જો f(x) = x^alpha log x અને f(0) = 0 હોય,તો a | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) $[0, 1]$ અંતરાલ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,વિધેય $f(x)$ એ ત્રણ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ: $1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ. $2$. $f(x)

Vedclass · Accepted Answer

$1/2$

Vedclass · Answer

(D) $[0, 1]$ અંતરાલ પર રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડવા માટે,વિધેય $f(x)$ એ ત્રણ શરતોનું પાલન કરવું જોઈએ: $1$. $f(x)$ એ $[0, 1]$ પર સતત હોવું જોઈએ. $2$. $f(x)$ એ $(0, 1)$ પર વિકલનીય હોવું જોઈએ. $3$. $f(0) = f(1)$ હોવું જોઈએ. અહીં $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ આપેલ છે. પહેલા $f(0) = f(1)$ શરત તપાસીએ: $f(1) = 1^\alpha \log(1) = 1 	imes 0 = 0$. $f(0) = 0$ હોવાથી,$f(0) = f(1)$ શરત કોઈપણ $\alpha$ માટે સંતોષાય છે. હવે $x = 0$ આગળ સાતત્ય તપાસીએ: $\lim_{x 	o 0^+} f(x) = \lim_{x 	o 0^+} x^\alpha \log x = 0$. આ લક્ષનું અસ્તિત્વ છે અને તે $0$ થાય છે જો $\alpha > 0$ હોય. એલ-હોસ્પિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\lim_{x 	o 0^+} \frac{\log x}{x^{-\alpha}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{1/x}{-\alpha x^{-\alpha-1}} = \lim_{x 	o 0^+} \frac{x^\alpha}{-\alpha} = 0$ (જ્યારે $\alpha > 0$). આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$\alpha = 1/2$ એ એકમાત્ર કિંમત છે જે $0$ કરતા મોટી છે.

જો $f(x) = x^\alpha \log x$ અને $f(0) = 0$ હોય,તો $\alpha$ ની કઈ કિંમત માટે $[0, 1]$ અંતરાલમાં રોલનું પ્રમેય લાગુ પાડી શકાય?

Similar Questions

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એવું છે કે $f(0)=0$ અને તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ છે. તો $f(1)$ એ ... માં છે.

ધારો કે $f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)$,જ્યાં $x \in [0,4]$. જો લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય $(LMVT)$ લાગુ કરી શકાય,તો $c$ ની કિંમતો શોધો.

વિધેય $f(x) = \log_e x$ માટે અંતરાલ $[1, 3]$ પર મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) નું નિષ્કર્ષ સાચું ઠરે તેવી $c$ ની કિંમત કઈ છે?

અંતરાલ $[a, b]$ માં વિધેય $f(x) = x^{2} - 4x - 3$ માટે મધ્યકમાન પ્રમેય (Mean Value Theorem) ચકાસો,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 4$ છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module