વિધેયો f(theta) = alpha tan^2 theta + beta co | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(NONE) $f(	heta) = \alpha 	an^2 	heta + \beta \cot^2 	heta$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $f(	heta) \ge 2\sqrt{\

Vedclass · Accepted Answer

$1023$

Vedclass · Answer

(NONE) $f(	heta) = \alpha 	an^2 	heta + \beta \cot^2 	heta$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $AM$-$GM$ અસમતાનો ઉપયોગ કરીને મેળવી શકાય છે: $f(	heta) \ge 2\sqrt{\alpha 	an^2 	heta \cdot \beta \cot^2 	heta} = 2\sqrt{\alpha\beta}$.
ત્યારબાદ,$\alpha > \beta > 0$ હોવાથી,$g(	heta) = \alpha \sin^2 	heta + \beta \cos^2 	heta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\alpha$ છે.
આપેલ છે કે $\min f(	heta) = \max g(	heta)$,તેથી $2\sqrt{\alpha\beta} = \alpha$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$4\alpha\beta = \alpha^2$,જે સૂચવે છે કે $\alpha = 4\beta$ (કારણ કે $\alpha 
eq 0$).
પ્રથમ પદ $a = \frac{\alpha}{2\beta} = \frac{4\beta}{2\beta} = 2$.
સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2\beta}{\alpha} = \frac{2\beta}{4\beta} = \frac{1}{2}$.
સમગુણોત્તર શ્રેણીના પ્રથમ $10$ પદોનો સરવાળો $S_{10} = a \frac{1-r^{10}}{1-r} = 2 \frac{1-(1/2)^{10}}{1-1/2} = 4(1 - \frac{1}{1024}) = 4 \cdot \frac{1023}{1024} = \frac{1023}{256}$.
આમ,$m = 1023$ અને $n = 256$. $\gcd(1023, 256) = 1$ હોવાથી,$m+n = 1023 + 256 = 1279$.

Similar Questions

ધારો કે $a, b, c, d$ અને $p$ એ કોઈ શૂન્યતર ભિન્ન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $(a^{2}+b^{2}+c^{2}) p^{2} - 2(ab+bc+cd) p + (b^{2}+c^{2}+d^{2}) = 0$ થાય. તો:

જો $a$ અને $b$ વચ્ચે $n$ સમગુણોત્તર મધ્યકો હોય,તો સામાન્ય ગુણોત્તર કેટલો થાય?

$Rs. 500$ ને $10\%$ વાર્ષિક ચક્રવૃદ્ધિ વ્યાજ આપતી બેંકમાં જમા કરાવતા $10$ વર્ષ પછી તે કેટલી રકમ થશે?

સંખ્યાઓ $(\sqrt{2} + 1), 1, (\sqrt{2} - 1)$ શેમાં હશે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module