यदि समीकरण $x^5-3x^4-5x^3+27x^2-32x+12=0$ के मूल पुनरावृत्त (repeated) हैं,तो वह अभाज्य संख्या जो इस समीकरण के गैर-पुनरावृत्त मूल को विभाजित करती है,है

यदि द्विघात समीकरण $3x^2 + (2k + 1)x - 5k = 0$ के मूल वास्तविक और समान हैं,तो $k$ का वह मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $-\frac{1}{2} < k < 0$ हो।

निम्नलिखित में से कौन सा/से हमेशा गलत है?

समीकरण $\frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} + \frac{1}{x+2} = \frac{13}{12}$ को संतुष्ट करने वाले धनात्मक पूर्णांकों $x$ की संख्या है:

मान लीजिए $S$ सभी गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं $\alpha$ का समुच्चय है,जिसके लिए द्विघात समीकरण $\alpha x^2 - x + \alpha = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $x_1$ और $x_2$ हैं जो असमिका $|x_1 - x_2| < 1$ को संतुष्ट करते हैं। निम्नलिखित में से कौन सा अंतराल $S$ का उपसमुच्चय है?
$(A) \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$(B) \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)$
$(C) \left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right)$
$(D) \left(\frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2}\right)$

कथन $(A)$: $-x^2+3x+1$ का अधिकतम मान $\frac{13}{4}$ है।
कारण $(R)$: यदि $a < 0$ है,तो $ax^2+bx+c$ का अधिकतम मान $x = -\frac{b}{2a}$ पर प्राप्त होता है।
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