$y+x^2=\frac{dy}{dx}$ નો ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $y=y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{\sqrt{2}y}{2\cos^4 x - \cos 2x} = x e^{\tan^{-1}(\sqrt{2} \cot 2x)}$,$0 < x < \pi/2$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(\pi/4) = \pi^2/32$. જો $y(\pi/3) = \frac{\pi^2}{18} e^{-\tan^{-1}(\alpha)}$ હોય,તો $3\alpha^2$ ની કિંમત શોધો.

$25 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-10 \frac{d y}{d x}+y=0$,$y(0)=1, y(1)=2 e^{1 / 5}$ નો ઉકેલ શોધો.

કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $\alpha$ અને $\beta$ માટે,ધારો કે $y_{\alpha, \beta}(x), x \in R$,એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}+\alpha y=x e^{\beta x}, y(1)=1$ નો ઉકેલ છે. ધારો કે $S=\{y_{\alpha, \beta}(x): \alpha, \beta \in R\}$. તો નીચેનામાંથી કયા વિધેયો ગણ $S$ માં સમાવિષ્ટ છે?

વિકલ સમીકરણ $(1+y^2) dx = (\tan^{-1} y - x) dy$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{y \ln y}{x} = \frac{y(\ln y)^2}{x^2}$ નો વ્યાપક ઉકેલ (જ્યાં $C$ એ સ્વૈર અચળાંક છે) શોધો: