PhysicsQ1–52 of 52 questions
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1
PhysicsEasyMCQAP EAMCET · 2002
$m, 2m, 3m, \ldots, nm$ ग्राम द्रव्यमान वाले कणों को एक निश्चित बिंदु से $l, 2l, 3l, \ldots, nl$ सेमी की दूरी पर एक ही रेखा पर रखा गया है। निश्चित बिंदु से कणों के द्रव्यमान केंद्र की दूरी सेंटीमीटर में क्या होगी?
A
$\frac{(2n+1)l}{3}$
B
$\frac{l}{n+1}$
C
$\frac{n(n^2+1)l}{2}$
D
$\frac{2l}{n(n^2+1)}$
Solution
(A) निश्चित बिंदु से द्रव्यमान केंद्र $x_{cm}$ की दूरी निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
मानक योग सूत्रों $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
मानक योग सूत्रों $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ और $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$
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2
PhysicsEasyMCQAP EAMCET · 2002
एक पिंड को पृथ्वी की सतह से पलायन वेग के $\frac{3}{4}$ के बराबर वेग से ऊपर प्रक्षेपित किया जाता है। इसके द्वारा प्राप्त ऊँचाई है (पृथ्वी की त्रिज्या $= R$)
A
$\frac{10 R}{9}$
B
$\frac{9 R}{7}$
C
$\frac{9 R}{8}$
D
$\frac{10 R}{3}$
Solution
(B) प्रक्षेपण वेग $v = \frac{3}{4} v_e$ है,जहाँ $v_e = \sqrt{2gR}$ पलायन वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2}m(\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) = 7R + 7h$
$7h = 9R$
$h = \frac{9}{7}R$
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2}m(\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) = 7R + 7h$
$7h = 9R$
$h = \frac{9}{7}R$
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3
PhysicsMediumMCQAP EAMCET · 2002
यदि $M$ द्रव्यमान वाले ग्रह का क्षेत्रीय वेग $A$ है,तो उसका कोणीय संवेग क्या होगा?
A
$\frac{M}{A}$
B
$2MA$
C
$A^2 M$
D
$A M^2$
Solution
(B) क्षेत्रीय वेग $A$ को उस दर के रूप में परिभाषित किया जाता है जिस पर ग्रह के स्थिति सदिश द्वारा क्षेत्रफल तय किया जाता है।
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
दोनों पक्षों को ग्रह के द्रव्यमान $M$ से गुणा करने पर:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
चूंकि $r$ दूरी पर $M$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = M r^2$ होता है,इसलिए:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = I \omega$ होता है।
समीकरण में $L$ का मान रखने पर:
$MA = \frac{1}{2} L$
अतः,कोणीय संवेग $L$ होगा:
$L = 2MA$
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
दोनों पक्षों को ग्रह के द्रव्यमान $M$ से गुणा करने पर:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
चूंकि $r$ दूरी पर $M$ द्रव्यमान के बिंदु द्रव्यमान का जड़त्व आघूर्ण $I = M r^2$ होता है,इसलिए:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
हम जानते हैं कि कोणीय संवेग $L = I \omega$ होता है।
समीकरण में $L$ का मान रखने पर:
$MA = \frac{1}{2} L$
अतः,कोणीय संवेग $L$ होगा:
$L = 2MA$
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PhysicsEasyMCQAP EAMCET · 2002
टैंक $A$ और $B$ जो ऊपर से खुले हैं,उनमें एक निश्चित ऊंचाई तक दो अलग-अलग तरल पदार्थ भरे हैं। प्रत्येक टैंक की दीवार में तरल की सतह से $h$ गहराई पर एक छेद किया जाता है। टैंक $B$ में छेद का क्षेत्रफल $A$ की तुलना में दोगुना है। यदि प्रत्येक छेद से गुजरने वाला तरल द्रव्यमान फ्लक्स (mass flux) समान है,तो तरल पदार्थों के घनत्व का अनुपात $\rho_A / \rho_B$ क्या है?
A
$1$
B
$3/2$
C
$2/3$
D
$1/2$
Solution
(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर तरल के बाहर निकलने का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
चूंकि दोनों टैंकों के लिए गहराई $h$ समान है,इसलिए दोनों का वेग समान होगा: $v_A = v_B = v = \sqrt{2gh}$।
द्रव्यमान फ्लक्स (mass flux) का सूत्र $\dot{m} = A \cdot v \cdot \rho$ है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है,$v$ वेग है और $\rho$ घनत्व है।
दिया गया है कि द्रव्यमान फ्लक्स समान है: $\dot{m}_A = \dot{m}_B$।
$A_A \cdot v_A \cdot \rho_A = A_B \cdot v_B \cdot \rho_B$।
चूंकि $v_A = v_B$,इसलिए वे दोनों तरफ से कट जाएंगे:
$A_A \cdot \rho_A = A_B \cdot \rho_B$।
दिया गया है कि $A_B = 2 A_A$।
इसलिए,$A_A \cdot \rho_A = (2 A_A) \cdot \rho_B$।
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$।
चूंकि दोनों टैंकों के लिए गहराई $h$ समान है,इसलिए दोनों का वेग समान होगा: $v_A = v_B = v = \sqrt{2gh}$।
द्रव्यमान फ्लक्स (mass flux) का सूत्र $\dot{m} = A \cdot v \cdot \rho$ है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है,$v$ वेग है और $\rho$ घनत्व है।
दिया गया है कि द्रव्यमान फ्लक्स समान है: $\dot{m}_A = \dot{m}_B$।
$A_A \cdot v_A \cdot \rho_A = A_B \cdot v_B \cdot \rho_B$।
चूंकि $v_A = v_B$,इसलिए वे दोनों तरफ से कट जाएंगे:
$A_A \cdot \rho_A = A_B \cdot \rho_B$।
दिया गया है कि $A_B = 2 A_A$।
इसलिए,$A_A \cdot \rho_A = (2 A_A) \cdot \rho_B$।
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$।
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5
PhysicsMediumMCQAP EAMCET · 2002
एक पदार्थ का पॉइसन अनुपात $0.4$ है। यदि इस पदार्थ के एक तार पर बल लगाया जाता है,तो इसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल में $2 \%$ की कमी होती है। इसकी लंबाई में प्रतिशत वृद्धि क्या है ($\%$ में)?
A
$3$
B
$2.5$
C
$1$
D
$0.5$
Solution
(B) पॉइसन अनुपात $\sigma$ को पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
दिया गया है $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,इसलिए $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,जिससे $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ प्राप्त होता है।
पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ है।
पॉइसन अनुपात के सूत्र का उपयोग करने पर: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
अतः,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है,क्षेत्रफल में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ होता है।
दिया गया है $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,इसलिए $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,जिससे $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ प्राप्त होता है।
पार्श्व विकृति $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ है।
पॉइसन अनुपात के सूत्र का उपयोग करने पर: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
अतः,लंबाई में प्रतिशत वृद्धि $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ है।
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6
PhysicsEasyMCQAP EAMCET · 2002
$4 \ kg$ द्रव्यमान का एक पिंड $8 \ kg \ m/s$ के संवेग से गति कर रहा है। उस पर गति की दिशा में $10 \ s$ के लिए $0.2 \ N$ का बल कार्य करता है। गतिज ऊर्जा में वृद्धि (जूल में) है:
A
$10$
B
$8.5$
C
$4.5$
D
$4$
Solution
(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \ kg$,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 8 \ kg \ m/s$,बल $F = 0.2 \ N$,समय $t = 10 \ s$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $F \cdot t = \Delta p = p_2 - p_1$.
$0.2 \times 10 = p_2 - 8$.
$2 = p_2 - 8 \Rightarrow p_2 = 10 \ kg \ m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \ J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \ J$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए: $F \cdot t = \Delta p = p_2 - p_1$.
$0.2 \times 10 = p_2 - 8$.
$2 = p_2 - 8 \Rightarrow p_2 = 10 \ kg \ m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \ J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \ J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \ J$.
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7
PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
एक पिंड एक खुरदरे नत समतल (inclined plane) पर नीचे की ओर फिसल रहा है। पिंड और समतल के बीच घर्षण गुणांक $0.5$ है। पिंड को नीचे फिसलने के लिए आवश्यक कुल बल और पिंड पर लगने वाली अभिलंब प्रतिक्रिया (normal reaction) का अनुपात $1:2$ है। तो नत समतल का कोण क्या है ($^{\circ}$ में)?
A
$15$
B
$30$
C
$45$
D
$60$
Solution
(C) दिया गया है: घर्षण गुणांक $\mu = 0.5$। कुल बल $F$ और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ का अनुपात $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ है।
समतल पर नीचे फिसलने वाले पिंड पर लगने वाला कुल बल $F = mg \sin \theta - f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ घर्षण बल है।
घर्षण बल $f = \mu R$ है और अभिलंब प्रतिक्रिया $R = mg \cos \theta$ है।
इन मानों को $F$ के व्यंजक में रखने पर: $F = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$।
अब,दिए गए अनुपात $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta}{mg \cos \theta} = \frac{1}{2}$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\tan \theta - \mu = \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{1}{2} + \mu = 0.5 + 0.5 = 1.0$।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
समतल पर नीचे फिसलने वाले पिंड पर लगने वाला कुल बल $F = mg \sin \theta - f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $f$ घर्षण बल है।
घर्षण बल $f = \mu R$ है और अभिलंब प्रतिक्रिया $R = mg \cos \theta$ है।
इन मानों को $F$ के व्यंजक में रखने पर: $F = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$।
अब,दिए गए अनुपात $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta}{mg \cos \theta} = \frac{1}{2}$
अंश को हर से विभाजित करने पर:
$\tan \theta - \mu = \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{1}{2} + \mu = 0.5 + 0.5 = 1.0$।
चूंकि $\tan \theta = 1$,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$ है।
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8
PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
$M \text{ kg}$ द्रव्यमान का एक पिंड $5 \text{ m}$ त्रिज्या वाले एक चिकने अर्धगोले के शीर्ष बिंदु पर है। इसे अर्धगोले की सतह पर नीचे फिसलने के लिए छोड़ा जाता है। जब इसका वेग $5 \text{ m/s}$ होता है तो यह सतह को छोड़ देता है। इस क्षण पर,पिंड के त्रिज्या सदिश द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण क्या है ($^{\circ}$ में)? (गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$)
A
$30$
B
$45$
C
$60$
D
$90$
Solution
(C) मान लीजिए कि पिंड बिंदु $P$ पर अर्धगोले की सतह को छोड़ देता है।
बिंदु $P$ पर,मान लीजिए कि पिंड का त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
बिंदु $P$ पर पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (बाहर की ओर) हैं।
केंद्र की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \cos \theta$ है।
अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण के त्रिज्यीय घटक और अभिलंब प्रतिक्रिया के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
जब पिंड सतह को छोड़ता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ शून्य हो जाती है।
इसलिए,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
दिए गए मान $v = 5 \text{ m/s}$,$r = 5 \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$ रखने पर:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।
बिंदु $P$ पर,मान लीजिए कि पिंड का त्रिज्या सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
बिंदु $P$ पर पिंड पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण बल $mg$ (नीचे की ओर) और अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ (बाहर की ओर) हैं।
केंद्र की ओर गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $mg \cos \theta$ है।
अभिकेंद्र बल,गुरुत्वाकर्षण के त्रिज्यीय घटक और अभिलंब प्रतिक्रिया के अंतर द्वारा प्रदान किया जाता है:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
जब पिंड सतह को छोड़ता है,तो अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ शून्य हो जाती है।
इसलिए,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
दिए गए मान $v = 5 \text{ m/s}$,$r = 5 \text{ m}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$ रखने पर:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
चूंकि $\cos \theta = \frac{1}{2}$,इसलिए $\theta = 60^{\circ}$ है।
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PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
एक भौतिक राशि $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ के मापन में,राशियों $A, B, C$ और $D$ के मापन में उत्पन्न प्रतिशत त्रुटियां क्रमशः $2 \%, 2 \%, 4 \%$ और $5 \%$ हैं। तब,$X$ के मापन में प्रतिशत त्रुटि में न्यूनतम योगदान किसके द्वारा दिया जाता है?
A
$A$
B
$B$
C
$C$
D
$D$
Solution
(C) दिया गया सूत्र $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ है।
त्रुटि प्रसार के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$X$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \right) + \left( \frac{\Delta B}{B} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \right)$.
अब,प्रतिशत त्रुटि में प्रत्येक पद का योगदान ज्ञात करते हैं:
$A$ का योगदान = $2 \times 2 \% = 4 \%$.
$B$ का योगदान = $1 \times 2 \% = 2 \%$.
$C$ का योगदान = $\frac{1}{3} \times 4 \% = 1.33 \%$.
$D$ का योगदान = $3 \times 5 \% = 15 \%$.
इन मानों की तुलना करने पर,$X$ में प्रतिशत त्रुटि में न्यूनतम योगदान $C$ द्वारा दिया जाता है।
त्रुटि प्रसार के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$X$ में सापेक्ष त्रुटि इस प्रकार है:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \right) + \left( \frac{\Delta B}{B} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \right)$.
अब,प्रतिशत त्रुटि में प्रत्येक पद का योगदान ज्ञात करते हैं:
$A$ का योगदान = $2 \times 2 \% = 4 \%$.
$B$ का योगदान = $1 \times 2 \% = 2 \%$.
$C$ का योगदान = $\frac{1}{3} \times 4 \% = 1.33 \%$.
$D$ का योगदान = $3 \times 5 \% = 15 \%$.
इन मानों की तुलना करने पर,$X$ में प्रतिशत त्रुटि में न्यूनतम योगदान $C$ द्वारा दिया जाता है।
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$d$ गहराई तक पानी से भरे एक पानी के बैरल को $h$ ऊंचाई की मेज पर रखा गया है। बैरल की दीवार के निचले हिस्से में एक छोटा छेद किया जाता है। यदि छेद से बाहर निकलने वाली पानी की धारा बैरल से $R$ की क्षैतिज दूरी पर जमीन पर गिरती है,तो $d$ का मान क्या होगा?
A
$\frac{4 h}{R^2}$
B
$4 h R^2$
C
$\frac{R^2}{4 h}$
D
$\frac{h}{4 R^2}$
Solution
(C) टोरिसेली के नियम के अनुसार छेद से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v = \sqrt{2gd}$ है।
द्रव जिस ऊर्ध्वाधर ऊंचाई से नीचे गिरता है वह $h$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके निकाला जा सकता है,जिससे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास (Range) $R$,क्षैतिज वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $R^2 = 2gd \times \frac{2h}{g} = 4dh$ प्राप्त होता है।
अतः,गहराई $d$ का मान $d = \frac{R^2}{4h}$ है।
द्रव जिस ऊर्ध्वाधर ऊंचाई से नीचे गिरता है वह $h$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय गति के समीकरण $h = \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करके निकाला जा सकता है,जिससे $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज परास (Range) $R$,क्षैतिज वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = v \times t = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $R^2 = 2gd \times \frac{2h}{g} = 4dh$ प्राप्त होता है।
अतः,गहराई $d$ का मान $d = \frac{R^2}{4h}$ है।
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PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
टैंक $A$ और $B$ जो ऊपर से खुले हैं,उनमें एक निश्चित ऊँचाई तक दो अलग-अलग तरल पदार्थ भरे हैं। प्रत्येक टैंक की दीवार में तरल की सतह से $h$ गहराई पर एक छेद किया जाता है। $B$ में छेद का क्षेत्रफल $A$ की तुलना में दोगुना है। यदि प्रत्येक छेद से तरल का द्रव्यमान प्रवाह (mass flux) समान है,तो तरल पदार्थों के घनत्व का अनुपात क्रमशः क्या होगा?
A
$1$
B
$\frac{3}{2}$
C
$\frac{2}{3}$
D
$\frac{1}{2}$
Solution
(D) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ गहराई पर तरल के बाहर निकलने का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है। चूंकि दोनों टैंकों में छेद समान गहराई $h$ पर हैं,इसलिए दोनों तरल पदार्थों के लिए बाहर निकलने का वेग समान होगा: $v_1 = v_2 = \sqrt{2gh}$।
द्रव्यमान प्रवाह (प्रति इकाई समय में द्रव्यमान) $\dot{m} = \rho A v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$A$ छेद का क्षेत्रफल है,और $v$ बाहर निकलने का वेग है।
टैंक $A$ के लिए: $\dot{m}_A = \rho_A A_A v_A$।
टैंक $B$ के लिए: $\dot{m}_B = \rho_B A_B v_B$।
दिया गया है कि द्रव्यमान प्रवाह समान है,$\dot{m}_A = \dot{m}_B$,और $A_B = 2A_A$:
$\rho_A A_A v = \rho_B (2A_A) v$।
दोनों तरफ से $A_A$ और $v$ को हटाने पर:
$\rho_A = 2 \rho_B$।
अतः,घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$ है। यदि प्रश्न $\frac{\rho_B}{\rho_A}$ का अनुपात पूछता है,तो उत्तर $\frac{1}{2}$ होगा।
द्रव्यमान प्रवाह (प्रति इकाई समय में द्रव्यमान) $\dot{m} = \rho A v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$A$ छेद का क्षेत्रफल है,और $v$ बाहर निकलने का वेग है।
टैंक $A$ के लिए: $\dot{m}_A = \rho_A A_A v_A$।
टैंक $B$ के लिए: $\dot{m}_B = \rho_B A_B v_B$।
दिया गया है कि द्रव्यमान प्रवाह समान है,$\dot{m}_A = \dot{m}_B$,और $A_B = 2A_A$:
$\rho_A A_A v = \rho_B (2A_A) v$।
दोनों तरफ से $A_A$ और $v$ को हटाने पर:
$\rho_A = 2 \rho_B$।
अतः,घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$ है। यदि प्रश्न $\frac{\rho_B}{\rho_A}$ का अनुपात पूछता है,तो उत्तर $\frac{1}{2}$ होगा।
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12
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$0.28 \ mm$ आंतरिक व्यास वाली एक कांच की केशिका नली को एक बर्तन में पानी में लंबवत डुबोया जाता है। केशिका नली में पानी पर लगाया जाने वाला दबाव ताकि नली में पानी का स्तर बर्तन के स्तर के समान हो ($N/m^2$ में) है:
पानी का पृष्ठ तनाव $= 0.07 \ N/m$
वायुमंडलीय दबाव $= 10^5 \ N/m^2$
पानी का पृष्ठ तनाव $= 0.07 \ N/m$
वायुमंडलीय दबाव $= 10^5 \ N/m^2$
A
$10^3$
B
$99 \times 10^3$
C
$100 \times 10^3$
D
$101 \times 10^3$
Solution
(D) केशिका उन्नयन $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दिया जाता है।
केशिका में पानी के स्तर को बर्तन के स्तर के समान लाने के लिए,हमें केशिका दबाव $h \rho g$ के बराबर अतिरिक्त दबाव $P$ लागू करना होगा।
अतः,$P = h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
दिया है: $T = 0.07 \ N/m$,$d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए $r = 0.14 \times 10^{-3} \ m$,और पानी के लिए $\theta = 0^{\circ}$ (इसलिए $\cos \theta = 1$).
$P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
यह आवश्यक अतिरिक्त दबाव है। केशिका नली में पानी की सतह पर लगाया जाने वाला कुल दबाव वायुमंडलीय दबाव और इस अतिरिक्त दबाव का योग है।
कुल दबाव $= P_{atm} + P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.
केशिका में पानी के स्तर को बर्तन के स्तर के समान लाने के लिए,हमें केशिका दबाव $h \rho g$ के बराबर अतिरिक्त दबाव $P$ लागू करना होगा।
अतः,$P = h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
दिया है: $T = 0.07 \ N/m$,$d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए $r = 0.14 \times 10^{-3} \ m$,और पानी के लिए $\theta = 0^{\circ}$ (इसलिए $\cos \theta = 1$).
$P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
यह आवश्यक अतिरिक्त दबाव है। केशिका नली में पानी की सतह पर लगाया जाने वाला कुल दबाव वायुमंडलीय दबाव और इस अतिरिक्त दबाव का योग है।
कुल दबाव $= P_{atm} + P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.
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समय $t$ पर एक प्रक्षेप्य का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन क्रमशः $x=36 t$ और $y=48 t-4.9 t^2$ है। $m/s$ में प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग है
A
$15$
B
$30$
C
$45$
D
$60$
Solution
(D) क्षैतिज विस्थापन $x = 36t$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण $x = u_x t$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = 36 \ m/s$ प्राप्त होता है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 48t - 4.9t^2$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ (जहाँ $g \approx 9.8 \ m/s^2$) के साथ तुलना करने पर,हमें प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 48 \ m/s$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक वेग $u$ इसके घटकों के परिणामी सदिश का परिमाण है:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{36^2 + 48^2}$
$u = \sqrt{1296 + 2304}$
$u = \sqrt{3600}$
$u = 60 \ m/s$.
ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = 48t - 4.9t^2$ द्वारा दिया गया है। इसे मानक समीकरण $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ (जहाँ $g \approx 9.8 \ m/s^2$) के साथ तुलना करने पर,हमें प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 48 \ m/s$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक वेग $u$ इसके घटकों के परिणामी सदिश का परिमाण है:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{36^2 + 48^2}$
$u = \sqrt{1296 + 2304}$
$u = \sqrt{3600}$
$u = 60 \ m/s$.
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एक पिंड $F_1$ बल के प्रभाव में $\frac{4}{5} \ s$ के आवर्तकाल के साथ सरल आवर्त गति $(SHM)$ करता है। यदि बल को बदलकर $F_2$ कर दिया जाए,तो यह $\frac{3}{5} \ s$ के आवर्तकाल के साथ $SHM$ करता है। यदि दोनों बल $F_1$ और $F_2$ एक साथ पिंड पर एक ही दिशा में कार्य करें,तो इसका नया आवर्तकाल सेकंड में क्या होगा?
A
$\frac{12}{25}$
B
$\frac{24}{25}$
C
$\frac{35}{24}$
D
$\frac{25}{12}$
Solution
(A) $m$ द्रव्यमान का एक पिंड $F = -kx$ बल के तहत $SHM$ करता है,तब आवर्तकाल $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ होता है।
चूंकि $F = kx$,हमारे पास $k = \frac{F}{x}$ है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{mx}{F}}$।
इसका अर्थ है $T^2 \propto \frac{1}{F}$,या $F \propto \frac{1}{T^2}$।
मान लीजिए $F_1 = \frac{c}{T_1^2}$ और $F_2 = \frac{c}{T_2^2}$,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो कुल बल $F_{net} = F_1 + F_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T$ समीकरण $F_{net} = \frac{c}{T^2}$ को संतुष्ट करता है।
मान रखने पर: $\frac{c}{T^2} = \frac{c}{T_1^2} + \frac{c}{T_2^2}$।
$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} = \frac{(4/5) \times (3/5)}{\sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2}} = \frac{12/25}{\sqrt{16/25 + 9/25}} = \frac{12/25}{\sqrt{25/25}} = \frac{12}{25} \ s$।
चूंकि $F = kx$,हमारे पास $k = \frac{F}{x}$ है,इसलिए $T = 2\pi \sqrt{\frac{mx}{F}}$।
इसका अर्थ है $T^2 \propto \frac{1}{F}$,या $F \propto \frac{1}{T^2}$।
मान लीजिए $F_1 = \frac{c}{T_1^2}$ और $F_2 = \frac{c}{T_2^2}$,जहाँ $c$ एक स्थिरांक है।
जब दोनों बल एक साथ एक ही दिशा में कार्य करते हैं,तो कुल बल $F_{net} = F_1 + F_2$ होता है।
नया आवर्तकाल $T$ समीकरण $F_{net} = \frac{c}{T^2}$ को संतुष्ट करता है।
मान रखने पर: $\frac{c}{T^2} = \frac{c}{T_1^2} + \frac{c}{T_2^2}$।
$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$।
$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} = \frac{(4/5) \times (3/5)}{\sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2}} = \frac{12/25}{\sqrt{16/25 + 9/25}} = \frac{12/25}{\sqrt{25/25}} = \frac{12}{25} \ s$।
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यदि सरल आवर्त गति कर रहे एक कण का विस्थापन $(x)$ और वेग $(v)$ समीकरण $4v^2 = 25 - x^2$ द्वारा संबंधित हैं,तो आवर्तकाल क्या होगा?
A
$\pi$
B
$2\pi$
C
$4\pi$
D
$6\pi$
Solution
(C) दिया गया समीकरण: $4v^2 = 25 - x^2$ है।
$4$ से भाग देने पर,हमें $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ से करने पर,हम इसे $v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$।
$4$ से भाग देने पर,हमें $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण की तुलना सरल आवर्त गति $(SHM)$ के मानक समीकरण $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ से करने पर,हम इसे $v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2)$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$।
आवर्तकाल $T$ का सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है।
$\omega$ का मान रखने पर: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$।
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एक सभागार (auditorium) का आयतन $10^5 \ m^3$ है और अवशोषण का पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times 10^4 \ m^2$ है। इसका औसत अवशोषण गुणांक $0.2$ है। सभागार का अनुरणन काल (reverberation time) सेकंड में है:
A
$6.5$
B
$5.5$
C
$4.25$
D
$3.25$
Solution
(C) अनुरणन काल $T$ को सबाइन सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{0.161 V}{\sum A}$,जहाँ $V$ आयतन है और $\sum A = \alpha S$ कुल अवशोषण है।
दिया गया है: $V = 10^5 \ m^3$,$S = 2 \times 10^4 \ m^2$,और $\alpha = 0.2$.
कुल अवशोषण $\sum A = \alpha \times S = 0.2 \times 2 \times 10^4 = 4000 \ m^2$.
ऐसे प्रश्नों में उपयोग किए जाने वाले मानक स्थिरांक $0.17$ का उपयोग करते हुए,$T = \frac{0.17 V}{\alpha S}$:
$T = \frac{0.17 \times 10^5}{0.2 \times 2 \times 10^4} = \frac{17000}{4000} = 4.25 \ s$.
दिया गया है: $V = 10^5 \ m^3$,$S = 2 \times 10^4 \ m^2$,और $\alpha = 0.2$.
कुल अवशोषण $\sum A = \alpha \times S = 0.2 \times 2 \times 10^4 = 4000 \ m^2$.
ऐसे प्रश्नों में उपयोग किए जाने वाले मानक स्थिरांक $0.17$ का उपयोग करते हुए,$T = \frac{0.17 V}{\alpha S}$:
$T = \frac{0.17 \times 10^5}{0.2 \times 2 \times 10^4} = \frac{17000}{4000} = 4.25 \ s$.
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जब एक कृष्णिका (black body) का तापमान बढ़ता है,तो यह देखा जाता है कि अधिकतम ऊर्जा के संगत तरंगदैर्ध्य $0.26 \mu m$ से बदलकर $0.13 \mu m$ हो जाती है। संबंधित तापमानों पर पिंड की उत्सर्जन क्षमता का अनुपात क्या है?
A
$16:1$
B
$4:1$
C
$1:4$
D
$1:16$
Solution
(D) दिया गया है: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{नियतांक}$.
इसलिए,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,उत्सर्जन क्षमता $E \propto T^4$ होती है।
अतः,उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ होगा।
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,अनुपात $1:16$ है।
वीन के विस्थापन नियम के अनुसार,$\lambda T = \text{नियतांक}$.
इसलिए,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
स्टीफन-बोल्ट्जमैन नियम के अनुसार,उत्सर्जन क्षमता $E \propto T^4$ होती है।
अतः,उत्सर्जन क्षमता का अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ होगा।
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
अतः,अनुपात $1:16$ है।
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$T$ तनाव और $30^{\circ} C$ तापमान पर एक धात्विक तार $1 \ kHz$ की मूल आवृत्ति के साथ कंपन करता है। वही तार समान तनाव के साथ लेकिन $10^{\circ} C$ तापमान पर $1.001 \ kHz$ की मूल आवृत्ति के साथ कंपन करता है। तार का रेखीय प्रसार गुणांक है
A
$2 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
B
$1.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
C
$1 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
D
$0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$
Solution
(D) कंपन करने वाले तार की मूल आवृत्ति $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\mu$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ (तार समान होने के कारण) स्थिर रहते हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$ होता है।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$।
यहाँ $n_1 = 1 \ kHz$ और $n_2 = 1.001 \ kHz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$।
ऊष्मीय प्रसार के सूत्र $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$।
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$।
$20\alpha = 0.001$।
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$।
चूंकि तनाव $T$ और प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान $\mu$ (तार समान होने के कारण) स्थिर रहते हैं,इसलिए $n \propto \frac{1}{l}$ होता है।
अतः,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$।
यहाँ $n_1 = 1 \ kHz$ और $n_2 = 1.001 \ kHz$ दिया गया है,इसलिए $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$।
ऊष्मीय प्रसार के सूत्र $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$।
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$।
$20\alpha = 0.001$।
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$।
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$r$ त्रिज्या और $S$ विशिष्ट ऊष्मा वाला एक धातु का गोला अपने केंद्र से गुजरने वाली अक्ष पर $n$ चक्कर प्रति सेकंड की गति से घूम रहा है। इसे अचानक रोक दिया जाता है और इसकी ऊर्जा का $50 \%$ भाग इसके तापमान को बढ़ाने में उपयोग किया जाता है। तो,गोले के तापमान में वृद्धि है
A
$\frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$
B
$\frac{1 \pi^2 n^2}{10 r^2 S}$
C
$\frac{7}{8} \pi r^2 n^2 S$
D
$\frac{5(\pi r n)^2}{14 S}$
Solution
(A) एक ठोस गोले की घूर्णन गतिज ऊर्जा $(KE)$ का सूत्र $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ है।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ और कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50 \%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $\Delta Q = \frac{1}{2} KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
संबंध $\Delta Q = m S \Delta t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t$ तापमान में वृद्धि है,हमें $\Delta t = \frac{\Delta Q}{m S}$ प्राप्त होता है।
$\Delta Q$ का मान रखने पर,$\Delta t = \frac{2/5 m r^2 \pi^2 n^2}{m S} = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$।
ठोस गोले के लिए,जड़त्व आघूर्ण $I = \frac{2}{5} m r^2$ और कोणीय वेग $\omega = 2 \pi n$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
यह दिया गया है कि इस ऊर्जा का $50 \%$ ऊष्मा में परिवर्तित हो जाता है,इसलिए उत्पन्न ऊष्मा $\Delta Q = \frac{1}{2} KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$।
संबंध $\Delta Q = m S \Delta t$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\Delta t$ तापमान में वृद्धि है,हमें $\Delta t = \frac{\Delta Q}{m S}$ प्राप्त होता है।
$\Delta Q$ का मान रखने पर,$\Delta t = \frac{2/5 m r^2 \pi^2 n^2}{m S} = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$।
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20
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जब दो अलग-अलग पात्रों $A$ और $B$ का उपयोग करके एक तरल के आभासी प्रसार गुणांक निर्धारित किए जाते हैं, तो वे क्रमशः $\gamma_1$ और $\gamma_2$ होते हैं। यदि पात्र $A$ के रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha$ है, तो पात्र $B$ का रेखीय प्रसार गुणांक क्या होगा?
A
$\frac{\alpha \gamma_1 \gamma_2}{\gamma_1+\gamma_2}$
B
$\frac{\gamma_1-\gamma_2}{2 \alpha}$
C
$\frac{\gamma_1-\gamma_2+\alpha}{3}$
D
$\frac{\gamma_1-\gamma_2}{3}+\alpha$
Solution
(D) किसी दिए गए तरल के लिए वास्तविक प्रसार गुणांक $(\gamma_{\text{real}})$ स्थिर होता है। वास्तविक प्रसार, आभासी प्रसार $(\gamma_{\text{app}})$ और पात्र के आयतन प्रसार $(\gamma_{\text{vessel}})$ के बीच संबंध इस प्रकार है: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
पात्र $A$ के लिए, आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_A = 3\alpha$ है। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
पात्र $B$ के लिए, मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_B$ है। तब $\gamma_B = 3\alpha_B$ होगा। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
चूंकि $\gamma_{\text{real}}$ दोनों स्थितियों में समान है, हम उन्हें बराबर करते हैं: $\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ के लिए हल करने पर: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
इसलिए, $\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.
पात्र $A$ के लिए, आयतन प्रसार गुणांक $\gamma_A = 3\alpha$ है। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
पात्र $B$ के लिए, मान लीजिए कि रेखीय प्रसार गुणांक $\alpha_B$ है। तब $\gamma_B = 3\alpha_B$ होगा। अतः, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
चूंकि $\gamma_{\text{real}}$ दोनों स्थितियों में समान है, हम उन्हें बराबर करते हैं: $\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ के लिए हल करने पर: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
इसलिए, $\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.
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21
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$5$ मोल हाइड्रोजन $\left(\gamma=\frac{7}{5}\right)$ जो प्रारंभ में $S.T.P.$ पर है,को रुद्धोष्म (adiabatically) रूप से संकुचित किया जाता है ताकि उसका तापमान $400^{\circ} C$ हो जाए। गैस की आंतरिक ऊर्जा में किलो-जूल में वृद्धि ज्ञात कीजिए $\left(R=8.30 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}\right)$.
A
$21.56$
B
$41.55$
C
$65.55$
D
$80.55$
Solution
(B) आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ का सूत्र $\Delta U = n C_v \Delta T$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
दिया गया है: $n = 5 \ mol$,$\gamma = \frac{7}{5}$,$R = 8.30 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 400^{\circ} C = 673 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$.
मान रखने पर:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{\frac{7}{5} - 1} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{2/5} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30 \times 5}{2} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 = 41500 \ J$.
किलो-जूल में बदलने पर: $\Delta U = 41.50 \ kJ$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $41.55 \ kJ$ है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है।
दिया गया है: $n = 5 \ mol$,$\gamma = \frac{7}{5}$,$R = 8.30 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 400^{\circ} C = 673 \ K$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$.
मान रखने पर:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{\frac{7}{5} - 1} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{2/5} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30 \times 5}{2} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 = 41500 \ J$.
किलो-जूल में बदलने पर: $\Delta U = 41.50 \ kJ$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार निकटतम मान $41.55 \ kJ$ है।
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22
PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
$27^{\circ}C$ तापमान और $760 \text{ mm}$ पारे (mercury) के दबाव पर $11.2 \text{ litres}$ आयतन घेरने वाली ऑक्सीजन गैस का द्रव्यमान किलोग्राम में क्या होगा? $[$ऑक्सीजन का आणविक भार $= 32]$
A
$0.001456$
B
$0.01456$
C
$0.1456$
D
$1.1456$
Solution
(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
दिया गया है: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ litres}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol} = 0.032 \text{ kg/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$।
$m = \frac{PVM}{RT} = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300} \text{ ग्राम}$।
$m \approx 14.56 \text{ ग्राम} = 0.01456 \text{ kg}$।
दिया गया है: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ litres}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol} = 0.032 \text{ kg/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$।
$m = \frac{PVM}{RT} = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300} \text{ ग्राम}$।
$m \approx 14.56 \text{ ग्राम} = 0.01456 \text{ kg}$।
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PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
एक गैस के लिए वान डर वाल्स समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=n R T$ है,जहाँ $P, V, R, T$ और $n$ क्रमशः दाब,आयतन,सार्वत्रिक गैस नियतांक,परम ताप और गैस के मोलों की संख्या को दर्शाते हैं। $a$ और $b$ नियतांक हैं। अनुपात $\frac{b}{a}$ का विमीय सूत्र निम्नलिखित होगा।
A
$[M^{-1} L^{-2} T^2]$
B
$[M^{-1} L^{-1} T^{-1}]$
C
$[ML^2 T^2]$
D
$[MLT^{-2}]$
Solution
(A) वान डर वाल्स गैस समीकरण $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=n R T$ है।
समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. $\frac{a}{V^2}$ की विमा $P$ (दाब) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$ और $[V] = [L^3]$.
अतः,$[a] = [P] \times [V^2] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5 T^{-2}]$.
$2$. $b$ की विमा $V$ (आयतन) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V] = [L^3]$.
$3$. अब,अनुपात $\frac{b}{a}$ की विमाएँ:
$\frac{[b]}{[a]} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$.
समांगता के सिद्धांत के अनुसार,जोड़े या घटाए जाने वाले पदों की विमाएँ समान होनी चाहिए।
$1$. $\frac{a}{V^2}$ की विमा $P$ (दाब) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$ और $[V] = [L^3]$.
अतः,$[a] = [P] \times [V^2] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5 T^{-2}]$.
$2$. $b$ की विमा $V$ (आयतन) की विमा के बराबर होनी चाहिए।
$[b] = [V] = [L^3]$.
$3$. अब,अनुपात $\frac{b}{a}$ की विमाएँ:
$\frac{[b]}{[a]} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$.
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PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
एक पिंड $\theta$ कोण वाले नत समतल पर $E$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा है। समतल और पिंड के बीच घर्षण गुणांक $\mu$ है। पिंड के रुकने से पहले घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य है
A
$\frac{\mu \cos \theta}{E \cos \theta+\sin \theta}$
B
$E$
C
$\frac{\mu E \cos \theta}{\mu \cos \theta-\sin \theta}$
D
$\frac{\mu E \cos \theta}{\mu \cos \theta+\sin \theta}$
Solution
(D) नत समतल पर ऊपर की ओर गति कर रहे पिंड पर कार्य करने वाला कुल मंदक बल $F_{net} = mg \sin \theta + f_k$ है,जहाँ $f_k = \mu R = \mu mg \cos \theta$ है।
अतः,$F_{net} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$।
मंदक त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{total} = \Delta KE = 0 - E = -E$।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = -mg \sin \theta \cdot s$ है और घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = f_k \cdot s = \mu mg \cos \theta \cdot s$ है।
$v^2 - u^2 = 2as$ से,हमें $0 - u^2 = -2as$ प्राप्त होता है,इसलिए $s = \frac{u^2}{2a} = \frac{2E/m}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = (\mu mg \cos \theta) \cdot s = (\mu mg \cos \theta) \cdot \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$ है।
अतः,$F_{net} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$।
मंदक त्वरण $a = \frac{F_{net}}{m} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ द्वारा दिया जाता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए,सभी बलों द्वारा किया गया कुल कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W_{total} = \Delta KE = 0 - E = -E$।
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W_g = -mg \sin \theta \cdot s$ है और घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = f_k \cdot s = \mu mg \cos \theta \cdot s$ है।
$v^2 - u^2 = 2as$ से,हमें $0 - u^2 = -2as$ प्राप्त होता है,इसलिए $s = \frac{u^2}{2a} = \frac{2E/m}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$।
घर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $W_f = (\mu mg \cos \theta) \cdot s = (\mu mg \cos \theta) \cdot \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$ है।
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25
PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
$4 \,kg$ द्रव्यमान का एक पिंड $8 \,kg \,m/s$ के संवेग के साथ गति कर रहा है। पिंड की गति की दिशा में $0.2 \,N$ का बल $10 \,s$ के लिए कार्य करता है। गतिज ऊर्जा में वृद्धि (जूल में) है
A
$10$
B
$8.5$
C
$4.5$
D
$4$
Solution
(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \,kg$,प्रारंभिक संवेग $p_1 = 8 \,kg \,m/s$,बल $F = 0.2 \,N$,समय $t = 10 \,s$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = F \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta p = 0.2 \,N \times 10 \,s = 2 \,kg \,m/s$.
अंतिम संवेग $p_2 = p_1 + \Delta p = 8 + 2 = 10 \,kg \,m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \,J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \,J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \,J$.
आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = F \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta p = 0.2 \,N \times 10 \,s = 2 \,kg \,m/s$.
अंतिम संवेग $p_2 = p_1 + \Delta p = 8 + 2 = 10 \,kg \,m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \,J$.
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \,J$.
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \,J$.
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PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
$2 \,kg$ द्रव्यमान का एक पिंड विरामावस्था से चलना शुरू करता है और एकसमान त्वरण के साथ गति करता है। यह $4 \,s$ में $20 \,ms^{-1}$ का वेग प्राप्त कर लेता है। $2 \,s$ पर पिंड पर लगाया गया शक्ति (वाट में) है
A
$50$
B
$100$
C
$150$
D
$200$
Solution
(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \,kg$, प्रारंभिक वेग $u = 0$, $t = 4 \,s$ पर अंतिम वेग $v = 20 \,ms^{-1}$।
सबसे पहले, $v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करें:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 \,ms^{-2}$।
पिंड पर कार्य करने वाला नियत बल $F = ma = 2 \,kg \times 5 \,ms^{-2} = 10 \,N$ है।
अब, $v' = u + at'$ का उपयोग करके $t' = 2 \,s$ पर पिंड का वेग $v'$ ज्ञात करें:
$v' = 0 + (5 \,ms^{-2} \times 2 \,s) = 10 \,ms^{-1}$।
$t' = 2 \,s$ पर पिंड पर आरोपित तात्क्षणिक शक्ति $P = F \times v'$ द्वारा दी जाती है:
$P = 10 \,N \times 10 \,ms^{-1} = 100 \,W$।
सबसे पहले, $v = u + at$ समीकरण का उपयोग करके त्वरण $a$ की गणना करें:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 \,ms^{-2}$।
पिंड पर कार्य करने वाला नियत बल $F = ma = 2 \,kg \times 5 \,ms^{-2} = 10 \,N$ है।
अब, $v' = u + at'$ का उपयोग करके $t' = 2 \,s$ पर पिंड का वेग $v'$ ज्ञात करें:
$v' = 0 + (5 \,ms^{-2} \times 2 \,s) = 10 \,ms^{-1}$।
$t' = 2 \,s$ पर पिंड पर आरोपित तात्क्षणिक शक्ति $P = F \times v'$ द्वारा दी जाती है:
$P = 10 \,N \times 10 \,ms^{-1} = 100 \,W$।
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PhysicsEasyMCQAP EAMCET · 2002
$v = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$ वेग वाला एक प्रोटॉन $(2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$ के चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। प्रोटॉन में उत्पन्न त्वरण $m/s^2$ में ज्ञात कीजिए। (प्रोटॉन का विशिष्ट आवेश $= 0.96 \times 10^8 \ C/kg$)
A
$28 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
B
$288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
C
$28 \times 10^8(2 \hat{i} + 3 \hat{k})$
D
$288 \times 10^8(\hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
Solution
(B) दिया गया है: वेग $v = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$,चुंबकीय क्षेत्र $B = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \ C/kg$.
प्रोटॉन पर लगने वाला बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल $v \times B$ की गणना करने पर:
$v \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{F}{m} = \frac{q}{m}(v \times B)$.
मान रखने पर:
$a = (0.96 \times 10^8) \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$a = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$a = 288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \ m/s^2$.
प्रोटॉन पर लगने वाला बल $F = q(v \times B)$ द्वारा दिया जाता है।
सदिश गुणनफल $v \times B$ की गणना करने पर:
$v \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए $a = \frac{F}{m} = \frac{q}{m}(v \times B)$.
मान रखने पर:
$a = (0.96 \times 10^8) \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$a = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$a = 288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \ m/s^2$.
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28
PhysicsMediumMCQAP EAMCET · 2002
एक प्रिज्म $\sqrt{3}$ अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना है। प्रिज्म का कोण $A$ है। यदि न्यूनतम विचलन कोण,प्रिज्म के कोण के बराबर है,तो $A$ का मान क्या है ($^{\circ}$ में)?
A
$30$
B
$45$
C
$60$
D
$75$
Solution
(C) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$ है।
प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin \frac{A+\delta_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{\sin \frac{A+A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sqrt{3} = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$.
अतः,$A = 60^{\circ}$.
प्रिज्म के लिए,अपवर्तनांक का सूत्र है: $\mu = \frac{\sin \frac{A+\delta_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\sqrt{3} = \frac{\sin \frac{A+A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करने पर: $\sqrt{3} = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
चूंकि $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$.
अतः,$A = 60^{\circ}$.
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PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
$1000 \ \mu F$ के संधारित्र (capacitor) पर $20 \ V$ का विभवांतर उत्पन्न करने के लिए,जब इसे $200 \ \mu C/s$ की स्थिर दर से आवेशित किया जाता है,तो आवश्यक समय सेकंड में कितना होगा?
A
$50$
B
$100$
C
$150$
D
$200$
Solution
(B) संधारित्र पर आवेश $Q$ का मान सूत्र $Q = C \times V$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C$ धारिता है और $V$ विभवांतर है।
दिया गया है $C = 1000 \ \mu F = 1000 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 20 \ V$।
कुल आवेश $Q = 1000 \times 10^{-6} \ F \times 20 \ V = 20,000 \ \mu C$।
आवेशन की दर $I = 200 \ \mu C/s$ दी गई है।
चूंकि दर स्थिर है,इसलिए आवश्यक समय $t = Q / I$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = 20,000 \ \mu C / 200 \ \mu C/s = 100 \ s$।
दिया गया है $C = 1000 \ \mu F = 1000 \times 10^{-6} \ F$ और $V = 20 \ V$।
कुल आवेश $Q = 1000 \times 10^{-6} \ F \times 20 \ V = 20,000 \ \mu C$।
आवेशन की दर $I = 200 \ \mu C/s$ दी गई है।
चूंकि दर स्थिर है,इसलिए आवश्यक समय $t = Q / I$ द्वारा प्राप्त होता है।
$t = 20,000 \ \mu C / 200 \ \mu C/s = 100 \ s$।
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30
PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
$100 \mu F$ धारिता वाले एक समांतर प्लेट संधारित्र को $50 \text{ V}$ की बैटरी द्वारा आवेशित किया जाता है। बैटरी जुड़ी रहती है और यदि संधारित्र की प्लेटों को इस प्रकार अलग किया जाता है कि उनके बीच की दूरी मूल दूरी की दोगुनी हो जाए,तो बैटरी द्वारा संधारित्र को दी गई अतिरिक्त ऊर्जा (जूल में) है
A
$\frac{125}{2} \times 10^{-3}$
B
$125 \times 10^{-3}$
C
$1.25 \times 10^{-3}$
D
$0.0125 \times 10^{-3}$
Solution
(B) प्रारंभिक धारिता $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \text{ F}$ और विभव $V = 50 \text{ V}$ है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 50 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.125 \text{ J} = 125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
जब दूरी $d$ दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2} = 50 \mu F$ हो जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,विभव $V$ का मान $50 \text{ V}$ ही रहता है।
अंतिम संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 25 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.0625 \text{ J} = 62.5 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV = 100 \times 10^{-6} \times 50 = 5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_2 = C'V = 50 \times 10^{-6} \times 50 = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
आवेश में परिवर्तन $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = -2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta Q \times V = (-2.5 \times 10^{-3}) \times 50 = -125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊर्जा बैटरी को वापस दी जाती है। ऊर्जा परिवर्तन का परिमाण $125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 50 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.125 \text{ J} = 125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
जब दूरी $d$ दोगुनी हो जाती है,तो नई धारिता $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2} = 50 \mu F$ हो जाती है।
चूंकि बैटरी जुड़ी हुई है,विभव $V$ का मान $50 \text{ V}$ ही रहता है।
अंतिम संचित ऊर्जा $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 25 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.0625 \text{ J} = 62.5 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
संधारित्र पर प्रारंभिक आवेश $Q_1 = CV = 100 \times 10^{-6} \times 50 = 5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
संधारित्र पर अंतिम आवेश $Q_2 = C'V = 50 \times 10^{-6} \times 50 = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
आवेश में परिवर्तन $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = -2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ है।
बैटरी द्वारा किया गया कार्य $W = \Delta Q \times V = (-2.5 \times 10^{-3}) \times 50 = -125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊर्जा बैटरी को वापस दी जाती है। ऊर्जा परिवर्तन का परिमाण $125 \times 10^{-3} \text{ J}$ है।
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31
PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
$R$ प्रतिरोध वाले एक समान चालक को $20$ बराबर टुकड़ों में काटा जाता है। उनमें से आधे टुकड़ों को श्रेणीक्रम में और शेष आधे टुकड़ों को समांतर क्रम में जोड़ा जाता है। यदि इन दोनों संयोजनों को श्रेणीक्रम में जोड़ा जाए,तो सभी टुकड़ों का प्रभावी प्रतिरोध क्या होगा?
A
$R$
B
$\frac{R}{2}$
C
$\frac{101 R}{200}$
D
$\frac{201 R}{200}$
Solution
(C) प्रत्येक टुकड़े का प्रतिरोध $r = \frac{R}{20}$ है।
कुल $20$ टुकड़े हैं,इसलिए $10$ टुकड़ों का उपयोग श्रेणीक्रम संयोजन के लिए और $10$ टुकड़ों का उपयोग समांतर क्रम संयोजन के लिए किया जाता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_1$ है:
$R_1 = 10 \times r = 10 \times \frac{R}{20} = \frac{R}{2}$.
समांतर क्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_2$ है:
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots (10 \text{ बार}) = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/20} = \frac{200}{R}$.
अतः,$R_2 = \frac{R}{200}$.
चूंकि दोनों संयोजनों को श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है,इसलिए कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{R}{2} + \frac{R}{200} = \frac{100R + R}{200} = \frac{101R}{200}$.
कुल $20$ टुकड़े हैं,इसलिए $10$ टुकड़ों का उपयोग श्रेणीक्रम संयोजन के लिए और $10$ टुकड़ों का उपयोग समांतर क्रम संयोजन के लिए किया जाता है।
श्रेणीक्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_1$ है:
$R_1 = 10 \times r = 10 \times \frac{R}{20} = \frac{R}{2}$.
समांतर क्रम में जुड़े $10$ टुकड़ों के लिए,तुल्य प्रतिरोध $R_2$ है:
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots (10 \text{ बार}) = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/20} = \frac{200}{R}$.
अतः,$R_2 = \frac{R}{200}$.
चूंकि दोनों संयोजनों को श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है,इसलिए कुल प्रभावी प्रतिरोध $R_{eq}$ है:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{R}{2} + \frac{R}{200} = \frac{100R + R}{200} = \frac{101R}{200}$.
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$3 \Omega$ प्रतिरोध वाले एक चालक को तब तक समान रूप से खींचा जाता है जब तक कि उसकी लंबाई दोगुनी न हो जाए। अब तार को एक समबाहु त्रिभुज के रूप में मोड़ा जाता है। त्रिभुज की किसी भी भुजा के सिरों के बीच प्रभावी प्रतिरोध ओम में क्या होगा?
A
$\frac{9}{2}$
B
$\frac{8}{3}$
C
$2$
D
$1$
Solution
(B) जब किसी तार को खींचा जाता है,तो उसका आयतन स्थिर रहता है। चूँकि $R = \rho \frac{l}{A}$ और $V = A \times l$,हमारे पास $R = \rho \frac{l^2}{V}$ है। अतः,$R \propto l^2$।
प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 3 \Omega$ और लंबाई $l_1 = l$ दी गई है। खींचने के बाद,$l_2 = 2l$ हो जाती है।
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2 = \left(\frac{2l}{l}\right)^2 = 4$।
अतः,$R_2 = 4 \times R_1 = 4 \times 3 = 12 \Omega$।
$12 \Omega$ प्रतिरोध वाले तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{side} = \frac{12}{3} = 4 \Omega$ है।
मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{AB} = 4 \Omega$,$R_{BC} = 4 \Omega$,और $R_{CA} = 4 \Omega$ है।
किसी भी भुजा के सिरों के बीच (उदाहरण के लिए,$B$ और $C$ के बीच) प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $R_{AB}$ और $R_{AC}$ श्रेणीक्रम में हैं,और उनका संयोजन $R_{BC}$ के साथ समानांतर क्रम में है।
श्रेणीक्रम शाखा का प्रतिरोध $R_{series} = R_{AB} + R_{AC} = 4 + 4 = 8 \Omega$।
अब,$R_{series}$ और $R_{BC} = 4 \Omega$ समानांतर क्रम में हैं।
$R_{eff} = \frac{R_{series} \times R_{BC}}{R_{series} + R_{BC}} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \Omega$।
प्रारंभिक प्रतिरोध $R_1 = 3 \Omega$ और लंबाई $l_1 = l$ दी गई है। खींचने के बाद,$l_2 = 2l$ हो जाती है।
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2 = \left(\frac{2l}{l}\right)^2 = 4$।
अतः,$R_2 = 4 \times R_1 = 4 \times 3 = 12 \Omega$।
$12 \Omega$ प्रतिरोध वाले तार को एक समबाहु त्रिभुज में मोड़ा जाता है,इसलिए प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{side} = \frac{12}{3} = 4 \Omega$ है।
मान लीजिए शीर्ष $A, B, C$ हैं। प्रत्येक भुजा का प्रतिरोध $R_{AB} = 4 \Omega$,$R_{BC} = 4 \Omega$,और $R_{CA} = 4 \Omega$ है।
किसी भी भुजा के सिरों के बीच (उदाहरण के लिए,$B$ और $C$ के बीच) प्रभावी प्रतिरोध ज्ञात करने के लिए,हम देखते हैं कि $R_{AB}$ और $R_{AC}$ श्रेणीक्रम में हैं,और उनका संयोजन $R_{BC}$ के साथ समानांतर क्रम में है।
श्रेणीक्रम शाखा का प्रतिरोध $R_{series} = R_{AB} + R_{AC} = 4 + 4 = 8 \Omega$।
अब,$R_{series}$ और $R_{BC} = 4 \Omega$ समानांतर क्रम में हैं।
$R_{eff} = \frac{R_{series} \times R_{BC}}{R_{series} + R_{BC}} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \Omega$।
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$100 \ \Omega$ प्रतिरोध वाला एक मूविंग कॉइल गैल्वेनोमीटर पूर्ण-स्केल विक्षेप दिखाता है जब इससे $100 \ \mu A$ की धारा प्रवाहित होती है। यदि इसे $1 \ mA$ की धारा प्रवाहित होने पर पूर्ण-स्केल विक्षेप दिखाने के लिए तैयार किया जाना है,तो गैल्वेनोमीटर के साथ जोड़े जाने वाले शंट प्रतिरोध का मान ओम में क्या होगा?
A
$\frac{9}{4}$
B
$\frac{10}{3}$
C
$\frac{100}{9}$
D
$\frac{900}{7}$
Solution
(C) दिया गया है:
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 100 \ \Omega$.
गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा,$I_g = 100 \ \mu A = 100 \times 10^{-6} \ A = 0.1 \times 10^{-3} \ A$.
मापी जाने वाली कुल धारा,$I = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
शंट प्रतिरोध का सूत्र:
$S = \frac{I_g G}{I - I_g}$
मान रखने पर:
$S = \frac{0.1 \times 10^{-3} \times 100}{1 \times 10^{-3} - 0.1 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{0.1 \times 10^{-1}}{0.9 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{10^{-2}}{0.9 \times 10^{-3}} = \frac{10}{0.9} = \frac{100}{9} \ \Omega$.
गैल्वेनोमीटर का प्रतिरोध,$G = 100 \ \Omega$.
गैल्वेनोमीटर की पूर्ण-स्केल विक्षेप धारा,$I_g = 100 \ \mu A = 100 \times 10^{-6} \ A = 0.1 \times 10^{-3} \ A$.
मापी जाने वाली कुल धारा,$I = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
गैल्वेनोमीटर को एमीटर में बदलने के लिए,गैल्वेनोमीटर के साथ समानांतर में एक शंट प्रतिरोध $S$ जोड़ा जाता है।
शंट प्रतिरोध का सूत्र:
$S = \frac{I_g G}{I - I_g}$
मान रखने पर:
$S = \frac{0.1 \times 10^{-3} \times 100}{1 \times 10^{-3} - 0.1 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{0.1 \times 10^{-1}}{0.9 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{10^{-2}}{0.9 \times 10^{-3}} = \frac{10}{0.9} = \frac{100}{9} \ \Omega$.
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एक पोटेंशियोमीटर प्रयोग में एक सेल के लिए संतुलन लंबाई $560 \, cm$ है। जब सेल के समानांतर $10 \, \Omega$ का बाहरी प्रतिरोध जोड़ा जाता है, तो संतुलन लंबाई $60 \, cm$ बदल जाती है। सेल का आंतरिक प्रतिरोध ओम में है
A
$1.6$
B
$1.4$
C
$1.2$
D
$0.12$
Solution
(C) पोटेंशियोमीटर प्रयोग में, संतुलन लंबाई $l_1$ सेल के विद्युत वाहक बल $(E)$ के समानुपाती होती है: $E = k l_1$, जहाँ $k$ विभव प्रवणता है।
जब बाहरी प्रतिरोध $R$ को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो टर्मिनल वोल्टेज $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ होता है।
यहाँ $l_1 = 560 \, cm$ और $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ दिया गया है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $r = 10 \, \Omega \times \left( \frac{560 - 500}{500} \right)$.
$r = 10 \times \left( \frac{60}{500} \right) = 10 \times 0.12 = 1.2 \, \Omega$.
जब बाहरी प्रतिरोध $R$ को समानांतर में जोड़ा जाता है, तो टर्मिनल वोल्टेज $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ होता है।
यहाँ $l_1 = 560 \, cm$ और $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ दिया गया है।
आंतरिक प्रतिरोध $r$ का सूत्र $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ है।
मान रखने पर: $r = 10 \, \Omega \times \left( \frac{560 - 500}{500} \right)$.
$r = 10 \times \left( \frac{60}{500} \right) = 10 \times 0.12 = 1.2 \, \Omega$.
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यदि $\lambda_0$ एक प्रोटॉन के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य है जिसे $100 \ V$ के विभवांतर द्वारा त्वरित किया गया है,तो उसी विभवांतर द्वारा त्वरित $\alpha$-कण के लिए डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य क्या होगी?
A
$2 \sqrt{2} \lambda_0$
B
$\frac{\lambda_0}{2}$
C
$\frac{\lambda_0}{2 \sqrt{2}}$
D
$\frac{\lambda_0}{\sqrt{2}}$
Solution
(C) $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाले कण की डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ द्वारा दी जाती है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_0 = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है।
इन मानों को $\alpha$-कण के सूत्र में रखने पर:
$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2q_p)V}} = \frac{h}{\sqrt{8(2m_p q_p V)}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \left( \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}} \right)$.
चूंकि $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,इसलिए $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन के लिए,$\lambda_0 = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है।
इन मानों को $\alpha$-कण के सूत्र में रखने पर:
$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2q_p)V}} = \frac{h}{\sqrt{8(2m_p q_p V)}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \left( \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}} \right)$.
चूंकि $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,इसलिए $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
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एक धातु की सतह पर धातु के कार्य फलन (work function) से दोगुनी और तीन गुनी ऊर्जा वाले दो फोटॉन आपतित होते हैं। तो,दोनों स्थितियों में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन के अधिकतम वेगों का अनुपात क्या होगा?
A
$\sqrt{2}: 1$
B
$\sqrt{3}: 3$
C
$\sqrt{3}: \sqrt{2}$
D
$1: \sqrt{2}$
Solution
(D) मान लीजिए कि धातु का कार्य फलन $W$ है।
पहले फोटॉन की ऊर्जा $E_1 = 2W$ है।
दूसरे फोटॉन की ऊर्जा $E_2 = 3W$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max} = E - W$ द्वारा दी जाती है।
पहले फोटॉन के लिए: $(KE_1)_{\max} = 2W - W = W$।
दूसरे फोटॉन के लिए: $(KE_2)_{\max} = 3W - W = 2W$।
अधिकतम गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{W}{2W} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $(KE)_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{2}$।
इसे सरल करने पर $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ मिलता है।
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।
पहले फोटॉन की ऊर्जा $E_1 = 2W$ है।
दूसरे फोटॉन की ऊर्जा $E_2 = 3W$ है।
आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $(KE)_{\max} = E - W$ द्वारा दी जाती है।
पहले फोटॉन के लिए: $(KE_1)_{\max} = 2W - W = W$।
दूसरे फोटॉन के लिए: $(KE_2)_{\max} = 3W - W = 2W$।
अधिकतम गतिज ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{W}{2W} = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि $(KE)_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,इसलिए $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{2}$।
इसे सरल करने पर $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिससे $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ मिलता है।
अतः,अधिकतम वेगों का अनुपात $1 : \sqrt{2}$ है।
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$L$ लंबाई की एक चालक छड़,अपनी गति के लंबवत $B$ चुंबकीय क्षेत्र में $\omega$ कोणीय गति से घूम रही है। छड़ के दोनों सिरों के बीच उत्पन्न प्रेरित emf क्या है?
A
$\frac{B L^2 \omega}{4}$
B
$\frac{B L^2 \omega}{2}$
C
$B L^2 \omega$
D
$2 B L^2 \omega$
Solution
(B) घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर $dr$ लंबाई का एक छोटा अवयव मानिए।
इस अवयव का वेग $v = r\omega$ है।
इस छोटे अवयव पर प्रेरित emf $de = B v dr = B (r\omega) dr$ द्वारा दिया जाता है।
यदि छड़ एक सिरे के परितः घूम रही है,तो कुल प्रेरित emf $e$ ज्ञात करने के लिए हम $r = 0$ से $r = L$ तक समाकलन करते हैं:
$e = \int_{0}^{L} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
अतः,छड़ के दोनों सिरों के बीच उत्पन्न प्रेरित emf $\frac{1}{2} B \omega L^2$ है।
इस अवयव का वेग $v = r\omega$ है।
इस छोटे अवयव पर प्रेरित emf $de = B v dr = B (r\omega) dr$ द्वारा दिया जाता है।
यदि छड़ एक सिरे के परितः घूम रही है,तो कुल प्रेरित emf $e$ ज्ञात करने के लिए हम $r = 0$ से $r = L$ तक समाकलन करते हैं:
$e = \int_{0}^{L} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
अतः,छड़ के दोनों सिरों के बीच उत्पन्न प्रेरित emf $\frac{1}{2} B \omega L^2$ है।
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कॉम्पटन प्रकीर्णन प्रक्रिया में,आपतित $X$-विकिरण $60^{\circ}$ के कोण पर प्रकीर्णित होता है। प्रकीर्णित विकिरण की तरंगदैर्ध्य $0.22 \ \text{Å}$ है। आपतित $X$-विकिरण की तरंगदैर्ध्य $\text{Å}$ इकाई में है:
A
$0.508$
B
$0.408$
C
$0.232$
D
$0.208$
Solution
(D) कॉम्पटन प्रभाव के लिए,तरंगदैर्ध्य में परिवर्तन का संबंध इस प्रकार है:
$\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{h}{m_0 c}(1 - \cos \theta)$
यहाँ,$\lambda_1$ आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य है,$\lambda_2$ प्रकीर्णित विकिरण की तरंगदैर्ध्य है,और $\frac{h}{m_0 c} \approx 0.024 \ \text{Å}$ कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $\lambda_2 = 0.22 \ \text{Å}$ और $\theta = 60^{\circ}$।
मान रखने पर:
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - \cos 60^{\circ})$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - 0.5)$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024 \times 0.5$
$0.22 - \lambda_1 = 0.012$
$\lambda_1 = 0.22 - 0.012 = 0.208 \ \text{Å}$
$\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{h}{m_0 c}(1 - \cos \theta)$
यहाँ,$\lambda_1$ आपतित विकिरण की तरंगदैर्ध्य है,$\lambda_2$ प्रकीर्णित विकिरण की तरंगदैर्ध्य है,और $\frac{h}{m_0 c} \approx 0.024 \ \text{Å}$ कॉम्पटन तरंगदैर्ध्य है।
दिया गया है: $\lambda_2 = 0.22 \ \text{Å}$ और $\theta = 60^{\circ}$।
मान रखने पर:
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - \cos 60^{\circ})$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - 0.5)$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024 \times 0.5$
$0.22 - \lambda_1 = 0.012$
$\lambda_1 = 0.22 - 0.012 = 0.208 \ \text{Å}$
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$1 \,g$ द्रव्यमान और $10^{-8} \,C$ आवेश वाला एक पिंड दो बिंदुओं $P$ और $Q$ से गुजरता है। $P$ और $Q$ पर विद्युत विभव क्रमशः $600 \,V$ और $0 \,V$ हैं। $Q$ पर पिंड का वेग $20 \,cm/s$ है। $P$ पर इसका वेग $m/s$ में क्या होगा?
A
$\sqrt{0.028}$
B
$\sqrt{0.056}$
C
$\sqrt{0.56}$
D
$\sqrt{5.6}$
Solution
(A) दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$
आवेश $q = 10^{-8} \,C$
$Q$ पर वेग $v_Q = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$
$P$ पर विभव $V_P = 600 \,V$
$Q$ पर विभव $V_Q = 0 \,V$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$W_{PQ} = \Delta KE = KE_Q - KE_P$
$q(V_P - V_Q) = \frac{1}{2} m v_Q^2 - \frac{1}{2} m v_P^2$
मान रखने पर:
$10^{-8} (600 - 0) = \frac{1}{2} (10^{-3}) (0.2)^2 - \frac{1}{2} (10^{-3}) v_P^2$
$600 \times 10^{-8} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 0.04 - \frac{1}{2} \times 10^{-3} v_P^2$
$6 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-5} - 0.5 \times 10^{-3} v_P^2$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 20 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6}$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 14 \times 10^{-6}$
$v_P^2 = \frac{14 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 28 \times 10^{-3} = 0.028$
$v_P = \sqrt{0.028} \,m/s$
द्रव्यमान $m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$
आवेश $q = 10^{-8} \,C$
$Q$ पर वेग $v_Q = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$
$P$ पर विभव $V_P = 600 \,V$
$Q$ पर विभव $V_Q = 0 \,V$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$W_{PQ} = \Delta KE = KE_Q - KE_P$
$q(V_P - V_Q) = \frac{1}{2} m v_Q^2 - \frac{1}{2} m v_P^2$
मान रखने पर:
$10^{-8} (600 - 0) = \frac{1}{2} (10^{-3}) (0.2)^2 - \frac{1}{2} (10^{-3}) v_P^2$
$600 \times 10^{-8} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 0.04 - \frac{1}{2} \times 10^{-3} v_P^2$
$6 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-5} - 0.5 \times 10^{-3} v_P^2$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 20 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6}$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 14 \times 10^{-6}$
$v_P^2 = \frac{14 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 28 \times 10^{-3} = 0.028$
$v_P = \sqrt{0.028} \,m/s$
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40
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एक हाइड्रोजन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन $0.4 \text{ Å}$ त्रिज्या के वृत्त में $10^6 \text{ m/s}$ की गति से घूम रहा है। इलेक्ट्रॉन की गति के कारण कक्षा के केंद्र पर उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र (टेस्ला में) है: $\left[\mu_0 = 4\pi \times 10^{-7} \text{ H/m}, q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}\right]$
A
$0.1$
B
$1.0$
C
$10$
D
$100$
Solution
(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.4 \text{ Å} = 0.4 \times 10^{-10} \text{ m}$,गति $v = 10^6 \text{ m/s}$,आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$।
गतिमान इलेक्ट्रॉन एक विद्युत धारा $i$ बनाता है,जो $i = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$,इसलिए $i = \frac{qv}{2\pi r}$।
मान रखने पर:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}} \times \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{8\pi \times 10^{-10}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = 10 \text{ T}$।
गतिमान इलेक्ट्रॉन एक विद्युत धारा $i$ बनाता है,जो $i = \frac{q}{T}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ आवर्तकाल है।
चूंकि $T = \frac{2\pi r}{v}$,इसलिए $i = \frac{qv}{2\pi r}$।
मान रखने पर:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$।
वृत्ताकार धारा लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ होता है।
मान रखने पर:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}} \times \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{8\pi \times 10^{-10}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = 10 \text{ T}$।
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41
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$v = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$ वेग वाला एक प्रोटॉन $(2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ T}$ के चुंबकीय क्षेत्र में प्रवेश करता है। प्रोटॉन में उत्पन्न त्वरण $\text{ms}^{-2}$ में ज्ञात कीजिए। (प्रोटॉन का विशिष्ट आवेश $= 0.96 \times 10^8 \text{ C kg}^{-1}$)
A
$28 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j})$
B
$288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
C
$28 \times 10^8(2 \hat{i} + 3 \hat{k})$
D
$288 \times 10^8(\hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
Solution
(B) दिया गया है: वेग $\vec{v} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B} = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ T}$.
विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \text{ C kg}^{-1}$.
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
अब,त्वरण $\vec{a} = \frac{q}{m}(6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$ की गणना करें:
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{a} = 288 \times 10^8 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-2}$.
विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \text{ C kg}^{-1}$.
गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ होता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$\vec{F} = m\vec{a}$,इसलिए $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ की गणना करें:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
अब,त्वरण $\vec{a} = \frac{q}{m}(6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$ की गणना करें:
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{a} = 288 \times 10^8 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-2}$.
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निम्नलिखित दो कथनों $A$ और $B$ पर विचार करें और दिए गए उत्तरों में से सही विकल्प की पहचान करें.
$A$. अनुचुंबकत्व (Paramagnetism) को डोमेन सिद्धांत द्वारा समझाया गया है.
$B$. प्रतिचुंबकीय (Diamagnetic) पदार्थ की प्रवृत्ति (Susceptibility) तापमान से स्वतंत्र होती है.
$A$. अनुचुंबकत्व (Paramagnetism) को डोमेन सिद्धांत द्वारा समझाया गया है.
$B$. प्रतिचुंबकीय (Diamagnetic) पदार्थ की प्रवृत्ति (Susceptibility) तापमान से स्वतंत्र होती है.
A
$A$ और $B$ दोनों सही हैं
B
$A$ और $B$ दोनों गलत हैं
C
$A$ सही है और $B$ गलत है
D
$A$ गलत है और $B$ सही है
Solution
(D) कथन $(A)$ गलत है क्योंकि डोमेन सिद्धांत का उपयोग लौहचुंबकत्व (Ferromagnetism) को समझाने के लिए किया जाता है,न कि अनुचुंबकत्व को.
कथन $(B)$ सही है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति तापमान से स्वतंत्र होती है,क्योंकि यह इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति से उत्पन्न होती है जो तापीय हलचल से महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं होती है.
कथन $(B)$ सही है क्योंकि प्रतिचुंबकीय पदार्थों की चुंबकीय प्रवृत्ति तापमान से स्वतंत्र होती है,क्योंकि यह इलेक्ट्रॉनों की कक्षीय गति से उत्पन्न होती है जो तापीय हलचल से महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित नहीं होती है.
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PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
न्यूट्रॉन,प्रोटॉन और ड्यूटेरॉन का द्रव्यमान amu में क्रमशः $1.00893$,$1.00813$ और $2.01473$ है। ड्यूटेरॉन का पैकिंग फ्रैक्शन amu में क्या होगा?
A
$11.65 \times 10^{-4}$
B
$23.5 \times 10^{-4}$
C
$33.5 \times 10^{-4}$
D
$47.15 \times 10^{-4}$
Solution
(A) दिए गए द्रव्यमान: $m_n = 1.00893 \text{ amu}$,$m_p = 1.00813 \text{ amu}$,$m_d = 2.01473 \text{ amu}$.
ड्यूटेरॉन $({}_1H^2)$ नाभिक एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन से बना होता है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$.
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473 = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \text{ amu}$.
पैकिंग फ्रैक्शन,द्रव्यमान क्षति और द्रव्यमान संख्या $(A)$ का अनुपात होता है।
ड्यूटेरॉन के लिए,$A = 2$.
पैकिंग फ्रैक्शन $= \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$.
ड्यूटेरॉन $({}_1H^2)$ नाभिक एक प्रोटॉन और एक न्यूट्रॉन से बना होता है।
द्रव्यमान क्षति $\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$.
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473 = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \text{ amu}$.
पैकिंग फ्रैक्शन,द्रव्यमान क्षति और द्रव्यमान संख्या $(A)$ का अनुपात होता है।
ड्यूटेरॉन के लिए,$A = 2$.
पैकिंग फ्रैक्शन $= \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$.
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निम्नलिखित कथनों $A$ और $B$ पर विचार करें। दिए गए उत्तर में सही विकल्प की पहचान करें।
$A$. न्यूक्लियॉन के बीच $p-n, p-p$ और $n-n$ बल समान नहीं हैं और आवेश पर निर्भर हैं।
$B$. परमाणु रिएक्टर में,यदि न्यूट्रॉन पुनरुत्पादन कारक $k > 1$ है,तो विखंडन अभिक्रिया त्वरित अवस्था में होगी।
$A$. न्यूक्लियॉन के बीच $p-n, p-p$ और $n-n$ बल समान नहीं हैं और आवेश पर निर्भर हैं।
$B$. परमाणु रिएक्टर में,यदि न्यूट्रॉन पुनरुत्पादन कारक $k > 1$ है,तो विखंडन अभिक्रिया त्वरित अवस्था में होगी।
A
$A$ और $B$ दोनों सही हैं
B
$A$ और $B$ दोनों गलत हैं
C
$A$ गलत है और $B$ सही है
D
$A$ सही है और $B$ गलत है
Solution
(C) प्रोटॉन-न्यूट्रॉन $(p-n)$,प्रोटॉन-प्रोटॉन $(p-p)$ और न्यूट्रॉन-न्यूट्रॉन $(n-n)$ के बीच कार्य करने वाला परमाणु बल लगभग समान और आवेश से स्वतंत्र होता है। इसलिए,कथन $A$ गलत है।
परमाणु रिएक्टर में,न्यूट्रॉन पुनरुत्पादन कारक (जिसे $k$ के रूप में दर्शाया जाता है) एक पीढ़ी में उत्पन्न न्यूट्रॉन की संख्या और पिछली पीढ़ी के न्यूट्रॉन की संख्या का अनुपात दर्शाता है। यदि $k > 1$ है,तो श्रृंखला अभिक्रिया सुपरक्रिटिकल होती है और विखंडन की दर तेजी से बढ़ती है (त्वरित अवस्था)। इसलिए,कथन $B$ सही है।
परमाणु रिएक्टर में,न्यूट्रॉन पुनरुत्पादन कारक (जिसे $k$ के रूप में दर्शाया जाता है) एक पीढ़ी में उत्पन्न न्यूट्रॉन की संख्या और पिछली पीढ़ी के न्यूट्रॉन की संख्या का अनुपात दर्शाता है। यदि $k > 1$ है,तो श्रृंखला अभिक्रिया सुपरक्रिटिकल होती है और विखंडन की दर तेजी से बढ़ती है (त्वरित अवस्था)। इसलिए,कथन $B$ सही है।
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45
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$30 \ cm$ लंबाई की एक पतली चुंबकीय लोहे की छड़ को एक समान चुंबकीय क्षेत्र में लटकाया गया है। इसका दोलन काल $4 \ s$ है। इसे तीन बराबर भागों में तोड़ दिया जाता है। जब एक भाग को उसी चुंबकीय क्षेत्र में लटकाया जाता है,तो उसका दोलन काल (सेकंड में) क्या होगा?
A
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
B
$\frac{2}{\sqrt{3}}$
C
$\sqrt{3}$
D
$\frac{4}{\sqrt{3}}$
Solution
(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में दोलन करने वाले चुंबक का आवर्तकाल $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$M$ चुंबकीय आघूर्ण $(M = m \times l)$ है और $I$ जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{m l^2}{12})$ है,जहाँ $m$ ध्रुव शक्ति है और $l$ लंबाई है।
जब छड़ को तीन बराबर भागों में तोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $l' = \frac{l}{3}$ हो जाती है और ध्रुव शक्ति $m$ समान रहती है।
अतः,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times \frac{l}{3} = \frac{M}{3}$ है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m(l/3)^2}{12} = \frac{m l^2}{9 \times 12} = \frac{I}{9}$ है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3)H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{3MH}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $T = 4 \ s$,अतः नया आवर्तकाल $T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$ है।
यहाँ,$M$ चुंबकीय आघूर्ण $(M = m \times l)$ है और $I$ जड़त्व आघूर्ण $(I = \frac{m l^2}{12})$ है,जहाँ $m$ ध्रुव शक्ति है और $l$ लंबाई है।
जब छड़ को तीन बराबर भागों में तोड़ा जाता है,तो नई लंबाई $l' = \frac{l}{3}$ हो जाती है और ध्रुव शक्ति $m$ समान रहती है।
अतः,नया चुंबकीय आघूर्ण $M' = m \times \frac{l}{3} = \frac{M}{3}$ है।
नया जड़त्व आघूर्ण $I' = \frac{m(l/3)^2}{12} = \frac{m l^2}{9 \times 12} = \frac{I}{9}$ है।
नया आवर्तकाल $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3)H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{3MH}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
दिया गया है $T = 4 \ s$,अतः नया आवर्तकाल $T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$ है।
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$0.15 \,m$ फोकस दूरी वाला एक उत्तल लेंस $\frac{3}{2}$ अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना है। जब इसे एक द्रव में रखा जाता है, तो इसकी फोकस दूरी $0.225 \,m$ बढ़ जाती है। द्रव का अपवर्तनांक है
A
$\frac{7}{4}$
B
$\frac{5}{4}$
C
$\frac{9}{4}$
D
$\frac{3}{2}$
Solution
(B) दिया गया है: हवा में फोकस दूरी $f_a = 0.15 \,m$, कांच का अपवर्तनांक $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$, और फोकस दूरी में वृद्धि $0.225 \,m$ है।
अतः, द्रव में नई फोकस दूरी $f_l = f_a + 0.225 = 0.15 + 0.225 = 0.375 \,m$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
हवा के लिए $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\frac{\mu_g}{1} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)K = 0.5K$, जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ है।
द्रव के लिए $(\mu_l)$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)K$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
मान रखने पर: $\frac{0.375}{0.15} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)} \Rightarrow 2.5 = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
$(\frac{1.5}{\mu_l} - 1) = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$.
$\frac{1.5}{\mu_l} = 1.2 \Rightarrow \mu_l = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.
अतः, द्रव में नई फोकस दूरी $f_l = f_a + 0.225 = 0.15 + 0.225 = 0.375 \,m$ है।
लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
हवा के लिए $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\frac{\mu_g}{1} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)K = 0.5K$, जहाँ $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$ है।
द्रव के लिए $(\mu_l)$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)K$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
मान रखने पर: $\frac{0.375}{0.15} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)} \Rightarrow 2.5 = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
$(\frac{1.5}{\mu_l} - 1) = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$.
$\frac{1.5}{\mu_l} = 1.2 \Rightarrow \mu_l = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.
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एक प्रिज्म $\sqrt{3}$ अपवर्तनांक वाले पदार्थ से बना है। प्रिज्म का कोण $A$ है। यदि न्यूनतम विचलन कोण,प्रिज्म के कोण के बराबर है,तो $A$ का मान क्या है ($^{\circ}$ में)?
A
$30$
B
$45$
C
$60$
D
$75$
Solution
(C) दिया गया है: अपवर्तनांक $\mu = \sqrt{3}$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta_m = A$ है।
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = 2 \cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$
प्रिज्म के अपवर्तनांक का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ का उपयोग करने पर:
$\sqrt{3} = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = 2 \cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है,इसलिए:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$
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निम्नलिखित कथनों $A$ और $B$ पर विचार करें। दिए गए उत्तरों में से सही विकल्प की पहचान करें।
$A$. द्वि-अपवर्तन (double refraction) में असाधारण किरण का अपवर्तनांक आपतन कोण पर निर्भर करता है।
$B$. द्वि-अपवर्तन में साधारण और असाधारण दोनों किरणों के लिए प्रकाश तरंगों के कंपन एकतरफा (one-sided) हो जाते हैं।
$A$. द्वि-अपवर्तन (double refraction) में असाधारण किरण का अपवर्तनांक आपतन कोण पर निर्भर करता है।
$B$. द्वि-अपवर्तन में साधारण और असाधारण दोनों किरणों के लिए प्रकाश तरंगों के कंपन एकतरफा (one-sided) हो जाते हैं।
A
$A$ और $B$ गलत हैं
B
$A$ और $B$ सही हैं
C
$A$ सही है और $B$ गलत है
D
$A$ गलत है और $B$ सही है
Solution
(B) द्वि-अपवर्तन (birefringence) में,एक क्रिस्टल अध्रुवित प्रकाश पुंज को दो किरणों में विभाजित करता है: साधारण किरण ($O$-ray) और असाधारण किरण ($E$-ray)।
कथन $A$ सही है: $E$-किरण का अपवर्तनांक ऑप्टिक अक्ष के सापेक्ष प्रसार की दिशा पर निर्भर करता है,जिसका अर्थ है कि यह आपतन कोण के साथ बदलता है।
कथन $B$ सही है: साधारण और असाधारण दोनों किरणें समतल-ध्रुवित होती हैं। ध्रुवण वह घटना है जिसमें प्रकाश तरंगें 'एकतरफा' हो जाती हैं (कंपन एक ही तल तक सीमित हो जाते हैं)।
अतः,दोनों कथन सही हैं।
कथन $A$ सही है: $E$-किरण का अपवर्तनांक ऑप्टिक अक्ष के सापेक्ष प्रसार की दिशा पर निर्भर करता है,जिसका अर्थ है कि यह आपतन कोण के साथ बदलता है।
कथन $B$ सही है: साधारण और असाधारण दोनों किरणें समतल-ध्रुवित होती हैं। ध्रुवण वह घटना है जिसमें प्रकाश तरंगें 'एकतरफा' हो जाती हैं (कंपन एक ही तल तक सीमित हो जाते हैं)।
अतः,दोनों कथन सही हैं।
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एक कॉमन एमिटर ट्रांजिस्टर एम्पलीफायर का करंट गेन $50$ है। यदि लोड प्रतिरोध $4 \ k\Omega$ और इनपुट प्रतिरोध $500 \ \Omega$ है, तो एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन क्या होगा?
A
$100$
B
$200$
C
$300$
D
$400$
Solution
(D) दिया गया है:
$\text{करंट } \ \text{गेन } (\beta) = 50$
$\text{लोड } \ \text{प्रतिरोध } (R_L) = 4 \ k\Omega = 4000 \ \Omega$
$\text{इनपुट } \ \text{प्रतिरोध } (R_i) = 500 \ \Omega$
कॉमन एमिटर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
मान रखने पर:
$A_v = 50 \times \frac{4000}{500}$
$A_v = 50 \times 8$
$A_v = 400$
अतः, एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $400$ है।
$\text{करंट } \ \text{गेन } (\beta) = 50$
$\text{लोड } \ \text{प्रतिरोध } (R_L) = 4 \ k\Omega = 4000 \ \Omega$
$\text{इनपुट } \ \text{प्रतिरोध } (R_i) = 500 \ \Omega$
कॉमन एमिटर एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $(A_v)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
मान रखने पर:
$A_v = 50 \times \frac{4000}{500}$
$A_v = 50 \times 8$
$A_v = 400$
अतः, एम्पलीफायर का वोल्टेज गेन $400$ है।
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50
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एक ट्रांजिस्टर सर्किट में,जब कलेक्टर वोल्टेज को $2 \ V$ पर स्थिर रखते हुए बेस करंट को $50 \mu A$ से बढ़ाया जाता है,तो कलेक्टर करंट $1 \ mA$ बढ़ जाता है। ट्रांजिस्टर का करंट गेन क्या है?
A
$20$
B
$40$
C
$60$
D
$80$
Solution
(A) दिया गया है:
बेस करंट में वृद्धि,$\Delta I_b = 50 \mu A = 50 \times 10^{-6} \ A$.
कलेक्टर करंट में वृद्धि,$\Delta I_c = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
कलेक्टर वोल्टेज को स्थिर रखा गया है,जो कॉमन-एमिटर करंट गेन $\beta$ की गणना करने की शर्त है।
करंट गेन $\beta$ को कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b}$
मान रखने पर:
$\beta = \frac{1 \times 10^{-3} \ A}{50 \times 10^{-6} \ A}$
$\beta = \frac{1000}{50} = 20$.
अतः,ट्रांजिस्टर का करंट गेन $20$ है।
बेस करंट में वृद्धि,$\Delta I_b = 50 \mu A = 50 \times 10^{-6} \ A$.
कलेक्टर करंट में वृद्धि,$\Delta I_c = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
कलेक्टर वोल्टेज को स्थिर रखा गया है,जो कॉमन-एमिटर करंट गेन $\beta$ की गणना करने की शर्त है।
करंट गेन $\beta$ को कलेक्टर करंट में परिवर्तन और बेस करंट में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b}$
मान रखने पर:
$\beta = \frac{1 \times 10^{-3} \ A}{50 \times 10^{-6} \ A}$
$\beta = \frac{1000}{50} = 20$.
अतः,ट्रांजिस्टर का करंट गेन $20$ है।
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एक थर्मोकपल का ठंडा जंक्शन $0^{\circ} C$ पर है। थर्मोकपल में उत्पन्न थर्मो e.m.f. समीकरण $E = 16T - 0.04T^2$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $T$ गर्म जंक्शन का तापमान है। थर्मोकपल का व्युत्क्रमण (inversion) तापमान और उदासीन (neutral) तापमान क्या हैं?
A
$200^{\circ} C ; 400^{\circ} C$
B
$400^{\circ} C ; 200^{\circ} C$
C
$200^{\circ} C ; 300^{\circ} C$
D
$300^{\circ} C ; 200^{\circ} C$
Solution
(B) थर्मो e.m.f. समीकरण $E = 16T - 0.04T^2$ द्वारा दिया गया है।
व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ पर,थर्मो e.m.f. शून्य हो जाता है $(E = 0)$।
समीकरण को शून्य के बराबर रखने पर: $0 = 16T_i - 0.04T_i^2$.
$16T_i = 0.04T_i^2$.
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
उदासीन तापमान $(T_n)$ वह तापमान है जिस पर थर्मो e.m.f. अधिकतम होता है,या यह ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ और व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ का औसत होता है।
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2}$.
यहाँ $T_c = 0^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T_n = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
अतः,व्युत्क्रमण तापमान $400^{\circ} C$ है और उदासीन तापमान $200^{\circ} C$ है।
व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ पर,थर्मो e.m.f. शून्य हो जाता है $(E = 0)$।
समीकरण को शून्य के बराबर रखने पर: $0 = 16T_i - 0.04T_i^2$.
$16T_i = 0.04T_i^2$.
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
उदासीन तापमान $(T_n)$ वह तापमान है जिस पर थर्मो e.m.f. अधिकतम होता है,या यह ठंडे जंक्शन के तापमान $(T_c)$ और व्युत्क्रमण तापमान $(T_i)$ का औसत होता है।
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2}$.
यहाँ $T_c = 0^{\circ} C$ दिया गया है,इसलिए $T_n = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
अतः,व्युत्क्रमण तापमान $400^{\circ} C$ है और उदासीन तापमान $200^{\circ} C$ है।
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52
PhysicsDifficultMCQAP EAMCET · 2002
यंग के द्वि-झिरी व्यतिकरण प्रयोग में उपयोग किए गए प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $6000 \text{ Å}$ है। यदि पर्दे पर बिंदु $P$ पर पहुँचने वाली तरंगों के बीच का पथ अंतर $1.5 \text{ } \mu\text{m}$ है,तो उस बिंदु $P$ पर:
A
दूसरी दीप्त फ्रिंज बनती है
B
दूसरी अदीप्त फ्रिंज बनती है
C
तीसरी अदीप्त फ्रिंज बनती है
D
तीसरी दीप्त फ्रिंज बनती है
Solution
(C) दिया गया है: $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$,$\Delta x = 1.5 \text{ } \mu\text{m} = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\Delta x / \lambda = (1.5 \times 10^{-6}) / (6 \times 10^{-7}) = 15 / 6 = 2.5$.
चूँकि $n$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह दीप्त फ्रिंज नहीं है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times (6 \times 10^{-7} / 2)$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times 3 \times 10^{-7}$.
$2n + 1 = (1.5 \times 10^{-6}) / (3 \times 10^{-7}) = 15 / 3 = 5$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.
$n = 0$ के लिए पहली अदीप्त फ्रिंज,$n = 1$ के लिए दूसरी और $n = 2$ के लिए तीसरी अदीप्त फ्रिंज प्राप्त होती है। अतः,बिंदु $P$ पर तीसरी अदीप्त फ्रिंज बनती है।
संपोषी व्यतिकरण (दीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = n\lambda$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\Delta x / \lambda = (1.5 \times 10^{-6}) / (6 \times 10^{-7}) = 15 / 6 = 2.5$.
चूँकि $n$ पूर्णांक नहीं है,इसलिए यह दीप्त फ्रिंज नहीं है।
विनाशी व्यतिकरण (अदीप्त फ्रिंज) के लिए,पथ अंतर $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ होता है,जहाँ $n = 0, 1, 2, \dots$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times (6 \times 10^{-7} / 2)$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times 3 \times 10^{-7}$.
$2n + 1 = (1.5 \times 10^{-6}) / (3 \times 10^{-7}) = 15 / 3 = 5$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.
$n = 0$ के लिए पहली अदीप्त फ्रिंज,$n = 1$ के लिए दूसरी और $n = 2$ के लिए तीसरी अदीप्त फ्रिंज प्राप्त होती है। अतः,बिंदु $P$ पर तीसरी अदीप्त फ्रिंज बनती है।
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