एक बॉक्स में $10$ सिक्के हैं,जिनमें से $8$ सामान्य हैं और शेष दोनों तरफ हेड (heads) वाले हैं। बॉक्स से एक सिक्का यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और $6$ बार उछाला जाता है। यदि हर बार हेड आता है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि चुना गया सिक्का दोनों तरफ हेड वाला है?

एक निश्चित कॉलेज में,$4 \%$ पुरुष और $1 \%$ महिलाएं $1.8 \ m$ से अधिक लंबी हैं। साथ ही,$60 \%$ छात्र महिलाएं हैं। यदि यादृच्छिक रूप से चुना गया एक छात्र $1.8 \ m$ से अधिक लंबा पाया जाता है,तो उस छात्र के महिला होने की प्रायिकता क्या है ($/ 11$ में)?

मान लीजिए $U_1$ और $U_2$ दो कलश हैं,जिनमें $U_1$ में $3$ सफेद और $2$ लाल गेंदें हैं,और $U_2$ में केवल $1$ सफेद गेंद है। एक निष्पक्ष सिक्का उछाला जाता है। यदि चित (head) आता है,तो $U_1$ से $1$ गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है और $U_2$ में डाल दी जाती है। हालाँकि,यदि पट (tail) आता है,तो $U_1$ से $2$ गेंदें यादृच्छिक रूप से निकाली जाती हैं और $U_2$ में डाल दी जाती हैं। अब $U_2$ से $1$ गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है।
$1.$ $U_2$ से निकाली गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{13}{30}$ $(B)$ $\frac{23}{30}$ $(C)$ $\frac{19}{30}$ $(D)$ $\frac{11}{30}$
$2.$ यह दिया गया है कि $U_2$ से निकाली गई गेंद सफेद है,तो सिक्के पर चित आने की प्रायिकता क्या है?
$(A)$ $\frac{17}{23}$ $(B)$ $\frac{11}{23}$ $(C)$ $\frac{15}{23}$ $(D)$ $\frac{12}{23}$
प्रश्न $1$ और $2$ का उत्तर दें।

बैग $1$ में $4$ सफेद गेंदें और $5$ काली गेंदें हैं,और बैग $2$ में $n$ सफेद गेंदें और $3$ काली गेंदें हैं। बैग $1$ से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है और बैग $2$ में स्थानांतरित की जाती है। फिर बैग $2$ से एक गेंद यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। यदि बैग $2$ से निकाली गई गेंद के सफेद होने की प्रायिकता $29/45$ है,तो $n$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए कि $5 \%$ पुरुषों और $0.25 \%$ महिलाओं के बाल सफेद हैं। यादृच्छिक रूप से एक सफेद बाल वाली व्यक्ति का चयन किया जाता है। यदि पुरुषों और महिलाओं की संख्या समान है,तो चयनित व्यक्ति के पुरुष होने की प्रायिकता क्या है?

एक व्यक्ति $10$ में से $7$ बार सच बोलता है। $1, 2, 3, \dots, 100$ अंकित $100$ फलकों वाले एक पासे को फेंकने के बाद,वह व्यक्ति बताता है कि उसे पासे पर एक अभाज्य संख्या प्राप्त हुई है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह वास्तव में एक अभाज्य संख्या है?