AP EAMCET 2002 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) નિશ્ચિત બિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $x_{cm}$ નું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$x_{cm} = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x_{cm} = \frac{m(l) + 2m(2l) + 3m(3l) + \ldots + nm(nl)}{m + 2m + 3m + \ldots + nm}$
$x_{cm} = \frac{ml(1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2)}{m(1 + 2 + 3 + \ldots + n)}$
પ્રમાણિત સરવાળાના સૂત્રો $\sum_{i=1}^n i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ અને $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x_{cm} = \frac{l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}{\frac{n(n+1)}{2}}$
$x_{cm} = l \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \cdot \frac{2}{n(n+1)}$
$x_{cm} = \frac{l(2n+1)}{3}$

(B) પ્રક્ષેપણ વેગ $v = \frac{3}{4} v_e$ છે,જ્યાં $v_e = \sqrt{2gR}$ એ નિષ્ક્રમણ વેગ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v = \frac{3}{4} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{1}{2}m(\frac{9}{16} \cdot \frac{2GM}{R}) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{9GMm}{16R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{7GMm}{16R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{7}{16R} = \frac{1}{R+h}$
$16R = 7(R+h) = 7R + 7h$
$7h = 9R$
$h = \frac{9}{7}R$

(B) ક્ષેત્રીય વેગ $A$ એ ગ્રહના સ્થાન સદિશ દ્વારા ક્ષેત્રફળ કપાવાના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
$A = \frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \omega$
બંને બાજુ ગ્રહના દળ $M$ વડે ગુણતા:
$MA = \frac{1}{2} M r^2 \omega$
કારણ કે $r$ અંતરે રહેલા $M$ દળના બિંદુવત પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M r^2$ છે,તેથી:
$MA = \frac{1}{2} I \omega$
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $L = I \omega$ છે.
સમીકરણમાં $L$ મૂકતા:
$MA = \frac{1}{2} L$
તેથી,કોણીય વેગમાન $L$ નીચે મુજબ મળે છે:
$L = 2MA$

(A) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે.
બંને ટાંકી માટે ઊંડાઈ $h$ સમાન હોવાથી,બંનેનો વેગ સમાન હશે: $v_A = v_B = v = \sqrt{2gh}$.
દળ ફ્લક્સ (mass flux) નું સૂત્ર $\dot{m} = A \cdot v \cdot \rho$ છે,જ્યાં $A$ એ કાણાનું ક્ષેત્રફળ,$v$ એ વેગ અને $\rho$ એ ઘનતા છે.
આપેલ છે કે દળ ફ્લક્સ સમાન છે: $\dot{m}_A = \dot{m}_B$.
$A_A \cdot v_A \cdot \rho_A = A_B \cdot v_B \cdot \rho_B$.
$v_A = v_B$ હોવાથી,તે બંને બાજુથી ઉડી જશે:
$A_A \cdot \rho_A = A_B \cdot \rho_B$.
આપેલ છે કે $A_B = 2 A_A$.
તેથી,$A_A \cdot \rho_A = (2 A_A) \cdot \rho_B$.
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$.

(B) પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma$ એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta A}{A} = 2 \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta A}{A} = -2\% = -0.02$,તેથી $2 \frac{\Delta r}{r} = -0.02$,એટલે કે $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$.
પાર્શ્વ વિકૃતિ $\frac{\Delta r}{r} = -0.01$ છે.
પોઈસન ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sigma = -\frac{\Delta r/r}{\Delta L/L}$.
$0.4 = -\frac{-0.01}{\Delta L/L}$.
$\frac{\Delta L}{L} = \frac{0.01}{0.4} = 0.025$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો પ્રતિશત વધારો $0.025 \times 100 = 2.5 \%$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = 8 \ kg \ m/s$,બળ $F = 0.2 \ N$,સમય $t = 10 \ s$.
આઘાત-વેગમાન પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $F \cdot t = \Delta p = p_2 - p_1$.
$0.2 \times 10 = p_2 - 8$.
$2 = p_2 - 8 \Rightarrow p_2 = 10 \ kg \ m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \ J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \ J$.
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \ J$.

(C) આપેલ છે: ઘર્ષણાંક $\mu = 0.5$. ચોખ્ખા બળ $F$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ નો ગુણોત્તર $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ છે.
ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકતા પદાર્થ પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F = mg \sin \theta - f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ ઘર્ષણ બળ છે.
ઘર્ષણ બળ $f = \mu R$ છે અને લંબ પ્રતિક્રિયા $R = mg \cos \theta$ છે.
આ કિંમતોને $F$ ના સમીકરણમાં મૂકતા: $F = mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta$.
હવે,આપેલ ગુણોત્તર $\frac{F}{R} = \frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{mg \sin \theta - \mu mg \cos \theta}{mg \cos \theta} = \frac{1}{2}$
અંશને છેદ વડે ભાગતા:
$\tan \theta - \mu = \frac{1}{2}$
$\tan \theta = \frac{1}{2} + \mu = 0.5 + 0.5 = 1.0$.
તેથી,$\tan \theta = 1$ હોવાથી,$\theta = 45^{\circ}$ મળે છે.

(C) ધારો કે પદાર્થ $P$ બિંદુએ અર્ધગોળાની સપાટી છોડે છે.
$P$ બિંદુએ,ધારો કે પદાર્થનો ત્રિજ્યા સદિશ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
$P$ બિંદુએ પદાર્થ પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R$ (બહારની તરફ) છે.
કેન્દ્ર તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $mg \cos \theta$ છે.
કેન્દ્રગામી બળ એ ગુરુત્વાકર્ષણના ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક અને લંબ પ્રતિક્રિયાના તફાવત દ્વારા મળે છે:
$mg \cos \theta - R = \frac{mv^2}{r}$
જ્યારે પદાર્થ સપાટી છોડે છે,ત્યારે લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
તેથી,$mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$
આપેલ કિંમતો $v = 5 \text{ m/s}$,$r = 5 \text{ m}$,અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ મૂકતા:
$\cos \theta = \frac{v^2}{rg} = \frac{5^2}{5 \times 10} = \frac{25}{50} = \frac{1}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$ હોવાથી,$\theta = 60^{\circ}$ મળે છે.

