यदि $\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$,$2 \hat{i}-\hat{k}$,$\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\hat{i}+\hat{j}+\lambda \hat{k}$ स्थिति सदिश वाले बिंदु समतलीय हैं,तो सदिश $6 \lambda \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ का परिमाण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ त्रिविमीय अंतरिक्ष में सदिश हैं,जहाँ $\overrightarrow{u}$ और $\overrightarrow{v}$ इकाई सदिश हैं जो एक-दूसरे के लंबवत नहीं हैं और $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$ है। यदि समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन,जिसकी आसन्न भुजाएँ सदिशों $\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{w}$ द्वारा निरूपित हैं,$\sqrt{2}$ है,तो $|3\vec{u}+5\vec{v}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a, b, c$ कोई तीन सदिश हैं और उनके व्युत्क्रम सदिश $a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}$ हैं और $[a, b, c] \neq 0$ है,तो $[a^{-1}, b^{-1}, c^{-1}]$ का मान क्या होगा?

यदि एक चतुष्फलक,जिसके शीर्ष $A(1, 2, 3)$,$B(-3, -1, 1)$,$C(2, 1, 3)$ और $D(-1, 2, x)$ हैं,का आयतन $\frac{11}{6}$ घन इकाई है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\vec a = 2\sin \theta \hat i - \hat j + 2\hat k$,$\vec b = 2\hat i + 2\sin \theta \hat j - \hat k$ और $\vec c = 4\hat i + \hat j + 4\cos^2 \theta \hat k$ समतलीय हैं,तो $\theta$ का मान क्या हो सकता है?

यदि सदिश $\hat{\imath}-\hat{\jmath}-6 \hat{k}$,$\hat{\imath}-3 \hat{\jmath}+4 \hat{k}$ और $2 \hat{\imath}-5 \hat{\jmath}+m \hat{k}$ समतलीय हैं,तो $m$ का मान है