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x - be^{-x}) = ae^x + be^{-x}$
$x$ ની સાપેક્ષમાં ત્રીજી વાર વિકલન કરતા:
$y^{\prime \prime \prime} = \frac{d}{dx}(ae^x + be^{-x}) = ae^x - be^{-x}$
આ પરિણામને પ્રથમ વિકલન સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $y^{\prime \prime \prime} = y^{\prime}$.

(B) આપેલ છે કે $y=a \cos (\log x)+b \sin (\log x)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$y^{\prime} = \frac{d}{dx} [a \cos (\log x)+b \sin (\log x)] = -a \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x} + b \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} = \frac{-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)}{x}$.
તેથી,$x y^{\prime} = -a \sin (\log x) + b \cos (\log x)$.
હવે,ફરીથી $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dx} (x y^{\prime}) = \frac{d}{dx} [-a \sin (\log x) + b \cos (\log x)]$.
ડાબી બાજુ ગુણાકારનો નિયમ વાપરતા: $x y^{\prime \prime} + y^{\prime} = -a \cos (\log x) \cdot \frac{1}{x} - b \sin (\log x) \cdot \frac{1}{x}$.
બંને બાજુ $x$ વડે ગુણતા:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -[a \cos (\log x) + b \sin (\log x)]$.
કારણ કે $y = a \cos (\log x) + b \sin (\log x)$,તેથી:
$x^2 y^{\prime \prime} + x y^{\prime} = -y$.

(A) આપેલ છે કે $z = \sec(y-ax) + \tan(y+ax)$.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial z}{\partial x} = -a\sec(y-ax)\tan(y-ax) + a\sec^2(y+ax)$.
$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = a^2\sec^3(y-ax) + a^2\sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2a^2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)$.
હવે,$y$ ની સાપેક્ષમાં આંશિક વિકલન મેળવો:
$\frac{\partial z}{\partial y} = \sec(y-ax)\tan(y-ax) + \sec^2(y+ax)$.
$\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = \sec^3(y-ax) + \sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)$.
હવે,$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} - a^2\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}$ ની ગણતરી કરતા:
$= [a^2\sec^3(y-ax) + a^2\sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2a^2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)] - a^2[\sec^3(y-ax) + \sec(y-ax)\tan^2(y-ax) + 2\sec^2(y+ax)\tan(y+ax)]$
$= 0$.

(C) ધારો કે $y = f(x) = x^{3000}$ છે.
આપણે વિકલિતના આશરે મૂલ્યના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ: $f(x + \Delta x) \approx f(x) + f'(x) \Delta x$.
અહીં,$x = 1$ અને $\Delta x = 0.0002$ લો.
તેથી $f(x) = 1^{3000} = 1$ થાય.
વિકલિત $f'(x) = 3000 x^{2999}$ છે.
$x = 1$ આગળ,$f'(1) = 3000(1)^{2999} = 3000$ થાય.
હવે,ફેરફાર $\Delta y \approx f'(x) \Delta x = 3000 \times 0.0002 = 0.6$ ગણો.
તેથી,$f(1.0002) \approx f(1) + \Delta y = 1 + 0.6 = 1.6$ થાય.

(A) આપેલ સંકલન $\int_2^{10} x^2 dx$ છે,જેમાં $n = 4$ અંતરાલો છે.
અહીં,$a = 2$,$b = 10$,અને સ્ટેપ સાઈઝ $h = \frac{b - a}{n} = \frac{10 - 2}{4} = 2$ છે.
બિંદુઓ $x_0 = 2, x_1 = 4, x_2 = 6, x_3 = 8, x_4 = 10$ છે.
$f(x) = x^2$ માટે અનુરૂપ મૂલ્યો નીચે મુજબ છે:
$y_0 = f(2) = 4$
$y_1 = f(4) = 16$
$y_2 = f(6) = 36$
$y_3 = f(8) = 64$
$y_4 = f(10) = 100$
ટ્રેપેઝોઇડલ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\int_a^b f(x) dx \approx \frac{h}{2} [y_0 + 2(y_1 + y_2 + y_3) + y_4]$
$\int_2^{10} x^2 dx \approx \frac{2}{2} [4 + 2(16 + 36 + 64) + 100]$
$= 1 \cdot [4 + 2(116) + 100] = 4 + 232 + 100 = 336$.