(C) આપેલ સૂત્ર $X = \frac{A^2 B}{C^{1/3} D^3}$ છે.
ભૂલના પ્રસરણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$X$ માં સાપેક્ષ ભૂલ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{\Delta X}{X} = 2 \left( \frac{\Delta A}{A} \right) + \left( \frac{\Delta B}{B} \right) + \frac{1}{3} \left( \frac{\Delta C}{C} \right) + 3 \left( \frac{\Delta D}{D} \right)$.
હવે,દરેક પદનો ટકાવારી ભૂલમાં ફાળો ગણીએ:
$A$ નો ફાળો = $2 \times 2 \% = 4 \%$.
$B$ નો ફાળો = $1 \times 2 \% = 2 \%$.
$C$ નો ફાળો = $\frac{1}{3} \times 4 \% = 1.33 \%$.
$D$ નો ફાળો = $3 \times 5 \% = 15 \%$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$X$ માં ટકાવારી ભૂલમાં ન્યૂનતમ ફાળો $C$ દ્વારા મળે છે.

(C) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ છિદ્રમાંથી બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gd}$ છે.
પ્રવાહી જે ઊભી ઊંચાઈએથી નીચે પડે છે તે $h$ છે.
પાણીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે,જે $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ આપે છે.
આડી અવધિ (Range) $R$ એ આડા વેગ અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર છે:
$R = v \times t = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $R^2 = 2gd \times \frac{2h}{g} = 4dh$ મળે છે.
તેથી,ઊંડાઈ $d$ નું મૂલ્ય $d = \frac{R^2}{4h}$ થાય છે.

(D) ટોરીસેલીના નિયમ મુજબ,$h$ ઊંડાઈએ બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ છે. બંને ટાંકીમાં કાણા સમાન ઊંડાઈ $h$ પર હોવાથી,બંને પ્રવાહી માટે બહાર આવતા પ્રવાહીનો વેગ સમાન રહેશે: $v_1 = v_2 = \sqrt{2gh}$.
દળ ફ્લક્સ (એકમ સમયમાં પસાર થતું દળ) $\dot{m} = \rho A v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે,$A$ એ કાણાનું ક્ષેત્રફળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
ટાંકી $A$ માટે: $\dot{m}_A = \rho_A A_A v_A$.
ટાંકી $B$ માટે: $\dot{m}_B = \rho_B A_B v_B$.
આપેલ છે કે દળ ફ્લક્સ સમાન છે,$\dot{m}_A = \dot{m}_B$,અને $A_B = 2A_A$:
$\rho_A A_A v = \rho_B (2A_A) v$.
બંને બાજુથી $A_A$ અને $v$ ને દૂર કરતા:
$\rho_A = 2 \rho_B$.
તેથી,ઘનતાનો ગુણોત્તર $\frac{\rho_A}{\rho_B} = 2$ થાય. જો પ્રશ્ન $\frac{\rho_B}{\rho_A}$ માંગતો હોય,તો જવાબ $\frac{1}{2}$ આવે.

(D) કેશનળીમાં પાણીનો ચઢાવ $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેશનળીમાં પાણીનું સ્તર પાત્રના સ્તર જેટલું લાવવા માટે,આપણે કેશનળીમાં વધારાનું દબાણ $P$ લગાડવું પડે જે કેશિકા દબાણ $h \rho g$ જેટલું હોય.
તેથી,$P = h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
આપેલ છે: $T = 0.07 \ N/m$,$d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$,તેથી $r = 0.14 \times 10^{-3} \ m$,અને પાણી માટે $\theta = 0^{\circ}$ (તેથી $\cos \theta = 1$).
$P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
આ જરૂરી વધારાનું દબાણ છે. કેશનળીમાં પાણીની સપાટી પર લગાડવું પડતું કુલ દબાણ એ વાતાવરણના દબાણ અને આ વધારાના દબાણનો સરવાળો છે.
કુલ દબાણ $= P_{atm} + P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.

(D) સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = 36t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને પ્રમાણિત સમીકરણ $x = u_x t$ સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રારંભિક વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 36 \ m/s$ મળે છે.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = 48t - 4.9t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આને પ્રમાણિત સમીકરણ $y = u_y t - \frac{1}{2}gt^2$ (જ્યાં $g \approx 9.8 \ m/s^2$) સાથે સરખાવતા,આપણને પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = 48 \ m/s$ મળે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u$ એ તેના ઘટકોના પરિણામી સદિશનું મૂલ્ય છે:
$u = \sqrt{u_x^2 + u_y^2}$
$u = \sqrt{36^2 + 48^2}$
$u = \sqrt{1296 + 2304}$
$u = \sqrt{3600}$
$u = 60 \ m/s$.

(A) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $F = -kx$ બળ હેઠળ $SHM$ કરે ત્યારે આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ છે.
$F = kx$ હોવાથી,$k = \frac{F}{x}$ મળે,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{mx}{F}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $T^2 \propto \frac{1}{F}$,અથવા $F \propto \frac{1}{T^2}$.
ધારો કે $F_1 = \frac{c}{T_1^2}$ અને $F_2 = \frac{c}{T_2^2}$,જ્યાં $c$ અચળાંક છે.
જ્યારે બંને બળો એકસાથે એક જ દિશામાં કાર્ય કરે,ત્યારે પરિણામી બળ $F_{net} = F_1 + F_2$ થાય.
નવો આવર્તકાળ $T$ માટે $F_{net} = \frac{c}{T^2}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{c}{T^2} = \frac{c}{T_1^2} + \frac{c}{T_2^2}$.
$\frac{1}{T^2} = \frac{1}{T_1^2} + \frac{1}{T_2^2} = \frac{T_1^2 + T_2^2}{T_1^2 T_2^2}$.
$T = \frac{T_1 T_2}{\sqrt{T_1^2 + T_2^2}} = \frac{(4/5) \times (3/5)}{\sqrt{(4/5)^2 + (3/5)^2}} = \frac{12/25}{\sqrt{16/25 + 9/25}} = \frac{12/25}{\sqrt{25/25}} = \frac{12}{25} \ s$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $4v^2 = 25 - x^2$.
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $v^2 = \frac{25}{4} - \frac{x^2}{4}$.
આ સમીકરણને સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $v^2 = \omega^2(A^2 - x^2)$ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને $v^2 = \frac{1}{4}(25 - x^2)$ તરીકે લખી શકીએ.
આમ,$\omega^2 = \frac{1}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\omega = \frac{1}{2} \text{ rad/s}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા: $T = \frac{2\pi}{1/2} = 4\pi \text{ s}$.

(C) રિવર્બરેશન સમય $T$ એ સેબિનના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = \frac{0.161 V}{\sum A}$,જ્યાં $V$ એ કદ છે અને $\sum A = \alpha S$ એ કુલ શોષણ છે.
આપેલ છે: $V = 10^5 \ m^3$,$S = 2 \times 10^4 \ m^2$,અને $\alpha = 0.2$.
કુલ શોષણ $\sum A = \alpha \times S = 0.2 \times 2 \times 10^4 = 4000 \ m^2$.
આવા દાખલાઓમાં વપરાતા પ્રમાણિત અચળાંક $0.17$ નો ઉપયોગ કરતા,$T = \frac{0.17 V}{\alpha S}$:
$T = \frac{0.17 \times 10^5}{0.2 \times 2 \times 10^4} = \frac{17000}{4000} = 4.25 \ s$.

(D) આપેલ છે: $\lambda_1 = 0.26 \mu m$,$\lambda_2 = 0.13 \mu m$.
વીનના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ,$\lambda T = \text{અચળ}$.
તેથી,$\lambda_1 T_1 = \lambda_2 T_2$.
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{0.13}{0.26} = \frac{1}{2}$.
સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જક શક્તિ $E \propto T^4$.
આમ,ઉત્સર્જક શક્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^4$ થશે.
$\frac{E_1}{E_2} = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1:16$ છે.

(D) કંપન કરતા તારની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ (તાર સમાન હોવાથી) અચળ રહેતા હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{l_2}{l_1}$.
અહીં $n_1 = 1 \ kHz$ અને $n_2 = 1.001 \ kHz$ આપેલ છે,તેથી $\frac{l_2}{l_1} = \frac{1}{1.001}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણના સૂત્ર $l_2 = l_1(1 - \alpha \Delta t)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta t = 30^{\circ} C - 10^{\circ} C = 20^{\circ} C$:
$\frac{l_1}{1.001} = l_1(1 - \alpha \times 20)$.
$1 - 20\alpha = \frac{1}{1.001} \approx 1 - 0.001$.
$20\alpha = 0.001$.
$\alpha = \frac{0.001}{20} = 0.5 \times 10^{-4} /^{\circ} C$.

(A) ઘન ગોળાની ચાકગતિ ઉર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} I \omega^2$ છે.
ઘન ગોળા માટે,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{2}{5} m r^2$ અને કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi n$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$KE = \frac{1}{2} \times (\frac{2}{5} m r^2) \times (2 \pi n)^2 = \frac{1}{5} m r^2 \times 4 \pi^2 n^2 = \frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
આપેલ છે કે આ ઉર્જાના $50 \%$ ઉષ્મામાં રૂપાંતરિત થાય છે,તેથી ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મા $\Delta Q = \frac{1}{2} KE = \frac{1}{2} \times (\frac{4}{5} m r^2 \pi^2 n^2) = \frac{2}{5} m r^2 \pi^2 n^2$.
સંબંધ $\Delta Q = m S \Delta t$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\Delta t$ એ તાપમાનમાં વધારો છે,આપણને $\Delta t = \frac{\Delta Q}{m S}$ મળે છે.
$\Delta Q$ ની કિંમત મૂકતા,$\Delta t = \frac{2/5 m r^2 \pi^2 n^2}{m S} = \frac{2 \pi^2 n^2 r^2}{5 S}$.

(D) પ્રવાહીના વાસ્તવિક વિસ્તરણનો સહગુણક $(\gamma_{\text{real}})$ આપેલ પ્રવાહી માટે અચળ હોય છે. વાસ્તવિક વિસ્તરણ, આભાસી વિસ્તરણ $(\gamma_{\text{app}})$ અને પાત્રના કદ વિસ્તરણ $(\gamma_{\text{vessel}})$ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\gamma_{\text{real}} = \gamma_{\text{app}} + \gamma_{\text{vessel}}$.
પાત્ર $A$ માટે, કદ વિસ્તરણનો સહગુણક $\gamma_A = 3\alpha$ છે. તેથી, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_1 + 3\alpha$.
પાત્ર $B$ માટે, ધારો કે રેખીય વિસ્તરણનો સહગુણક $\alpha_B$ છે. તો $\gamma_B = 3\alpha_B$. તેથી, $\gamma_{\text{real}} = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
કારણ કે $\gamma_{\text{real}}$ બંને કિસ્સામાં સમાન છે, આપણે તેમને સરખાવીએ: $\gamma_1 + 3\alpha = \gamma_2 + 3\alpha_B$.
$\alpha_B$ માટે ઉકેલતા: $3\alpha_B = \gamma_1 - \gamma_2 + 3\alpha$.
તેથી, $\alpha_B = \frac{\gamma_1 - \gamma_2}{3} + \alpha$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ નું સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: $n = 5 \ mol$,$\gamma = \frac{7}{5}$,$R = 8.30 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$.
શરૂઆતનું તાપમાન $T_1 = 0^{\circ} C = 273 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 400^{\circ} C = 673 \ K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 400 \ K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{\frac{7}{5} - 1} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30}{2/5} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times \left( \frac{8.30 \times 5}{2} \right) \times 400$
$\Delta U = 5 \times 20.75 \times 400 = 41500 \ J$.
કિલો-જૂલમાં રૂપાંતર કરતા: $\Delta U = 41.50 \ kJ$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $41.55 \ kJ$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
આપેલ છે: $P = 760 \text{ mm of Hg} = 1 \text{ atm}$,$V = 11.2 \text{ litres}$,$T = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,$M = 32 \text{ g/mol} = 0.032 \text{ kg/mol}$,$R = 0.0821 \text{ L atm K}^{-1} \text{ mol}^{-1}$.
$m = \frac{PVM}{RT} = \frac{1 \times 11.2 \times 32}{0.0821 \times 300} \text{ ગ્રામ}$.
$m \approx 14.56 \text{ ગ્રામ} = 0.01456 \text{ kg}$.

(A) વાન ડર વાલ્સ વાયુ સમીકરણ $(P+\frac{a}{V^2})(V-b)=n R T$ છે.
સમાનતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ઉમેરવામાં આવતા અથવા બાદ કરવામાં આવતા પદોના પરિમાણો સમાન હોવા જોઈએ.
$1$. $\frac{a}{V^2}$ નું પરિમાણ $P$ (દબાણ) ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[P] = [ML^{-1} T^{-2}]$ અને $[V] = [L^3]$.
તેથી,$[a] = [P] \times [V^2] = [ML^{-1} T^{-2}] \times [L^3]^2 = [ML^5 T^{-2}]$.
$2$. $b$ નું પરિમાણ $V$ (કદ) ના પરિમાણ જેટલું હોવું જોઈએ.
$[b] = [V] = [L^3]$.
$3$. હવે,ગુણોત્તર $\frac{b}{a}$ ના પરિમાણો:
$\frac{[b]}{[a]} = \frac{[L^3]}{[ML^5 T^{-2}]} = [M^{-1} L^{-2} T^2]$.

(D) ઢળતા સમતલ પર ઉપર તરફ ગતિ કરતા પદાર્થ પર લાગતું કુલ અવરોધક બળ $F_{net} = mg \sin \theta + f_k$ છે,જ્યાં $f_k = \mu R = \mu mg \cos \theta$ છે.
તેથી,$F_{net} = mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)$.
મંદન $a = \frac{F_{net}}{m} = g(\sin \theta + \mu \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,બધા બળો દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W_{total} = \Delta KE = 0 - E = -E$.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = -mg \sin \theta \cdot s$ છે અને ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_f = f_k \cdot s = \mu mg \cos \theta \cdot s$ છે.
$v^2 - u^2 = 2as$ પરથી,આપણને $0 - u^2 = -2as$ મળે છે,તેથી $s = \frac{u^2}{2a} = \frac{2E/m}{2g(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)}$.
ઘર્ષણ વિરુદ્ધ થયેલું કાર્ય $W_f = (\mu mg \cos \theta) \cdot s = (\mu mg \cos \theta) \cdot \frac{E}{mg(\sin \theta + \mu \cos \theta)} = \frac{\mu E \cos \theta}{\sin \theta + \mu \cos \theta}$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 4 \,kg$,પ્રારંભિક વેગમાન $p_1 = 8 \,kg \,m/s$,બળ $F = 0.2 \,N$,સમય $t = 10 \,s$.
આઘાત-વેગમાનના પ્રમેય મુજબ,વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta p = F \times t$ છે.
$\Delta p = 0.2 \,N \times 10 \,s = 2 \,kg \,m/s$.
અંતિમ વેગમાન $p_2 = p_1 + \Delta p = 8 + 2 = 10 \,kg \,m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_1 = \frac{p_1^2}{2m} = \frac{8^2}{2 \times 4} = \frac{64}{8} = 8 \,J$.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_2 = \frac{p_2^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 4} = \frac{100}{8} = 12.5 \,J$.
ગતિઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta K = K_2 - K_1 = 12.5 - 8 = 4.5 \,J$.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 2 \,kg$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, $t = 4 \,s$ સમયે અંતિમ વેગ $v = 20 \,ms^{-1}$.
સૌ પ્રથમ, $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો:
$a = \frac{v - u}{t} = \frac{20 - 0}{4} = 5 \,ms^{-2}$.
પદાર્થ પર લાગતું અચળ બળ $F = ma = 2 \,kg \times 5 \,ms^{-2} = 10 \,N$ છે.
હવે, $t' = 2 \,s$ સમયે પદાર્થનો વેગ $v'$ શોધવા માટે $v' = u + at'$ નો ઉપયોગ કરો:
$v' = 0 + (5 \,ms^{-2} \times 2 \,s) = 10 \,ms^{-1}$.
$t' = 2 \,s$ સમયે પદાર્થ પર લાગતો તાત્ક્ષણિક પાવર $P = F \times v'$ દ્વારા મળે છે:
$P = 10 \,N \times 10 \,ms^{-1} = 100 \,W$.

(B) આપેલ છે: વેગ $v = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ m/s$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \ T$,વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \ C/kg$.
પ્રોટોન પર લાગતું બળ $F = q(v \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકાર $v \times B$ ની ગણતરી કરતા:
$v \times B = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી $a = \frac{F}{m} = \frac{q}{m}(v \times B)$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = (0.96 \times 10^8) \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$a = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$a = 288 \times 10^8(2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \ m/s^2$.

(C) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A$.
પ્રિઝમ માટે,વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર: $\mu = \frac{\sin \frac{A+\delta_m}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\sqrt{3} = \frac{\sin \frac{A+A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = \frac{\sin A}{\sin \frac{A}{2}}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{3} = \frac{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
$\sqrt{3} = 2 \cos \frac{A}{2}$.
$\cos \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
કારણ કે $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી $\frac{A}{2} = 30^{\circ}$.
આમ,$A = 60^{\circ}$.

(B) કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર $Q$ એ સૂત્ર $Q = C \times V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C$ એ કેપેસિટન્સ છે અને $V$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે $C = 1000 \ \mu F = 1000 \times 10^{-6} \ F$ અને $V = 20 \ V$.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q = 1000 \times 10^{-6} \ F \times 20 \ V = 20,000 \ \mu C$.
ચાર્જિંગનો દર $I = 200 \ \mu C/s$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
દર સ્થિર હોવાથી,જરૂરી સમય $t = Q / I$ દ્વારા મળે છે.
$t = 20,000 \ \mu C / 200 \ \mu C/s = 100 \ s$.

(B) પ્રારંભિક કેપેસિટન્સ $C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} \text{ F}$ અને પોટેન્શિયલ $V = 50 \text{ V}$ છે.
પ્રારંભિક સંગ્રહિત ઉર્જા $E_1 = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 50 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.125 \text{ J} = 125 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.
જ્યારે અંતર $d$ બમણું થાય છે,ત્યારે નવું કેપેસિટન્સ $C' = \frac{\epsilon_0 A}{2d} = \frac{C}{2} = 50 \mu F$ થાય છે.
બેટરી જોડાયેલી હોવાથી,પોટેન્શિયલ $V$ એ $50 \text{ V}$ જ રહે છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $E_2 = \frac{1}{2} C' V^2 = \frac{1}{2} \times 50 \times 10^{-6} \times (50)^2 = 25 \times 10^{-6} \times 2500 = 0.0625 \text{ J} = 62.5 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.
કેપેસિટર પરનો પ્રારંભિક ચાર્જ $Q_1 = CV = 100 \times 10^{-6} \times 50 = 5 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
કેપેસિટર પરનો અંતિમ ચાર્જ $Q_2 = C'V = 50 \times 10^{-6} \times 50 = 2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
ચાર્જમાં ફેરફાર $\Delta Q = Q_2 - Q_1 = -2.5 \times 10^{-3} \text{ C}$ છે.
બેટરી દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \Delta Q \times V = (-2.5 \times 10^{-3}) \times 50 = -125 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ઉર્જા બેટરીને પાછી આપવામાં આવે છે. ઉર્જામાં ફેરફારનું મૂલ્ય $125 \times 10^{-3} \text{ J}$ છે.

(C) દરેક ટુકડાનો અવરોધ $r = \frac{R}{20}$ છે.
કુલ $20$ ટુકડાઓ છે,તેથી $10$ ટુકડાઓ શ્રેણી જોડાણ માટે અને $10$ ટુકડાઓ સમાંતર જોડાણ માટે વપરાય છે.
શ્રેણીમાં જોડાયેલા $10$ ટુકડાઓ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_1$ છે:
$R_1 = 10 \times r = 10 \times \frac{R}{20} = \frac{R}{2}$.
સમાંતર જોડાયેલા $10$ ટુકડાઓ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $R_2$ છે:
$\frac{1}{R_2} = \frac{1}{r} + \frac{1}{r} + \dots (10 \text{ વખત}) = \frac{10}{r} = \frac{10}{R/20} = \frac{200}{R}$.
આમ,$R_2 = \frac{R}{200}$.
હવે,આ બંને સંયોજનોને શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,તેથી કુલ અસરકારક અવરોધ $R_{eq}$ છે:
$R_{eq} = R_1 + R_2 = \frac{R}{2} + \frac{R}{200} = \frac{100R + R}{200} = \frac{101R}{200}$.

(B) જ્યારે તારને ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કદ અચળ રહે છે. કારણ કે $R = \rho \frac{l}{A}$ અને $V = A \times l$,તેથી $R = \rho \frac{l^2}{V}$. આમ,$R \propto l^2$.
આપેલ પ્રારંભિક અવરોધ $R_1 = 3 \Omega$ અને લંબાઈ $l_1 = l$ છે. ખેંચ્યા પછી,$l_2 = 2l$ થાય છે.
$\frac{R_2}{R_1} = \left(\frac{l_2}{l_1}\right)^2 = \left(\frac{2l}{l}\right)^2 = 4$.
તેથી,$R_2 = 4 \times R_1 = 4 \times 3 = 12 \Omega$.
$12 \Omega$ અવરોધ ધરાવતા તારને સમબાજુ ત્રિકોણમાં વાળવામાં આવે છે,તેથી દરેક બાજુનો અવરોધ $R_{side} = \frac{12}{3} = 4 \Omega$ થાય.
ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. દરેક બાજુનો અવરોધ $R_{AB} = 4 \Omega$,$R_{BC} = 4 \Omega$,અને $R_{CA} = 4 \Omega$ છે.
કોઈપણ બાજુના છેડાઓ વચ્ચે (દા.ત.,$B$ અને $C$ વચ્ચે) અસરકારક અવરોધ શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે $R_{AB}$ અને $R_{AC}$ શ્રેણીમાં છે,અને તેમનું સંયોજન $R_{BC}$ સાથે સમાંતર છે.
શ્રેણી શાખાનો અવરોધ $R_{series} = R_{AB} + R_{AC} = 4 + 4 = 8 \Omega$.
હવે,$R_{series}$ એ $R_{BC} = 4 \Omega$ સાથે સમાંતરમાં છે.
$R_{eff} = \frac{R_{series} \times R_{BC}}{R_{series} + R_{BC}} = \frac{8 \times 4}{8 + 4} = \frac{32}{12} = \frac{8}{3} \Omega$.

(C) આપેલ છે:
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ,$G = 100 \ \Omega$.
ગેલ્વેનોમીટરનો પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ,$I_g = 100 \ \mu A = 100 \times 10^{-6} \ A = 0.1 \times 10^{-3} \ A$.
માપવા માટેનો કુલ પ્રવાહ,$I = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવામાં આવે છે.
શંટ અવરોધનું સૂત્ર:
$S = \frac{I_g G}{I - I_g}$
કિંમતો મૂકતા:
$S = \frac{0.1 \times 10^{-3} \times 100}{1 \times 10^{-3} - 0.1 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{0.1 \times 10^{-1}}{0.9 \times 10^{-3}}$
$S = \frac{10^{-2}}{0.9 \times 10^{-3}} = \frac{10}{0.9} = \frac{100}{9} \ \Omega$.

(C) પોટેન્શિયોમીટરના પ્રયોગમાં, સંતુલન લંબાઈ $l_1$ એ કોષના વિદ્યુતચાલક બળ $(E)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $E = k l_1$, જ્યાં $k$ એ પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે।
જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ સમાંતરમાં જોડવામાં આવે છે, ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V = E \left( \frac{R}{R+r} \right) = k l_2$ થાય છે।
અહીં $l_1 = 560 \, cm$ અને $l_2 = 560 \, cm - 60 \, cm = 500 \, cm$ આપેલ છે।
આંતરિક અવરોધ $r$ માટેનું સૂત્ર $r = R \left( \frac{l_1 - l_2}{l_2} \right)$ છે।
કિંમતો મૂકતા: $r = 10 \, \Omega \times \left( \frac{560 - 500}{500} \right)$.
$r = 10 \times \left( \frac{60}{500} \right) = 10 \times 0.12 = 1.2 \, \Omega$.

(C) $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત દ્વારા પ્રવેગિત $m$ દળ અને $q$ વીજભાર ધરાવતા કણની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રોટોન માટે,$\lambda_0 = \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}}$.
$\alpha$-કણ માટે,દળ $m_{\alpha} = 4m_p$ અને વીજભાર $q_{\alpha} = 2q_p$ છે.
આ કિંમતોને $\alpha$-કણના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda_{\alpha} = \frac{h}{\sqrt{2(4m_p)(2q_p)V}} = \frac{h}{\sqrt{8(2m_p q_p V)}} = \frac{1}{\sqrt{8}} \left( \frac{h}{\sqrt{2m_p q_p V}} \right)$.
કારણ કે $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$,તેથી $\lambda_{\alpha} = \frac{\lambda_0}{2\sqrt{2}}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $W$ છે.
પ્રથમ ફોટોનની ઉર્જા $E_1 = 2W$ છે.
બીજા ફોટોનની ઉર્જા $E_2 = 3W$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $(KE)_{\max} = E - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ફોટોન માટે: $(KE_1)_{\max} = 2W - W = W$.
બીજા ફોટોન માટે: $(KE_2)_{\max} = 3W - W = 2W$.
મહત્તમ ગતિ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(KE_1)_{\max}}{(KE_2)_{\max}} = \frac{W}{2W} = \frac{1}{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(KE)_{\max} = \frac{1}{2}mv^2$,તેથી $\frac{\frac{1}{2}mv_1^2}{\frac{1}{2}mv_2^2} = \frac{1}{2}$.
આ સમીકરણને સાદું રૂપ આપતા $\frac{v_1^2}{v_2^2} = \frac{1}{2}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
આમ,મહત્તમ વેગનો ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(B) ધારો કે ભ્રમણની ધરીથી $r$ અંતરે $dr$ લંબાઈનો એક નાનો ખંડ છે.
આ ખંડનો વેગ $v = r\omega$ છે.
આ નાના ખંડ પર ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $de = B v dr = B (r\omega) dr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો સળિયો એક છેડાને અનુલક્ષીને ફરતો હોય,તો કુલ પ્રેરિત emf $e$ મેળવવા માટે આપણે $r = 0$ થી $r = L$ સુધી સંકલન કરીએ:
$e = \int_{0}^{L} B \omega r dr = B \omega \left[ \frac{r^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{1}{2} B \omega L^2$.
આમ,સળિયાના બે છેડાઓ વચ્ચે ઉદ્ભવતું પ્રેરિત emf $\frac{1}{2} B \omega L^2$ છે.

(D) કોમ્પ્ટન અસર માટે,તરંગલંબાઇમાં થતો ફેરફાર નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta \lambda = \lambda_2 - \lambda_1 = \frac{h}{m_0 c}(1 - \cos \theta)$
અહીં,$\lambda_1$ એ આપાત વિકિરણની તરંગલંબાઇ છે,$\lambda_2$ એ પ્રકીર્ણન પામેલા વિકિરણની તરંગલંબાઇ છે,અને $\frac{h}{m_0 c} \approx 0.024 \ \text{Å}$ એ કોમ્પ્ટન તરંગલંબાઇ છે.
આપેલ છે: $\lambda_2 = 0.22 \ \text{Å}$ અને $\theta = 60^{\circ}$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - \cos 60^{\circ})$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024(1 - 0.5)$
$0.22 - \lambda_1 = 0.024 \times 0.5$
$0.22 - \lambda_1 = 0.012$
$\lambda_1 = 0.22 - 0.012 = 0.208 \ \text{Å}$

(A) આપેલ છે:
દળ $m = 1 \,g = 10^{-3} \,kg$
વીજભાર $q = 10^{-8} \,C$
$Q$ આગળ વેગ $v_Q = 20 \,cm/s = 0.2 \,m/s$
$P$ આગળ સ્થિતિમાન $V_P = 600 \,V$
$Q$ આગળ સ્થિતિમાન $V_Q = 0 \,V$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા:
$W_{PQ} = \Delta KE = KE_Q - KE_P$
$q(V_P - V_Q) = \frac{1}{2} m v_Q^2 - \frac{1}{2} m v_P^2$
કિંમતો મૂકતા:
$10^{-8} (600 - 0) = \frac{1}{2} (10^{-3}) (0.2)^2 - \frac{1}{2} (10^{-3}) v_P^2$
$600 \times 10^{-8} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 0.04 - \frac{1}{2} \times 10^{-3} v_P^2$
$6 \times 10^{-6} = 2 \times 10^{-5} - 0.5 \times 10^{-3} v_P^2$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 20 \times 10^{-6} - 6 \times 10^{-6}$
$0.5 \times 10^{-3} v_P^2 = 14 \times 10^{-6}$
$v_P^2 = \frac{14 \times 10^{-6}}{0.5 \times 10^{-3}} = 28 \times 10^{-3} = 0.028$
$v_P = \sqrt{0.028} \,m/s$

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 0.4 \text{ Å} = 0.4 \times 10^{-10} \text{ m}$,ઝડપ $v = 10^6 \text{ m/s}$,વિદ્યુતભાર $q = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$.
ગતિશીલ ઇલેક્ટ્રોન વિદ્યુત પ્રવાહ $i$ રચે છે,જે $i = \frac{q}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
$T = \frac{2\pi r}{v}$ હોવાથી,$i = \frac{qv}{2\pi r}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા:
$i = \frac{1.6 \times 10^{-19} \times 10^6}{2\pi \times 0.4 \times 10^{-10}} = \frac{1.6 \times 10^{-13}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} \text{ A}$.
વર્તુળાકાર પ્રવાહ ગાળાના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 i}{2r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$B = \frac{4\pi \times 10^{-7}}{2 \times 0.4 \times 10^{-10}} \times \frac{2 \times 10^{-3}}{\pi} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{-3}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = \frac{8\pi \times 10^{-10}}{0.8\pi \times 10^{-10}} = 10 \text{ T}$.

