જો $\alpha$ એ $\beta$ લંબાઈના અંતરાલનો સભ્ય હોય અને $(\alpha, -\alpha)$ એ ઉપવલય $4x^2 + 5y^2 = 1$ નું અંદરનું બિંદુ હોય,તો $(6\beta - 4)^{201} + 201 = $

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પર,ધારો કે $P$ એ બીજા ચરણમાં આવેલું એક બિંદુ છે જેથી $P$ આગળનો સ્પર્શક રેખા $x+2y=0$ ને લંબ છે. ધારો કે $S$ અને $S'$ એ ઉપવલયના નાભિઓ છે અને $e$ તેની ઉત્કેન્દ્રતા છે. જો $A$ એ ત્રિકોણ $SPS'$ નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $(5-e^{2}) \cdot A$ નું મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે રેખા $y-x=1$ એ ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{1}=1$ ને બિંદુઓ $A$ અને $B$ માં છેદે છે. તો ઉપવલયના કેન્દ્ર આગળ રેખાખંડ $AB$ દ્વારા બનતો ખૂણો કેટલો થાય?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{4}=1$ પરના બિંદુઓ $P$ અને $Q$ આગળના સ્પર્શકો બિંદુ $R(\sqrt{2}, 2\sqrt{2}-2)$ માં મળે છે. જો $S$ એ ઉપવલયનું તેના ઋણ મુખ્ય અક્ષ પરનું નાભિ હોય,તો $SP^{2} + SQ^{2}$ ની કિંમત શોધો.

એક ઉપવલયનું સમીકરણ શોધો,જેના શિરોબિંદુઓ $(2, -2)$ અને $(2, 4)$ છે અને ઉત્કેન્દ્રિયતા $\frac{1}{3}$ છે.

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{\lambda^{2}}=1$ નું ક્ષેત્રફળ $20 \pi$ ચોરસ એકમ હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.