यदि f को f(x) = begin{cases} frac{1-cos ax}{x | vedclass

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Question

(A) $f$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = \frac{1}{2}$।अब,सीमा की गणना करें: $\lim_{x 	o 0} \fr

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(A) $f$ के $x=0$ पर सतत होने के लिए,$\lim_{x 	o 0} f(x) = f(0)$ होना चाहिए।दिया गया है $f(0) = \frac{1}{2}$।अब,सीमा की गणना करें: $\lim_{x 	o 0} \frac{1-\cos ax}{x \sin x}$।सर्वसमिका $1-\cos ax = 2 \sin^{2}(\frac{ax}{2})$ का उपयोग करते हुए,सीमा $\lim_{x 	o 0} \frac{2 \sin^{2}(\frac{ax}{2})}{x \sin x}$ हो जाती है।अंश और हर को $x^{2}$ से विभाजित करें:$\lim_{x 	o 0} \frac{2 \frac{\sin^{2}(ax/2)}{x^{2}}}{\frac{\sin x}{x}} = \lim_{x 	o 0} \frac{2 \cdot (\frac{a}{2})^{2} \cdot (\frac{\sin(ax/2)}{ax/2})^{2}}{\frac{\sin x}{x}}$।चूंकि $\lim_{	heta 	o 0} \frac{\sin 	heta}{	heta} = 1$,इसलिए सीमा $\frac{2 \cdot (a^{2}/4)}{1} = \frac{a^{2}}{2}$ है।इसे $f(0)$ के बराबर रखने पर,हमें $\frac{a^{2}}{2} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^{2} = 1$।

यदि $f$ को $f(x) = \begin{cases} \frac{1-\cos ax}{x \sin x}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x = 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित किया गया है और $f$,$x=0$ पर सतत है,तो $a^{2} =$ . . . . . . .

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$f(x) = \begin{cases} [x^2] - [-x^2], & x \neq 3 \\ k, & x = 3 \end{cases}$ $x = 3$ पर सतत है,तो $k = $ ज्ञात कीजिए,जहाँ $[\cdot]$ महत्तम पूर्णांक फलन है।

$k$ का वह मान जो $f(x) = \begin{cases} \sin \frac{1}{x}, & x \ne 0 \\ k, & x = 0 \end{cases}$ को $x = 0$ पर संतत बनाता है,वह है

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