રેખાઓ $\vec{r}=2 \vec{b}+t(6 \vec{c}-\vec{a})$ અને $\vec{r}=\vec{a}+s(\vec{b}-3 \vec{c})$ નું છેદબિંદુ શોધો.

ધારો કે $A(\alpha, 4, 7)$ અને $B(3, \beta, 8)$ અવકાશમાં બે બિંદુઓ છે. જો $YZ$ સમતલ અને $ZX$ સમતલ અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:3$ અને $4:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો બિંદુ $C$ જે $\overline{AB}$ નું $\alpha: \beta$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે તે શોધો.

રેખાઓ $\vec{r} = (\frac{1}{3}\hat{i} + 2\hat{j} + \frac{8}{3}\hat{k}) + \lambda(2\hat{i} - 5\hat{j} + 6\hat{k})$ અને $\vec{r} = (-\frac{2}{3}\hat{i} - \frac{1}{3}\hat{k}) + \mu(\hat{i} - \hat{k})$,જ્યાં $\lambda, \mu \in R$ છે,તેમની વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો:

ધારો કે બિંદુ $A$ એ બિંદુ $P(a, b, 0)$ માંથી રેખા $\frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-\alpha}{3}$ પર દોરેલા લંબનો લંબપાદ છે. જો રેખાખંડ $PA$ નું મધ્યબિંદુ $(0, \frac{3}{4}, -\frac{1}{4})$ હોય,તો $a^2+b^2+\alpha^2$ ની કિંમત શોધો:

બે વિષમતલિય રેખાઓ $\vec{r}=(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+t(\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k})$ અને $\vec{r}=(4 \hat{i}+5 \hat{j}+6 \hat{k})+s(2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k})$ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર શોધો.

એવી રેખાનું સમીકરણ સદિશ અને કાર્તેઝિયન સ્વરૂપમાં શોધો જે $2\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$ સ્થાન સદિશ ધરાવતા બિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને $\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ ની દિશામાં છે.