ધારો કે એક રેખા $L_1$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને રેખાઓ $L_2: \vec{r} = (3+t)\hat{i} + (2t-1)\hat{j} + (2t+4)\hat{k}$ અને $L_3: \vec{r} = (3+2s)\hat{i} + (3+2s)\hat{j} + (2+s)\hat{k}$ ને લંબ છે,જ્યાં $t, s \in R$. જો $(a, b, c)$,જ્યાં $a \in Z$,એ $L_3$ પરનું બિંદુ છે જે $L_1$ અને $L_2$ ના છેદબિંદુથી $\sqrt{17}$ અંતરે છે,તો $(a+b+c)^2$ ની કિંમત . . . . . . . છે.

સમતલનું સમીકરણ જે રેખા $\frac{x - 4}{1} = \frac{y + 3}{-4} = \frac{z + 1}{7}$ ને સમાંતર હોય અને બિંદુઓ $(0, 0, 0)$ અને $(3, -1, 2)$ માંથી પસાર થાય છે,તે શોધો.

રેખાઓ $L_1: \frac{x+1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+1}{2}$ અને $L_2: \frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{3}$ ધ્યાનમાં લો.
$1.$ $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ કયો છે?
$(A) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+7 \hat{k}}{\sqrt{99}}$ $(B) \frac{-\hat{i}-7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(C) \frac{-\hat{i}+7 \hat{j}+5 \hat{k}}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{7 \hat{i}-7 \hat{j}-\hat{k}}{\sqrt{99}}$
$2.$ $L_1$ અને $L_2$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર કેટલું છે?
$(A) 0$ $(B) \frac{17}{\sqrt{3}}$ $(C) \frac{41}{5 \sqrt{3}}$ $(D) \frac{17}{5 \sqrt{3}}$
$3.$ બિંદુ $(-1,-2,-1)$ માંથી પસાર થતા અને જેનો અભિલંબ $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ હોય તેવા સમતલથી બિંદુ $(1,1,1)$ નું અંતર કેટલું છે?
$(A) \frac{2}{\sqrt{75}}$ $(B) \frac{7}{\sqrt{75}}$ $(C) \frac{13}{\sqrt{75}}$ $(D) \frac{23}{\sqrt{75}}$

જો રેખા $\frac{x-3}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z+4}{3}$ એ સમતલ $\ell x+m y-z=9$ માં આવેલી હોય,તો $\ell^2+m^2$ ની કિંમત શોધો.

જો બિંદુ $(2, -1, 3)$ માંથી પસાર થતા અને $3x - 2y + z = 8$ તથા $x + y + z = 6$ સમતલોને લંબ સમતલનું સમીકરણ $lx + my + nz = 1$ હોય,તો $4m + 2n - 31 =$

$m$ ની કઈ કિંમત માટે રેખા $\frac{x-4}{1}=\frac{y-2}{1}=\frac{z+m}{2}$ એ સમતલ $2x-4y+z=7$ માં આવેલી છે?