(A) $(h, k)$ પર કેન્દ્રિત તમામ સમકેન્દ્રી વર્તુળોના સમૂહનું સમીકરણ $(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ છે.
અહીં $(h, k)$ એ નિશ્ચિત અચળાંકો છે,તેથી આ સમીકરણમાં માત્ર એક જ સ્વૈર અચળાંક (parameter) $r$ છે.
વિકલ સમીકરણનો ક્રમ એ વક્રના સમૂહના વ્યાપક ઉકેલમાં રહેલા સ્વૈર અચળાંકોની સંખ્યા જેટલો હોય છે.
અહીં માત્ર $1$ સ્વૈર અચળાંક $(r)$ હોવાથી,વિકલ સમીકરણનો ક્રમ $1$ છે.

(B) સદિશ $a$ નો સદિશ $b$ પરનો લંબ પ્રક્ષેપ એ $b$ ની દિશામાં $a$ નો ઘટક છે.
$a$ નો $b$ પરના પ્રક્ષેપનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{Proj}_{b} a = \left( \frac{a \cdot b}{|b|^2} \right) b$
આ એક એવો સદિશ દર્શાવે છે જે $b$ ને સમાંતર છે અને તેનું મૂલ્ય $a$ ના $b$ પરના અદિશ પ્રક્ષેપ જેટલું છે.

(D) દિકગુણોત્તરો $(l, m, n)$ માટે આપેલા સમીકરણો:
$l+m-n=0$ $(i)$
$l^2+m^2-n^2=0$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$l = n-m$ મળે છે.
આ કિંમત સમીકરણ (ii) માં મૂકતા:
$(n-m)^2 + m^2 - n^2 = 0$
$n^2 + m^2 - 2nm + m^2 - n^2 = 0$
$2m^2 - 2nm = 0$
$2m(m-n) = 0$
આથી બે કિસ્સા મળે છે: $m=0$ અથવા $m=n$.
કિસ્સો $1$: જો $m=0$ હોય,તો $l=n$. દિકગુણોત્તરો $(1, 0, 1)$ મળે છે.
કિસ્સો $2$: જો $m=n$ હોય,તો $l=0$. દિકગુણોત્તરો $(0, 1, 1)$ મળે છે.
ધારો કે બે રેખાઓના દિકગુણોત્તરો $\vec{a} = (1, 0, 1)$ અને $\vec{b} = (0, 1, 1)$ છે.
તેમની વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ નો કોસાઇન:
$\cos \theta = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| |\vec{b}|} = \frac{|(1)(0) + (0)(1) + (1)(1)|}{\sqrt{1^2+0^2+1^2} \sqrt{0^2+1^2+1^2}}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,લઘુકોણ $\theta = \frac{\pi}{3}$ થાય.

(D) સંભાવના વિતરણમાં સંભાવનાઓનો સરવાળો હંમેશા $1$ હોય છે.
આપેલ છે કે $P(X=0) = 0.4$.
$P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = 1$ હોવાથી,$0.4 + P(X=1) + P(X=2) = 1$ મળે.
$P(X=1) + P(X=2) = 0.6$.
આપેલ છે કે $P(X=1) = P(X=2)$,ધારો કે $P(X=1) = P(X=2) = p$.
તેથી $p + p = 0.6 \Rightarrow 2p = 0.6 \Rightarrow p = 0.3$.
આમ,$P(X=1) = 0.3$ અને $P(X=2) = 0.3$.
મધ્યક $E(X)$ એ $\sum x_i P(x_i)$ દ્વારા મળે છે.
$E(X) = (0 \times P(X=0)) + (1 \times P(X=1)) + (2 \times P(X=2))$.
$E(X) = (0 \times 0.4) + (1 \times 0.3) + (2 \times 0.3)$.
$E(X) = 0 + 0.3 + 0.6 = 0.9$.

(C) આપેલ છે કે પોઈસન વિતરણનો મધ્યક $\lambda = \frac{1}{2}$ છે.
પોઈસન વિતરણનું સંભાવના દળ વિધેય $P(X=n) = \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે ગુણોત્તર $\frac{P(X=3)}{P(X=2)}$ શોધવાનો છે.
$P(X=3) = \frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}$ અને $P(X=2) = \frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}$.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P(X=3)}{P(X=2)} = \frac{\frac{(\frac{1}{2})^3 e^{-1/2}}{3!}}{\frac{(\frac{1}{2})^2 e^{-1/2}}{2!}}$
$= \frac{(\frac{1}{2})^3}{3!} \times \frac{2!}{(\frac{1}{2})^2}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2!}{3!}$
$= \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:6$ છે.