(B) આપેલ છે: વેગ $\vec{v} = (3 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = (2 \hat{j} + 3 \hat{k}) \text{ T}$.
વિશિષ્ટ વીજભાર $\frac{q}{m} = 0.96 \times 10^8 \text{ C kg}^{-1}$.
ગતિમાન વીજભાર પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $\vec{a} = \frac{q}{m}(\vec{v} \times \vec{B})$.
સૌ પ્રથમ,સદિશ ગુણાકાર $\vec{v} \times \vec{B}$ શોધો:
$\vec{v} \times \vec{B} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - 0) - \hat{j}(9 - 0) + \hat{k}(6 - 0) = 6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k}$.
હવે,પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{q}{m}(6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$ ની ગણતરી કરો:
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times (6 \hat{i} - 9 \hat{j} + 6 \hat{k})$
$\vec{a} = 0.96 \times 10^8 \times 3 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k})$
$\vec{a} = 288 \times 10^8 \times (2 \hat{i} - 3 \hat{j} + 2 \hat{k}) \text{ ms}^{-2}$.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે ડોમેન થિયરીનો ઉપયોગ ફેરોમેગ્નેટિઝમ સમજાવવા માટે થાય છે,પેરામેગ્નેટિઝમ માટે નહીં.
વિધાન $(B)$ સાચું છે કારણ કે ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થોની ચુંબકીય સસેપ્ટિબિલિટી તાપમાનથી સ્વતંત્ર હોય છે,કારણ કે તે ઇલેક્ટ્રોનની કક્ષીય ગતિને કારણે ઉદ્ભવે છે જે ઉષ્મીય આંદોલનથી નોંધપાત્ર રીતે પ્રભાવિત થતી નથી.

(A) આપેલ દળ: $m_n = 1.00893 \text{ amu}$,$m_p = 1.00813 \text{ amu}$,$m_d = 2.01473 \text{ amu}$.
ડ્યુટેરોન $({}_1H^2)$ ન્યુક્લિયસ એક પ્રોટોન અને એક ન્યુટ્રોનનું બનેલું છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (m_n + m_p) - m_d$.
$\Delta m = (1.00893 + 1.00813) - 2.01473 = 2.01706 - 2.01473 = 0.00233 \text{ amu}$.
પેકિંગ ફ્રેક્શન એ દળ ક્ષતિ અને દળ ક્રમાંક $(A)$ નો ગુણોત્તર છે.
ડ્યુટેરોન માટે,$A = 2$.
પેકિંગ ફ્રેક્શન $= \frac{\Delta m}{A} = \frac{0.00233}{2} = 0.001165 = 11.65 \times 10^{-4}$.

(C) પ્રોટોન-ન્યુટ્રોન $(p-n)$,પ્રોટોન-પ્રોટોન $(p-p)$ અને ન્યુટ્રોન-ન્યુટ્રોન $(n-n)$ વચ્ચે લાગતું ન્યુક્લિયર બળ લગભગ સમાન અને વિદ્યુતભારથી સ્વતંત્ર હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ ખોટું છે.
ન્યુક્લિયર રિએક્ટરમાં,ન્યુટ્રોન રિપ્રોડક્શન ફેક્ટર (જેને $k$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) એ એક પેઢીમાં ઉત્પન્ન થયેલા ન્યુટ્રોનની સંખ્યા અને અગાઉની પેઢીના ન્યુટ્રોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર દર્શાવે છે. જો $k > 1$ હોય,તો શૃંખલા પ્રક્રિયા સુપરક્રિટિકલ બને છે અને વિખંડનનો દર ઘાતાંકીય રીતે વધે છે (પ્રવેગિત અવસ્થા). તેથી,વિધાન $B$ સાચું છે.

(D) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દોલન કરતા ચુંબકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{MH}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$M$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ $(M = m \times l)$ છે અને $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ $(I = \frac{m l^2}{12})$ છે,જ્યાં $m$ એ ધ્રુવ શક્તિ છે અને $l$ એ લંબાઈ છે.
જ્યારે સળિયાને ત્રણ સમાન ભાગોમાં તોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = \frac{l}{3}$ થાય છે અને ધ્રુવ શક્તિ $m$ સમાન રહે છે.
તેથી,નવી ચુંબકીય મોમેન્ટ $M' = m \times \frac{l}{3} = \frac{M}{3}$ થાય છે.
નવી જડત્વની આઘૂર્ણ $I' = \frac{m(l/3)^2}{12} = \frac{m l^2}{9 \times 12} = \frac{I}{9}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I'}{M' H}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{I/9}{(M/3)H}} = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{3MH}} = \frac{T}{\sqrt{3}}$.
આપેલ છે કે $T = 4 \ s$,તેથી નવો આવર્તકાળ $T' = \frac{4}{\sqrt{3}} \ s$ થાય છે.

(B) આપેલ છે: હવામાં કેન્દ્રલંબાઈ $f_a = 0.15 \,m$, કાચનો વક્રીભવનાંક $\mu_g = 1.5 = \frac{3}{2}$, અને કેન્દ્રલંબાઈમાં થતો વધારો $0.225 \,m$ છે।
તેથી, પ્રવાહીમાં નવી કેન્દ્રલંબાઈ $f_l = f_a + 0.225 = 0.15 + 0.225 = 0.375 \,m$ થાય।
લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_{lens}}{\mu_{medium}} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
હવા માટે $(\mu_a = 1)$: $\frac{1}{f_a} = (\frac{\mu_g}{1} - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)K = 0.5K$, જ્યાં $K = (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
પ્રવાહી માટે $(\mu_l)$: $\frac{1}{f_l} = (\frac{\mu_g}{\mu_l} - 1)K$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{f_l}{f_a} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{0.375}{0.15} = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)} \Rightarrow 2.5 = \frac{0.5}{(\frac{1.5}{\mu_l} - 1)}$.
$(\frac{1.5}{\mu_l} - 1) = \frac{0.5}{2.5} = 0.2$.
$\frac{1.5}{\mu_l} = 1.2 \Rightarrow \mu_l = \frac{1.5}{1.2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4} = 1.25$.

