यदि तीन अज्ञात चरों वाले तीन रैखिक समीकरणों का निकाय,जो $AX = D$ के आव्यूह समीकरण रूप में है,असंगत (inconsistent) है,तो $\frac{\text{rank of } A}{\text{rank of } AD}$ का मान क्या होगा?

यदि $\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ है,तो $X =$

यदि ${a_1}x + {b_1}y + {c_1}z = 0, {a_2}x + {b_2}y + {c_2}z = 0, {a_3}x + {b_3}y + {c_3}z = 0$ और $\left| \begin{matrix} {a_1} & {b_1} & {c_1} \\ {a_2} & {b_2} & {c_2} \\ {a_3} & {b_3} & {c_3} \end{matrix} \right| = 0$ है,तो दी गई प्रणाली के पास है:

दो निष्पक्ष पासे फेंके जाते हैं। उन पर आने वाली संख्याओं को $\lambda$ और $\mu$ के रूप में लिया जाता है,और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली
$x+y+z=5$
$x+2y+3z=\mu$
$x+3y+\lambda z=1$
बनाई जाती है। यदि $p$ प्रणाली का अद्वितीय हल होने की प्रायिकता है और $q$ प्रणाली का कोई हल न होने की प्रायिकता है,तो:

समीकरणों $x + y - z = 0$,$3x - y - z = 0$,और $x - 3y + z = 0$ के हलों की संख्या है

यदि $A$ एक ऐसा आव्यूह है कि $\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{array}\right] A \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]$ है,तो $A$ किसके बराबर है?