પરવલય P : y^2 = 4x અને ઉપવલય E : frac{x^2}{a^ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) પરવલય $P : y^2 = 4x$ નું નાભિ $(1, 0)$ પર છે અને તેનો નાભિલંબ $x = 1$ રેખા છે.$P$ અને $E$ ના છેદબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ બંનેનો નાભિલંબ હોવાથી,$x =

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(C) પરવલય $P : y^2 = 4x$ નું નાભિ $(1, 0)$ પર છે અને તેનો નાભિલંબ $x = 1$ રેખા છે.$P$ અને $E$ ના છેદબિંદુઓને જોડતો રેખાખંડ બંનેનો નાભિલંબ હોવાથી,$x = 1$ રેખા એ ઉપવલય $E$ નો નાભિલંબ હોવો જોઈએ.ઉપવલય માટે,નાભિલંબ $x = ae$ પર હોય છે,તેથી $ae = 1$.છેદબિંદુઓ $(1, 2)$ અને $(1, -2)$ છે. આ બિંદુઓ ઉપવલય પર હોવાથી,આપણે $x = 1$ અને $y = 2$ ને $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માં મૂકીએ:$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{b^2} = 1$.સંબંધ $b^2 = a^2(1 - e^2)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $b^2$ ને બદલીએ:$\frac{1}{a^2} + \frac{4}{a^2(1 - e^2)} = 1$.$a = 1/e$ હોવાથી,$a^2 = 1/e^2$ થાય,તેથી $e^2 + \frac{4e^2}{1 - e^2} = 1$.$e^2(1 - e^2) + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^2 - e^4 + 4e^2 = 1 - e^2 \implies e^4 - 6e^2 + 1 = 0$.દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $e^2$ માટે ઉકેલતા: $e^2 = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$.$e તેથી $e^2 + 2\sqrt{2} = (3 - 2\sqrt{2}) + 2\sqrt{2} = 3$.

Similar Questions

જો ઉપવલય (ellipse) નું નાભિલંબ (latus rectum) તેની ગૌણ અક્ષ (minor axis) ના અડધા જેટલું હોય,તો તેની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) કેટલી થાય?

$c$ ના કેટલા મૂલ્યો માટે રેખા $y = cx + c$,જ્યાં $c \in R$,ઉપવલય $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1$ ને સ્પર્શે છે?

જો ઉપવલય (ellipse) ની ગૌણ અક્ષની લંબાઈ તેના નાભિઓ વચ્ચેના અંતરના ચોથા ભાગ જેટલી હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા (eccentricity) શોધો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module