(C) આપેલ છે: વક્રીભવનાંક $\mu = \sqrt{3}$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A$.
પ્રિઝમના વક્રીભવનાંકનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin(\frac{A + \delta_m}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{3} = \frac{\sin(\frac{A + A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = \frac{\sin(A)}{\sin(\frac{A}{2})}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin(A) = 2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{3} = \frac{2 \sin(\frac{A}{2}) \cos(\frac{A}{2})}{\sin(\frac{A}{2})}$
$\sqrt{3} = 2 \cos(\frac{A}{2})$
$\cos(\frac{A}{2}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી:
$\frac{A}{2} = 30^{\circ}$
$A = 60^{\circ}$

(B) દ્વિ-વક્રીભવન (birefringence) માં,સ્ફટિક અધ્રુવીભૂત પ્રકાશના કિરણને બે કિરણોમાં વિભાજિત કરે છે: સામાન્ય કિરણ ($O$-ray) અને અસાધારણ કિરણ ($E$-ray).
વિધાન $A$ સાચું છે: $E$-કિરણનો વક્રીભવનાંક ઓપ્ટિકલ અક્ષની સાપેક્ષમાં પ્રસરણની દિશા પર આધાર રાખે છે,જેનો અર્થ એ છે કે તે આપાતકોણ સાથે બદલાય છે.
વિધાન $B$ સાચું છે: સામાન્ય અને અસાધારણ બંને કિરણો સમતલ-ધ્રુવીભૂત હોય છે. ધ્રુવીભવન એ એવી ઘટના છે જેમાં પ્રકાશના તરંગો 'એકતરફી' બને છે (કંપનો એક જ સમતલમાં મર્યાદિત હોય છે).
તેથી,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) આપેલ છે:
$\text{કરંટ } \ \text{ગેઇન } (\beta) = 50$
$\text{લોડ } \ \text{અવરોધ } (R_L) = 4 \ k\Omega = 4000 \ \Omega$
$\text{ઇનપુટ } \ \text{અવરોધ } (R_i) = 500 \ \Omega$
કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_v)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A_v = \beta \times \frac{R_L}{R_i}$
કિંમતો મૂકતા:
$A_v = 50 \times \frac{4000}{500}$
$A_v = 50 \times 8$
$A_v = 400$
તેથી, એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $400$ છે.

(A) આપેલ છે:
બેઝ કરંટમાં વધારો,$\Delta I_b = 50 \mu A = 50 \times 10^{-6} \ A$.
કલેક્ટર કરંટમાં વધારો,$\Delta I_c = 1 \ mA = 1 \times 10^{-3} \ A$.
કલેક્ટર વોલ્ટેજ અચળ રાખવામાં આવે છે,જે કોમન-એમિટર કરંટ ગેઇન $\beta$ ની ગણતરી કરવા માટેની શરત છે.
કરંટ ગેઇન $\beta$ ને કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\beta = \frac{\Delta I_c}{\Delta I_b}$
કિંમતો મૂકતા:
$\beta = \frac{1 \times 10^{-3} \ A}{50 \times 10^{-6} \ A}$
$\beta = \frac{1000}{50} = 20$.
તેથી,ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો કરંટ ગેઇન $20$ છે.

(B) થર્મો e.m.f. સમીકરણ $E = 16T - 0.04T^2$ છે.
ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ પર,થર્મો e.m.f. શૂન્ય થાય છે $(E = 0)$.
સમીકરણને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $0 = 16T_i - 0.04T_i^2$.
$16T_i = 0.04T_i^2$.
$T_i = \frac{16}{0.04} = 400^{\circ} C$.
ન્યુટ્રલ તાપમાન $(T_n)$ એ તાપમાન છે જ્યાં થર્મો e.m.f. મહત્તમ હોય છે,અથવા તે ઠંડા જંકશનના તાપમાન $(T_c)$ અને ઇન્વર્ઝન તાપમાન $(T_i)$ ની સરેરાશ છે.
$T_n = \frac{T_i + T_c}{2}$.
અહીં $T_c = 0^{\circ} C$ આપેલ છે,તેથી $T_n = \frac{400 + 0}{2} = 200^{\circ} C$.
આમ,ઇન્વર્ઝન તાપમાન $400^{\circ} C$ છે અને ન્યુટ્રલ તાપમાન $200^{\circ} C$ છે.

(C) આપેલ છે: $\lambda = 6000 \text{ Å} = 6 \times 10^{-7} \text{ m}$,$\Delta x = 1.5 \text{ } \mu\text{m} = 1.5 \times 10^{-6} \text{ m}$.
સહાયક વ્યતિકરણ (પ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = n\lambda$ હોય,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$\Delta x / \lambda = (1.5 \times 10^{-6}) / (6 \times 10^{-7}) = 15 / 6 = 2.5$.
અહીં $n$ પૂર્ણાંક નથી,તેથી તે પ્રકાશિત શલાકા નથી.
વિનાશક વ્યતિકરણ (અપ્રકાશિત શલાકા) માટે,પથ તફાવત $\Delta x = (2n + 1) \frac{\lambda}{2}$ હોય,જ્યાં $n = 0, 1, 2, \dots$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times (6 \times 10^{-7} / 2)$.
$1.5 \times 10^{-6} = (2n + 1) \times 3 \times 10^{-7}$.
$2n + 1 = (1.5 \times 10^{-6}) / (3 \times 10^{-7}) = 15 / 3 = 5$.
$2n = 4 \Rightarrow n = 2$.
$n = 0$ માટે પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકા,$n = 1$ માટે બીજી અને $n = 2$ માટે ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા મળે છે. આમ,બિંદુ $P$ પર ત્રીજી અપ્રકાશિત શલાકા મળે છે.