ત્રણ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો $a, b$ અને $c$ માટે,જો ચલ રેખા $a x+b y+c=0$ હંમેશા બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય,તો $\alpha^2+\beta^2$ ની કિંમત કેટલી થાય?

જો બિંદુઓ $(2,0)$,$(0,2)$ અને $(1,1)$ થી એક ચલ સુરેખાના અંતરનો બૈજિક સરવાળો શૂન્ય હોય,તો તે રેખા કયા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય છે?

શિરોબિંદુઓ $A(2,1)$,$B(0,0)$ અને $C(t,4)$ વાળા ત્રિકોણો ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $t \in [0,4]$. જો આવા ત્રિકોણોની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ પરિમિતિ અનુક્રમે $t=\alpha$ અને $t=\beta$ પર મળે,તો $6\alpha + 21\beta$ ની કિંમત $.........$ થાય.

$15$ ચોરસ એકમ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો ત્રિકોણ બિંદુઓ $(1, -2)$ અને $(-5, 3)$ સાથે બનાવતા તમામ બિંદુઓનો ગણ કઈ રેખા પર આવેલો છે?

જો $A=(0,1), B=(1,2), C=(-2,1)$ હોય,તો બિંદુ $P(x,y)$ ના બિંદુપથનું સમીકરણ શોધો કે જેથી ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ = ત્રિકોણ $PAC$ નું ક્ષેત્રફળ થાય.

એક ચલિત સીધી રેખા $L$ જેનો ઢાળ ઋણ છે,તે બિંદુ $(4,9)$ માંથી પસાર થાય છે અને ધન અક્ષોને $A$ અને $B$ માં છેદે છે. જો $O$ ઉગમબિંદુ હોય,તો $OA+OB$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય કેટલું થાય?