3-अंकों की कुल कितनी संख्याएँ हैं जिनका 36 के | vedclass

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Question

(B) माना कि $3$-अंकों की संख्या $n$ है। दिया गया है कि $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ है।चूंकि $36 = 2^2 	imes 3^2$,शर्त $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ का अर्थ है

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$150$

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(B) माना कि $3$-अंकों की संख्या $n$ है। दिया गया है कि $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ है।चूंकि $36 = 2^2 	imes 3^2$,शर्त $	ext{gcd}(n, 36) = 2$ का अर्थ है कि $n$ को $2$ से विभाज्य होना चाहिए लेकिन $4$ से नहीं,और $n$ को $3$ से विभाज्य नहीं होना चाहिए।माना $n = 2k$ है। तब $	ext{gcd}(2k, 36) = 2 \implies 	ext{gcd}(k, 18) = 1$ है।इसका अर्थ है कि $k$,$2$ या $3$ से विभाज्य नहीं है।$3$-अंकों की संख्याएँ $[100, 999]$ की सीमा में हैं।अतः,$100 \le 2k \le 999 \implies 50 \le k \le 499.5$ है।इस प्रकार,$k \in \{50, 51, \dots, 499\}$ है।$k$ के कुल मानों की संख्या $450$ है।हमें $k$ के उन मानों को घटाना होगा जो $2$ या $3$ से विभाज्य हैं।$S = \{50, 51, \dots, 499\}$ लें।$S$ में $2$ के गुणज: $225$ हैं।$S$ में $3$ के गुणज: $150$ हैं।$S$ में $6$ के गुणज: $75$ हैं।समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत द्वारा,$2$ या $3$ से विभाज्य $k$ की संख्या $225 + 150 - 75 = 300$ है।अतः,$	ext{gcd}(k, 6) = 1$ होने वाले $k$ की संख्या $450 - 300 = 150$ है।

$3$-अंकों की कुल कितनी संख्याएँ हैं जिनका $36$ के साथ महत्तम समापवर्तक (g.c.d.) $2$ है?

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