x^2+y^2+6x+4y-12=0 और x^2+y^2-4x-6y-12=0 वृत् | vedclass

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Question

(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(x^2+y^2+6x+4y-12) + \

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$x^2+y^2-2y-12=0$

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(C) दो वृत्तों $S_1=0$ और $S_2=0$ के प्रतिच्छेदन से होकर जाने वाले वृत्त का समीकरण $S_1 + \lambda S_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।$(x^2+y^2+6x+4y-12) + \lambda(x^2+y^2-4x-6y-12) = 0$$(1+\lambda)x^2 + (1+\lambda)y^2 + (6-4\lambda)x + (4-6\lambda)y - 12(1+\lambda) = 0$$(1+\lambda)$ से विभाजित करने पर,$x^2 + y^2 + 2\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)x + 2\left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)y - 12 = 0$ प्राप्त होता है।वृत्त $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ की त्रिज्या $r = \sqrt{g^2+f^2-c}$ होती है।दिया है $r = \sqrt{13}$,अतः $g^2+f^2-c = 13$.$\left(\frac{3-2\lambda}{1+\lambda}\right)^2 + \left(\frac{2-3\lambda}{1+\lambda}\right)^2 - (-12) = 13$$\frac{9+4\lambda^2-12\lambda + 4+9\lambda^2-12\lambda}{(1+\lambda)^2} = 1$$13\lambda^2 - 24\lambda + 13 = 1 + 2\lambda + \lambda^2$$12\lambda^2 - 26\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 6\lambda^2 - 13\lambda + 6 = 0$.$\lambda$ के लिए हल करने पर: $(2\lambda-3)(3\lambda-2) = 0$,अतः $\lambda = \frac{3}{2}$ या $\lambda = \frac{2}{3}$.$\lambda = \frac{2}{3}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2+2x-12=0$ है।$\lambda = \frac{3}{2}$ के लिए,समीकरण $x^2+y^2-2y-12=0$ है।

$x^2+y^2+6x+4y-12=0$ और $x^2+y^2-4x-6y-12=0$ वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं से होकर जाने वाले और $\sqrt{13}$ त्रिज्या वाले वृत्त का समीकरण है

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उस वृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए जो वृत्त $x^2 + y^2 + 14x + 6y + 2 = 0$ को लंबकोणीय प्रतिच्छेद करता है और जिसका केंद्र $(0, 2)$ है।

$x^2+y^2+2x+4y-20=0$ और $x^2+y^2+6x-8y+10=0$ दिए गए वृत्त हैं। निम्नलिखित में से कौन सा सही है?

$(x \pm 1)^2 + (y \pm 1)^2 = 1$ को स्पर्श करने वाले सबसे बड़े और सबसे छोटे वृत्तों के क्षेत्रफलों का अनुपात ज्ञात कीजिए।

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