बिंदु $P$ और $Q$ आर्गंड समतल में सम्मिश्र संख्याओं $Z_1$ और $Z_2$ को दर्शाते हैं। $O$ मूल बिंदु है। यदि $Z_1 \bar{Z}_2 + \bar{Z}_1 Z_2 = 0$ और $\angle POQ = \theta$ है,तो $\sin \theta = $

मान लीजिए $C$ सम्मिश्र तल में एक वृत्त है जिसका केंद्र $z_0 = \frac{1}{2}(1 + 3i)$ और त्रिज्या $r = 1$ है। मान लीजिए $z_1 = 1 + i$ है और सम्मिश्र संख्या $z_2$ वृत्त $C$ के बाहर इस प्रकार है कि $|z_1 - z_0| |z_2 - z_0| = 1$ है। यदि $z_0, z_1$ और $z_2$ संरेख हैं,तो $|z_2|^2$ का छोटा मान $.............$ के बराबर है।

मान लीजिए कि एक सम्मिश्र संख्या $w = 1 - \sqrt{3} i$ है। मान लीजिए कि एक अन्य सम्मिश्र संख्या $z$ इस प्रकार है कि $|zw| = 1$ और $\arg(z) - \arg(w) = \frac{\pi}{2}$ है। तो मूल बिंदु,$z$ और $w$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ........ के बराबर है।

$r$ का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\{ \omega \in \mathbb{C} : |\omega - 4 - i| \le r \}$ द्वारा निरूपित क्षेत्र,$\{ z \in \mathbb{C} : |z - 1| \le |z + i| \}$ द्वारा निरूपित क्षेत्र में निहित है।

यदि $z_1$ और $z_2$ दो सम्मिश्र संख्याएँ हैं जो समीकरण $\left|\frac{z_1+z_2}{z_1-z_2}\right|=1$ को संतुष्ट करती हैं,तो $\frac{z_1}{z_2}$ क्या हो सकता है?

मान लीजिए $C$ सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है। $A = \{(z, w) \mid z, w \in C \text{ और } |z| = |w|\}$ और $B = \{(z, w) \mid z, w \in C \text{ और } z^2 = w^2\}$ को परिभाषित करें। तो: