यदि [cdot] महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है, | vedclass

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Question

(A) फलन $f(x) = \frac{\sin([x]\pi) + 	an([x]\pi)}{1 + [x]^2 + [x]^4}$ द्वारा दिया गया है।चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह सभी वास्तविक संख्याओं

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$R, \{0\}$

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(A) फलन $f(x) = \frac{\sin([x]\pi) + 	an([x]\pi)}{1 + [x]^2 + [x]^4}$ द्वारा दिया गया है।चूंकि $[x]$ महत्तम पूर्णांक फलन है,यह सभी वास्तविक संख्याओं $x \in R$ के लिए परिभाषित है।अतः,फलन का प्रांत $R$ है।किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$[x] = n$,जहाँ $n \in Z$ है।इसे फलन में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f(x) = \frac{\sin(n\pi) + 	an(n\pi)}{1 + n^2 + n^4}$ प्राप्त होता है।हम जानते हैं कि किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए,$\sin(n\pi) = 0$ और $	an(n\pi) = 0$ होता है।इसलिए,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) = \frac{0 + 0}{1 + n^2 + n^4} = 0$ होता है।चूंकि फलन का मान हमेशा $0$ है,इसलिए फलन का परिसर एकल समुच्चय $\{0\}$ है।अतः,प्रांत $R$ है और परिसर $\{0\}$ है।

यदि $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन को दर्शाता है,तो फलन $f(x) = \frac{\sin([x]\pi) + \tan([x]\pi)}{1 + [x]^2 + [x]^4}$ का प्रांत और परिसर क्रमशः क्या हैं?

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$x$ के उन सभी वास्तविक मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए जिनके लिए $f(x)=\sqrt{\frac{|x|-2}{|x|-3}}$ एक सुपरिभाषित फलन है।

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$\alpha$ के मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए ताकि $f: R \rightarrow [0, \frac{\pi}{2})$ जहाँ $f(x) = \tan^{-1}(x^2 + x + \alpha^2)$ एक आच्छादक (onto) फलन हो।

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