ધારો કે સંખ્યાઓ $2, b, c$ એ $A.P.$ માં છે અને $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & b & c \\ 4 & b^2 & c^2 \end{bmatrix}$ છે. જો $\det(A) \in [2, 16]$ હોય,તો $c$ કયા અંતરાલમાં આવે છે?

ધારો કે $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}1+\sin ^2 x & \cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & 1+\cos ^2 x & \sin 2 x \\ \sin ^2 x & \cos ^2 x & 1+\sin 2 x\end{array}\right|$,જ્યાં $x \in\left[\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{3}\right]$. જો $\alpha$ અને $\beta$ એ અનુક્રમે $f(x)$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો હોય,તો:

જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ હોય,તો સાબિત કરો કે $A^{3} - 6A^{2} + 7A + 2I = 0$.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} 5 & \sin^2 \theta & \cos^2 \theta \\ -\sin^2 \theta & -5 & 1 \\ \cos^2 \theta & 1 & 5 \end{bmatrix}$. તો $\det(A)$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

$\theta = 0$ અને $\theta = \pi / 2$ ની વચ્ચે રહેલ $\theta$ ની કિંમત જે સમીકરણ : $\left| \begin{array}{ccc} 1 + \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & 1 + \cos^2 \theta & 4 \sin 4 \theta \\ \sin^2 \theta & \cos^2 \theta & 1 + 4 \sin 4 \theta \end{array} \right| = 0$ નું સમાધાન કરે છે તે છે :

જો $f:[0, \pi / 2) \rightarrow R$ એ $f(\theta)=\left|\begin{array}{ccc}1 & \tan \theta & 1 \\ -\tan \theta & 1 & \tan \theta \\ -1 & -\tan \theta & 1\end{array}\right|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f$ નો વિસ્તાર શોધો.