જો y=f(x) એ વિકલ સમીકરણ x frac{dy}{dx} = x^2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$ $x$ વડે ભાગતા $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$ આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપ

Vedclass · Accepted Answer

$48$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$ $x$ વડે ભાગતા $(x > 0)$: $\frac{dy}{dx} - \frac{3}{x}y = x$ આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{3}{x}$ અને $Q(x) = x$. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$: $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{3}{x} dx} = e^{-3 \ln x} = e^{\ln x^{-3}} = x^{-3} = \frac{1}{x^3}$. વ્યાપક ઉકેલ: $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ $y \cdot \frac{1}{x^3} = \int x \cdot \frac{1}{x^3} dx + C$ $\frac{y}{x^3} = \int x^{-2} dx + C = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$ $y(2) = 4$ આપેલ છે,તેથી $x = 2$ અને $y = 4$ મૂકતા: $\frac{4}{2^3} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{4}{8} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow \frac{1}{2} = -\frac{1}{2} + C \Rightarrow C = 1$. આમ,વિશિષ્ટ ઉકેલ: $\frac{y}{x^3} = -\frac{1}{x} + 1 \Rightarrow y = x^3 - x^2$. $f(4)$ શોધવા માટે,$x = 4$ મૂકતા: $f(4) = 4^3 - 4^2 = 64 - 16 = 48$.

જો $y=f(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} = x^2 + 3y$,$x > 0$,$y(2) = 4$ નો ઉકેલ હોય,તો $f(4) = $ ?

Similar Questions

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + (\sec x)y = \tan x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x \neq 0$.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{2xy}{1 - x^2} = \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module