ધારો કે x = x(y) એ વિકલ સમીકરણ 2y^2 frac{dx}{ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2 y^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{3}e^2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$ ને $x^2 y^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{2}{x^2} \frac{dx}{dy} - \frac{2}{xy} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે છે.ધારો કે $u = \frac{1}{x}$,તો $\frac{du}{dy} = -\frac{1}{x^2} \frac{dx}{dy}$.આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $-2 \frac{du}{dy} - \frac{2u}{y} + \frac{1}{y^2} = 0$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{du}{dy} + \frac{u}{y} = \frac{1}{2y^2}$ થાય છે.આ $\frac{du}{dy} + P(y)u = Q(y)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(y) = \frac{1}{y}$ અને $Q(y) = \frac{1}{2y^2}$.સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int (1/y) dy} = e^{\log_e y} = y$.વ્યાપક ઉકેલ $u \cdot IF = \int Q(y) \cdot IF \, dy + C$ છે,તેથી $uy = \int \frac{1}{2y^2} \cdot y \, dy + C = \int \frac{1}{2y} dy + C = \frac{1}{2} \log_e y + C$.આપેલ છે કે $x(e) = e$,તેથી $y = e$ માટે $u = 1/e$. આ કિંમતો મૂકતા: $(1/e) \cdot e = \frac{1}{2} \log_e e + C \Rightarrow 1 = 1/2 + C \Rightarrow C = 1/2$.આમ,$u = \frac{\log_e y + 1}{2y}$. કારણ કે $u = 1/x$,તેથી $x = \frac{2y}{\log_e y + 1}$.$y = e^2$ માટે,$x(e^2) = \frac{2e^2}{\log_e e^2 + 1} = \frac{2e^2}{2 + 1} = \frac{2}{3}e^2$.

ધારો કે $x = x(y)$ એ વિકલ સમીકરણ $2y^2 \frac{dx}{dy} - 2xy + x^2 = 0$,$y > 1, x(e) = e$ નો ઉકેલ છે. તો $x(e^2)$ ની કિંમત શોધો:

Similar Questions

ધારો કે $f: [1, \infty) \rightarrow R$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(1) = \frac{1}{3}$ અને $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$,$x \in [1, \infty)$ માટે. તો $f(e)$ ની કિંમત શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}y = \frac{1}{x}e^x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module